山东省利津县2024年中考数学最后一模试卷（含解析）

山东省利津县2024年中考数学最后一模试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1f2（«-y）„-y-4

nI—V

1.如果关于X的分式方程一3=一二有负数解，且关于y的不等式组3y+4,无解，则符合条件的所

x+1x+1----<y+1

I2-

有整数«的和为（）

A.-2B.0C.1D.3

2.如图是反比例函数y=±（k为常数，k/o）的图象，则一次函数y=依-左的图象大致是（）

3.向某一容器中注水，注满为止，表示注水量与水深的函数关系的图象大致如图所示，则该容器可能是（）

注水量*

4.已知：如图，AD是△ABC的角平分线，且AB：AC=3：2,则△ABD与△ACD的面积之比为（）

5.如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”.将半径为5的“等边扇形”围成一个圆锥，则圆锥

的侧面积为（）

2525

A.—B.—7tC.50D.507t

22

6.设a,口是一元二次方程x?+2x—1=0的两个根，则ap的值是（）

A.2B.1C.-2D.-1

7.提出“金山银山，不如绿水青山”，国家环保部大力治理环境污染，空气质量明显好转，将惠及13.75亿中国人，这

个数字用科学记数法表示为（）

A.13.75xl06B.13.75X105C.1.375xl08D.1.375xl09

8.下图是由八个相同的小正方体组合而成的几何体，其左视图是（）

A.14B.7C.-2D.2

10.tan30°的值为（）

A.B.C.7D..

J0Vl

11.。。是一个正〃边形的外接圆，若。。的半径与这个正"边形的边长相等，则〃的值为（）

A.3B.4C.6D.8

12.下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

D.

iB今◎

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.为了绿化校园，30名学生共种78棵树苗，其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，设男生有x人，女生有y人,

根据题意，所列方程组正确的是（）

x+y=78fx+y=78f^+y=30fx+y=30

3x+2y=30\2x+3y=3012x+3y=7813x+2y=78

14.我们知道:四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABC。的边A3在x轴上，4-3,0）,3（4,0）,

边AO长为5.现固定边A3,“推”矩形使点。落在y轴的正半轴上（落点记为。0,相应地，点C的对应点C'的坐

标为1

15.如图所示，一动点从半径为2的。。上的4点出发，沿着射线AoO方向运动到。。上的点4处，再向左沿着与

射线40夹角为60。的方向运动到。。上的点42处；接着又从4点出发，沿着射线方向运动到。。上的点心处,

再向左沿着与射线A3O夹角为60。的方向运动到。。上的点A4处；4Ao间的距离是;…按此规律运动到点4019

处，则点人2019与点4）间的距离是.

16.计算（百+J5）-百的结果是

17.分解因式：4a2-1=.

18.某花店有单位为10元、18元、25元三种价格的花卉，如图是该花店某月三种花卉销售量情况的扇形统计图，根

据该统计图可算得该花店销售花卉的平均单价为元.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）如图，点A是直线AM与。。的交点，点8在。。上，BD1AM,垂足为O,BD与00交于点、C,0C

平分NAOB,ZB=60°.求证：AM是。。的切线；若。。的半径为4,求图中阴影部分的面积（结果保留兀和根号）.

20.（6分）如图，为了测量山顶铁塔AE的高，小明在27m高的楼CD底部D测得塔顶A的仰角为45。，在楼顶C

测得塔顶A的仰角36。52，.已知山高BE为56m,楼的底部D与山脚在同一水平线上，求该铁塔的高AE.（参考数据:

sin36052,~0.60,tan36°52,=0.75）

A

BD

21.（6分）为响应“学雷锋、树新风、做文明中学生”号召，某校开展了志愿者服务活动，活动项目有“戒毒宣传”、“文

明交通岗”、“关爱老人”、“义务植树”、“社区服务”等五项，活动期间，随机抽取了部分学生对志愿者服务情况进行调

查，结果发现，被调查的每名学生都参与了活动，最少的参与了1项，最多的参与了5项，根据调查结果绘制了如图

所示不完整的折线统计图和扇形统计图.

被抽样学生参与志愿者活动情况折线统计图期样学生参与志愿者活动情况扇形婉计图

20小

18

16

14

12

0被随机抽取的学生共有多少名？在扇形

二0

0

6

4

2

统计图中，求活动数为3项的学生所对应的扇形圆心角的度数，并补全折线统计图；该校共有学生2000人，估计其中

参与了4项或5项活动的学生共有多少人？

22.（8分）如图，在△ABC中，ABAC,AE是N5AC的平分线，N4BC的平分线交AE于点M,点。在A3

上，以点。为圆心，03的长为半径的圆经过点交BC于点G,交A3于点尸.

