苏科版2024-2025学年九年级数学上册 正多边形与圆（知识梳理与考点分类讲解）

专题2.15正多边形与圆(知识梳理与考点分类讲解)

第一部分【知识点归纳】

【知识点一】正多边形的概念

各边相等，各角也相等的多边形是正多边形.

【要点提示】

判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.

如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).

【知识点二】正多边形的重要元素

1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形

正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多

边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆.

2.正多边形的有关概念

(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心.

(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径.

(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.

(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.

3.正多边形的有关计算

(1)正n边形每一个内角的度数是经二殳"S；

n

(2)正n边形每个中心角的度数是"；

n

(3)正n边形每个外角的度数3是60°".

n

22

(4)正n边形半径R,边长a,边心距r的关系K=r+(-)；

(5)正n边形周长/=na；

（6）正n边形面积S=—ar*n=—lr；

22

【要点提示】要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.

【知识点三】正多边形的性质

1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.

2.正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形.

3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当

边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.

4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相

似比的平方.

5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆

【要点提示】（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形

是圆的外切正多边形.

【知识点四】正多边形的画法

1.用量角器等分圆

由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角（即等分顶点在圆心的周角）可以等

分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形.

2.用尺规等分圆

对于一些特殊的正n边形，可以用圆规和直尺作图.

①正四、八边形。

在。0中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。再逐次平分各边

所对的弧（即作/AOB的平分线交AB于E）就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。

②正六、三、十二边形的作法。

通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在。0中，任画一条直径AB,分别以A、B

为圆心，以。。的半径为半径画弧与。0相交于C、D和E、F,贝UA、C、E、B、F、D是。。的6等分点。

显然，A、E、F（或C、B、D）是。0的3等分点。

同样，在图⑶中平分每条边所对的弧，就可把0012等分……。

【要点提示】画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点.

第二部分【题型展示与方法点拨】

【题型1］正多边形与圆的有关计算；

【例1】（22-23九年级上•江苏南通•阶段练习）如图，正方形A3CD的外接圆为。。，点尸在劣弧上

（不与点C重合）.

（1）求—BPC的度数；

⑵若0。的半径为8,求正方形A3CD的边长.

、D

【变式1】（2023•内蒙古呼伦贝尔•二模）如图，P,。分别是O。的内接正五边形的边AB,3c上的点,

BP=CQ,则NPOQ=（）

A.75°B.54°C.72°D.60

【变式2】（23-24九年级上•上海•期中）边长为3的正六边形的边心距为—

【题型2】正多边形与圆的有关的证明；

【例2】（2023•上海静安•二模）如图，在矩形A3CD中，点尸是边的中点，。。是的外接圆,

0。交边A8于点E.

⑴求证：PA=PD；

（2）当AE是以点。为中心的正六边形的一边时，求证：AE=EP-

【变式1】（2023九年级•全国・专题练习）如图，。。是正八边形ABCDEFG的外接圆，则下列结论：

①AEgDF;②DF的度数为90。；③鼻八边加5cxM=AE-DL其中所有正确结论的序号是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【变式2】如图，正五边形4BCDE内接于回。，连接对角线NC,AD,则下列结论：①2CS4D；②皿E

=3配加0；③曲Claa£4D；④NC=2CD其中判断正确的是（填序号）.

【题型3】正多边形的实际应用;

【例3】（2023•河北邯郸・二模）摩天轮（如图1）是游乐场中受欢迎的游乐设施之一，它可以看作一个

大圆和六个全等的小圆组成（如图2）,大圆绕着圆心。匀速旋转，小圆通过顶部挂点（如点尸，N）均

匀分布在大圆圆周上，由于重力作用，挂点和小圆圆心连线（如PQ）始终垂直于水平线/.

G）ZNOP='

（2）若。4=16,0。的半径为10,小圆的半径都为1：

①在旋转一周的过程中，圆心”与/的最大距离为；

②当圆心”到/的距离等于Q4时，求的长；

③求证：在旋转过程中，的长为定值，并求出这个定值.

【变式1］（2023•河南•模拟预测）2024年春节期间，河南多地大范围降雪.如图，将具有“雪花"图案

（边长为4的正六边形ABCDEF）的图形，放在平面直角坐标系中，若A8与x轴垂直，顶点A的坐

标为（2,-3）,则顶点C的坐标为（）

C.（2->/3,3）D.（2-473,-3）

【变式2】（23-24八年级下•福建福州•期末）如图，某校园内有一个由两个相同的边长为2m的正六边形

围成的花坛，现要将这个花坛在原有的基础上扩建成一个菱形花坛，则扩建后菱形花坛的周长为m.

