2025年上海市数学高考一轮复习：等式与不等式（讲义）含详解

专题02等式与不等式（讲义）

01知识梳理

一、等式与不等式

1.不等式的依据：实数的有序性，即a>b«a-b>0;a<b<=>a-b<0;a=b«a-b=0;

2.等式与不等式的性质：

性质等式不等式

意义a二bG-b=0a>b=a-b>0;a<b=a-b<0

传递性a=b,b=cO二ca>b,b>c=一a>c

加法性质a=bG+c=b+ca>b^a+c>b+c

推论a=b,c=d一a+c=b+da>b,c>d>a+c>b+d

推广上-1

乘法性质a=b一ac=bca>b,c>0-^ac>bc;a>b,c<0^ac<bc

推论a=b,c=d=ac=bda>b>0,c>d>0-^ac>bd

a1=b,(i£N,i>2)a1>bi>0(ieN,i>2)

推广

-a?...an~bib2一a1a2...an>bib2…bn。

...bn

乘方性质a=b,n£N,n>l^an=bna>b>0,n£N,n>l>an>bn>0

开方性质

a=b>0,n£N,n>l^Va=Vb>0a>b>0,n£N,n>2^>Va>Vb>0

|

一】I

・》—・一

a8/0a>b,ab>0社K

倒数性质■h

L证明不等式的常用方法有：作差法、作商法、综合法、分析法、反证法、放缩法.

2.有关分式的性质

bb+mbb-m

(1)若a>b>0,m>0,贝！］一<----；->--------(Z?-m>0).

aa+maa-m

,,厂11

⑵右ab>0,且。泌气〈彳

二、基本不等式

..-a+b

1.基本不等式：y]ab<T^~

⑴基本不等式成立的条件:->0,Z?>0.

(2)等号成立的条件：当且仅当归立时，等号成立.

a+b_

(3)其中M叫做正数a,b的算术平t均数，板叫做正数a,b的几何平均数.

2.基本不等式的证明

(1).代数证法

要证J而<"b,只要证2，而<a+b①

2

要证①，只要诵a-bWO②

要证②，只要证-(VI-而24(x1)

要证③，只要证^-Vb)2>0@

显然④成立，当且仅当i=b时，④中的等号成立

(2).几何证法

如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD,BD.可证

△ACD-ADCB,因而CDZab.由于CD小于或等于圆的半径，用不等式表示为石显然，当且仅当点

C与圆心重合，即当a=b时，上述不等式的等号成立.

例已知a,b,c都是正数，证明：,卜，)(a+b+b+Ja+J2

证明：

,3—岛+击+土)

••拈皓曲+隹+匍+冷密归C+2+2+y，

即Q+b+c）（士

\aTOb-rca-rd2

三、几个重要不等式

1.几个重要的不等式

（1>2+b2>2ab（a,b^R）.（2），号2（。,b同号）.

（a+Z?\H+Zrfa+

（3）^<L—J2（tz（&GR）.,beR）.

以上不等式等号成立的条件均为a=b.

四、最值定理

⑴已知x,y都是正数，如果积孙等于定值P,那么当x=y时，和x+y有最小值2乖.

（2）已知尤,y都是正数，如果和尤+y等于定值S,那么当尤=y时，积孙有最大值为乙

注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”.

五、三角不等式

@|a+b|<|a|+|b|（当且仅当ab>0时，等号成立）

@|a-b|<|a|+|b|（当且仅当ab<0时，等号成立）

⑧||a|-|b归a+b|（当且仅当ab<0时，等号成立）

@||a|-|b||<|a-b|（当且仅当ab>0时，等号成立）

即a、b£R=>||a|-|b||<|a±b|<|a|+|b|

六、一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表

判别式

/>0J=O/<0

4=b2-4ac

y

♦

二次函数y-ax2+bx+\1

卜4

c（a>0）的图象O2

0诒电金or-^

有两相等实

有两相异

—元二次方程ax1+bx+c没有

根Xl=X2

实根为,

=O(〃>O)的根b实数根

X2（X1<X2）二-五

“x2+for+c>0(〃>O)的解集{小<X1或X>X2}{如¥%1}{x|x^R}

ax1+Z?x+c<0(〃>0)的解集{X\X\<X<X2}00

七、分式不等式

(1)手〉O=/(x)・g(x)〉O

g(x)

