2025高考数学大一轮复习讲义-函数的图象

§2.10函数的图象

【课标要求】1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析

法）表示函数2会画简单的函数图象.3.会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与

不等式解的问题.

・落实主干知识

【知识梳理】

1•利用描点法作函数图象的步骤：.

2.利用图象变换法作函数的图象

（1）平移变换

上碎＞0）个

移单位长度

左移

y=右移

h（h＞Q）个力（丸＞0）个

单位长度心。诡位长度

移

单位长度

⑵对称变换

关^4由对称

①y=«r）-----------=

关由对称

②y二危）------------=

Gzy\关于原点对称

③y=危）-------------二

关二%对称

④y="（4>0,且1）7=

⑶翻折变换

保留3轴上方图象，

①y=川）

将x轴下方图象翻折上去

保留,轴右侧图象，并作其,

②y=fix）

―关于1轴对称的图象

【常用结论】

1.左右平移仅仅是相对X而言的，即发生变化的只是X本身，利用“左加右减”进行操作.如

果X的系数不是1,需要把系数提出来，再进行变换.

2.函数图象自身的对称关系

a+b

⑴若函数y=/（%）的定义域为R，且有+x）=加-x）则函数尸治）的图象关于直线x=—

对称.

⑵函数y=段）的图象关于点（〃，力成中心对称=加+x）=26-加-%）=段）=2。-八2〃-x）.

3.两个函数图象之间的对称关系

⑴函数y=於）与y=fl2a-%）的图象关于直线x-a对称.

（2）函数y=段）与y=2b-fi2a-x）的图象关于点（。,。）对称.

【自主诊断】

1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打“J”或“义”）

⑴函数>=次%）|为偶函数.（）

（2）函数y=/Q一九）的图象，可由y=/（一%）的图象向左平移1个单位长度得到.（）

（3）当x£（0,+8）时，函数>=次£）|与>=月仅|）的图象相同.（）

（4）函数>=%）的图象关于y轴对称即函数y=«x）与>=/（一%）的图象关于y轴对称.（）

x2+x

2.函数"x）二一［「的部分图象大致为（）

3.函数月1）=ln（x+1）的图象与函数g（x）二--4x+4的图象的交点个数为（）

A.0B.1C.2D.3

4.函数y=加）的图象与y=e-r的图象关于y轴对称，再把y=於）的图象向右平移1个单位长

度后得到函数y=g（x）的图象,则g（x）=.

■探究核心题型

题型一作函数图象

例1作出下列各函数的图象:

2x-1

⑴

(2)y=*-4x-5|；

(3)y=(1)…-1.

跟踪训练1作出下列各函数的图象：

（l）y=^-2k|-3；

（2）y=|log2（x+1）1.

题型二函数图象的识别

_6r-6X

例2⑴（2024・濮阳模拟）函数於）=「一的大致图象为（）

|4--1|

AB

(2)(2022.全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间［-3,3］上的大致图象，则该函数

是()

-%3+31

A.卢FT

-2xcosx-2sinx

.k一+1■-v=777

思维升华识别函数的图象的主要方法

(D利用函数的性质，如奇偶性、单调性、定义域等判断.

(2)利用函数的零点、极值点等判断.

(3)利用特殊函数值判断.

跟踪训练2⑴函数期)=［左；+小”的部分图象为()

-2x(TWxWO),

(2)已知函数/U)=］广则下列图象错误的是()

W(O<xW1),

4L

o\12X

”=式厂1）的图象的图象

AB

-io|i-x

y=|/'（x）l的图象yMid）的图象

CD

题型三函数图象的应用

命题点1利用图象研究函数的性质

例3（多选）（2023•聊城模拟）关于函数八彳）=|ln|2-x|L下列描述正确的有（）

A.函数段）在区间（1,2）上单调递增

B.函数y=人龙）的图象关于直线x=2对称

C.若X1#X2,但尤1）=7（X2）,则XI+尤2=2

D.函数兀T）有且仅有两个零点

命题点2利用图象解不等式

例4（2023•商丘联考）已知定义在R上的奇函数兀0在［0,+8）上的图象如图所示，则不等式

知尤）＞2700的解集为（）

2Vx

A.（-^2,0）U（V2,2）

B.（-8,-2）u（2,+8）

C.（-8,-2）U（-V2,0）U（V2,2）

D.（-2,-A/2）U（0,V2）U（2,+°0）

命题点3利用图象求参数的取值范围

|3%+i-1|,%W0,

例5(2023•保定联考)已知函数於)=，’若函数g(x)=Ax)-“有三个零点，

Inx,x>0,

则a的取值范围是()