（1）求证：AE为。。的切线；

（2）当5c=4,AC=6时，求。。的半径;

（3）在（2）的条件下，求线段5G的长.

23.（8分）已知：如图，在梯形中，DC//AB,AD^BC,8。平分NA3C,ZA=60°.

求：（1）求NC05的度数；

（2）当40=2时，求对角线30的长和梯形A3C。的面积.

24.（10分）如图，在nABCD中，以点4为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F；再分别以点B、F为圆心，大于BF

的长为半径画弧，两弧交于点P;连接AP并廷长交BC于点E,连接EF

（1）根据以上尺规作图的过程，求证：四边形ABEF是菱形；

（2）若AB=2,AE=2.求/BAD的大小.

25.（10分）如图，益阳市梓山湖中有一孤立小岛，湖边有一条笔直的观光小道AB,现决定从小岛架一座与观光小道

垂直的小桥PD,小张在小道上测得如下数据：AB=80.0米，ZPAB=38.1°,ZPBA=26.1.请帮助小张求出小桥PD的

长并确定小桥在小道上的位置.（以A,B为参照点，结果精确到0.1米）

（参考数据:sin38.1°=0.62,cos38.1°=0.78,tan38.1°=0.80,sin26.1°=0.41,cos26.1°=0.89,tan26.1°=0.10）

DR

26.（12分）在“双十二”期间，A8两个超市开展促销活动，活动方式如下：

A超市：购物金额打9折后，若超过2000元再优惠300元；

3超市：购物金额打8折.

某学校计划购买某品牌的篮球做奖品，该品牌的篮球在两个超市的标价相同，根据商场的活动方式：

（1）若一次性付款4200元购买这种篮球，则在3商场购买的数量比在A商场购买的数量多5个，请求出这种篮球的

标价；

（2）学校计划购买100个篮球，请你设计一个购买方案，使所需的费用最少.（直接写出方案）

27.（12分）小李在学习了定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”之后做了如下思考，请你帮他完成如下问

题：

他认为该定理有逆定理：“如果一个三角形某条边上的中线等于该边长的

一半，那么这个三角形是直角三角形”应该成立.即如图①，在AABC中，AD是边上的中线，若的>=3£>=8,

求证：44c=90°.如图②，已知矩形ABC。，如果在矩形外存在一点E,使得AELCE,求证：BE工DE.（可

以直接用第（1）问的结论）在第（2）问的条件下，如果AAED恰好是等边三角形，请求出此时矩形的两条邻边A3

与的数量关系.

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、B

【解析】

2（"y）,,-y—4

Z7I—X

解关于y的不等式组3y+4,，结合解集无解，确定”的范围，再由分式方程一--3=一；有负数解，

------<V+1x+lx+1

I2,

且。为整数，即可确定符合条件的所有整数。的值，最后求所有符合条件的值之和即可.

【详解】

2(«-y)„-y-4

y..2〃+4

由关于y的不等式组3y+4,可整理得《

<J+1。(一2

2

•.•该不等式组解集无解,

；・2a+42-2

即及-3

又♦•.信—3=官得a-4

x=------

2

1-x

而关于”的分式方程六-3有负数解

%+1

：.a-4<l

：.a<4

于是-3<a<4,且a为整数

.*•«=-3、-2、-1>1、1、2、3

则符合条件的所有整数a的和为1.

故选民

【点睛】

本题考查的是解分式方程与解不等式组，求各种特殊解的前提都是先求出整个解集，再在解集中求特殊解，了解求特

殊解的方法是解决本题的关键.

2、B

【解析】

根据图示知，反比例函数y=上的图象位于第一、三象限，

X

:.k>09

...一次函数尸质-左的图象与y轴的交点在y轴的负半轴，且该一次函数在定义域内是增函数,

...一次函数尸质的图象经过第一、三、四象限；

故选:B.

3、D

【解析】

根据函数的图象和所给出的图形分别对每一项进行判断即可.

【详解】

由函数图象知：随高度h的增加,y也增加，但随h变大，每单位高度的增加，注水量h的增加量变小，图象上升趋势变

缓，其原因只能是水瓶平行于底面的截面的半径由底到顶逐渐变小，故D项正确.

故选:D.

【点睛】

本题主要考查函数模型及其应用.