(2)器<0=/(x),g(x)<0

(3)^^200f(x)»g(x)>0

g(x)g(x)丰0

f(x)»g(x)<0

(4)

g(x)g(X)H。

八、绝对值不等式

(1)|/(x)|>|g(x)|o"(切2>[g(初2

(2)|/(x)|>g(x)(g(x)>0)Of(x)>g(x)或f(x)<-g(x)；

|/(刈<g(x)(g(x)>0)o-g(x)</(x)<g(x);

(3)含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解

九、一元高次不等式及其解法

1、概念

只含有一个未知数，最高次项的次数高于二次的不等式称为高次不等式.

2、一元高次不等式的解法

一元高次不等式的常用解法是数轴标根法，又称穿针引线法，其具体步骤为

1.化形：将不等式的一侧化为一次因式或二次不可约因式的积，且每个因式最高次项的系数为正，另一侧化为

0;

2.求根，标根；求出各因式所对应的方程的根，在数轴上依次标出

温馨提示:要仔细区分点的虚实.

3.画曲线；数轴的最右端上方起，从右到左依次经过各个根画曲线；

温馨提示:奇次重根穿过数轴，偶次重根穿而不过.

4.写解集：在数轴上画出曲线后，根据不等号的方向，写出不等式的解集.

温馨提示：

1.考虑端点是否能取到；2.各因式中最高次项系数必须为正.

例：不等式(X2-9)(x-2)X)的解集是.

答案：{x|-3<xV2或x>3}

十、解含参数的一元二次不等式的步骤

⑴根据二次项系数为正、负及零进行分类.

⑵根据判别式/与0的关系判断根的个数.

(3)有两个根时,有时还需根据两根的大小进行讨论.

十一、恒成立问题求参数的范围

L一元二次不等式的恒成立问题对一元二次不等式的恒成立问题的考查常有以下几种形式：

(1)在R上恒成立；

(2)在给定区间上恒成立；

(3)给定参数范围的恒成立.

处理此类问题的常用方法有：①分参法；②函数法；③变换主元法.

2.一元二次不等式在R上恒成立的条件

a>0,

(1)不等式ax2+bx+c>0(。川)对任意实数x恒成立白

J<0.

[〃<(),

(2)不等式ax2+bx+c<0(存0)对任意实数x恒成立国

[j<0.

注意：只要二次项系数含参数，必须讨论二次项系数为零的情况.

3.给定区间上的恒成立问题的求解方法

⑴函数法：若为0>0在给定集合上恒成立，可利用一元二次函数的图象转化为等价不等式(组)求范围.

(2)分参法：转化为函数值域问题，即已知函数危)的值域为[加，n\,贝！]加)加恒成立不工加仑。；即m>a；j{x)<a恒

成立=^(x)max0Q,BPn<a.

4.给定参数范围的恒成立问题解法

解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数.一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁

就是参数.即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解.

02跟踪训练

一、单选题

1.已知则下列不等式正确的是()

%

A.l-x<l-yB.x2>y2C.|-I>lD.xz>yz

y

2.若a<人<0,则下列不等式一定成立的是（）

11

A.>—B.a1<ab

a-bb

bb+1

C.<D.an>bn

aa+1

3.下列不等式恒成立的是（）

A.%与2口,Ja+b^

B.ab>\------

abI2)

C.a+b>2J\ab\D.a2+b2>-2ab

4.已知a,b为实数,且〃力力。，则下列命题错误的是（）

―什a+b、

A.右a>0,b>0,则>4abB.若---->\[ab,则。>0,b>0

22

.什a+b

C.右aib,则>y[abD.右2>y[ab,则疝b

2

5.不等式（x+3）（x-l『（x—2）&0解集为（)

A.{%|%工一3或X22}B.{%|X4—3或尤21}

C.{x\-3<x<l^x>2]D.{%|工二一3或尤=1或无22}

函数y=3x+g（x>o）的最小值是（）

6.

