高考数学专项复习：解三角形大题 常考题型归类（共10题型）（原卷版）

专题05解三角形大题

盛型大裳合

...

驳型大通关

一.正余弦定理解三角形

1.（2324高一下.重庆璧山.月考）在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,且

sinB+sinC=2sinA,86=7a.

（1）求sin3的值；

⑵求sin（A-B）的值.

2.（2324高一下•江苏扬州・月考）已知a力,c分别为AABC内角A,B,C的对边,

-也cosB)=6(b-c)

⑴求角A；

（2）若41BC的面积为石，周长为6,求

3.（2324高一下•广东湛江•开学考试）在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且

acosB+bcosA6+b~-c]

c2absinC

⑴求C;

(2)若6=3,c=JB,求AABC的面积.

4.(2324高一下.浙江金华•期中)在41SC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足^=ac,

sin(B-A)+sinC=2sinA.

⑴求证：sin3=tanA；

(2)求cos3的值.

5.(2324高一下.江西・月考)在AASC中，内角A,B,C的对边分别为的面积为S,且

(1)证明：b=2c；

⑵若bcosA--c,求cosC.

4

二.三角形的中线应用

1.(2324高一下•湖南常德•期中)在AABC中，角A,B,C的对边分别是。，b,c且

a~+c~-b~=•

(1)求角B的大小；

⑵若c-6=26cosA,。为AC的中点，BD=1,求

2.(2324高一下•江苏南通•期中)在AABC中，角A,B,C所对的边分别为。,4。，且bsin，：。=asin「.

(1)求角A；

(2)若。为48的中点，且4CD=bAB,求cos/ACB.

3.(2223高一下•湖北黄冈•期中)在AABC中，内角A,B,C的对边分别为“，b,c,点D是8c中

点.AD=\,(2a-c)cosB=bcosC.

⑴求B；

(2)再从条件①、条件②中选择一个作为已知条件，求边c.

条件①"RC的面积为3；条件②b=g.

2

4.(2324高一下•新疆乌鲁木齐•月考)记AABC的内角A民C的对边分别为风瓦c,满足

2c+b—2acosB=0.

(1)求角A;

(2)若。为2C上一点，且AB=2,AC=1,ZBAD90°,求AC40的面积；

(3)若a=2退，BAAC=~,A£)是AABC中线，求A£)的长.

5.(2324高一下.湖北・月考)已知”,b,c分别为锐角三角形ABC三个内角A8,C的对边，且

cosB+石sinB=.

a

⑴求A；

(2)若a=g,。为BC的中点，求中线AD的取值范围.

三.三角形的角平分线应用

1.(2223高一下•安徽滁州•期末)在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知

tzsinA-Z?sinB-csinC-Z?sinC=O.

(1)求角A的大小；

⑵若AB=5,AC=3,是△ABC的角平分线，求AD的长.

2.(2324高一下•辽宁・期中)在44SC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且________,在①

2S=V3ACAB;②？=容/;③当+*A,这三个条件中任选一个，补充在上面的

csinCsinesin8sinBsinC

横线上，并解答下列问题：

(1)求角A的大小；

(2)若是"RC的角平分线，且6=2,c=3,求线段的长；

⑶若b-c=Ba,判断AASC的形状.

3

3.(2324高一下•江苏扬州•期中)已知AABC的内角A,3,C的对边分别为a,O,c,且

\/3sin^B+^=-cos^B+^.

(1)求—3的值；

(2)给出以下三个条件：①a2_〃+c2+3c=o；②a=6,b=\；@SAABC=^^.这三个条件中仅有两个

正确，请选出这两个正确的条件并回答下面的问题：

①求边c的值；

②求/ABC的角平分线的长.

4.(2223高一下•湖北武汉•期中)已知AABC的内角，A,B,C的对边为a,b,c,且

3(a—b)3sinC—2sinB

csinA+sinB

(1)求cosA；

(2)若AASC的面积为2瓶,AD为内角A的角平分线，交BC边于点D,求线段AD长的最大值.

5.(2223高一下•云南・期末)在AABC中，角AB,C所对的边分别为a,"c,且满足.

(siriB+2sinC)AB.AC+sinB•BA-BC=0

⑴求角A；

(2)若。为BC的中点，且AD=右,AA4c的角平分线交3c于点E,且/£=；,求边长a.

四.三角形的高线应用

1.(2324高一下•江苏无锡・月考)在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,"c,己知a=7,c=8.

4

(1)若sinC=,,求角A的大小；

(2)若b=5,求AC边上的高.

2.(2324高一下.山西运城・月考)在AASC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且

bsinB+csinC-asinA6.4八

-------------------------------+——sinA=0.

2csinB----3

⑴求A;

(2)已知。=25，。是边8c的中点，且AE)工/W,求A。的长.