4、A

【解析】

试题解析：过点。作于E,AC于F.

•.NO为NR4C的平分线，

：.DE=DF,又4B:AC=3:2,

S.:SACD=(|ABDE):(|ACDF)=AB:AC=3:2,

故选A.

点睛：角平分线上的点到角两边的距离相等.

5、A

【解析】

根据新定义得到扇形的弧长为5,然后根据扇形的面积公式求解.

【详解】

125

解：圆锥的侧面积=—・5・5=k.

22

故选A.

【点睛】

本题考查圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母

线长.

6、D

【解析】

试题分析：•••(/、0是一元二次方程二+二-二=：的两个根，.••呻7=-1,故选D.

考点：根与系数的关系.

7、D

【解析】

用科学记数法表示较大的数时，一般形式为axion,其中lw|a卜10,n为整数，据此判断即可.

【详解】

13.75亿=1.375x109.

故答案选D.

【点睛】

本题考查的知识点是科学记数法，解题的关键是熟练的掌握科学记数法.

8、B

【解析】

解：找到从左面看所得到的图形，从左面可看到从左往右三列小正方形的个数为：2,3,1.

故选B.

9、D

【解析】

解不等式得到x>-m+3,再列出关于m的不等式求解.

2

【详解】

m-lx<-6,

-lx<-m-6,

1

x>—m+3,

2

rn—9x

•.•关于X的一元一次不等式二一w-1的解集为x>4,

—m+3=4,解得m=l.

2

故选D.

考点：不等式的解集

10、D

【解析】

直接利用特殊角的三角函数值求解即可.

【详解】

tan30°=故选：D.

【点睛】

本题考查特殊角的三角函数的值的求法，熟记特殊的三角函数值是解题的关键.

11、C

【解析】

根据题意可以求出这个正n边形的中心角是60°,即可求出边数.

【详解】

00是一个正n边形的外接圆，若。。的半径与这个正n边形的边长相等，

则这个正"边形的中心角是60。，

360+60°=6

n的值为6,

故选：C

【点睛】

考查正多边形和圆，求出这个正多边形的中心角度数是解题的关键.

12、C

【解析】

根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各个选项进行判断，即可得到答案.

【详解】

解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A错误；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B错误；

C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C正确；

D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D错误；

故选：C.

【点睛】

本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，解题的关键是熟练掌握概念进行分析判断.

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13、A

【解析】

x+y=30

该班男生有x人，女生有y人.根据题意得：

3x+2y=78

故选D.

考点：由实际问题抽象出二元一次方程组.

14、(7,4)

【解析】

分析：根据勾股定理，可得(?£>',根据平行四边形的性质，可得答案.

详解：由勾股定理得：OD'=yjD'^-AO2=4，即。做0,4).

矩形ABCD的边AB在x轴上，二四边形ABC'。'是平行四边形，

AD0=BC,CZ)0=AB=4-(-3)=7,C'与。，的纵坐标相等，C'(7,4),故答案为(7,4).

点睛：本题考查了多边形，利用平行四边形的性质得出AD仁BC,CoC=AB=4-(-3)=7是解题的关键.

15、2A/31.

【解析】

据题意求得AoAi=4,AoAi=2y/3>AoAi=l>AoA4=2-\/3>AoA5=l,AoA(,=O>AoA7=4,…于是得到A1019与A3重

合，即可得到结论.

【详解】

解：如图，

由题意得，AoAi=4,AoAi=2^/3>AOA3=1,AOA4=2\^3>AoA5=l,AoA6=O,AoA7=4,...

；1019+6=336…3,

/.按此规律A1019与A3重合，

•e•AoA1019=A0A3—1,

故答案为26,1.

【点睛】

本题考查了图形的变化类，等边三角形的性质，解直角三角形，正确的作出图形是解题的关键.

16、0

【解析】

【分析】根据二次根式的运算法则进行计算即可求出答案.

【详解】(百+行)-百

=y/3+A/2--\/3

=0，

故答案为

【点睛】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则.

17、(2a+l)(2a-1)

【解析】

有两项，都能写成完全平方数的形式，并且符号相反，可用平方差公式展开.

【详解】

4a2-1=(2a+l)(2a-1).

故答案为：(2a+l)(2a-l).

【点睛】

此题考查多项式因式分解，根据多项式的特点选择适合的分解方法是解题的关键.

18、17

【解析】

根据饼状图求出25元所占比重为20%,再根据加权平均数求法即可解题.