A.4B.5C.3亚D.2A/3

7.已知a>0,则的最小值为（）

a

A.2B.3C.4D.5

8.函数,=/+/_5（尤2>5）的最小值为（)

A.2B.5C.6D.7

9.已知正数。，匕满足a+2Z?=l,则（）

111

A.ab>-B.ab>-C.0<ab<-D.0<ab<—

8888

10.,若a>0,b>0,^a+b=ab,则2a+Z?的最小值为()

A.3+20B.2+20C.6D.3-2V2

71

11..已知实数a>l,b>0,满足a+b=3,则=+:的最小值为()

a-1b

A3+2>/2B3+20「3+4近D3+4近

42'"2,4

12..对任意给定的实数a,b,有时-网且等号当且仅当（）成立.

A.ab^OB.a(a—&)>0C.ab>0D.b(a—b)>0

13.己知。都是实数，实数c满足c=|a+目一司,实数d满足d=|2a,|判断以下哪个选项正确（）

A.对任意的实数。、b,恒有/成立B.若c=d,则a6W0

C.若c=d,则a20,b>0D.不存在实数a、b,使得cWd

14.《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过

这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点/在半

圆。上，点C在直径A3上，且口，设AC=a,BC=b,则该图形可以完成的无字证明为（）

a+

A.^>4ab^a>0,Z?>0)B.a1+b2>2y[ab(«>0,Z?>0)

2

。

Ita+b

C.—^―<yfab{ct>0,Z?>0)D.<(tz>0,Z?>0)

a+b2

15.己知关于x的不等式Y一依+bwo的解集为何2<彳<3},则关于x的不等式d-6元+a<（）的解集为（）

A.|x|2<x<3}B.1x|l<x<3}

C.{x|2<x<5|D.{x|l<x<5|

16.已知62+6x+c>o的解集为{x|-l<x<2},则不等式。卜?+1）+仇x-l）+c<2办的解集为（）

A.{x|0<x<3}B.{九|%>0}

C.{x[%<0或x〉3}D.[x\x>3]

17.已知甲一小乙：关于“的不等式昔<°（。的，若甲是乙的必要不充分条件,则。的取值范围是（）

A.a>lB.a>\C.a<0D.a<0

18.关于x的方程a?+（a+2）x+9a=0有两个不相等的实数根为,巧,且玉<1<々，那么。的取值范围是（）

22

C.。<—D.-----<。<0

711

19.设X,y,z>O,4z=4x+—,Z?=4y+-,c=4z+—,贝!Ja,。,c三个数()

yzx

A.都小于4B.至少有一个不大于4

C.都大于4D.至少有一个不小于4

+

20.已知左eN*,x,y,zeR,若左（肛+yz+zx）>5（工2十%?）,则对此不等式描述正

确的是

A.若％=5,则至少存在一个以x,y,z为边长的等边三角形

B.若左=6,则对任意满足不等式的x，y，z鄢奇库以x,y,z为边长的三角形

C.若k=7,则对任意满足不等式的x,%z都有性以x,y,z为边长的三角形

D.若k=8,则对满足不等式的x，y，z不奇库以羽y,z为边长的直角三角形

二、填空题

21.已知实数X，y满足-1<尤<、<1,则x+y的取值范围是.

22.已知：a>b>c>0,A=ab+be,B=ac+b2,C=a2+b2,贝！JA、B、C大小关系是.

23.若实数羽y,z2O,且％+y+z=4,2%-y+z=5,则M=4%+3y+5z的取值范围是.

24.不等式x：9x+ll」7的解集为___.

厂一2尤+1

25.关于彳的不等式5x+l+J2尤-1>4x-2+4-1的解集是.

