2025年高考数学一轮复习 阶段滚动检测（一）

阶段滚动检测（一）

120分钟150分

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.（2024・西安模拟）已知集合/{小=小2（%-2）}f={%华2刈，则（段）第=（）

A.（0,l）B.[l,2）C.（l,2）D.[l,2]

【解析】D.A={x\x>2},[iRA={x\x<2},

B={x|2x-2>0}=>{x|x>l},

所以（碗）na=[i,2].

2.函数y=|G+l在尸3处的切线的倾斜角为（）

一71_2IT_5冗

--

A.6-B-3C.-z3D.-r6

3

【解析】选B.由题意可得:V?+1=1%2+1,则yfm，可得_/鼠=也

所以函数y=|6+l在尸3处的切线的斜率为平，倾斜角为?

3.函数》=（2计2吗-lnx2的图象大致为（）

【解析】选B.设人工）=（2'+2叫-111的定义域为｛%,#）｝4一%）=（2“+2》>Inx2=/（x）,

所以於）是偶函数，图象关于V轴对称，所以D选项错误次1尸0,所以C选项错误；

当%>1时麻）>0,所以A选项错误.

4.（2024,新余模拟）已知函数》=1。84（%-1）+2（。>0且4声1）的图象怛过7£点4且力点

在直线加x-y+〃=0（加,”>0）上，则2加+（避）〃的最小值是（）

A.4"B2"C.2D.（

【解析】选B.当x=2时,loga（x-l）+2=2,

故函数尸log〃a-l）+2的图象恒过定点4（2,2）,

由点4（2,2）在直线mx-y+n^0上，则2m+n=2,

--In「

m

故2加+（也）"=2加+2?N22+2:2退,

当且仅当加善|时等号成立，故2加+（避）〃的最小值是2^/2.

logi（x+2a）,x<1

5.（2024•泉州模拟）若函数人%户2存在最大值,则实数a的取值

1.310之1

范围为（）

【解析】选B.当后1时〃)=1-3/在口,+8)上单调递增，此时1工)£［0,1),无最大

值；

又因为歹=N+2a在(代⑼上单调递减，在［0,1)上单调递增，

故危尸logi(N+2a)在(-8,0］上单调递增，在［0,1)上单调递减,

2

所以当X<1HXx)max=/(0)=logi(2a),

2

结合题意可得logl(2a)>l,

2

11

解得0<24毛,所以0<a<-,

Z4-

即实数。的取值范围为(O,；1］

6.已知过点4(0,6)作曲线V*的切线有且仅有两条，则b的取值范围为()

A.(0,1)B.(0,|)C,(O,e)D.(0,4)

2

e

In%

-----b

1inr1-Inxny(x-bx

【解析】选D.设切点为(砧州),由题意得£二一,所以b2—：—；，整理

xx

XXooo

21n-1

得bT-,此方程有两个不等的实根.

xo

令函数於)兰二则国)士婴.

人X

33

当时&)>0,所以加)在(0,£)上单调递增；

333

——-2

当X*时/(%)<0,所以加)在恒2,+8)上单调递减，且加)>0.小)maxie2)一方程有

2

e

9

两个不等的实根，故bG(0,-).

2

e

7.已知函数兀r)=ax-lnx,若於)>0在定义域上恒成立，则a的取值范围是()

A.(：,+8)B.(l,+oo)

C.(e,+oo)D.(1,+℃)

【解题指南】由1A%)>。得在(0,+8)上恒成立，令g(x)=^a>0),求出g(x)的最

大值即可求解.

【解析】选Aa)=ax-lnx的定义域为(0,+8),

由1工)>0在定义域上恒成立得a>?在(0,+8)上恒成立，令g(x)=^(x>0),gG尸

1-In%

2-9

X

令g。户0得X=exe(0,e)时,g(x)>0,g(x)单调递增,％e(e,+oo)时,gq)<0,g(x)单调递

、11

减，所以g(X)max=g(e)q,所以4二

【加练备选】

已知函数兀0=ln%-(%-4)25£即在区间［1,+8)上存在单调递增区间，则实数。的取

值范围是()

A.百+8)B.(j,+°o)

C.[l,+oo)D.(l,+oo)

______1

【解题指南】分析可知，存在口,+8),使得八%)>0,由参变量分离法可得«>%--,

求出函数g(x)=x-2在口,+8)上的最小值,即可得出实数a的取值范围.

