山东省济南市2024-2025学年高一上学期入学学情检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省济南市2024-2025学年高一上学期入学学情检测数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.据教育部统计，2024届全国普通高校毕业生规模达1179万人，将数字11790000用科学记数法表示为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗.故选：A2.下列运算正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗对于A，，A错误；对于B，，B错误；对于C，，C错误；对于D，，D正确.故选：D.3.小刚同学一周的跳绳训练成绩（单位：次/分钟）如下：156，158，158，160，162，165，169.这组数据的众数和中位数分别是（）A.160，162 B.158，162C.160，160 D.158，160〖答案〗D〖解析〗因在156，158，158，160，162，165，169这组数据中，158出现了2次，次数最多，故众数是158；根据中位数的定义知，按照从小到大排列的七个数据中，第四个数160为这组数据的中位数.故选：D.4.某几何体是由四个大小相同的小立方块搭成，其俯视图如图所示，图中数字表示该位置上的小立方块个数，则这个几何体的主视图是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意可知从前方看第一排有3个正方体，且从左到右依次有2个、1个，第二排有1个正方体在左侧，故A正确.故选：A.5.已知点，，，都在反比例函数（）的图象上，则，，的大小关系为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗将点代入反比例函数，得，即反比例函数的〖解析〗式是，将点的坐标代入函数〖解析〗式，得，，，即.故选：B.6.如图，在矩形中，，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足为，，则的值为（）A. B. C.5 D.〖答案〗B〖解析〗如图，连接，四边形为矩形，，，，，，，，解得.故选：B.7.如图，在中，，，，在和上分别截取，，使，分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点G，作射线交于点H，连接，分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线交于点K，则的长为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如图所示，设直线分别交直线于，作，垂足为R，根据题意易知分别为的角平分线，线段的垂直平分线，所以，所以为正三角形，则，所以，而，则，易证，故，易知，故，解得.故选：C.8.如图，抛物线，顶点为A，抛物线与x轴正半轴的交点为B，连接AB，C为线段OB上一点（不与O，B重合），过点C作交y轴于点D，连接AD交抛物线于点E，连接OE交CD于点F，若，则点C的横坐标为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗抛物线的顶点，由，得，即点，设直线方程为，由，解得，则直线，设点，由，设直线方程为，由，得，由，得，即点，直线，设直线的方程为，则，解得，即直线，由，解得，即点，显然，由，得，则，因此点，由，得，因此，解得，所以点C的横坐标为.故选：A.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.小明周六从家出发沿一条路匀速步行去图书馆查阅资料，资料查阅完毕后沿原路匀速返回，速度与来时相同，途中遇到同学小亮，交谈一段时间后以相同速度继续行进，直至返回家中，如图是小明离家距离y（km）与时间x（h）的关系，则（）A.小明家与图书馆的距离为2kmB.小明的匀速步行速度是3km/hC.小明在图书馆查阅资料的时间为1.5hD.小明与小亮交谈的时间为0.4h〖答案〗AD〖解析〗对于A：由图象可知小明家与图书馆的距离为2km，故A正确；对于B：因为小明沿一条路匀速步行去图书馆查阅资料，所以小明的匀速步行速度是，故B错误；对于C：小明返回的路上走后遇到小亮，则走所需的时间为，所以小明在图书馆查阅资料的时间为，故C错误；对于D：走所需的时间为，所以小明与小亮交谈的时间为，故D正确.故选：AD.10.如图，点B在线段AD上，分别以线段AB和线段BD为边在线段AD的同侧作等边三角形和等边三角形，连接AE，AE与BC相交于点G，连接CD，CD与AE，BE分别相交于点F，H，连接BF，GH，则（）A. B.FB平分C. D.〖答案〗ABD〖解析〗因和都是正三角形，故，则，即，由可得，故D正确；由可得，，因，由可得，，则有，故为正三角形，则，故，即A正确；如图，分别作，垂足分别是，由上知，，故，由角平分线的性质定理，可得FB平分，故B正确；对于C项，假设，则，故，而在中，，故，产生矛盾，故假设不成立，即C错误.