山东省德州市2024-2025学年高三年级上册开学考试 数学试题

高三数学试题

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷1一2页，第II卷3—4页，

共150分,测试时间120分钟

注意事项：

选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上.

第I卷选择题（共58分）

一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合要求的.）

1.已知集合Z={x|/-3工<0},集合5={吊21]},则Zc3=（）

A.（O,3）B,[0,3）C.（0,+oo）D,[0,+oo）

1010

2.己知一组数据&,B）（I,z；,10且7eZ）的回归直线方程为f=7x+a,若X玉=70,Zv,.=500,则a的

i=li=l

值为（）

A.-lB.OC.lD.2

3.在各项均为正数的等比数列{%}中，a2a5=16,则log2a3+log2a4=（）

A.2B.3C.4D.5

4.为积极落实“双减”政策，丰富学生的课外活动，某校开设了舞蹈、摄影等5门课程，分别安排在周一到

周五，每天一节，舞蹈和摄影课安排在相邻两天的方案种数为（）

A.48B.36C.24D.12

5.已知椭圆C：W+j?=15>0）,则“。=3”是“椭圆C的离心率为述”的（）

a~3

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.已知正三棱台ABC-451G的体积为一,4B=4,AXB{=2,则AXA与平面ABC所成角的正切值为

（）

1

A.-B.lC.2D.3

2

3

7.已知cos(a+(a-^)=—e,则tana+tan/的值为（)

4

A11V15V15秒

jfx..DR.-----Cc.----LJ.-yj]3

324

8.已知点/为直线3x+4y—7=0上一动点，点8（4,0）,且尸满足/+,2+工一2=0,则

3|4?|+忸尸|的最小值为()

671321

A.—B.-C.—D.—

5555

二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.)

9.复数z在复平面内对应的点为(1,掰)(加eR),且z.i(i为虚数单位)的实部为2,则()

A.复数z的虚部为—2i

B.复数亍对应的点在第一象限

C.复数z的模长为5

D.若复数4满足阂=1,则匕-z()|的最大值为布+1

10.已知函数/(x)=/sin(0x+0)(其中/>0,°〉0,帆|〈兀)的部分图象如图所示.将函数/(x)的图象

向右平移四个单位长度得到函数g(x)的图象.则()

6

A.g=2

B.函数g(x)在区间-工工上单调递增

_63

C.若g(xj-g(x2)=4,贝！］|再一马|的最小值为兀

D.直线y=l与冲/⑴,方”X”等的图象所有交点的横坐标之和为包

3

11.设函数y=/(x)的定义域为R,且满足/(x-1)为奇函数，/(x+1)为偶函数，当时,

/(x)=l-|x|,则()

A./(2025)=0

8/(力在［2,4］上单调递增

Cj=/(x—5)为奇函数

D.方程/(x)=lgx仅有5个不同实数解

第II卷非选择题(共92分)

三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)

12.已知向量1=(—2,6),3=(1,x),若万〃B，则x的值为.

13.已知三棱锥尸―Z8C,若24,。丛尸。两两垂直，且PA=2PB=4,PC<,则三棱锥尸―/8C外

接球的表面积为.

14.编号为1,2,3,4的四个小球，有放回地取三次，每次取一个，记加表示前两个球号码的平均数，记〃表

示三个球号码的平均数，则加与〃之差的绝对值不超过0.2的概率是.

四、解答题(本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)

15.(本小题满分13分)

在一次体育赛事的志愿者选拔面试工作中，随机抽取了200名候选者的面试成绩并分成五组：第一组

［45,55),第二组［55,65),第三组［65,75),第四组［75,85),第五组［85,95］,绘制成如图所示的频率分

布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7,第一组和第五组的频率相同.

(1)利用该频率分布直方图，估计这200名候选者面试成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点

值作代表)；

(2)从成绩在第四、五组的志愿者中，按分层抽样方法抽取10人，再从这10人中任选3人，在选出的3

人来自不同组的情况下，求恰有2人来自第四组的概率.

16.(本小题满分15分)

已知函数〃x)=lnx+ox2-(a+2)x.

(1)当0<%2时，讨论函数/(x)的单调性；

(2)若对Vxe(O,+e),都有/(x)-矿(x),,0成立，求实数。的取值范围.

17.(本小题满分15分)

如图，在以4氏。,。,区尸为顶点的五面体中，四边形4BCD与四边形CDEE均为等腰梯形,

AB//CD,EF//CD,CD=2AB=2EF=4,AD=DE=®AE=272.

（1）证明：平面48CD，平面CDEE；

（2）若M为线段C。上一点，且CW=1,求二面角Z-EM-3的余弦值.

18.（本小题满分17分）

已知双曲线E焦点在x轴上，离心率为J万，且过点（、/万,4）,直线4与双曲线E交于两点，乙的斜

率存在且不为0,直线。与双曲线E交于A0两点.

（1）若儿W的中点为笈，直线明，4W的斜率分别为左，左2，。为坐标原点，求左•总；

1TPTN

（2）若直线4与直线/,的交点T在直线x=—上，且直线人与直线4的斜率和为0,证明：\|M\=—,

2\TM\TQ

19.（本小题满分17分）

若有穷数列｛%｝满足:0,,%＜生＜…「1&（左eZ,左.3）,若对任意的i,J（L,i„j„左），叫+%与%-q至

少有一个是数列｛%｝中的项，则称数列｛%｝为「数列.

（1）判断数列0,2,4,8是否为「数列，并说明理由；

（2）设数列｛%｝为「数列.

