2024-2025学年四川省成都市金牛区某中学九年级（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年四川省成都市金牛区铁路中学九年级（上）开学

数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

ABCD

2.已知a>b,则下列不等式正确的是()

A.—4。>—4bB.—>"C.4—a>4—bD.a-4>b—4

cc

3.如图，在中，乙48C,乙4cB的平分线交于点。，过点。作E/7/BC分别交AB,AC于点E,F,若

AB=5,AC=4,则△AEF的周长是()

A.8

B.9

C.10

D.11

4.下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（）

1

A.3d-1=ct(3——)B.a2—2a—l=(a—I)2

C,x2+6X+10=(x+3)2+1D.m2—4m=m(m—4)

5,下列分式变形正确的是()

x—2x2%x%2X比2x

A.y—2=y^'2y=yC,记=y^'2y=y

6.将点P(2,3)向左平移2个单位，向单位得到点Q,则点Q的坐标是()

A.(4,7)B.(4-1)C.(0,7)D.(0-1)

7.如图，矩形ABC。中，。是对角线AC的中点，连接。。.若AB=12,AD=16,贝⑺。的长为（）

A.7

B.8

C.9

D.10

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8.某化工厂要在规定时间内搬运2400千克化工原料，现有4B两种机器人可供选择，已知8型机器人每小

时完成的工作量是/型机器人的1.5倍，8型机器人单独完成所需的时间比/型机器人少16小时，如果设4型

机器人每小时搬运工千克化工原料，则可以列出以下哪个方程（）

A.16(15%+%)=2400B.16(15%-%)=2400

八24002400“n24002400“

C.---------=16D.----------------—------------=16

Xl.bx1.5%x

二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分。

9.因式分解2%2—4%+2=

1。如图,△/BC经过平移得到△AB'C',连接BB'、CC,若

BB'=1.2cm,则点4与点4之间的距离为cm.

11.分式笠I的值为0,则％=

12.如图所示，菱形4BCD的对角线AC、相交于点。.若AC=6,BD=8,

AE1BC,垂足为E,则ZE的长为.

13.如图，四边形A8C0是平行四边形，按以下步骤操作：①以点/为圆心，适当

长为半径画弧，交4B于点E,交4D于点尸；再分别以点E,F为圆心，以大于aEF

长为半径作弧，两弧相交于点M；②以点。为圆心，适当长为半径画弧，交CD于

点H,交2D于点G；再分别以点G,H为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相

交于点N；③作射线AM,DN相交于点P,若4P=4,BC=8,则PD的长为

14.已知"m=2,n+m=3,则刀12九+mn2=

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18.如图，在菱形ABCD中，AB=5,BD=8,点P为线段BD上不与端点重合的

一个动点.过点P作直线BC、直线CD的垂线，垂足分别为点E、点足连结24,在点

P的运动过程中，PE+PA+PF的最小值等于

三、解答题：本题共8小题,共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

r2x—l5久+1,

----------SZQ

19.(12分)(1)解不等式组:32

5x—1<3(%+1)

(2)解分式方程：言+

20.(8分)先化简，再求值…啜武)+宗，其中“=3.

21.(8分)如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，△4BC在第四象限.

(1)请画出△48C关于%轴对称的△4/15；

(2)请画出△4BC绕原点。顺时针旋转90。后的△2c2；

(3)求出(2)中线段48所扫过的面积.

22.(10分)如图，四边形4BCD是边长为1的正方形，分别延长BD,DB至点、E,F,使BF=DE=避,

连接4E,AF,CE,CF.

(1)求证：四边形4ECF是菱形;

(2)求四边形2ECF的面积.

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23.(10分)如图，在平面直角坐标系中，直线y=，-3与x轴、y轴分别相交于4、B两点，点C在线段04

上，将线段CB绕着点C逆时针旋转90。得到线段CD,此时点D恰好落在直线力B上.

(1)求出线以48的长度；

(2)求出BC的函数关系式；

(3)若点石是刀轴上的一个动点，点F是线段上的点(不与点8、C重合)，是否存在以C、D、E、尸为顶点的

四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的E点坐标；若不存在，说明理由.

备用图

24.(8分)某商店购进4B两种商品共140件进行销售.已知采购力商品10件与B商品20件共170元，采购

4商品20件与B商品30件共280元.