【题型4】与正多边形与圆有关作图;

【例4】（23-24九年级下•全国•课后作业）如图，AB.CD是。。中互相垂直的两条直径，以点/为圆心,

CM为半径画弧，与0。交于E、尸两点.

⑴求证：AE是正六边形的一边；

⑵请在图上继续画出这个正六边形.

【变式1】（23-24九年级下•海南省直辖县级单位•期中）如图，在边长为4的正五边形ABCDE中，按以

下步骤作图：①连接的；②以点C为圆心，适当长为半径画弧，交CB于点交CD于点N,③分别

以点〃、N为圆心，大于;长为半径画弧，两弧相交于点尸；④作射线CF交线段仍于点G；⑤连

接DG；则四边形BCDG的周长为（）

A.12B.16C.18D.20

【变式2】（2021九年级•安徽•专题练习）如图，正八边形ABCDEFGH内接于。0,点P是GH上的任意

一点，则回CPE的度数为

【题型5】正多边形与圆有关综合.

【例5】（2023•陕西西安•一模）如图，正六边形ABCDEF内接于。0.

（1）若尸是由）上的动点，连接8尸，FP,求尸产的度数；

⑵已知△相）/的面积为2如，求。。的面积.

【变式1】（2024•山东济宁•中考真题）如图，边长为2的正六边形ABCDEF内接于O。，则它的内切圆

半径为（）

A.1B.2C.0D.73

【变式2】（2024•黑龙江绥化,模拟预测）如图，在圆内接正六边形所中，BF,分别交AC于

点G,H,若该圆的半径为12,则线段GH的长为.

第三部分【中考链接与拓展延伸】

1、直通中考

【例1】（2024・四川・中考真题）如图，正六边形MCDEF内接于。。，OA=l,则A3的长为（）

【例2】（2023•湖南湘西•中考真题）如图，。。是等边三角形ABC的外接圆，其半径为4.过点2作跖，AC

于点£,点P为线段仍上一动点（点尸不与8,E重合），则的最小值为.

2、拓展延伸

【例1】（2024•河北石家庄•一模）如图，正六边形ABCDEF为。。的内接正六边形，过点。作。。的切

线，交AF的延长线于点尸，连接ED,A2O。的半径为6.

（1）求NADF的度数；

（2）求线段的长；

⑶若点〃■为ED上一点（不与点尸，。重合），连接AM,CM,宜谈写出与VCDM的面积之和.

【例2】（23-24九年级上•江苏南京•期中）如图①，C,。分别是半圆。的直径A3上的点，点E,厂在

AB上，且四边形8所是正方形.

①②③

(1)若A3=4指，则正方形CD吹的面积为；

⑵如图②，点G,H,/分别在AB,AB>DE上，连接用，HM,四边形。是正方形，且其面

积为16

①求AB的值；

②如图③，点N,P,Q分别在HM,AB,EM1.,连接PN,PQ,四边形MVPQ是正方形.直接写

出正方形MNP。与正方形DGHM的面积比.

专题2.15正多边形与圆(知识梳理与考点分类讲解)

第一部分【知识点归纳】

【知识点一】正多边形的概念

各边相等，各角也相等的多边形是正多边形.

【要点提示】

判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.

如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).

【知识点二】正多边形的重要元素

1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形

正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多

边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆.

2.正多边形的有关概念

(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心.

(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径.

(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.

(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.

3.正多边形的有关计算

⑴正n边形每一个内角的度数是(〃-2)・180°；

n

am。

(2)正n边形每个中心角的度数是"；

n

(3)正n边形每个外角的度数是则二

⑷正n边形半径R,边长a,边心距r的关系氏2=r+

（5）正n边形周长l=na；

（6）正n边形面积S=—ar»n=-lr；

22

【要点提示】要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.

【知识点三】正多边形的性质

1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.

2.正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形.

3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当

边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.

4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相

似比的平方.

5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆

【要点提示】（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形

是圆的外切正多边形.

【知识点四】正多边形的画法

1.用量角器等分圆

由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角（即等分顶点在圆心的周角）可以等

分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形.

2.用尺规等分圆

对于一些特殊的正n边形，可以用圆规和直尺作图.

