二项式定理教学设计高二下学期数学人教A版选择性

§二项式定理教材分析本节内容选自人教A版选择性必修第三册第六章的第三节，是一节原理课。“二项式定理”这节分为两个部分，第一部分介绍了二项式定理，第二部分介绍二项式系数的性质。本节课在学习了两个计数原理和排列组合的基础上进行学习，为同学们证明二项式定理提供了方法，二项式定理的学习也为之后概率的相关学习奠定了基础，所以它是呈上启下的一节课。同时，在高等数学中，二项式定理也发挥着重要作用，二项式定理是沟通初等数学与高等数学的桥梁，连接了高中和大学阶段的数学，因此本节课在高中数学中发挥着十分重要的作用。通过本节课的学习，进一步提高学生的逻辑推理和数学抽象素养，感受数学的和谐美、简洁美和对称美。学情分析在初中阶段，学生已经掌握了多项式的乘法法则，通过前几次课，学生已经学习了两个计数原理和排列组合的相关的内容，具备了从多项式乘法和组合的视角思考问题、分析问题和解决问题的能力，但学生的创新思维能力还有待提高。对于二项式定理的学习，大多数同学只将其作为一个公式来运用，重视结论，而不重视定理的形成与发展，很容易忘记，做不到灵活使用。对于二项式定理的教学，主要采用从特殊到一般，从具体到抽象的教学策略，结合组合数公式，总结归纳展开式中项的特点。并在其中适时穿插二项式定理的数学史，了解二项式定理的源起和发展，激发学习兴趣，开拓视野，感受魅力，提升数学学科核心素养。教学目标理解并掌握二项式定理，能用多项式法则和计数原理进行证明，推导二项式展开的通项公式，会用二项式定理求特定的项和系数。经历二项式定理的发展过程，感知数学运算的严谨性，感悟数学的价值，体会归纳—猜想—证明的思想方法，培养学生分析问题、解决问题的能力，发展探究精神。将数学史融入到教学中，引导学生了解二项式定理的形成和发展过程，合作探究，感受数学的魅力，增强学习的兴趣与自信心，体会数学的简洁美、对称美，提升人文素养。教学重难点重点：通过两个计数原理分析和展开式的特点，总结归纳得到二项式定理，掌握二项式定理的通项公式，能解决与二项式展开有关的简单问题。难点：如何运用计数原理证明二项式定理，发现展开式的系数与组合数之间的关系。教学过程引入师生活动：在多媒体课件上放映《九章算术》的图片，为同学们介绍《九章算术》的成就和地位。紧接着放映《九章算术》中第四章中的一个开立方题，引发同学们的好奇，感受我国古代数学的智慧。《九章算术》第四章少广：今有积一百八十六万八百六十七尺。问为立方几何？【师】：《九章算术》是我国古代的数学专著，被誉为“算经十书”中最重要的一种，收有246个与生产、生活相关的实际问题，在第四章“少广”中，记录着这样一个问题：今有积一百八十六万八百六十七尺。问为立方几何？有一个正方体，它的体积是一百八十六万八百六十七尺，那这个正方体的边长是多少呢？【生】：我们可以设正方体的边长为，根据正方体的体积公式可以列出方程，解得：。【师】：利用方程的思想，根据正方体的体积公式列出方程，求出正方体的边长，很好！但是在古代没有计算器，他们是怎么知道大概是多少的呢？学生活动：同学们露出疑惑的表情，开始讨论，老师加以指导。【生】：是一个七位数，它的三次方根应该是一个三位数。【生】：，所以。在黑板上板书计算过程：两边同时进行三次幂运算有舍去的一次以上的项，得：解得，，为了更加精确，继续算：两边同时进行三次幂运算有舍去的一次以上的项，得：解得，。【师】：经过计算我们会发现，所以。【师】：对于开三次方，在《九章算术》中介绍了开立方术，开立方术的原理其实和我们操作的原理是一样的，我们不得不感叹，古人的智慧呀！师生活动：在多媒体上放映《九章算术》中的开立方术，教师简单的为同学们讲解，让同学们感受老祖宗的智慧。【师】：若我们想知道的大概值，我们需要列出，想要得到更精确的值，可以多进行几次计算。若想知道，我们需要列出，那我们该如何处理呢？这就是我们今天要学习的主要内容——二项式定理。【设计意图】：以《九章算术》中的开立方问题引入，感受我国古代数学文化，体会古代数学的智慧，引发同学们的好奇心，激起学习兴趣，逐步引入开高次方问题，揭示学习二项式定理的必要性，符合历史发生原理。新知探究探究一：从乘法法则出发探究展开式的特点那要如何探究的展开式呢？我们可以先从特殊的情况入手，再总结出一般的规律来。，；，，当时，的展开式是怎么的呢？学生活动：学生通过观察当时的展开式，对于很容易想到采用多项式的乘法法则。。