(1)求4B商品每件进价分别是多少元？

(2)若该商店出售4B两种商品时，先都以标价10元出售，售出一部分后再降价促销，都以标价的8折售完

所有剩余商品.其中以10元售出的商品件数比购进4种商品件数少20件，该商店此次降价前后销售4B两

种商品共获利不少于360元，求商店至少购进4商品多少件？

(3)若采购这140件商品的费用不低于720元，不高于740元.然后将4商品每件加价2a元销售，B商品每件

加价3a元销售，140件商品全部售出的最大利润为768元，请直接写出a的值.

25.(10分)如图1,在UMBCD中，乙4BC的平分线交2D于点E,N4DC的平分线交BC于点F.

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(1)求证：四边形BEDF为平行四边形；

(2)如图2,连接EF,若5T1BC,BF=8,EF=4,求口48CD的面积；

(3)如图3,连接EF,作△E4B关于直线EF对称的△EC”，其中点4,B的对应点分别为点C,H,恰好有

HE1DF,垂足为G.若EF=求BE的长.

26.(12分)如图，直线2：y=-+b(k40)与坐标轴分别交于点4B,以。A为边在y轴的右侧作正方

^AOBC,S.SAAOB=8.

(1)求直线I的解析式；

(2)如图1,点。是久轴上一动点，点E在2。的右侧，^ADE=90°,AD=DE.

①当4E+CE最小时，求E点的坐标；

②如图2,点。是线段。B的中点，另一动点H在直线8E上，且请求出点H的坐标.

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参考答案

\.D

2.D

3.8

4.D

5.B

6.C

l.D

8.C

9.2（久-1/

10.1.2

11.3

12至

1X-5

13.473

14.6

15.0或2

16.2<%<4

17.373

18.7.8

1一5久+1v2①

19解味曷

解不等式①得%>-・，

解不等式②得x<2,

.•・原不等式组的解集是-<2；

（2）自+/:+产1，

x3

口+^^=1,

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两边同乘以(久-1)2得x(久一1)+3=(%-1)2,

整理得一久+3=-2%+1,

解方程得x=-2,

经检验，当*=-2时，(%-1)2^0,

•••%=-2是分式方程的解.

20解：(“T言+1

_无2+为一+4久+1

—%+1(%-2)(x+2)

=(%—2)2-+1

—x+1.(%-2)(%+2)

_%—2

-%+2,

当久=3时，

原式=言5

_1

=5'

21.解：(1)如图，△力道道1即为所求；

(2)△&&。2即为所求；

⑶由旋转的性质知：(2)中线段2B所扫过的面积为9。XnX(穹2_0用)=nx(1-2。)=3兀,

36U4

线段4B所扫过的面积为37r.

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22.(1)证明：如图，连接4C,交BD于点0,

四边形48CD是正方形，

BD1AC,BO=DO,AO=CO,

■.BF=DE,

•••0D+DE=OB+BF,即。E=0F,

：.四边形AECF是平行四边形，

又vEF1AC,

：.四边形力ECF是菱形；

(2)解：•.•四边形力BCD是边长为1的正方形，BF=DE=避,

AB=AD=1,

•••BD=AC=”，

EF=3",

四边形2ECF的面积为《-EF=|x72x372=3.

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23.解：(1)当％=0时，y=-3,

・•・B(0-3),

当y=。时，%=6,

・•・4(6,0),

・•・AB=3^/5；

(2)过。点作DG1%轴交于G点，

•・•乙BCD=90°,

・•・乙OCB+/-ACD=90°,

•・•乙OCB+Z.OBC=90°,

•••Z-OBC=Z.ACD,

•・•BC=CD,

・•.△OCB^AGDC(AAS),

・•.DG=OC,CG=OB=3,

设C(t,0),0<t<6,

D(t+3,-t),

•••。点在直线AB上，

—t--^(t+3)-3,

解得力=1,

•••C(l,0),

设直线BC的解析式为y=fc%-3,

k—3=0,

解得k=3,

・•・直线BC的解析式为y=3久—3；

(3)存在以C、D、E、尸为顶点的四边形是平行四边形，理由如下:

由(2)可知0(3,—1),

设E(x,0),%3T),(0<t<1),

①当CD为平行四边形的对角线时，4=汽+a-l=3t-3,

解得t=|，%=字

・•・乐学0);

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②当CE为平行四边形的对角线时，1+久=t+3,0=-l+3t-3,

解得t=1,%=Y,

此时尸点不存在；

③CF为平行四边形的对角线时，l+t=3+x,3C-3=-1,

解得t=|,久=-p

4

・•・E(一§,0);

综上所述：E点坐标(学,0)或(-部).