26.函数丫=%+上7(x>2)取得最小值时的x值为_____.

x+1

27.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今

有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问出南门几何步而见木？”其算法为：东门南到城

角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门

x里见到树，则.若一小城，如图所示，出东门1500步有树，出南门1200步能见到此树，则该

小城的周长的最小值为________里(注：1里=300步).

函数〃》4)=)+，,+£］的最小值为£,则实数机取值的集合

28.已知正实数x,y满足x+y=m,

为.

X

29.己知实数x，y满足段-24+卜-才=|2*7|且尸0,则］的最小值是

30.己知关于x的不等式k+U+|x-a归5有解，则实数。的取值范围为.

31.对任意实数无，若不等式归-1|+归-恒成立，则实数。的取值范围是

32.若关于x的不等式|尤-1|-|尤-2性片+a+l有解，则实数。的取值范围是.

33.已知函数〃力=/+2依+8(a>0),集合A=｛中(尤)4。｝,<8|,若A=3w0,则"的取

值范围为.

34.解不等式:

35.解下列一元二次不等式：

⑴2/-2缶+1>0;

(2)炉+x—1<0;

(3)-3X2+5X-4>0;

(4)(2X-1)2<4；

(5)(x+1)(尤+2)<(x+l)(2—x)+l；

(6)(3x+2)(无+2)>4.

36.⑴求不等式|3-2x闫x+l|的解集；

(2)已知a<4,若卜―4|+归-4的最小值为3,求实数“的值；

(3)若不等式|2a+l|+|2a-1以2a+阂+|2a-时对于任意非零实数°恒成立，求实数x的取值范围.

37.建设生态文明是关系人民福祉、关乎民族未来的大计，是实现中国梦的重要内容.习近平指出：“绿水青山就

是金山银山”.某乡镇决定开垦荒地打造生态水果园区，其调研小组研究发现：一棵水果树的产量w(单位：千克)

5X2+10(0<X<2)

与肥料费用10x(单位：元)满足如下关系：w(x)=<,33530.此外，还需要投入其它成本(如施肥的

-----------(2<x<5)

I8x

人工费等)20%元.已知这种水果的市场售价为16元/千克，且市场需求始终供不应求.记该棵水果树获得的利润

为"X)(单位：元).

(1)求/(X)的函数关系式

(2)当投入的肥料费用为多少时，该水果树获得的利润最大？最大利润是多少？

38.已知函数〃xbSi+l)%2-(m-l)x+m-l.

(1)若不等式/"(%)<1的解集为R,求m的取值范围；

⑵解关于尤的不等式/(x)>(m+l)^；

⑶若不等式/'(x"。对一切xe恒成立，求机的取值范围.

39.如果函数y=/(x)满足以下两个条件，我们就称y=/(x)为L型函数.

①对任意的xe(o,l),总有/(x)>0；

②当士>0,%>。，占+工2<1时，总有了(占+/)</(占)+/(工2)成立.

⑴记g(无)=f+g,求证：y=g(x)为L型函数；

(2)设b^R,记0(%)=1no+b),若y=p(x)是L型函数，求b的取值范围；

⑶是否存在L型函数y="%)满足：对于任意的相«。,4),都存在毛£(0,1),使得等式―(%)=加成立？请说明理由.

专题02等式与不等式（讲义）

01知识梳理

二、等式与不等式

1.不等式的依据：实数的有序性，即a>b=a-b>0;a<b=a-b<0;a=b=a-b=。；

2.等式与不等式的性质：

性质等式不等式

意义a=b=a-b=0a>b=a-b>0;a<b=a-b<0

传递性a=b,b=c=a=ca>b,b>c=一a>c

加法性质a=b=a+c=b+ca>b=a+c>b+c

推论a=b,c=d一a+c=b+da>b,c>d>a+c>b+d

推广上-1

乘法性质a=b一ac=bca>b,c>0-^ac>bc;a>b,c<0^ac<bc

推论a=b,c=d=ac=bda>b>0,c>d>0-^ac>bd

a1=b,(ieN,i>2)ai>bi>0(iEN?i>2)

推广

-a?...an~bib2一a1a2...an>bib2…bn。

...bn

乘方性质a=b,n£N,n>l^an=bna>b>0,n£N,n>1>an>bn>0

开方性质

a=b>0,n£N,n>l->Va=Vb>0a>b>0,n£N,n>2^>Va>Vb>0

一】I|

・》—・一

a8/0a>b,ab>0社K

倒数性质■h

L证明不等式的常用方法有：作差法、作商法、综合法、分析法、反证法、放缩法.