①求证：怎—％一定为｛4｝中的项；

②求证：2（%+a2T---卜ak-\+&）=kctk；

（3）若数列｛4｝为「数列，且｛%｝不是等差数列，求项数上的所有可能取值.

高三数学试题参考答案

一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合要求的.）

l.A2.C3.C4.A5.A6.C7.B8.D

二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求，全部选对的得6分，部分选对的得分分，有选错的得。分.）

9.BD10.ABD11.ACD

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

3

12,-313.25兀14.-

8

四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）

15.解：（1）因为第三、四、五组的频率之和为0.7,

所以（0.045+0.020+a）x10=0.7,解得a=0.005，

所以前两组的频率之和为1—0.7=0.3,即（a+b）xl0=0.3,解得6=0.025

估计平均数为50x0.05+60x0.25+70x0.45+80x0.2+90x0.05=69.5

（2）成绩在第四、五两组志愿者分别有40人、10人，

按分层抽样抽得第四组志愿者人数为8,第五组志愿者人数为2,

记事件Z为“选出三人来自不同组”，记事件8为“恰有2人来自第四组”，

；；；；

则?(/)=CC+CC

C：。

「

尸⑶=等2rl

eio

\（/叽c沮_7

P（B卜p⑷-C氾+c；c「.

7

所以已知选出的3人来自不同组的情况下，恰有2人来自第四组的概率为一.

8

16.解：（1）/（x）的定义域为（0,+力）,

/,⑴=：+2"_（°+2）=2分一（：+2.+1=（211依山

①当0<a<2时，—>—,

a2

当X£/J时，/（%）>O,/（X）在U上单调递增，

当x£（—|时，/'（X）<0J（x）在,|上单调递减，

a）a）

当6时，/'(x)〉OJ(x)在上单调递增；

②当a=2时，!」,/'(》1.0恒成立，故/(x)在(0,+力)上单调递增；

a2

综上所述，当0＜。＜2时，/(x)在和上单调递增，在(；,一)上单调递减

当a=2时，/(x)在(0,+巧上单调递增；

(2)对Vxe(O,+8),都有/(x)-矿(X),,0成立,

即对Vxe(0,+8),a..1nx21恒成立，

X

(、

等价于对Vxe(O,+“),a..——.

\X/max

令g(x)=11KJ%〉0),g，(x)=3—?nx,

XX

C3A

当0<x<£时，g'(x)>°，g(x)在0，e2上单调递增,

I)

(3、

当次〉£时，g'(x)<°，g(x)在*+8上单调递减,

(3\

e2

(3、MT1

e2

则g(x)„g=/3、2=*，可得a..7y.

vJzze2e

e2

I)

综上，实数a的取值范围是［姿,+/J.

17.解：(1)证明：在平面CDEE内，过E做£。垂直于C。交C。于点O,

由CDEE为等腰梯形，且。。=2£/=4,则。。=1,

又OE=M，所以OE=dDE?-OD?=2,

连接Z0,由△40。三AE。。，可知NO_LCQ且N0=2,

所以在三角形Q4E中，AE2=0E2+0A2>

从而0E10A,

又OE：LCD,0AcCD=0,所以平面48CD,

OEu平面CDEF,所以平面ABCD1平面CDEF

（2）解：由（1）知，平面平面CDEE,以。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系,

则2(0,0,2),E(2,0,0),M(0,2,0),8(022),

AE=(2,0,-2),W=(-2,2,0),W=(0,0,2),

设平面的法向量为五=(x,J,z),

n-AE=Q2x-2z=0

则《_.，即＜

ii-EM=0—2x+2y=0

取Z=l，则力=(1,1,1),

同理，平面BEM的一个法向量为玩=（2,2,0）,

m-n2V6

所以cos（方㈤

\m\-\n\V63

/7

由图可以看出二面角Z-EN-8为锐角，故二面角/-EN-8的余弦值为

3

工=后

a

18.解：(1)设双曲线方程为:■—3■=1(。>0,6>0),则<(()—记=L

“'022

6Z—1

解得5/

6=4

所以小工=1，

16

设M（七,%），凡马,%）,理工0，%）

因为M,N两点都在双曲线f—2=1上，

16

，2

M-----1

所16

所以，，，

小为7

116

22

2

两式作差得X；_%2二4肾,

整理得X。（%—%）=%（：；也）,

,为（凹-必）1A

则左•左2=（；=16;

XAX1-X2）

-〃=KU，M(XQI),N(X2/2)

（2）设设直线"N的方程为y-

了一〃=《尸J

联立《，

/y-1

[16

化简得（16—左2）/+（公一2左〃）》一；/—〃2+kn-16=0,

A=16（4n2-4fo?-3Jl2+64）,

-^-k2-n2+kn-16

2

则k-2kn4______________

Xi+%=———记肉"2=16-k2

故|7M|=J1+左2x「；，|力v|

(1+灯(12+2

\TM\-\TN\=[\+k2^x--x--

x2|^2-16|

由kpQ+kMN—0，所以kp0一k,

(1+(-左)2)(12+(1+/乂12+〃2

从而吠/w吁同

.-.\TM\.\TN\=\TP\.\TQ\,即信

19解：(1)数列0,2,4,8不为「数列,

因为8+2=10,8—2=6,10和6均不是数列0,2,4,8中的项，

所以数列0,2,4,8不为「数列.

(2)①记数列｛4｝的各项组成的集合为Z,又0,,%<%:,,<久