①正四、八边形。

⑴（2）

在。0中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。再逐次平分各边

所对的弧（即作/AOB的平分线交余于E）就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。

通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在。0中，任画一条直径AB,分别以A、B

为圆心，以。。的半径为半径画弧与。0相交于C、D和E、F,贝ijA、C、E、B、F、D是。。的6等分点。

显然，A、E、F（或C、B、D）是。。的3等分点。

同样，在图⑶中平分每条边所对的弧，就可把12等分……。

【要点提示】画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点.

第二部分【题型展示与方法点拨】

【题型1］正多边形与圆的有关计算;

【例1】（22-23九年级上•江苏南通•阶段练习）如图，正方形ABCD的外接圆为。。，点尸在劣弧8上

（不与点C重合）.

⑴求—3PC的度数；

（2）若。。的半径为8,求正方形ABCD的边长.

【分析】本题考查圆与正多边形，圆周角定理：

（1）连接OB,。。，根据中心角的计算公式求出/3OC的度数，圆周角定理，求出的度数即可;

（2）勾股定理求出BC的长即可.

解：（1）连接

0ZBPC=-ZBOC=45°；

2

（2）由（1）知：/BOC=90。，

又回O3=OC=8,

0BC=VOB2+OC2=782+82=80，

即正方形的边长为：8A/2.

【变式1】（2023,内蒙古呼伦贝尔•二模）如图，P,。分别是O。的内接正五边形的边AB,BC上的点,

BP=CQ,则NPOQ=（）

【答案】C

【分析】本题考查的是正多边形和圆、全等三角形的判定和性质，掌握正多边形的中心角的求法、全等三

角形的判定定理是解题的关键.连接Q4、OB、OC,证明尸当△OCQ,根据全等三角形的性质得到

ZBOP=ZCOQ,结合图形计算即可.

解：连接（M、OB、OC,

•••五边形ABCDE是0。的内接正五边形,

:.ZAOB=ZBOC=72°,

OA=OB,OB=OC,

AOBA=ZOCB=54°,

在△OBP和△OC。中，

OB=OC

</OBP=/OCQ,

BP=CQ

.△OBP^AOCQ(SAS),

.\ZBOP=ZCOQf

・・•ZAOB=ZAOP+ZBOP,ZBOC=ZBOQ+NQOC,

.\ZBOP=ZQOC,

ZPOQ=ZBOP+ZBOQ,ZBOC=/BOQ+ZQOC,

/.ZPOQ=ZBOC=12°.

故选：C.

【变式2】(23-24九年级上,上海•期中)边长为3的正六边形的边心距为—

【答案】巫

2

【分析】此题考查了正多边形和圆，在正六边形中，连接。4、OB、OC、OD、OE、OF,作

3

加工至于点乂，证明AAC®是等边三角形，贝|JQ4=Q5=AB=3,由，AB得到AM=3M=/,利用

勾股定理即可求出答案.

解：在正六边形ABCDE尸中，连接。4、OB、OC.OD、OE、OF,作于点M,

团正六边形ABCDEF,

^ZAOB=ZBOC=ZCOD=ZDOE=ZEOF=ZAOF,

团ZAOB=360。+6=60。，OA=OB,

回AAOB是等边二角形,

0OA=OB=AB=3,

国OM工AB,

3

^\AM=BM=-,

2

在△OAM中，由勾股定理得：OM=^OA2-AM2=

即边长为3的正六边形的边心距为主叵，

2

故答案为：—

2

【题型2】正多边形与圆的有关的证明；

【例2】（2023•上海静安•二模）如图，在矩形A5CD中，点尸是边2C的中点，是AELD的外接圆,

。。交边A3于点E.

⑴求证：PA=PD；

⑵当AE是以点。为中心的正六边形的一边时，求证：AE=EP-

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】（1）根据矩形的性质及线段中点的定义得到三角形全等的条件，则AABP三AOCP,根据"全等三

角形的对应边相等"得到如=PD

（2）连接OAOE,OD,OP,并延长P。交/。于点先证明OP〃AB,再根据"有一个角是60。的等腰

三角形是等边三角形"得到"OE为等边三角形，然后根据"两直线平行，内错角相等"得到

ZEOP=ZAEO=6（f,则/AOE=/EOP=60°,最后根据“在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等"得到