2.有关分式的性质

bb+mbb-m

(1)若a>b>0,m>0,贝！］一<----；->--------(Z?-m>0).

aa+maa-m

,,厂11

(2)右ab>0,且。>人0,<分

二、基本不等式

..-a+b

1.基本不等式：y]ab<T^~

⑴基本不等式成立的条件:->0,Z?>0.

(2)等号成立的条件：当且仅当归立时，等号成立.

a+b_

(3)其中M叫做正数a,b的算术平t均数，板叫做正数a,b的几何平均数.

2.基本不等式的证明

(1).代数证法

要证J而<"b,只要证2，而<a+b①

2

要证①，只要诵a-bWO②

要证②，只要证-(VI-而24(x1)

要证③，只要证^-Vb)2>0@

显然④成立，当且仅当i=b时，④中的等号成立

(2).几何证法

如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD,BD.可证

AACD-ADCB,因而CD=Wb.由于CD小于或等于圆的半径，用不等式表示为2'显然，当且仅当点

C与圆心重合，即当a=b时，上述不等式的等号成立.

例已知a,b,c都是正数，证明：,卜，)(a+b+b+Ja+J2

证明：

,3—岛+击+土)

••拈皓曲+隹+匍+冷密归C+2+2+y，

即Q+b+c）（士

\aTOb-rca-rd2

三、几个重要不等式

1.几个重要的不等式

（1>2+b2>2ab（a,b^R）.（2,+号2（。,b同号）.

（a+Z?\H+Zrfa+

（3）^<L—J2（tz（&GR）.,beR）.

以上不等式等号成立的条件均为a=b.

四、最值定理

⑴已知x,y都是正数，如果积孙等于定值P,那么当x=y时，和x+y有最小值2乖.

（2）已知尤,y都是正数，如果和尤+y等于定值S,那么当尤=y时，积孙有最大值为乙

注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”.

五、三角不等式

@|a+b|<|a|+|b|（当且仅当ab>0时，等号成立）

@|a-b|<|a|+|b|（当且仅当ab<0时，等号成立）

⑧||a|-|b归a+b|（当且仅当ab<0时，等号成立）

@||a|-|b||<|a-b|（当且仅当ab>0时，等号成立）

即a、beR=>||a|-|b|^|a±b|<|a|+|b|

六、一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表

判别式

/>0J=O/<0

4=b2-4ac

y

♦

二次函数y-ax2+bx+\1

卜4

c（a>0）的图象O2

0诒电金or-^

有两相等实

有两相异

—元二次方程ax1+bx+c没有

根Xl=X2

实根为,

=0(〃>0)的根b实数根

X2（X1<X2）二-五

ax2+for+c>0(〃>0)的解集{小<X1或X>X2}{如¥%1}{x|x^R}

ax1+Z?x+c<0(〃>0)的解集{X\X\<X<X2}00

七、分式不等式

⑴券〉。"办g（x）〉。

(2)得。…g(x)<0

(3)^^200f(x)»g(x)>0

g(x)g(x)丰0

f(x)»g(x)<0

(4)

g(x)g(X)H。

八、绝对值不等式

(1)|/(x)|>|g(x)|o"(切2>[g(初2

(2)|/(x)|>g(x)(g(x)>0)Of(x)>g(x)或f(x)<-g(x)；

|/(刈<g(x)(g(x)>0)o-g(x)</(x)<g(x);

(3)含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解

九、一元高次不等式及其解法

1、概念

只含有一个未知数，最高次项的次数高于二次的不等式称为高次不等式.

