专题4.5 一次函数的应用（5种方法7类题型）（知识点梳理与题型分类讲解）（北师大版）（解析版）

第页专题4.5一次函数的应用（5种方法7类题型）（知识点梳理与题型分类讲解）第一部分【知点梳理与题型目录】【知识点1】利用一次函数解决实际问题的步骤审—仔细审题理解题意；找—找出实际问题中的变量和常量，明确它们之间的关系；列—建立一次函数表达式，弄清自变量的取值范围；解—根据题目中的已知条件，由一个变量求另一个变量，也就是解方程的过程；验—检验结果，得出符合实际的结论.【知识点2】一次函数模型的应用方法函数应用题是以贴近现实生活的话题为背景运用函数知识来解决的一类问题这类问题也是中考的热点，要求能依据问题的特点建立函数模型，收集信息，并加以解决.【知识点3】选取合适的一次函数解决方案问题方案的选取就是在自变量的不同取值范围内比较多个函数值的大小，同时也是利用一次函数解决实际问题的典型题目，它的实质是将比较函数值大小的问题转化为解方程或解不等式的问题.【知识点4】利用一次函数最值解决最优化问题的方法最值问题是中考的热点与难点问题我们知道，一次函数()中的自变量的取值范围是全体实数,其图象是一条直线所以函数既没有最大值，也没有最小值，但由于在实际问题中，所列函数表达式中自变量的取值范围往往有一定的限制，所以函数图象为线段或射线，故函数就有了最值在求函数的最值时，我们应先求出函数的表达式，并确定其增减性，再根据题目条件确定出自变量的取值范围，然后结合增减性确定出最大值或最小值.【知识点5】构造一次函数模型解决动态几何问题的方法在图形运动变化过程中，往往伴随着图形位置关系及数量关系的变化，有些能够用一次函数来反映图形运动的变化规律解决动态几何问题，要动中有静、动静结合，在运动变化中提高学生的想象能力、综合分析能力.题型目录【题型1】利用一次函数解决最优方案问题1;【题型2】利用一次函数最值解决最优化问题4；【题型3】一次函数与几何问题6；【题型4】一次函数与行程问题10；【题型5】利用一次函数解决其他问题13；【题型6】直通中考16；【题型7】拓展延伸19.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】利用一次函数解决最优方案问题【例1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）周末，张洋去某杨梅园摘杨梅，已知该杨梅园内的杨梅单价是每千克40元．为满足客户需求，该杨梅园现推出两种不同的销售方案：甲方案：游客进园需购买30元的门票，采摘的杨梅按原价的七折收费；乙方案：游客进园不需购买门票，采摘的杨梅在10千克以内按原价收费、超过10千克后，10千克部分按原价收费，超过部分按原价的五折收费．设张洋的采摘量为千克，按甲方案所需总费用为元，按乙方案所需总费用为元．（1）当采摘量超过10千克时，分别求出、关于x的函数表达式；（2）若张洋的采摘量为30千克，选择哪种方案更划算？请说明理由．【答案】(1)，；(2)选择乙方案更划算，见解析.【分析】本题考查了一次函数在实际问题中的应用，正确求出一次函数的解析式是解题关键．（1）根据甲、乙收费方案即可求解；（2）令，分别求出，，即可进行判断．解：（1）由题意得：，；（2）选择乙方案更划算理由：当时，，．∵，∴选择乙方案更划算．【变式1】某游泳馆新推出了甲、乙两种消费卡，设游泳次数为时两种消费卡所需费用分别为，元，，与的函数图象如图所示，当游泳次数为30次时选择哪种消费卡更合算（

）A．甲种更合算 B．乙种更合算 C．两种一样合算 D．无法确定【答案】B【分析】根据一次函数的图象，哪个函数图象在上面，哪个就大，直接得出答案即可．解：利用图象，当游泳次数大于10次时，在上面，即＞，∴当游泳次数为30次时，选择乙种方式省钱．故选：B．【点拨】此题主要考查了一次函数的应用以及利用函数图象比较函数大小，利用数形结合得出是解题关键．【变式2】．（2021·浙江杭州·二模）A城有种农机30台，B城有该农机40台，现要将这些农机全部运往C，D两乡，调运任务承包给某运输公司．已知C乡需要农机34台，D乡需要农机36台，从A城往C，D两乡运送农机的费用分别为250元/台和200元/台，从B城往C，D两乡运送农机的费用分别为150元/台和240元/台．设A城运往C乡该农机x台，运送全部农机的总费用为W元，则W关于x的函数关系式为．【答案】【分析】因为A城运往C乡x台农机，则A城运往D乡（30﹣x）台农机，B城运往C乡（34﹣x）台农机，B城运往D乡[40﹣（34﹣x）]台农机，就可以得到关系式．