1

【解析】选B.因为兀r)=lnx-(x-a)2(aWR)厕，(%后-2%+2应因为函数兀r)在区间

1

口,+8)上存在单调递增区间，则存在％引1,+8),使得八%)>0,即72%+2心0,可得a>x-

1、1

设g(x)=x--,

2£ov72£

1

因为函数上产七在［1,+功上均为增函数则函数g(x)在［1,+8)上为增函数

111

当x>l时,g(%)min=g(D=l-J^,故a>~.

ill3

8.(2024•长春模拟)已知a=sin#qcos§,c=ln,则()

A.c<a<bB.c<b<a

C.b<c<aD,b<a<c

【解析】选D.设/(x)=sinx-xcosqW(0》则/(x)=xsinx,在x£(0,g)时/(x)>0,

所以於)在(0。上单调递增，

所以加)次0)=0,

1111

则｛§)=sinm^cos3>0,

111

即sin->-cosw，则a>b;

1%_1

设g(%)=ln则g3:"X>0,

则当x£(0,l)时,gG)<0,所以g(x)单调递减

则当X£(1,+8)时,g(x)>0,所以g(x)单调递增,

所以g(|)=ln|+|>g(l)=1,

31

则In

设/z(x)=x-sinx^cW(0,1则/z(x)=l-cosx>0,

所以〃(x)在(0?)上单调递增，

则由《sin|>/z(0)=0,

即］〉sin:则In|>sin(所以c>a,所以c>a>b.

二、选择题:本题共3小题,每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9

9.关于函数尸说法正确的是()

A.定义域为(-1,1)

B.图象关于y轴对称

C.图象关于原点对称

D.在(0,1)上单调递增

【解析】选ACD.因为於)=lg(3-1尸坨(产白,所以产>0今富所以

±-XJ.-X±-XX-1.

1-%

定义域为(-1,1),故A正确;因为4-x)=lg所以兀r)图象关于原点对称，故

B错误,C正确;又产l-x>0在(0,1)上单调递减，所以产「-1>0在(0,1)上单调递增,

又严

7

lgX在(0,+8)上单调递增，所以产lg(£-l)在(0,1)上单调递增，故D正确.

10.地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，一般采用里氏震级标准.里氏

A

震级的计算公式为M=lg詈（其中常数4是距震中100千米处接收到的0级地

震的地震波的最大振幅Mmax是指我们关注的这次地震在距震中100千米处接收

到的地震波的最大振幅）.地震的能量片（单位:焦耳）是指当地震发生时，以地震波

的形式放出的能量.已知E=lO4.8xioL5叱其中〃为地震震级下列说法正确的

是（）

A.若地震震级〃增加1级，则最大振幅Zmax增加到原来的1。倍

B.若地震震级〃增加1级，则放出的能量E增加到原来的10倍

C.若最大振幅411ax增加到原来的10倍，则放出的能量月增加到原来的1。百倍

D.若最大振幅Zmax增加到原来的1。倍,则放出的能量月增加到原来的100。倍

4mavi410^4

【解析】选AC.因为M，=lg」M+l=l+lgflg"^,所以"max^OZmax,故A

正确;

因为。=1048x101.5叱=104.8*101.5"+1）=104.8*101.5川+1.5=101.5瓦所以B错误；

10Z

因为~=11+1,所以£J104.8xl（）L5M，=104.8xl0L5（M+l）

力0

=1O48X1O15^+15=1O15E=1OV1O^,

所以C正确,D错误.