AE=EP-

解：（1）四边形ABC。是矩形，且点尸是边3c的中点,

:.AB=DC,ZB=ZC,BP=CP,

在AAB尸和ADCP中,

BP=CP

NB=NC,

AB=DC

S„ABP=^DCP（SAS）,

:.PA=PD-,

(2)证明：如图，连接OE,OD,OP,并延长P0交AD于点",

B'-—'C

•.•四边形ABCD是矩形，

MA4D=90°

SOA=OD,PA=PD,

回点尸、。都在线段AD的垂直平分线上，

回「。垂直平分40,

0NDMP=90°=ZBAD,

:.OP//AB,

•.•AE是以点。为中心的正六边形的一边，

由正六边形性质可得回NA0E=60。，

团OA=OE,

「.△AO石是等边三角形，

^AEO=60°

又・.・OP〃AB

:,NEOP=NAEO=60°,

:.NAOE=NEOP=6¥,

:.AE=EP•

【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，矩形的性质，等边三角形的判定及性质，线段垂直平

分线的判定以及正多边形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的判定及性质以及等边三角形的判定及性质是

解题的关键.

【变式1］（2023九年级•全国•专题练习）如图，。。是正八边形ABCDEFG的外接圆，则下列结论：

①AE=6DF；②。尸的度数为90°；③S正.1边形ABCDEFGH=4足。b.其中所有正确结论的序号是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【答案】D

解：连接0。，OF,求出正八边形的中心角"OE=45。，得到/。。F=90。，根据这条弧的度数等于它

所对的圆心角的度数可得到②正确；由勾股定理求得弓。/，可得①正确；由于

S正八边彩ABCDEFGH=万A",°F，可得"八边衫ABC3EFGH=，于是得到③正确.

解：连接。£>,OF,如图所示：

0ZDOE=ZEOF=360°+8=45°,

BZDOF=90°,

团。尸的度数为90。，故②正确；

BZDOF=90°,OD=OF,

^2OD2=DF2,

0OD=—£>F,

2

SAE=2OD,

0A£=V2DF,故①正确；

回s四边形ODEF=5DF-OE,

团S正八边形ABCDEFGH=4S四边形。叱尸=2DF-OE,

^OE=-AE,

2

回S正八边形ABCDEfGH=AEDF,故③正确；

综上分析可知，正确的是①②③.

故选：D.

【点拨】本题主要考查了正多边形和圆，勾股定理，三角形的面积公式，熟练掌握正多边形的中心角和边

数的关系是解决问题的关键.

【变式2】如图，正五边形4BCDE内接于回。，连接对角线/C,AD,则下列结论：①2侬£＞；②勖NE

=3或加0；③0B/C0[a£4D；④NC=2CD其中判断正确的是（填序号）.

【答案】①②③

【分析】①分别求出回8co和EUDC的度数，得到站。。+&4。。=180。，判断出20340；

②计算出S8/E的度数和回C4D的度数，判断出的E=3回C/。；

③根据AB=C8,AE=DE,AC=AD,判断出aB/OMLEAD；

④根据"三角形的两边之和大于第三边"和"正五边形的各边相等"解答.

解：①在正五边形/8CDE中，

ZBCZ）=180-72°=108°,ZE=108°,

ZADE=gx（180。-108。）=36。，

二.乙山。=108。-36。=72。，

ZBCD+ZAOC=108°+72°=180°,

.•.8C//AD故本选项正确；

am。i

②：ZBAE=l0?1",ZCAD=—^-x-=36°,

00BAE=30CAD,故本选项正确;

③在回BAC和回EAD中，

AB=AE

<BC=DE,

AC=AD

.-.ABAC^A£AD（SSS）,故本选项正确；

④回AB+BCAC,AB=BC=CD,

02CD>AC,故本选项错误；

故答案为①②③.

【点拨】本题考查了正多边形和圆，熟悉正多边形的性质和正五边形的性质是解题的关键.

【题型3】正多边形的实际应用；

【例3】（2023•河北邯郸•二模）摩天轮（如图1）是游乐场中受欢迎的游乐设施之一，它可以看作一个

大圆和六个全等的小圆组成（如图2）,大圆绕着圆心。匀速旋转，小圆通过顶部挂点（如点尸，N）均

匀分布在大圆圆周上，由于重力作用，挂点和小圆圆心连线（如尸。）始终垂直于水平线/.

图1图2

⑴ZNOP=°

（2）若。4=16,O。的半径为10,小圆的半径都为1：

①在旋转一周的过程中，圆心”与/的最大距离为；

②当圆心”到/的距离等于Q4时，求的长；

③求证：在旋转过程中，的长为定值，并求出这个定值.