解：由题意得：因为A城运往C乡x台农机，则A城运往D乡（30﹣x）台农机，B城运往C乡（34﹣x）台农机，B城运往D乡[40﹣（34﹣x）]台农机W＝250x+200（30﹣x）+150（34﹣x）+240[40﹣（34﹣x）]＝140x+12540，故答案为：W＝140x+12540．【点拨】本题考查一次函数的应用，属于一般的应用题，解答本题的关键是根据题意得出y与x的函数关系式．【题型2】利用一次函数最值解决最优化问题【例2】（2024·山东济南·模拟预测）2023山东国际农业博览会于2023年12月22-24日在山东国际会展中心举办，本届农博会以“聚焦新机遇·共谋新发展”为主题，致力打造从田间到餐桌，全链条创新发展商贸服务平台，全面展示现代农业、农业全产业链新产品、新技术、新成就，扩大内外市场、促进交流合作．打造农、食、餐、饮产品主题特色展览展示盛会．展会上，某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨．（1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？（2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润．【答案】(1)这个月该公司销售甲特产15吨，乙特产85吨;(2)该公司一个月销售这两种特产能获得的最大总利润为26万元.【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和方程的知识解答．（1）根据题意，可以列出相应的一元一次方程，从而可以求得这个月该公司销售甲、乙两种特产分别为多少吨；（2）根据题意，可以得到利润与甲种特产数量的函数关系式，再根据甲种特产的取值范围和一次函数的性质，可以得到利润的最大值．解：（1）设这个月该公司销售甲特产吨，则销售乙特产吨．依题意，得，解得，则，经检验符合题意，所以，这个月该公司销售甲特产15吨，乙特产85吨；（2）设一个月销售甲特产吨，则销售乙特产吨，且，公司获得的总利润，因为，所以随着的增大而增大，又因为，所以当时，公司获得的总利润的最大值为26万元，故该公司一个月销售这两种特产能获得的最大总利润为26万元．【变式1】（23-24八年级上·江苏扬州·期末）在期中考试总结会议上，学校决定购买A，B两种奖品共120件，对表现优异的学生进行奖励．已知A种奖品的价格为32元/件，B种奖品的价格为15元/件．（1）请直接写出购买两种奖品的总费用y（元）与购买A种奖品的数量x（件）之间的关系式；（2）当购买了30件A种奖品时，总费用是多少元？（3）若购买的A种奖品不多于50件，则总费用最多是多少元？【答案】(1)；(2)2310元；(3)总费用最多是2650元．【分析】本题考查的是一次函数的实际应用，理解题意，确定函数关系式是解本题的关键；（1）由总费用等于购买两种奖品的费用之和建立函数关系式即可；（2）把代入（1）中的解析式计算即可；（3）利用一次函数的性质解答即可；解：（1）根据题意，得：，即购买两种奖品的总费用y（元）与购买A种奖品的数量x（件）之间的关系式为；（2）当时，，答：当购买了30件A种奖品时，总费用是2310元；（3）由题意，得，由（1）可知为，∵，∴y随x的增大而增大，∴当时，y有最大值为，答：若购买的A种奖品不多于50件，则总费用最多是2650元．【变式2】（23-24八年级下·河北唐山·期末）某商场计划购进两种服装共100件，甲种服装进价160元/件，售价元/件；乙种服装进价元/件，售价160元/件．设购进甲种服装件，两种服装全部售完，商场获利最大利润为4950元，则的值为．(其中)【答案】9【分析】本题考查一次函数的实际应用，设商场获得的利润为，根据总利润等于两种服装的利润之和，列出一次函数关系式，根据一次函数的性质，结合商场获利最大利润为4950元，进行求解即可．解：设商场获得的利润为，由题意，得：，整理，得：，∵，当，即：时，随的增大而减小，∴当时，商场获得最大利润，即：，解得：（舍去）；当时，即：时，随的增大而增大，∴当时，商场获得最大利润，即：，解得：；故答案为：9．【题型3】一次函数与几何问题【例3】（24-25九年级上·广东广州·开学考试）如图①，一次函数的图象分别交轴、轴于点A，B，正比例函数的图象与直线交于点．（1）求的值并直接写出正比例函数的解析式；（2）如图②，点在线段上，且与点O，C不重合，过点作轴于点，交线段于点，点的横坐标为4．若是直线上的一点，的面积为面积的3倍，求点的坐标．【答案】(1)，;(2)点的坐标为或.