2

11.（2024•南京模拟）已知函数加尸三研GR,则下列说法正确的有（）

A.2是函数人x)的极小值点

B.当x=0时,函数兀r)取得最小值

C.当4吃时，函数小)存在2个零点

D.若函数於)有1个零点，则心方或。=0

%x2

【解析】选BCD.对A,由题意出广2坛盘」仪二小eR,所以当x<0或x>2

ee

时/(x)<0,此时作)单调递减当0<%<2时/(x)>0,此时加)单调递增;所以2是函数

1工)的极大值点，故A错误；

对B,由A知兀V)极小值力0)=-d且当％一+8时段)--4,且大于-4,则当x=0时，函数

1工)取得最小值，故B正确；

?22

A.丫4Y4V

对于C,右则令尸^尸X即/「设力(%)^7，

eeeeee

则/z'(x)誓m，所以当x<0或X>2时,〃(x)<0,此时/z(x)单调递减，

当0<x<2时，曲x)>0,此时//(%)单调递增，

4

则0(X)极小值="(。尸0*(x)极大值="(2)r，且当X-+8,//(%)-0,且大于0,作出函数图象

如图所示,则直线yC4与函数力⑴有两个交点，则当时4,函数小)存在2个零

ee

点，故C正确；

对于D,若函数/(%)有1个零点，即方程4三有一个根,则转化为直线y=a与/?(%)=

y4

G的图象只有一个交点，由图可知，若函数小)有1个零点，则4>”或a=0,故D正

ee

确.

三、填空题:本题共3小题,每小题5分，共15分.

1

12.(2024•宝鸡模拟)曲线抬尸ln(5x+2)在点(与0)处的切线方程为.

答案y=5x+l

【解析】於)=山(5%+2)的导数为7(%)—为，

1

可得曲线於)=ln(5x+2)在点(亏0)处的切线斜率为仁5,

1

则切线的方程为y=5(x+-),y=5x+1.

【加练备选】

已知a,b为正实数函数加户办《在P(l4l))处的切线斜率为2,则常的最小值为

答案：2+避

【解析】由题意得八则八1)=。+*2,因为a,b为正实数则%

CvU(zvLJ

)(5)当4+J以片(4+2我=2+避,当且仅当2时取到等号.

]3.已知函数人%尸6+^^伍〉0)是奇函数,贝1]a+b=.

2-a

圣玄3

【解析】由于函数的定义域满足2x-W0=Hlog2凡故定义域为｛%|%Hlog2tz),

1

根据奇函数的定义域关于原点对称可知log2a=0=4=1,所以加)=6+方彳

12X

f(-x)^b+—--------

2-11-2

12%1

所以尸6七一---f0=26-1=0=6弓

2.11-2/

故a+b=|.

2

14.(2024•恩施模拟)已知函数1%户区-2屋3故>-2,存在直线严加与加)的图

x+6,%<-2,

象有4个交点，则m=；若存在实数％1<%2<%3<%4<%5,满足汽/)+2)=/(%3)

=/(%4)=/(%5),则修+超+冷+/+招的取值范围是.

【解题指南】画出分段函数的图象，利用数形结合的思想求加，再根据二次函数

的性质及-6<%i<-2求出为+冷+右+必+招的取值范围.

答案4(-2,2)

2

【解析】作出小尸「“'长3号>-2,的图象如图，

x+6,x<-2

因为直线歹="与於)的图象有4个交点，所以加=4;

记大修)=/(%2)=/(%3)加4)力>5)=匕

则直线产左与1工)的图象有5个交点,修<%2<%3<%4<%5,如图所示

由图可知由二次函数的对称关系可得,%3+%4=%2+%5=2,

所以％1+%2+%3+%4+%5=%1+4£(-2,2),

即X1+X2+X3+X4+X5的取值范围是(22).

四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤.

15.(13分)已知函数/(%)=%3-办2+x的一个极值点为1.

(1)求a；

【解析】⑴因为八%)=%3-ax2+x,

所以/Xx)=3x2-2ax+1.

因为於)的一个极值点为1,所以八l)=3-2a+l=0,所以a=2.

因为f(x)^3x2-4x+l=(x-l)(3x-l),

当1<x<l时/(x)<0;当］或%>1时〃X)>0,

11

所以於)在(§,1)上单调递减，在(-8,§),(1,+8)上单调递增，

所以於)的极小值点为1,符合题意.故a=2.

(2)若过原点作直线与曲线歹/X)相切,求切线方程.

【解析】（2）设切点为（xo於o））,

则人刖尸》;-2%：+%（）/（%0）=3%34劭+1,

所以切线方程为广（*2年+%0尸（3%：-4%o+l）（x-x0）.