A.(0,1)B.(0⑵

C.(2,+8)D.(1,+8)

跟踪训练3(1)把函数於)=1中-3的图象向左平移2个单位长度，所得函数在(0,+8)上单

调递增，则a的最大值为()

A.1B.2C.3D.4

(2)已知函数J[x)=\x-2\+1,g(x)=Ax若方程於)=g(x)有两个不相等的实数根，则实数k的

取值范围是___________________________.

(3)设函数4x)的定义域为R,满足"r)=2fix-2),且当(0,2]时,fix)-x(2-x),若对任意

xG(-8,河，都有/(x)W3，则实数机的取值范围是_______________________

§2.10函数的图象答案

落实主干知识

知识梳理

1.列表描点连线

2.(1游)+4A+0fix-h)

Kx)-k⑵①-於)@A-x)

③-八-X)④loga无3>0，且aWl)⑶①|Ax)|②AIR)

自主诊断

1.(1)X(2)X(3)X(4)X

2.C3.C4.e-x+l

探究核心题型

例1解(1)

原函数解析式可化为y=2+士，故函数图象可由函数的图象向右平移1个单位长度，

X1左

再向上平移2个单位长度得到，如图所示.

(2)y=*—4x—5］的图象可由函数＞=/一4尤一5的图象保留x轴上方的部分不变，将无轴下方

的部分翻折到x轴上方得到，如图所示.

(3»=包厂11—1，其图象可看作由函数＞=(})区的图象向右平移1个单位长度，再向下平移1

个单位长度得到，

而尸（引』映'e°'

其图象可由的图象保留xNO时的图象，然后将该

2X,x＜0,

部分关于y轴对称得到，则＞=(})厂"一1的图象如图所示.

/—2x—3,

21c/'其图象如图所示.

{产十2x—3,x<0,

(2)y=|log2(x+l)|,其图象可由y=log2X的图象向左平移1个单位长度，

再保留X轴上方部分不变，将X轴下方部分翻折到工轴上方得到，如图所示.

例2⑴C［由题意知函数/(x)的定义域为*kW土:

6~X—6X

因为/_九)=1©2_1=一加)，所以危)为奇函数，故排除A；

35

因为/1)=诟>0,故排除B；

因为式2)=需259稔35=式1),故排除D.］

⑵A［对于选项B,当x=l时，y=0,与图象不符，故排除B；对于选项D,当x=3时，y

=1sin3>0,与图象不符，故排除D；对于选项C,当0<l<今时，0<cosx<\,故尸］

<1,与图象不符，故排除C.］

跟踪训练2(1)D(2)D

例3ABD［由函数y=lnx,x轴下方图象翻折到上方可得函数y=|lnx|的图象，将y轴右侧

图象翻折到左侧，右侧不变，可得函数y=|ln|x||=|ln|—刈的图象，将函数图象向右平移2个

单位长度，可得函数y=|ln|—(x—2)||=|ln|2—刈的图象，则函数段)=|ln|2-的图象如图所

示.

y

5

4

3

2

-3-2-10123456

由图可得函数五X)在区间(1,2)上单调递增，故A正确；

函数y=/(x)的图象关于直线x=2对称，故B正确；

若X1WX2,但"X1)=«X2),则Xl,X2关于直线X=2对称，则修+欠2=4,故C错误;

函数五元)有且仅有两个零点，故D正确.］

例4c［根据奇函数的图象特征，作出於)在(一8,0)上的图象，如图所示，

田-2>0,仅一2<0,

由力》>纨x),得(7一2次x)>0,贝、八或1、八

如)>0而)<0,

解得X<—2或陋<x<2或一也<x<0,故不等式的解集为(一8,—2)U(一也，0)U(V2,2).］

例5A［要使函数g(x)=/a)—〃有三个零点，

贝有三个不相等的实根，即>=危)与y=a的图象有三个交点，

当尤W—1时，八元)=1一在(一8,—1]上单调递减，»e[O,l)