【详解】

解：1-30%-50%=20%,

/.25x20%+10x30%+18x50%=17.

【点睛】

本题考查了加权平均数的计算方法，属于简单题，计算25元所占权比是解题关键.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

O

19、(1)见解析；(2)6^/3——7T

【解析】

(1)根据题意，可得△30C的等边三角形，进而可得根据角平分线的性质，可证得根

据N5ZM/=90。，进而得到NQ4M=90。，即可得证；

(2)连接AC,利用AAOC是等边三角形，求得NO4c=60。，可得NCAZ)=30。，在直角三角形中，求出C。、40的

长，则S阴影=S梯形OA&C-S扇形OAC即可得解.

【详解】

(1)证明：VZB=60°,OB=OC,

•••△50C是等边三角形，

.\Zl=Z3=60o,

V0C平分NA05,

.*.Z1=Z2,

AZ2=Z3,

:.OA//BD9

■:ZBDM=9Q09

O

：.ZOAM=9Q9

又04为。。的半径，

JAM是。。的切线

(2)解：连接AC,

VZ3=60°,OA=OC,

•••AAOC是等边三角形，

：.ZOAC=60°f

：.ZCAD=30°f

VOC=AC=49

：.CD=29

••AD=2，

■j60428

S阴影=S梯形OAOC-S扇形。＜c=­x(4+2)x2y/3~---------=6^/3--兀.

23603

本题主要考查切线的性质与判定、扇形的面积等，解题关键在于用整体减去部分的方法计算.

20、52

【解析】

根据楼高和山高可求出EF,继而得出AF,在RtAAFC中表示出CF,在RtAABD中表示出BD,根据CF=BD可建

立方程，解出即可.

【详解】

、'、、36°52‘

45p、JMj

n

如图，过点C作CFLA3于点F.

设塔高AE=x,

由题意得,E尸=5E-C£)=56-27=29ni,A尸=4E+E尸=(x+29)»i,

在Rt&AFC中,/4。尸=36°52'4尸=。+29)雨,

AFX+294116

则CF=---------»--------=—x+——，

tan36°52'0.7533

在RthABD中,NAOB=45°,AB^x+56,

贝！JBD=AB=x+56,

<CF=BD,

."4116

..x+56=—-----,

33

解得：x=52,

答：该铁塔的高AE为52米.

【点睛】

本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，注意利用方程思想求解，难度一般.

21、(1)被随机抽取的学生共有50人；(2)活动数为3项的学生所对应的扇形圆心角为72。，(3)参与了4项或5项

活动的学生共有720人.

【解析】

分析：(1)利用活动数为2项的学生的数量以及百分比，即可得到被随机抽取的学生数;

(2)利用活动数为3项的学生数，即可得到对应的扇形圆心角的度数，利用活动数为5项的学生数，即可补全折线统

计图;

(3)利用参与了4项或5项活动的学生所占的百分比，即可得到全校参与了4项或5项活动的学生总数.

详解：(1)被随机抽取的学生共有14+28%=50(人)；

(2)活动数为3项的学生所对应的扇形圆心角=左'360。=72。,

活动数为5项的学生为：50-8-14-10-12=6,

如图所示：

1

(3)参与了4项或5项活动的学生共有-----x2000=720(人).

50

点睛：本题主要考查折线统计图与扇形统计图及概率公式，根据折线统计图和扇形统计图得出解题所需的数据是解题

的关键.

3

22、(1)证明见解析；(2)-；(3)1.

2

【解析】

(1)连接OM,如图1,先证明OM〃BC,再根据等腰三角形的性质判断AELBC,则OMLAE,然后根据切线的

判定定理得到AE为。O的切线；

(2)设。O的半径为r,利用等腰三角形的性质得到BE=CE=^BC=2,再证明△AOMs/\ABE,则利用相似比得到

2

二=手,然后解关于r的方程即可；

26

一31

(3)作OHLBE于H,如图，易得四边形OHEM为矩形，贝!|HE=OM=—,所以BH=BE-HE=—,再根据垂径定理

22

得至|JBH=HG=L,所以BG=1.

