河北省邯郸市部分示范性高中2024届高三下学期三模数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省邯郸市部分示范性高中2024届高三下学期三模数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数，则（）A.5 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，故，故.故选：D.2.已知，是椭圆的两个焦点，M为C的顶点，若的内心和重心重合，则C的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如图所示，为椭圆的顶点，且的内心和重心重合，所以为等边三角形，又因为，所以，即.故选：C.3.若，则（）A.4 B.3 C.2 D.1〖答案〗A〖解析〗令，得，又，所以.故选：A.4.我国铁路百年沧桑巨变，从尚无一寸高铁，到仅用十几年高铁建设世界领先，见证了中华民族百年复兴伟业.某家庭两名大人三个孩子乘坐高铁出行，预定了一排五个位置的票（过道一边有三个座位且相邻，另一边两个座位相邻）则三个孩子座位正好在过道同一侧的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗五个人随机坐共有种可能，其中三个孩子座位正好在过道同一侧有种可能，故三个孩子座位正好在过道同一侧概率为.故选：A.5.已知平面，和直线m，n，若，，则“，”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗当，，，是两个不同平面，，时，或，相交，反过来，时，，，则，.故“，”是“”的必要而不充分条件.故选：B.6.平行四边形中，，，以C为圆心作与直线BD相切的圆，P为圆C上且落在四边形内部任意一点，，若，则角的范围为（）A B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，当在直线上时，，当圆与的切点在延长线上时，圆落在四边形内部部分与直线没有公共点，此时，当恰好切于点时，则，又，，所以，则，所以，则，故.故选：B.7.已知偶函数与其导函数定义域均为，为奇函数，若2是的极值点，则在区间内解的个数最少有（）个.A.7 B.8 C.9 D.11〖答案〗D〖解析〗为偶函数，所以，求导得，所以为奇函数.定义域均为，故，因为为奇函数，所以，故，即关于点对称，两边求导得，即，①所以，故，②将替换为得，故，的周期为3.故为周期为3的奇函数.故.又2是的极值点，得，因为为周期为3，故，由得，因为为周期为3，故，.又为奇函数，，得，所以关于点对称，故，且，由①得，又，由②得，又，故在内解最少有，最少有11个.故选：D.8.已知数列满足，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，得，所以，，，，（，），累乘可得，又，得.设①，则②，①-②得，，，.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知随机变量，则（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗由，则，，故A、C错误；，故B正确；，故D正确.故选：BD.10.已知方程的正根构成等差数列，则（）A. B. C.2 D.4〖答案〗ACD〖解析〗法一：由，得，即，由的图象可知，的值为时，正根构成等差数列，得，故A、C、D正确；法二：，其周期为，设，则，，其图象如图所示.的正根构成等差数列，得、时成立，故C、D正确；且，，，，时，值也满足题意，又，得，故A正确.故选：ACD.11.函数有三个不同极值点，且.则（）A. B.C.的最大值为3 D.的最大值为1〖答案〗BCD〖解析〗对于A：有三个不同极值点，则有三个不等实根为，则定有三个解.设，当，恒成立，得单调递增，不会有三个解，所以，，得在单调递增，在单调递减，在单调递增.定有三个解恒成立，因为，所以恒成立.即，得，故A错误；对于D：设，故，，，故，故D正确；对于B：又，故B正确；对于C：又，，，则，又，放，的最大值为3，故C正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.抛物线上的动点P到点的距离等于它到C的准线距离，则P到焦点距离为______.〖答案〗3〖解析〗根据抛物线的定义可得：抛物线上的点P到焦点的距离等于点P到准线的距离.由抛物线可知焦点坐标为；设点P坐标为.因为抛物线上的动点P到点的距离等于它到C的准线距离，所以点P到焦点的距离等于点P到点的距离，则，解得：.所以点P到焦点距离为.13.如图装满水的圆台形容器内放进半径分别为1和3的两个铁球，小球与容器底和容器壁均相切，大球与小球、容器壁、水面均相切，此时容器中水的体积为______.