【答案】（1）60（2）①25；②OH=35;③"。的长为定值，定值为10.

【分析】（1）将360。平均分6份即可；

（2）①当圆心A/■在4。的延长线上时，圆心Af与/有最大距离，据此即可求解；

②设。”的挂点为K,过点〃作〃于点7,先证四边形"7X0是矩形，再用勾股定理解Rt△。政即

可；

③先证ANOP是等边三角形，再证MNPQ是平行四边形，可得MQ=NP=10.

360°

解：（1）解：/NOP=——=60。,

6

故答案为：60；

(2)解：①当圆心初在AO的延长线上时，圆心M与/有最大距离,

最大距离为闻1=加+04=10-1+16=25,

故答案为：25；

②如图，设。”的挂点为K,过点〃作于点7,

回挂点和小圆圆心连线始终垂直于水平线I,

0K,H,T在同一直线上，

团圆心H至！JI的距离等于OA,

团HT=OA,

0/7T1Z,OA_L/,

^\HT//OA,

团四边形"7X0是平行四边形，

又团NQ4T=90。，

回四边形"L4。是矩形，

回NQHT=90。，

团N。收=90。，

回=<0笈-HK。=V102-l2=3而；

③证明：如图所示，连接NP,MQ,

K

O,

（I?-\_/l

\X/fJ1

IA九

由（1）知N7VOP=60。，

又团ON=OP=10,

回ANOP是等边三角形，

^\NP=ON=OP=W,

团小圆的半径都为1,挂点和小圆圆心连线始终垂直于水平线I.

回的=尸。=1,MN//PQ,

回四边形MNPQ是平行四边形，

回MQ=NP=10,

回又。的长为定值.

【点拨】本题考查圆的基本知识，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性

质，勾股定理等，解题的关键是根据题意抽象出数学模型.

【变式1】（2023•河南•模拟预测）2024年春节期间，河南多地大范围降雪.如图，将具有"雪花"图案

（边长为4的正六边形ABCDEF）的图形，放在平面直角坐标系中，若A3与％轴垂直，顶点A的坐

标为（2,-3）,则顶点C的坐标为（）

C

和I

F

A.（2-2石,3）B.（2-473,3）C.（2-73,3）D.（2-4点一3）

【答案】D

【分析】本题重点考查图形与坐标、正多边形与圆、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地

作出所需要的辅助线是解题的关键.设正六边形ABCDEF的中心为点连接HA、HF、HE,连接AE

交HF与点G,则利用正多边形的性质，等腰三角形的性质以及勾股定理等可求AE=2AG,

AG=[H^—HG=2粗，证明AE〃x轴，结合点/的坐标即可求解.

解回设正六边形ABCDEF的中心为点H,连接HA、HF、HE,连接AE交HF与点、G,贝!jAE±HF.

・••正六边形ABCDE尸的边长为4,

360°(6-2)x180°

：.HE=HA=4,NAHE=------=120%ZBAF=^——』--------=120°,

66

:.AE=2AG,ZH4G=30。，AAHG=-ZAHE=6Q°,

2

:.HG=-AH=2,

2

AG=xlH^-HG2=2G，

AE=2AG=4石.

•.•ZAHG=60°,AH=FH,

：j^AHF是等边三角形，

.­.Z/Z4F=60°,

..NE4G=30°

:.ZGAB=ZFAB-ZGAF=90°

又轴，

AE〃x轴，

3)

.-.E(2-4A/3,-3).

故选[3D.

【变式2】（23-24八年级下•福建福州,期末）如图，某校园内有一个由两个相同的边长为2m的正六边形

围成的花坛，现要将这个花坛在原有的基础上扩建成一个菱形花坛，则扩建后菱形花坛的周长为m.

【答案】24

【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及正六边形的性质.注意解此题的关键是根

据题意作出辅助线，找出等边三角形.

根据题意和正六边形的性质得出是等边三角形，再根据正六边形的边长得出8G=GM=2(m),同

理可证出4尸=跖=2(m),再根据AB=3G+GF+AF,求出A3,从而得出扩建后菱形区域的周长.

解：如解图，回花坛是由两个相同的正六边形围成，

0AFGM=Z.GMN=120°,GM=GF=EF,

0ZBMG=NBGM=60°,

回是等边三角形，

0BG=GM=2(m),同理可证：AF=ER=2(m),

S\AB^BG+GF+AF=6(m),

团扩建后菱形区域的周长为6x4=24(m).