故选：ABD.11.如图1，在中，，，动点D从点A开始沿AB边以每秒0.5个单位长度的速度运动，同时，动点E从点B开始沿BC边以相同速度运动，当其中一点停止运动时，另一点同时停止运动，连接DE，F为DE中点，连接AF，CF，设时间为t（s），为y，y关于t的函数图象如图2所示，则（）A.当时， B.C.DE有最小值，最小值为2 D.有最小值，最小值为〖答案〗BD〖解析〗设，则，则（*），由图2知，函数经过点，整理得，，解得或（舍去），故B正确；由B项知，，当时，，即，故A错误；对于C，由题意易得，，由可得，当时，，即有最小值，最小值为，故C错误；对于D，如图，以点为原点，所在直线分别为轴建立直角坐标系.则，因F为DE中点，故，于是，结合此式特点，设，则，作出图形如下.作出点关于直线的对称点，连接，交直线于点，则点即为使取得最小值的点.(理由：可在直线上任取点，利用对称性特点，即可证明，即得)，此时，即的最小值为.故选：BD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在平面直角坐标系中有五个点，分别是，，，，，从中任选一个点，选到的这个点恰好在第一象限的概率是______.〖答案〗〖解析〗五个点中在第一象限的点有A和D两个，从中任选一个点共有5种等可能结果，这个点恰好在第一象限有2种结果，所以从中任选一个点恰好在第一象限的概率是.13.在中，，，的周长为14，则AB边上的高为________.〖答案〗〖解析〗根据题意可设，所以，可得，又，利用勾股定理可得；可得；所以，即；设AB边上的高为，由三角形面积可得，解得.14.如图，在矩形纸片中，，，为中点，为边上一点，连接，将沿翻折，点的对应点为，为边上一点，连接，将沿翻折，点的对应点恰好也为，则________.〖答案〗〖解析〗由题设，过作，交于，交于，过作，则，则，故，所以，故，故，设，则，故，故.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.先化简再求值：（1）求的值，其中；（2）求值，其中.解：（1）.即代入可得.（2）.即代入可得.16.某超市销售两种品牌的牛奶，购买3箱种品牌的牛奶和2箱种品牌的牛奶共需285元；购买2箱种品牌的牛奶和5箱种品牌的牛奶共需410元.（1）求种品牌的牛奶，种品牌的牛奶每箱价格分别是多少元？（2）若某公司购买两种品牌的牛奶共20箱，且种品牌牛奶的数量至少比种品牌牛奶的数量多6箱，又不超过种品牌牛奶的3倍，购买两种品牌的牛奶各多少箱才能使总费用最少？最少总费用为多少元？解：（1）设种品牌的牛奶，种品牌的牛奶每箱价格分别是元，则，故.故种品牌的牛奶，种品牌的牛奶每箱价格分别是元、元.（2）设购买品牌的牛奶箱，则购买品牌的牛奶箱，此时总费用，而，故，而为整数，故可为中的某个数，故的最小费用为（元），此时购买两种品牌的牛奶分别为箱、箱.17.如图，在中，是直径，点是上一点，，，点在上，，连接并延长交于点，连接，，垂足为.（1）求证：；（2）求的长.解：（1）是的直径，，，又，.（2）在中，，，又，则，，又，，在中，设，则，故，又，，，即，解得，，在中，，即，解得，即.18.阅读材料：直线（）上任意两点Mx1，y1，Nx2，y2，，线段MN的中点，P点坐标及k可用公式：，；计算.例如：直线上两点，，则，，即线段MN的中点，.已知抛物线（），根据以上材料解答下列问题：（1）若该抛物线经过点，求m的值；（2）在（1）的条件下，B，C为该抛物线上两点，线段BC的中点为D，若点，求直线BC的表达式；以下是解决问题的一种思路，仅供大家参考：设直线BC的表达式为：，，则有①，②.①-②得：，两边同除以，得；（3）该抛物线上两点E，F，直线EF的表达式为：（）.(ⅰ).请说明线段EF的中点在一条定直线上；(ⅱ).将ⅰ中的定直线绕原点O顺时针旋转45°得到直线，当时，该抛物线与只有一个交点，求m的取值范围.解：（1）因经过点，则，解得，.（2）时，，设直线BC的表达式为：，，则①，②.由①-②：，两边同除以，则，因线段BC的中点为，则，即，则，将点代入解得，，故直线BC的表达式为：.（3）（i）由消去，整理得，，依题意，设，的中点为，则，，即线段EF的中点在定直线上.(ⅱ)如图，将定直线绕原点O顺时针旋转45°得到直线，则点转到了点，则，设点，，则，即，，设，则得，解得，即得；因抛物线的对称轴为，故该函数在时，随着的增大而增大，且时，，时，，要使抛物线与只有一个交点，可分以下种情况讨论：①当抛物线顶点在直线下方时，如上图可得，，解得；②抛物线顶点在直线上，如上图，即时，由，解得或，因，故符合题意；③抛物线与直线相切，且切点横坐标满足，如上图，由，消去，可得，由解得，，代入方程可得，解得，符合题意；④如上图，抛物线顶点在直线上方，但在内只有一个交点，须使，又，解得.综上可得m的取值范围为：或或.19.在中，，.（1）如图1，在中，，，F是AE中点，连接BF.若，求线段BF的长；（2）如图2，在中，，，F是AB中点，连接DF，求的值；（3）如图3，在中，，，E是AB中点，F是AE中点，连接BD，DF，求的值.解：（1）在中，，.若，则，，如