师生活动：教师引导学生观察的展开式，观察展开式中式子的项数和每一项的次数特点，先独立思考，再进行小组讨论，然后请小组派代表进行回答。【生】：的展开式有项。【生】：的展开式中，每一项的次数和为。【生】：的展开式是按照的降幂的升幂次序排列的。【师】：很好，请大家按照我们发现的展开式的特点，猜想的展开式。学生活动：根据发现的项数和每一项次数的特点，学生容易知道的展开式有6项，每一项的次数和为5，但对于每一项的系数不太清楚。【师】：我们知道了展开式项数和每一项系数的特点，但是对于每一项的系数，我们还不太清楚，若再采用多项式的乘法法则，随着的增大，计算量越来越大，比较麻烦，所以需要从别的角度再来考虑考虑展开式的特点。探究二：从计数原理出发探究展开式的特点师生活动：再一次观察的展开式，分析每一项的系数是怎么得到的。【生】：根据多项式的乘法，是两个相乘，从每个因式中选择一个字母，再将它们相乘，就得到了展开式的项。当两个因式都选择了或，就得到了项或项；当一个因式选择，另一个因式选择，就得到了项，但这样的选法有两种，所以项的系数是2。【生】：从三个中分别选择一个字母，将它们相乘，有多少中取法，就是它们的系数。【师】：如果我们把每一个看成一个盒子，盒子里有和两种球，展开的过程很我们之前学过的什么很像？【生】：摸球试验。【师】：很好，把看成是个盒子，每个盒子里有和两种球，每个盒子每次只取出一个球，从中取出个球，每个盒子都取出一个球有种取法从个盒子中选择个盒子，从中取球球，剩下的个盒子中选择球有种取法从个盒子中选择个盒子，从中取球球，剩下的个盒子中选择球有种取法………从个盒子中选择个盒子，从中取球球，剩下的个盒子中选择球有种取法…每个盒子都取出一个球从角度来选球，可以说明组合数的性质：。学生活动：完成的展开式，小组合作，推导的展开式，得到二项式定理。设计意图：通过多项式乘法原理，从特殊到一般归纳推理出展开式的项数和每一项的次数特点，对于系数，通过摸球试验，让同学们想到计数原理，从组合数的角度，发现展开式中系数的特点。引导学生，通过思考、合作交流，一步步探究二项式定理的生成。使学生在发现问题、分析问题、解决问题中提升数学抽象和数学建模的数学核心素养。对于，我们就可以把它展开了：，若设，则得到公式。若设，则得到。探究三：从几何意义的角度探究二项式定理【师】:当，是我们很熟悉的完全平方公式，对于完全平方公式，在欧几里得的《几何原本》中，有这样的描述“任意分一线段成段，则整段上的正方形等于分两段上的正方形与两段所构成矩形的二倍之和”。这解释了完全平方公式的几何意义。【师】：这也给了我们启发，从几何的角度出发，当时，，对应一维的线段长度；当时，，对应二维正方形的面积；当时，，对应三维正方体的体积。二项式定理有着漫长的历史，不同时期不同民族的数学家都对它做出了贡献。欧几里得对于二次二项式的展开，刘徽注解《九章算术》时，对于开平方法、开立方法的理解都是从几何意义出发，将它们与几何图形联系在一起。但我们知道，对于更高次的二项式展开，在那时是找不到对应的几何图象的，因此“需要把代数学从三维空间几何学的桎梏下解放出来REF_Ref165293732\r\h[17]”，然后就有了之后的算术三角。在我国，北宋数学家贾宪在其《释锁算书》中给出了直到六次幂的二项式系数表，贾宪称其为“开方作法本原图”，现在称为“贾宪三角”。后来，数位数学家先后都在其数学著作中记载和运用“贾宪三角”。在国外，在10—15世纪，有许多数学家在他们的数学著作中使用算术三角，至今，算术三角在西方被称为“帕斯卡三角”。设计意图：引入欧几里得在《几何原本》中对完全平方公式的几何解释，启发同学们从几何的角度思考二项式定理的意义，拓展学生的思维，培养数形结合的能力，体会数学的魅力。巩固练习例1：求的展开式。方法一：直接运用二项式定理进行展开。方法二：先化简，再运用二项式定理进行展开。设计意图：熟练运用项式定理，提高数学运算能力。例2：求的展开式的第四项的二项式系数和第四项的系数，解：通过通项公式，的展开式的第4项为，第4项的二项式系数为，第4项的系数为。设计意图：区分一个二项式展开式的某一项的二项式系数与这一项的系数。例3：求的展开式中的系数。方法一：通过通项公式，求解指定项的系数。解：的展开式的通项是根据题意得：因此的系数为。方法二：从计数原理的角度，考虑项的形成。即在6个的因式中，有4个