故答案为：24.

【题型4】与正多边形与圆有关作图；

【例4】(23-24九年级下•全国•课后作业)如图，AB,CD是。。中互相垂直的两条直径，以点/为圆心,

CM为半径画弧，与。。交于E、尸两点.

⑴求证：AE是正六边形的一边；

⑵请在图上继续画出这个正六边形.

【分析】本题考查了正多边形和圆，熟悉正六边形的性质、尺规作图是解题的关键.

（1）连接0E,得到“OE是等边三角形，从而得到AE是正六边形的一边；

（2）用以AE的长为圆规两脚间的距离，分别在圆上截得相等的弧长.

解：（1）证明：连接0E,如图.

团AE=OA=OE，

团"OE是等边三角形，

NAO石=60。，

回AE是正六边形的一边;

（2）解：如图所示，

用圆规截去AE弧的弧长，然后以E点、点8为圆心，。8为半径画弧，与。。交于G、女两点，顺次将点

4、E、G、B、H、尸连接起来，就得到正六边形.

【变式1】（23-24九年级下•海南省直辖县级单位•期中）如图，在边长为4的正五边形ABCDE中，按以

下步骤作图：①连接班；②以点C为圆心，适当长为半径画弧，交CB于点交C。于点N,③分别

以点M、N为圆心，大于;“N长为半径画弧，两弧相交于点尸；④作射线CF交线段BE于点G；⑤连

接。G；则四边形3CDG的周长为（）

A.12B.16C.18D.20

【答案】B

【分析】先求解正五边形的每一个内角为108度，再求解NAB£=NAEB=36。，证明N5CG=NCG6,可

得5c=5G=4,同理可得DG=OC=4,从而可得答案.

解：回边长为4的正五边形钻8£,

田AB=AE=CB=CD=DE=4,

360°

ZBAE=/ABC=/BCD=ZCDE=ZAED=180。-----=108°,

5

ZABE=ZAEB=36°f

团ZCBE=ZDEB=108。—36。=72°,

由作图可得：/BCG=NDCG=Lxl08o=54。，

2

0NCGB=180°-72°-54°=54°,

®NBCG=NCGB,

0BC=BG=4,

同理：DG=DC=4,

回四边形BCDG的周长为4x4=16；

故选B

【点拨】本题考查的是作角平分线，等腰三角形的判定与性质，正五边形的性质，掌握正多边形的性质是

解本题的关键.

【变式2】（2021九年级•安徽•专题练习）如图，正八边形ABCDEFGH内接于点P是GH上的任意

一点，则回CPE的度数为.

【答案】45°.

【分析】连接。DQCQE,利用正八边形的中心角的定义，计算圆心角回COE,根据圆心角与圆周角的关系定

理计算即可.

解：连接ODQCQE,

360°

0ECOD=fflDOE=-------=45",

8

00COE=450+45°=9O°,

EECPE=g[aCOE

=45".

故答案为：45。.

【点拨】本题考查了正多边形的中心角，圆心角与圆周角关系定理，连接半径，构造中心角是解题的关键.

【题型5】正多边形与圆有关综合.

【例5】(2023•陕西西安•一模)如图，正六边形ABCDE尸内接于。O.

⑴若P是心上的动点，连接3P,FP,求48尸尸的度数；

(2)已知△ADF的面积为2百，求。。的面积.

【答案】⑴60°(2)4万

【分析】此题考查了圆内解正六边形问题，解题的关键是掌握圆内解正六边形的性质及弦和圆周角之间的

关系.

(1)在co取一点P，连接BP、AP,FP、FO,利用弦和圆周角的关系即可求出的值;

(2)证明AAOF是等边三角形，利用三角函数求出。尸=也4尸，AD=2AF,再根据加的面积为26

求出圆的半径，即可求出面积.

解：(1)如图所示，在C。取一点P，连接3尸、AP.FP、FO,

团六边形ABCDEF是正六边形，

360°

SAF=AB,ZAOF=—~=60°,

6

团ZAPF=-ZAOF=30°,

2

团AF=AB,

0ZAPB=ZAPF=3O°,

^ZBPF=ZAPB+ZAPF=60°；

(2)团ZA。尸=60。，AO=FOf

团△AO尸是等边三角形，

0ZZMF=6O°；

^DF=^/3AF,AD=2AF,

0S=-AFxDF=—AF2=2y/3,

皿22

SAF=2,

即。。的半径为2.

