圆的对称性第2课时垂径定理课件华东师大版数学九年级下册

27.2

圆的对称性2.圆的对称性第2课时

垂径定理问题:你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？新课导入问题：如图,AB是⊙O的一条弦,直径CD⊥AB,垂足为P.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧?为什么?线段:AP=BP弧:AC=BC,AD=BD⌒⌒⌒⌒理由如下：把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AP与BP重合，AC和BC,AD与BD重合．⌒⌒⌒⌒·OABDPC一、垂径定理及其推论讲授新课·OABDCP试一试已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD，垂足为P.求证：AP=BP，AC=BC,⌒⌒⌒⌒AD=BD.证明：连接OA、OB、则OA=OB.即△AOB是等腰三角形.∵AB⊥CD，∴AP=BP，⌒⌒AC=BC.∴AD=BD，⌒⌒∠AOC=∠BOC.从而∠AOD=∠BOD.想一想：能不能用所学过的知识证明你的结论？垂径定理·OABCDP垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.∵CD是直径，CD⊥AB，(条件)∴AP=BP,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.(结论)归纳总结推导格式：温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？是不是，因为没有垂直是不是，因为CD没有过圆心ABOCDEOABCABOEABDCOE

DOABEC举例证明其中一种组合方法已知:求证：①CD是直径②CD⊥AB，垂足为E③AE=BE④AC=BC⑤AD=BD⌒⌒⌒⌒证明猜想

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.垂径定理的推论·OABCD归纳总结DOABEC

平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦垂径定理的本质是:（2）直径垂直于弦（3）直径平分弦（不是直径）（4）直径平分弦所对的优弧。（5）直径平分平分弦所对的劣弧（1）直径知二求三例1

如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=

cm.·OABE解析：连接OA，∵OE⊥AB，∴AB=2AE=16cm.16二、垂径定理及其推论的计算∴cm.典例精析例2

如图，

⊙

O的弦AB＝8cm，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.·OABECD解：连接OA，∵

CE⊥AB于D，∴设OC=xcm，则OD=x-2,根据勾股定理，得解得x=5，即半径OC的长为5cm.x2=42+(x-2)2，试一试：根据所学新知，你能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱半径的问题吗?三、垂径定理的实际应用ABOCD∴AB=37m，CD=7.23m.∴AD=AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.解得R≈27.3（m）.R2=18.52+(R-7.23)2

∵即主桥拱半径约为27.3m.例3：已知：⊙O中弦AB∥CD,求证：AC＝BD.⌒⌒.MCDABON证明：作直径MN⊥AB.∵AB∥CD，∴MN⊥CD.则AM＝BM，CM＝DM（垂直弦的直径平分弦所对的弧）

AM－CM＝BM－DM∴AC＝BD⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒

通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.方法归纳涉及垂径定理时辅助线的添加方法弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：弓形中重要数量关系ABCDOhrd

d+h=r

OABC·

4.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？理由：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE。∴AE－CE＝BE－DE

即AC＝BD.O.ACDBE解：AC=BD6.（分类讨论题）已知☉O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为

.14cm或2cm5.如图，在△ABC中，已知∠ACB=130°，∠BAC=20°，BC=2，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为_______．垂径定理内容推论辅助线一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦;③平分弦（不是直径）;④平分弦