3.(2324高三上•广东佛山・月考)已知A/IBC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,b=yf2,c=2近,

。是BC上的中点，ADYAC.

(1)求/BAD的大小；

(2)E是A8上一点，DEJ.AB,求。E的长度.

c

4.(2324高一下•河南安阳•月考)在AABC中角A,B,C的对边分别为a,b,c,且。=2csinAtan彳.

2

(1)求角。的大小；

YYI

(2)若6=2,a=3,C7/为42边上的高，以为垂足，CH=mCB+nCA＜其中相，〃eR,求一的值.

n

5.（2324高一下•广东广州・月考）在“IBC中，角A,B,C的对边分别是a,"c,且满足

2b•cosB=c-cosA+a-cosC.

⑴求B；

(2)若〃=«,3。是AC边上的高，求8。的最大值.

五.多三角形与四边形解三角形

1.（2324高一下•广东佛山•期中）四边形ABCD中，AB//CD,记NACD=e,ADsinD=V3ACcosa,

ZBAC的角平分线与BC相交于点E,且AE=1,AB=6

⑴求cosa的大小;

⑵求BC的值.

2.（2324高一下•北京•期中）如图，在梯形ABC。中，AB//CD,

⑴求cosZABD；

(2)求BC的长.

3.（2324高一下•山东聊城・月考）如图，在平面四边形ABC。中，E为线段的中点，ZZMB=90°.

(1)若AD=AB=也ZABE=150°,ZC=30°,求AE-,

(2)若AD=A3=2,NC=45。，求AE的最大值.

4.（2324高一下.福建莆田•期中）记AASC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知

2Z?cosC=2a+c.

⑴求B；

（2）设b=9,若点/是边AC上一点，2AM=MC,且=求。，c.

5.（2324高一下•湖北武汉•月考）如图，AABC的内角A8,C的对边分别为已知

asinC+^acosC-73（&+c）=0,£）为线段BC上一点，且丽=2反.

⑴求角A；

（2）若4。=退，求AABC面积的最大值;

⑶若cosB=,求tanNBAD.

3

六.角度或三角值的最值范围

1.（2324高一下•贵州贵阳・月考）锐角AABC,角A,民C的对边分别是a,6,c.已知2）sinA-a=0.

⑴求B；

⑵求sinA+cosC的取值范围.

2.(2223高一下•河南南阳・月考)记AABC的内角的对边分别为"c,分别以。也c为直径的三个

半圆的面积依次为汇邑,S3,已知H+S?-邑=5万，C=-.

(1)求AABC的面积；

(2)求sinAsin8的最大值.

3.(2324高一下•河南周口・月考)在锐角AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知

出(a1+b2-c2)=26csinA.

⑴求角C；

(2)求siYA+cos2B的取值范围.

4.(2324•河北沧州•模拟预测)已知在中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且

asinA—csinC=(a—£>)sinB.

⑴求C；

⑵求sin?A+sin?8的最大值.

5.(2324高一下.福建福州•期中)AABC中，内角A、B、C的对边分别为。、》、c,且

cos2B—cos2C=2sinA(sinC—sinA).

(1)若A:C=1:3,试判断“IBC的形状，并说明理由；

(2)若6=2,则ULBC的面积为G，求“，。的值；

(3)若AASC为锐角三角形，求sinA+sin8+sinC的取值范围.

七.边长或周长的最值范围

1.(2324高一下•云南・月考)记AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知

I.f,o

一ccosA=b——acosC.

2I2)

(1)求角C的大小；

⑵若c=3,求a-6的取值范围.

2.(2324高一下•江苏盐城•月考)已知锐角AABC的内角A,B,C所对的边分别为瓦c,向量

m=(sinC,cosC),n=(2sinA-cosB,-sinB),且=_L五.

⑴求角c的值；

(2)若a=4,求6+c的取值范围.

3.(2324高一下•福建厦门•月考)已知AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量沆=(a,cosA),

n=(cosB,&-c),且庆・为=c-cosA,AABC外接圆面积为3兀.

⑴求A;

(2)求“RC周长的最大值.

4.(2324高一下•山西・月考)在AASC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知

括bcosC=2asinB->/3ccosB.

(1)求角B的大小；

(2)若c>8,b=l,求AABC周长的取值范围.

5.(2324高一下•辽宁・期中)在中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,b=2y[3,

(1)求角B的大小;

(2)若。＞0，求-ac+5c2的取值范围.

八.面积的最值范围

1.(2324高一下•吉林长春•期中)AASC的内角A,8,C的对边分别为a,b,c,设2&sinA=atanB

⑴求B;

(2)若a+c=»,试判断AABC的形状；

(3)若c=4,求锐角AASC的面积的取值范围.