面积为：nx*=4%

【变式1】（2024・山东济宁•中考真题）如图，边长为2的正六边形ABCDEb内接于。。，则它的内切圆

半径为（）

A.1B.2C.0D.73

【答案】D

【分析】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的判定和性质，勾股定理；

连接。4,OF,作OGLAP于G,证明AAOP是等边三角形，可得fG=；Ab=l,然后利用勾股定理求

出OG即可.

解：如图，连接OA,OF,作OGLA尸于G,

回AAOF是等边三角形,

^\OF=OA=AF=2,

SOG1AF,

SFG=-AF=1,

2

团比二也2二？=技

即它的内切圆半径为有，

故选：D.

【变式2】（2024•黑龙江绥化•模拟预测）如图，在圆内接正六边形ABCD斯中，BF,8。分别交AC于

点G,H,若该圆的半径为12,则线段GH的长为.

【答案】473

【分析】本题主要考查了圆内接正六边形.熟练掌握圆内接正六边形的性质，等边三角形的判断和性质,

含30。的直角三角形性质，是解题关键.含30。的直角三角形性质：三边是1:括:2的关系.

连接。1、0B,根据圆内接正六边形的性质得到是等边三角形，得到AB=12,推出

ZABF=NBAC=30°,NDBF=60°,得到ZABH=90°,得到=4岔，推出NBHG=60°,ZBGH=60°,

得到V3G”是等边三角形，即得GH=44.

解：连接（M、0B,

回六边形ABCDEP是圆内接正六边形，圆的半径为12,

回NAO3=60。，OA=OB=12,

团AAO5是等边三角形，

0AB=OA=12,

⑦BC=CD=DE=EF=FA,

ZABF=ZBAC=30°,ZDBF=60°,

团ZABH=ZABF+ZDBF=90°,

—AB=4A/3,

3

[?]ZBHG=90°-ABAC=60°,ZBGH=ZABF+ABAC=60°,

团V5GH是等边三角形，

田GH=BH=4日

故答案为：4\/3.

第三部分【中考链接与拓展延伸】

1、直通中考

【例1】（2024•四川・中考真题）如图，正六边形MCDE厂内接于。。，OA=1,则A3的长为（）

【答案】C

【分析】本题考查了正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，由正六边形的性质得到/AOB=60。,

得到为等边三角形，进而得到OA=AB=1,判断出AAO3为等边三角形是解题的关键.

解：团ABCDEF是正六边形，

360°

回NAO3=2-=60。，

6

回Q4=O5,

回&4O3为等边三角形，

回。4=AB=1,

故选：C.

【例2】（2023•湖南湘西•中考真题）如图，。。是等边三角形ABC的外接圆,其半径为4.过点8作3E，AC

于点£,点尸为线段班上一动点（点P不与2,E重合）'则+的最小值为——

【分析】过点P作连接CO并延长交A3于点尸，连接A0,根据等边三角形的性质和圆内接三

角形的性质得到。4=03=4,CF1AB,然后利用含30。角直角三角形的性质得到。£=：。4=2,进而

求出BE=30+EO=6,然后利用。9+工32=（?尸+/7）4（?/代入求解即可.

2

解:如图所示，过点尸作尸D_LAB,连接CO并延长交AB于点凡连接4。

回“BC是等边三角形，BELAC

0NABE=NCBE=-ZABC=30°

2

团。。是等边三角形ABC的外接圆，其半径为4

SOA=OB=4,CFJ.AB,

0ZOBA=ZOAB=30°

0ZOAE=ZOAB=-ABAC=30°

2

0BE1AC

0OE=-OA=2

2

团BE—BO+EO=6

电PDLAB,ZABE=30°

^PD=-PB

2

^\CP+-BP=CP+PD<CF

2

SCP+-BP的最小值为CF的长度

2

回44BC是等边三角形，BELAC,CFJ.AB

^\CF=BE=6

团+的最小值为6.

2

故答案为：6.

【点拨】此题考查了圆内接三角形的性质，等边三角形的性质，含30。角直角三角形的性质等知识，解题

的关键是熟练掌握以上知识点.

2、拓展延伸

【例1】(2024•河北石家庄•一模)如图，正六边形ABCDEF为0。的内接正六边形，过