〖答案〗〖解析〗大球体积，小球体积.圆台的高为.根据切线长定理可得：，.由图易知四边形，四边形，四边形，四边形两两之间相似，即.解得：，则，则圆台体积为，则水的体积为：.14.已知点，则点P到动直线的最大距离的最小值为______.〖答案〗〖解析〗由，得，又，当时，，当时，，令，的定义域为，，解得：，令，可得，令，可得，所以在上单调递减，在上单调递增，，函数与图象如下图，由此可知：可知点位于图中阴影部分区域，则点到直线最大距离的最小值为函数上切线斜率为1的点到直线的距离的一半.，设，得，点到的距离为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列的前n项和，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）数列的前n项和为，比较和的大小.解：（1）因为，当时，，又因为时，也满足上式，所以当时，，，（2）由，得,,,当时，,当时，，.综上所述：当时，，当时，.16.如图所示，在等腰直角中，，点、分别为，的中点，将沿翻折到位置.（1）证明：；（2）若，求平面DEF与平面DEC夹角的余弦值.（1）证明：等腰直角中，，得，所以，点E、F分别为，的中点，，所以，将沿翻折到位置后，，，又平面，平面，，所以平面，又，得平面，又平面，所以平面平面；（2）解：由（1）知面，又平面，所以平面平面，由为中点，故，又因为，所以为等边三角形，设的中点为，连接，则，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，过作交于，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系：不妨设，得，，，，所以，，，设平面的一个法向量为，则，取，设平面的一个法向量为，则，取，所以，故平面与平面夹角的余弦值为.17.2021年教育部印发的《进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》中提出，中小学校要保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间，每天统一安排30分钟的大课间体育活动.一学校某体育项目测试有的人满分，而该校有的学生每天运动时间超过两个小时，这些人体育项目测试满分率为.（1）从该校随机抽取三人，三人中体育项目测试相互独立，求三人中满分人数的分布列和期望；（2）现从每天运动时间不超过两个小时的学生中任意调查一名学生，求他体育项目测试满分的概率；（3）体育测试前甲、乙、丙三人传球做热身训练，每次传球，传球者等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，第1次由甲将球传出，求第n次传球后球在乙手中的概率.解：（1）该校随机抽取三人，每个人满分的概率为40%，设抽取的三人中满分人数为，则，则，，，，则的分布列为：0123所以数学期望.（2）用A表示事件“抽到每天运动时间超过两个小时的学生”，则，，用B表示事件“抽到体育项目测试满分的学生”，则，且，又因为所以，故，所以.（3）记表示事件“经过次传球后，球在乙的手中”，设次传球后球在乙手中的概率为，，则有，所以，所以，即，，所以，且，所以数列表示以为首项，为公比的等比数列，所以，所以，即第次传球后球在乙手中的概率为.18.函数.（1）求的单调区间；（2）若只有一个解，则当时，求使成立的最大整数k.解：（1）函数，定义域为，则，因为，设，，则令得，，，当时，，，单调递增，当时，，，单调递减，当时，，，单调递增，综上所述：的单调递增区间为，，单调递减区间为；（2）若即只有一个解，因为使方程成立，所以只有0是的解，当时，无非零解，设，则，当，，单调递减，当，，单调递增，所以最小值为，当时，，当时，，故定有零点，又因为无非零解，有零点应还是0，所以，所以，则，，得，，，所以，得，设，则，令，则，因为时，，所以，则在单调递增，又，，所以使得，所以，且，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以最小值，且，得，又因为，所以，因为，所以，故整数的最大值为2.19.函数是我们最熟悉的函数之一，它是奇函数，且y轴和直线是它的渐近线，在第一象限和第三象限存在图象，其图象实质是圆锥曲线中的双曲线.（1）函数的图象不仅是中心对称图形，而且还是轴对称图形，求其对称轴l的方程；（2）若保持原点不动，长度单位不变，只改变坐标轴的方向的坐标系的变换，叫坐标系的旋转，简称转轴.（i）请采用适当的变换方法，求函数变换后所对应的双曲线标准方程；（ii）已知函数图象上任一点到平面内定点的距离差的绝对值为定值，以线段为直径的圆与的图象一个交点为，求的面积.解：（1）函数的图象是圆锥曲线中的双曲线，且轴和直线是它的渐近线可知，对称轴为直线和.又，得，解得，又，所以，得，又，所以对称轴的方程为和