2024-2025学年沪科版九年级数学上册复习：动点的函数图象问题（压轴题）原卷版

动点的函数图象问题

♦思想方法

I/

数形结合思想：所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学

问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函数与图象

的对应关系；（3所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。

♦典例分析

【典例1］如图，在aABC中，^ACB=90°,AABC=60°,BD=2,CD14B于点D,点E、F、G分别是

边CD、CA,4。的中点，连接EF、FG,动点M从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向点4方向运动（点

M运动到4B的中点时停止）；过点M作直线MPIIBC与线段4C交于点P,以PM为斜边作Rt△PMN,点N在4B

上，设运动的时间为t（s）,Rt^PMN与矩形DEFG重叠部分的面积为S,贝口与t之间的函数关系图象大致为

（）

本题考查几何动点问题的函数图象，正确分段并分析是解题的关键.根据题意先分段，分为0WtW0.5,

0.5<t<1,1<t<2三段，分别列出三段的函数解析式便可解决，本题也可只列出。<t<0.5,1<t<2

两段，用排除法解决.

【解题过程】

解：分析平移过程,

①从开始出发至PM与点E重合，由题意可知0WtW0.5,如图,

过点M作MT于点T,

・4=60。，CD1AB,

：.BC=2BD=4,CD=遮BD=2收BT==t,

•・•乙4cB=90°,MP||BC,

=乙MPA=90°,

・•・四边形CTM尸为矩形，

.-.PM=CT=BC—BT=4—t,

-Z.PMN=^B=60°,PN1AB,

…rPM4-t

；.MN=—

:・DN=MN-MD=MN-BD+BM=^,

・・・E为CD中点,

・•.DE=牛=V3,

；.S=DE,DNT

・•.S与力的函数关系是正比例函数;

②当0.5<t<1,即从PM与E重合至点M与点。重合，如图,

BMDN

由①可得QN=ED=g,DM=2—2t,DN=|t,S矩形=考

•・ZPMN==60°,CDLAB,

:.SD=V3MD=2V3—2V3t,

：.ES—ED—SD—2y[3t—V3?

；・ER=-=2t—1,

・.,S=S矩形EDMQ_SAERS=—|(2V3t—V3)(2t—1)=+写£一浮

此函数图象是开口向下的二次函数；

③当l<tW2,即从点M与点。重合至点M到达终点，如图，

BDMNGA

由①可得DN=|t,MN=?,

■:AD=近CD=6,DG=^AD=3,

3

・・.NG=DG-DN=3--t,

••.QF=NG=3-|3

••,PQ专巡-当，

,•・收=51=1一3，

.=(HQ+MN)XQN=(l-lf+i^)xV3=_乌+3V3

・•.s与t的函数关系是一次函数，

综上，只有选项A的图象符合，

故选：A.

♦学霸必刷

1.(2024・四川广元・二模)如图，在矩形ABCD中，AB=4cm,AD=2cm,动点M自点/出发沿AB方向以

每秒1cm的速度向点B运动，同时动点N自点/出发沿折线2D—DC—CB以每秒2cm的速度运动，到达点8

时运动同时停止.设aAMN的面积为y(cm2),运动时间为无(秒)，则下列图象中能大致反映y与x之间

的函数关系的是()

DC

AM-*,B

2.（22-23九年级上•安徽合肥•期中）如图，在△2BC中，ZC=135°,AC=BC=242,P为BC边上一动

点，PQIMB交2C于点Q,连接BQ,设=比，SABPQ=y,则能表示y与x之间的函数关系的图象大致是

()

3.（2024•河北石家庄•二模）如图所示，△4BC和△DEF均为边长为4的等边三角形，点力从点D运动到点

E的过程中，4B和DF相交于点G,4C和EF相交于点H,（S泅GF+SVCH）为纵坐标外点4移动的距离为横坐

标心则y与x关系的图象大致为（）

DAE

4.（2023•辽宁铁岭•模拟预测）如图，矩形4BCD中，4B=8cm,AD=12cm,AC与BD交于点0,M是BC

的中点.P、Q两点沿着BTC—D方向分别从点B、点”同时出发，并都以lcm/s的速度运动，当点Q到达。点

时，两点同时停止运动.在P、Q两点运动的过程中，与△OPQ的面积随时间t变化的图象最接近的是（）

5.(2023•江苏南通•模拟预测)如图，在矩形4BCD中，AB=4,BC=6,E为中点，动点P从点B开始

沿BC方向运动到点C停止，动点Q从点C开始沿方向运动，与点尸同时出发，同时停止；这两点的运

动速度均为每秒1个单位；若设他们的运动时间为x(s),△EPQ的面积为y,贝Uy与久之间的函数关系的图

像大致是()

cm/s.点P在折线B4C上，且PD1BC于点。.点。运动2s时，点尸与点/重合.△PBD的面积S(cnj2)与

运动时间t(s)的函数关系图象如图2所示，£是函数图象的最高点.当S(cm2)取最大值时，PD的长为()