2、一元高次不等式的解法

一元高次不等式的常用解法是数轴标根法，又称穿针引线法，其具体步骤为

1.化形：将不等式的一侧化为一次因式或二次不可约因式的积，且每个因式最高次项的系数为正，另一侧化为

0;

2.求根，标根；求出各因式所对应的方程的根，在数轴上依次标出

温馨提示:要仔细区分点的虚实.

3.画曲线；数轴的最右端上方起，从右到左依次经过各个根画曲线；

温馨提示:奇次重根穿过数轴，偶次重根穿而不过.

4.写解集：在数轴上画出曲线后，根据不等号的方向，写出不等式的解集.

温馨提示：

1.考虑端点是否能取到；2.各因式中最高次项系数必须为正.

例：不等式(X2-9)(x-2)X)的解集是.

答案：{x|-3<xV2或x>3}

十、解含参数的一元二次不等式的步骤

⑴根据二次项系数为正、负及零进行分类.

⑵根据判别式/与0的关系判断根的个数.

(3)有两个根时,有时还需根据两根的大小进行讨论.

十一、恒成立问题求参数的范围

L一元二次不等式的恒成立问题对一元二次不等式的恒成立问题的考查常有以下几种形式：

(1)在R上恒成立；

(2)在给定区间上恒成立；

(3)给定参数范围的恒成立.

处理此类问题的常用方法有：①分参法；②函数法；③变换主元法.

2.一元二次不等式在R上恒成立的条件

a>0f

(1)不等式ax2+bx+c>0(。邦)对任意实数x恒成立

J<0.

a<0,

(2)不等式ax2+bx+c<0(存0)对任意实数x恒成立

J<0.

注意：只要二次项系数含参数，必须讨论二次项系数为零的情况.

3.给定区间上的恒成立问题的求解方法

⑴函数法：若加)>0在给定集合上恒成立，可利用一元二次函数的图象转化为等价不等式(组)求范围.

(2)分参法：转化为函数值域问题，即已知函数危)的值域为，n\,贝［］加)加恒成立,即m>a；j{x)<a恒

成立=^/(x)max0Q,BPn<a.

4.给定参数范围的恒成立问题解法

解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数.一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁

就是参数.即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解.

02跟踪训练

一、单选题

1.已知则下列不等式正确的是()

%

A.l-x<l-yB.x2>y2C.|-I>lD.xz>yz

y

【答案】A

【分析】利用不等式的性质可判断A项正确，D项错误，通过举反例可说明B,C两项错误.

【解析】%一xv一x+1v—y+1,即1—%vl—y,故选项A正确；

X—11

当尤=-L,y=-2时，满足x>y,但炉=1,9=4,此时Y<y2,1-1=1—|=-<1,故选项B,C错误;

y-22

当z<0时，由x>y可得xzcyz,故选项D错误.

故选:A.

2.若。<6<0,则下列不等式一定成立的是()

A.------>—B.a2<ab

a-bb

bb+1

C.—<-------D.an>hn

【答案】c

【分析】对A、D,可借助特殊值法举出反例即可得；对B、C,借助不等式的基本性质即可得.

【解析】对A,令a=-2,b=-l,有」===-!=:，故A错误；

a-b-1b

对B,由，<b<0,故”2>。人>0,故B错误；

对C,—<------|Z?|(|<7|+1)<|a|(|Z>|+1)|a|\b\+\b\<\a\\b\+\a\,

dIA

即只需，回<同，由。<6<0,故例<时,故c正确;

对D,令〃=0,有优=k=1,故D错误.

故选：C.