2

【详解】

解：(1)证明：连接OM,如图I,

；BM是NABC的平分线，

/.ZOBM=ZCBM,

VOB=OM,

/.ZOBM=ZOMB,

.,.ZCBM=ZOMB,

，OM〃BC,

VAB=AC,AE是NBAC的平分线,

AAE1BC,

AOMIAE,

；.AE为。O的切线；

(2)解：设。O的半径为r,

VAB=AC=6,AE是NBAC的平分线,

1

/.BE=CE=-BC=2,

2

；OM〃BE,

/.△AOM^AABE,

OMAOr6-r3

-----=——，即an_=-----解得片大，

BEAB262

3

即设。O的半径为不；

2

(3)解：作OHLBE于H,如图,

VOM±EM,ME1BE,

二四边形OHEM为矩形，

3

.\HE=OM=-,

2

31

:.BH=BE-HE=2--=

22

VOH1BG,

1

；.BH=HG=-,

2

/.BG=2BH=1.

23、：(1)30。；(2)S梯形钻

【解析】

分析：

(1)由已知条件易得NABC=NA=60。，结合BD平分NABC和CD〃AB即可求得NCDB=30。；

(2)过点D作DH_LAB于点H,则NAHD=30。，由(1)可知NBDA=NDBC=30。，结合NA=60。可得NADB=90。，

ZADH=30°,DC=BC=AD=2,由此可得AB=2AD=4,AH=B，这样即可由梯形的面积公式求出梯形ABCD的面积

了.

详解：

(1)；在梯形ABCD中，DC/7AB,AD=BC,NA=60。，

.,.ZCBA=ZA=60",

VBD平分/ABC,

1

:.ZCDB=ZABD=-ZCBA=30",

2

(2)在AACD中，VZADB=180°-ZA-ZABD=90°.

BD=AD-tanA=2tan60°=26.

过点D作DHLAB,垂足为H,

AH=AD-sinA=2sin60°=73.

1

■:ZCDB=ZCBD=-ZCBD=30",

2

.\DC=BC=AD=2

VAB=2AD=4

11

••S梯形ABCD=万(AB+CD)•DH=万(4+2)指=3指.

E----------f

/

RL_1-------------—

H0

点睛：本题是一道应用等腰梯形的性质求解的题，熟悉等腰梯形的性质和直角三角形中30。的角所对直角边是斜边的

一半及等腰三角形的判定，是正确解答本题的关键.

24、⑴见解析;⑵60°.

【解析】

(1)先证明△AEB且△AEF,推出NEAB=NEAF,由AD〃BC,推出NEAF=NAEB=NEAB,得至!JBE=AB=AF,

由此即可证明；

(2)连结BF,交AE于G.根据菱形的性质得出AB=2,AG=.AE=ZBAF=2ZBAE,AE±BF.然后解直角△ABG,

£丫口

求出NBAG=30。，那么NBAF=2NBAE=60。.

【详解】

解：(1)在△AEB和AAEF中，

'AB=AF

<BE=FE，

AE=AE

.".△AEB^AAEF,

/.ZEAB=ZEAF,

；AD〃BC,

/.ZEAF=ZAEB=ZEAB,

；.BE=AB=AF.

VAF/7BE,

四边形ABEF是平行四边形，

VAB=BE,

二四边形ABEF是菱形；

(2)连结BF,交AE于G.

；AB=AF=2,

GA=yAE=yX2V3=V3>

在RtAAGB中，cosZBAE=—=^1-

AB2

:.ZBAG=30°,

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质与菱形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握平行四边形的性质与菱形的判定与性质.

25、49.2米

【解析】

设PD=x米，在RtZkPAD中表示出AD,在RtAPDB中表示出BD,再由AB=80.0米，可得出方程，解出即可得出

PD的长度，继而也可确定小桥在小道上的位置.

【详解】

解：设PD=x米,

VPD1AB,/.ZADP=ZBDP=90°.

xx

在RtAPAD中，tanZPAD=——,工AD二二=限

ADtan38.5°0.804

xxx

在RtAPBD中，tanZPBD=——,:.DB=---------------------2x

DBtan26.5°0.50

又,.,AB=80.0米，A-x+2x=80.0,解得：x~24.6,即PM24.6米.

4

；.DB=2x=49.2米.

答：小桥PD的长度约为24.6米，位于AB之间距B点约49.2米.

26、(1)这种篮球的标价为每个50元；(2)见解析

【解析】

42004200+300

(1)设这种篮球的标价为每个x元，根据题意可知在B超市可买篮球——个，在A超市可买篮球个,

0.8%0.9%

根据在B商场比在A商场多买5个列方程进行求解即可;

(2)分情况，单独在A超市买100个、单独在B超市买100个、两家超市共买100个进行讨论即可得.

【详解】

(1)设这种篮球的标价为每个x元,

42004200+300<

依题意，得--------------------