图1图2

A.2V3cmB.(1+V3)cmC.(1+2V3)cmD.(2+2V3)cm

7.(2024•安徽•一模)如图，在四边形4BCD中，Z4=60°,CDLAD,^BCD=90°,AB=BC=4,动点

P,Q同时从4点出发，点Q以每秒2个单位长度沿折线a—B—C向终点C运动；点P以每秒1个单位长度沿线

段4。向终点£（运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动.设运动时间为久秒，△APQ的面积为y

个平方单位，则y随x变化的函数图象大致为（）

8.（23-24九年级上•浙江温州•期末）某兴趣小组开展综合实践活动：在RtaZBC中，ZC=90°,CD=正

,。为力C上一点，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿CrB—a匀速运动，到达点力时

停止，以DP为边作正方形DPEF,设点P的运动时间为ts,正方形DPEF的面积为S,当点P由点C运动到点A

时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，若存在3个时刻以，t2,<t2<t3）

对应的正方形。PE尸的面积均相等，当%=5以时，则正方形DPEF的面积为（）

9.（22-23九年级上•浙江嘉兴・期中）如图，在Rt^ABC中，NC=90。，AABC=60°,BC=6,点。为力C

中点，点D为线段上的动点，连接。D,设BD=x,OD2=y,则y与x之间的函数关系图像大致为（）

10.（2024•广东深圳三模）如图，在近△ABC中，ZC=90°,AC=12,BC=8,点D和点E分别是4B和4c

的中点，点M和点N分别从点力和点E出发，沿着力方向运动，运动速度都是1个单位/秒，当点N到达

点B时，两点间时停止运动.设的面积为S,运动时间为t,则S与t之间的函数图象大致为（）

11.（2024•河南南阳•二模）如图是一种轨道示意图，其中4、B、C、。分别是菱形的四个顶点,

乙4=60。.现有两个机器人（看成点）分别从4C两点同时出发，沿着轨道以相同的速度匀速移动，其路线

分别为a-B-C和CrDr4若移动时间为t,两个机器人之间距离为d.则d2与t之间的函数关系用图象表

示大致为（）

12.（2024・山东聊城•二模）如图，等边△ABC与矩形DEFG在同一直角坐标系中，现将等边AABC按箭头

所指的方向水平移动，平移距离为x,点C到达点尸为止，等边△28C与矩形DEFG重合部分的面积记为

S,则S关于x的函数图象大致为（）

13.（2024・河南•模拟预测）如图，在等腰直角三角形2BC中，AABC=90°,BD是4C边上的中线，将△BCD

沿射线B4方向匀速平移，平移后的三角形记为△B1C1%,设△%的。1与△4BD重叠部分的面积为y,平

移距离为％,当点当与点4重合时，△Bi。%停止运动，则下列图象最符合y与x之间函数关系的是（）

A

14.(23-24九年级上•安徽滁州•期末)如图，菱形48CD的边长为3cm,zB=60°,动点P从点B出发以3cm/

s的速度沿着边8C—CD—D4运动，到达点4后停止运动；同时动点Q从点B出发，以lcm/s的速度沿着边B2

向4点运动，到达点4后停止运动.设点P的运动时间为尤(s),△BPQ的面积为y(cm2),贝。关于x的函数图

象为()

15.（2023•辽宁盘锦・中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形2BCD的顶点/在y轴的正半轴上，顶

点B、C在x轴的正半轴上，D（2,V3）,P（—1,—1）.点M在菱形的边力。和DC上运动（不与点n,C重

合），过点M作MN||y轴，与菱形的另一边交于点N,连接PM,PN,设点M的横坐标为x,2\PMN的面

积为乃则下列图象能正确反映y与x之间函数关系的是（）

16.（22-23九年级上•安徽蚌埠•期末）如图，在平面直角坐标系中，点2（2,0）,点8（0,2遮），点C（—3,回,

点P从点。出发沿。-AfB路线以每秒1个单位的速度运动，点Q从点。出发沿。TC—B路线以每秒g个单位

的速度运动，当一个点到达终点时另一个点随之停止运动，设了=「（22,运动时间为t秒，则正确表达y与t

17.（2022•辽宁•中考真题）如图，在等边三角形N2C中，BC=4,在RtADEF中,乙EDF=90。,4尸=

30°,DE=4,点、B,C,D,£在一条直线上，点C,。重合，A48C沿射线方向运动，当点8与点£

重合时停止运动.设&42C运动的路程为x,AABC与口△£>£尸重叠部分的面积为S,则能反映S与x之间

函数关系的图象是（）

18.（2023•山东聊城•三模）如图（1）所示，E为矩形力BCD的边力。上一点，动点P,0同时从点2出发,

点P沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒,

设尸，。同时出发，秒时，△BPQ的面积为ycm2.已知y与/的函数关系图像如图（2）（曲线OM为抛物线

的一部分），则下列结论不正确的是（）

图⑴图⑵

A