24.解：(1)设4商品每件的进价为久元，B商品每件的进价为y元，

依题意得：

flOx+20y=170

[20%+30y=280，

解得：

fx=5

(y=6,

答：4商品每件的进价为5元，B商品每件的进价为6元；

(2)设至少购进力商品a件，可得：

(a—20)x10+(140-a+20)x0.8x10-5a-6(140-a)>360,

解得：aN40.

答:至少购进4商品40件；

(3)设销售利润为w元，购进力商品机件，则B商品(140-巾)件，

根据题意得720<5m+6(140-m)<740,

解得100WmW120,

w—2am+3a(140—nt)=—am+420a,

a为正数，

—a<0,

•••w随m的增大而减小，

当爪=100时，w取得最大值，最大值为一ax100+420a=768,

a=2.4.

答：a的值为2.4.

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25.(1)证明：•・・四边形ABC。是平行四边形，

・•.AD=BC,AB=CD,AD//BC,

・•.Z.AEB=Z.CBE,

•・•郎平分乙4BC,

••・乙ABE=A.CBE,

•••Z-ABE=Z-AEB,

AE=AB,

同理可得：CF=CD,

・•.AE=CF,

・•.AD-AE=BC-CF,

即ED=BF,

图2

・•・四边形BEDF为平行四边形；

(2)如图2,过点4作4G1BC于点G,

则乙4GB=Z.AGF=90°,

•・•AD//BC,

・•・乙EAG=AAGB=90°,

•・•EF1BC,

・••乙BFE=90°,

・•・四边形AEFG是矩形，

・•.FG=AE,AG=EF=4,

由(1)得：AE=AB,ED=BF=8,

•••AB—AE=FG,

设AB=x,贝UFG=%,

BG=BF-FG=8—%,

在RM/BG中，AG2+BG2=AB2,

.・.42+(8—%)2=%2,

解得：x=5,

AE=5,

・•.AD=AE+ED=5+8=13,

口ZBCD的面积为2。xEF=13x4=52；

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(3)如图3,过点E作EM〃4B交于点M,过点F作尸71BE于点T,连接交EF的延长线于点N,

由(1)知4D〃BC,/

四边形2BME是平行四边形，

由(1)知AE=AB,

四边形4BME是菱形,

•••AE=EM=BM,乙AEB=AMEB,AB//EM,

又•••△E4B关于直线EF对称的△EC”，其中点力，B的对应点分别为点C,H,

•••AE=EM=BM=EC,BE=HE,乙AEB=MEH=LMEB,

由(1)知四边形BEDF为平行四边形，

BE//DF,

又•••HE1DF,

：.4BEH=/.EGD=Z.EGF=90°,

•••AMEC=乙MEH+ACEH=4MEH+乙MEB=乙BEH=90°,

；.△MEC、△&///是等腰直角三角形，

EF垂直平分BH,

即FN1BH,

又•：BE=HE,乙BEH=NfiTF=NBNE=90°,

•••4BEF=LHEF=KEBH=/.EFT=45°,

乙EFG=45°=LHEF,

即△EF7是等腰直角三角形，

•••EF=&，

由勾股定理得ET=FT=1,

•••乙CEM=ACEH+乙HEM=4BEM+乙NEM=乙BEH=90°,

：.△CEM是等腰直角三角形，

•••乙EMC=45°,

,­.4ABM=45°,

•••上ABE=乙EBC=22.5°,

.­.乙EBC=4NBC=22.5。，

又：FT1BE,FN1BH,

FT=FN=1,

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EN=72+1，

又•••△BEN是等腰直角三角形，

BE=&EN=72X(V2+l)=2+72>

故BE的长为2+

26.解：(1)；四边形4。8c为正方形，

设CM=OB—AC=BC—a,

11

n2

aob=-xOA-OB=-a=8,

解得：a=2(负值已舍去).

即A(0,4),8(4,0),

由点/、B的坐标得，直线/的表达式为：y=—%+4；

・•・乙ADO+乙EDF=Z.ADO+Z.OAD=90°,

・••Z-OA