将点（0,0）代入得-（导2年+沏尸（3*4沏+1）（-沏）,

整理得％：（%（）-1尸0,所以Xo=O或％o=1.

当％o=O时，切线方程为尸；

当沏=1时，切线方程为尸0.

【解题指南】⑴求出函数的导数/（%）,由以1尸0求出a值,再验证作答；

（2）设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，结合已知求出切点坐标作

答.

16.（15分）（2024・合肥模拟汜知函数段）=^-1是奇函数.

4+1

⑴求实数。的值并判断函数单调性（无需证明）；

【解析】⑴因为小）T-1是奇函数,所以大0尸0,解得。=1；

4+1

21-4%

当。=1时--1、一，定义域为R,

4+14+1

14%4%1

又人㈤=：-「-次X）,符合题意，所以4=1.因为产4叶1为增函数，所以於）为

4+14+1

减函数.

⑵若不等式大4叶1）+/（b22+5）＜0在R上恒成立,求实数t的取值范围.

【解析】（2玳4，+1）+/（/22叶5）＜0等价于44叶1）＜如22叶5）,

即火4+1）勺T+22-5）;

因为於）为减函数，所以4计1＞-什22-5,

即4x-2-2x+6＞-Z;

令加=2》＞0,则上式化为m2-2.m+6＞-t,

即（止1）2+5”,所以介-5.故实数t的取值范围为（-5,+8）.

17.（15分）设函数於尸石（际0）.

e

⑴求曲线产/⑴在点（040））处的切线方程；

kx7kx.j

.e-kxe1-kx一

【角牛析】（》（%）=—而又｛。）=。，

ee

所以所求切线方程为严X；

⑵求函数小）的单调区间；

【解析】（2V（x）r，

e

i

当左＞0,X＜工时/（%）＞0段）单调递增，

\时/（x）＜0於）单调递减；

11

当左＜0,X＜/时/a）＜o段）单调递减时/a）＞o段）单调递增,

KK.

所以当Q0时，单调递增区间是（-8$,单调递减区间是（*8）；

当K0时，单调递减区间是（-8$1,单调递增区间是1+8）；

KK

⑶若函数小)在区间(-1,1)内单调递增，求k的取值范围.

1

【解析】(3)由(2)知，当k>0时启1,即③由1;

K,

1

当k<0时，声1,即-1女<0;

所以k的取值范围是[-1,0)U(0,1].

【解题指南】(D求出导函数八%),求得八0)得切线斜率，再求出函数值人0)后可得

切线方程；

⑵分类讨论确定八%)>。和/(x)<0的解彳导单调区间；

(3)由⑵中单调递增区间得关于k的不等式，从而求得其范围.

1

18.(17分)已知函数1%)=^X2-3办+2。21nx,a^Q.

⑴讨论於)的单调区间；

【解析】(I次0的定义域为(0,+8)/(%)上牛丝

若a>0,当％£(0,q)时/(%)>0段)单调递增；

当％£5,2。)时/(%)<0〃)单调递减；

当X£(2氏+8)时/(x)>o段)单调递增.

若。<0,则7(%)>0恒成立段)在(0,+8)上单调递增.

综上，当a>0时4X)的单调递增区间为(0,4),(2凡+8),单调递减区间为5,20;

当«<0时加)的单调递增区间为(0,+8),无单调递减区间

⑵若人X）有3个零点，求a的取值范围.

【解析】（2）因为人x）有3个零点，所以心0,

又加）的单调递增区间为（0,通（2名+8）,单调递减区间为Q2*

所以尬尸-|q2+2a21na＞QJ（2a）-4a2+2.a2ln（2.a）＜0,

52

解得「〈”万，

1

止匕时人6。）=2。21n6。＞0,

故函数小）在区间（l,a）,（a,2a）,（2a,6a）上各有一个零点，

即函数於）在区间（0,4）,（见2*（2凡+8）上各有一个零点，满足要求，

52

所以。的取值范围为

【解题指南】⑴先求出函数的定义域，从而根据函数的解析式，求出函数的导函

数，分析导函数符号在不同区间上的取值，

根据导函数符号与原函数的单调性之间的关系即可求出所求区间.

（2）由条件，根据函数的单调性结合零点存在