3.下列不等式恒成立的是()

2

A.脸屋2a+b

B.ab>

ab2

C.a+b>2J\ab\D.a2+b2>-2ab

【答案】D

【分析】利用特殊值判断A、C,利用重要不等式判断B,作差可判断D；

【解析】解：对于A：若。=1、6=-1时2+/=一2,故A错误；

ab

对于B：因为(a-6)220,所以所以」+b：+2ab06,即［等当且仅当。=6时取等号,

故B错误;

对于C：若〃=—1、b=-l时，a+干=一2<2^岗=2,故C错误;

对于D：因为(a+b)&0,所以储+〃+2“620,HPa2+b2>-2ab>当且仅当。=6时取等号，故D正确；

故选：D

4.已知a,6为实数，且。力片0,则下列命题傕误的是()

A.若a>0,b>0,则“；"B.>4ab,贝！］a>0,b>0

C.若a'b,则土！2>yjabD.若———>yfab,则ob

22

【答案】C

【分析】对于A,利用基本不等式判断，对于B,由己知结合完全平方式判断，对于C,举例判断，对于D,利用

基本不等式判断

【解析】对于A,由基本不等式可知当a>0,b>0时，皆2府,当且仅当a=6时取等号，所以A正确，

a+b>0/r—L\2…

对于B,因为疝，a-b^O,所以Ob〉。，且>0,所以a>0,b>0,当且仅当a=b时取等

号，所以B正确，

对于C,若。=-l,6=T,则乎=W<疝=4=2,所以C错误，

22

对于D,因为手><石，a-b^O,所以a+b>0.—/LL\2

Ob〉。，5.a+b-2y[ab>0,所以a>0,〃>。，>0,所以

a>0,b>0且a】b,所以D正确，

故选：C

5.不等式(彳+3)(%-1)2(%-2)320解集为()

A.{x|xV-3或xN2}B.{x|xV-3或xNl}

C.{x|-34x41或xN2}D.{x|-3或x=l或2}

【答案】D

【分析】解高次不等式使用穿根法求解.

【解析】根据高次不等式的解法，使用穿根法如图得不等式的解集为{尤1》<-3或犬=1或尤22}

故选：D.

6.函数y=3无+1(x>0)的最小值是()

A.4B.5C.3&D.2月

【答案】D

【分析】利用基本不等式即可得解.

【解析】因为%>0,

所以y=3x4—N2.3x,-=2^/^,

xVx

当且仅当3x=,，即X=走时，等号成立.

X3

则y=3九+：（%>。）的最小值是26.

故选：D.

7.已知。>0,则QH的最小值为（）

a

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】用基本不等式求解即可.

【解析】因为〃>0,

所以—+1=3,当且仅当〃=—即a=1时取等号；

a\aa

故选：B

8.函数>=》2+总导（尤2>5）的最小值为（）

A.2B.5C.6D.7

【答案】D

【分析】由基本不等式即可求解.

【解析】由—>5可得炉-5>0,所以丫=工2+^^=x2一5+——+522、卜2一5）（」一］+5=7,

x-5x-5丫\/-5J

当且仅当炉-5=，，即x=C时等号成立，

故选:D

9.已知正数。，力满足a+2fo=l,则（）

A.ab>—B.ab>-C.0<ab<—D.0<ab<—

8888

【答案】c

【分析】根据基本不等式直接计算即可.

【解析】由题意得，a>0,b>0,则。6>0,a+2b=l>2^/2ab,即

8

当且仅当4=功，即。=1,6=9时等号成立.

24

故选：C

10.若a>0,b>0,且=则2a+Z?的最小值为（）

A.3+2应B.2+2也C.6D.3-20

【答案】A

【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.

【解析】a>0,b>0,由a+=得'=

ab

2fl+Z>=(2«+Z?)f-+->|=2+1+—+->3+2.=3+272,

\ab)ba\ba

当且仅当学=2,即a=l+变力=l+&时，等号成立，

ba2

故2a+8的最小值为3+2后.

故选：A

71

11.已知实数a>l,10,满足a+6=3,则=7+7的最小值为()

a—1b

A3+272n3+2&c3+4应n3+40

A.----------B.-----------C.-----------L).------

4224

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得.

【解析】实数a>l,b>0,由a+Z?=3,得(〃—l)+b=2,

因止匕^^+:=;[(〃-勿(一^+)^^)之:(2ba-lx3+2夜

1)+:=((3+-^+3+2,丁)=^,

a—1b2a—1b2a-