2.(2324高一下•四川•期中)锐角AABC的内角A,B,C的对边分别为a,仇c,已知(2a-c)cosB=6cosC.

⑴求角8的值；

⑵若6=2后求AASC面积的取值范围.

3.(2324高一下•新疆乌鲁木齐•月考)AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,己知

2a—c

cosC=--------，点。在AC上，J!LAD=2DC,BD=2.

2b

⑴求角B；

(2)求AABC面积的最大值.

4.(2223高一下•福建泉州•期末)在平面四边形ABC。中，点民。在直线AC的两侧，AB=3,BC=5,四

3

个内角分别用A,8,。,。表不，cosB=-cosD=-.

⑴求/胡C；

⑵求△ABD与AACD的面积之和的最大值.

5.(2223高一下•安徽合肥・月考)已知融。为锐角三角形，角A民。所对的边分别为。,4c,且

acosC=c(l+cosA).

(1)求£的取值范围；

a

(2)若6=2,求AABC面积的取值范围.

九.三角形的外接圆与内切圆

1.(2324.全国.模拟预测)在JRC中，角A,B,。所对的边分别为。，b,c,且

・24.2八sin2Asin2B

sinAsmB=------------------.

4

⑴求c；

(2)若c=2,求AABC内切圆半径取值范围.

2.(2324高一下.江苏・专题练习)已知AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且

b+c=a(cosC+6sinC).

⑴求A

(2)若a=2,求AABC内切圆周长的最大值.

3.(2324.全国•模拟预测)已知AABC中，角A,B,C的对边分别是。，b,c,

43b-csmA=y/3acosC■

(1)求角A的大小；

(2)若a=7,AABC外接圆的半径为R,内切圆半径为,，求”的最小值.

4.（2223高一下•河南平顶山•期末）如图所示，四边形A3C。的外接圆为圆O.BC=2,AC=3,tanB=_20.

(1)求sin/ACB；

(2)若NCOD=NA8,求AD的长.

5.（2324高一下•湖北・月考）如图所示，圆内接四边形ABCD中，AB=®AD=2«,C为圆周上一动

点，ZBC£>=1.

（1）求四边形ABCD周长的最大值;

（2）若岩=；,求AC的长.

十.解三角形新定义问题

1.（2324高一下.安徽・月考）已知在任意一个三角形的三条边上分别向外做出三个等边三角形，则这三个

等边三角形的中心也构成一个等边三角形;我们称由这三个等边三角形中心构成的三角形为其外拿破仑三角

形.在锐角AABC中，角4B、C所对的边分别为服b、。,且°=痣，以"LBC的边3C、CA.分别向

外作的三个等边三角形的中心分别记为4、4、G，且△48。的面积为石，记R为AABC的外接圆半

径.

⑴若R=n，求麻.印;

⑵若Rwl布,求AABC面积的取值范围.

2.(2324高一下•安徽安庆・月考)著名的费马问题是法国数学家皮埃尔・德・费马(1601—1665)于1643年

提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”费

马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当△ABC的三个内角

均小于120。时，则使得NAPB=N3PC=NCPA=120。的点P即为费马点.在△ABC中，角A,B,C的对

边分别为“,瓦。，且cos2=2ac°sA一当若P是”WC的“费马点"，a=25b〈c.

ctanC

(1)求角A；

⑵右尸4P8+P8-PC+PC-PA=-4，求AASC的周长；

(3)在(2)的条件下，设〃x)=4，-%2*+|西|+|而|+|先若当xw[0,l]时,不等式/(元)20恒成立，

求实数机的取值范围.

3.(2324高一下•山东・月考)克罗狄斯・托勒密(约90168年)是希腊著名的数学家、天文学家和地理学

家.他一生有很多发明和贡献，其中托勒密定理和托勒密不等式是欧几里得几何中的重要定理.托勒密不等

式内容如下：在凸四边形A3c。中，两组对边乘积的和大于等于两对角线的乘积，即

ADBC+ABCD>ACBD,当A5CD四点共圆时等号成立.已知凸四边形ABCD中，AB=AD=1.

(1)当△BCD为等边三角形时，求线段AC长度的最大值及取得最大值时△BCD的边长;

⑵当2sinVDBC+3sinVBDC=2sin/£>BCsin/BCDsin/CDB+sin?/BCD时，求线段AC长度的最大值.

4.（2324高一下•山东济宁・期中）在"1SC中，/A,NB,NC对应的边分别为。，b,c,

2sinAsinBsinC=\/3（sin2B-cos2C+cos2A）

⑴求A；

⑵若6=l,c=3,。为线段BC内一点，且8D:OC=1:2,求线段AD的长；

（3）法国著名科学家柯西在数学领域有非常高的造诣；很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如对于

任意的占,%，%，%eR,