【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，待定系数法求正比例函数解析式，掌握一次函数的图象与性质，正比例函数的图象与性质，三角形面积的计算是解题的关键．（1）将代入求解即可得到的值，再将代入求出的值即可；（2）先求出点、的坐标，然后即可求出的长，再求出的面积，然后可以得出的面积，设，根据，进行计算即可得到答案．解：（1）将代入得：，解得：，，，，正比例函数的解析式为；（2）点在线段上，点的横坐标为4，在中，当时，，，轴于点，交线段于点，点的横坐标与点的横坐标相同为4，在中，当时，，，，，，，的面积为面积的3倍，，轴于点，点的横坐标为4，，直线上的一点，设，，即，解得：或，点的坐标为或．【变式1】（2024·内蒙古鄂尔多斯·三模）如图，从光源发出的一束光，遇到平面镜（轴）上的点后，反射光线交轴于点，若光线满足的函数关系式为：，则的值为（）A． B． C．1 D．﹣1【答案】A【分析】本题考查了一次函数的应用、全等三角形的判定与性质，延长，交轴于点，过点作轴，证明，得出，从而得出点的坐标为，再代入一次函数解析式即可得出答案．解：延长，交轴于点，过点作轴，如图所示：∵轴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴．在与中，，∴，∴，∴点的坐标为，将坐标代入得，，解得，故选：A．【变式2】（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）一次函数的图象交轴、轴分别于点，，点，分别是，的中点，若是上一动点．当周长最小时，的坐标是．【答案】【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及轴对称最短路线问题，由点，的坐标及点，分别是，的中点，可得出点，的坐标，作点关于轴的对称点，连接交于点，此时周长最小，由点的坐标可得出点的坐标，由点，的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出当周长最小时点的坐标．解：点的坐标为，点的坐标为，点是的中点，点为的中点，点的坐标为，点的坐标为．作点关于轴的对称点，连接交于点，此时周长最小，如图所示．点的坐标为，点的坐标为．设直线的解析式为，将，代入得：，解得：，直线的解析式为．当时，，此时点的坐标为．故答案为：．【题型4】一次函数与行程问题【例4】（23-24八年级下·河南信阳·期末）共享电动车是一种新理念下的交通工具；主要面向的出行市场，现有两种品牌的共享电动车，给出的图象反映了收费（元）与骑行时间之间的对应关系，其中品牌收费方式对应，品牌的收费方式对应，请根据相关信息，解答下列问题：（1）说出图中函数交点表示的实际意义；（2）求关于的函数解析式；（3）如果小明每天早上需要骑行品牌或品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为那么小明选择______品牌共享电动车更省钱？（填“”或“”）【答案】(1)点表示的意义是：当时间为时，两种品牌的共享电动车的收费一样(2)，，(3)B【分析】本题主要考查一次函数图象的性质与运用，理解图象，掌握待定系数法求解析式是解题的关键．（1）根据图示信息，一次函数交点的意义即可求解；（2）根据题意，可得点，，运用待定系数法即可求解；（3）先计算出所需的时间，把时间代入（2）中的解析式即可求解．解：（1）根据图示，点表示的意义是：当时间为时，两种品牌的共享电动车的收费一样；（2）根据题意，，，设，∴，解得，，∴，设，当时，，当时，，解得，，则，∴；（3）解：，∴，当选择A品牌时，（元）；当选择B品牌时，∵，∴（元）；∵，∴选择B品牌共享电动车更省钱，故答案为：B．【变式1】（24-25九年级上·全国·课后作业）为增强学生体质，某中学在体育课中加强了学生的长跑训练．在一次女子800米耐力测试中，小静和小茜在校园内400米的环形跑道上同时起跑，同时到达终点．所跑的路程s（米）与所用的时间t（秒）之间的函数图象如图所示，则她们第一次相遇的时间是起跑后的第（

）A．80秒 B．105秒 C．120秒 D．150秒【答案】C【分析】本题考查了一次函数的运用，一次函数的图象的意义的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用．解答时认真分析求出一次函数图象的数据意义是关键．解：设直线的解析式为，把点代入中，得，解得，故直线的解析式为，设线段的解析式为，由题意得，解得，线段的解析式为，当时，，解得，则她们第一次相遇的时间是起跑后的第120秒．故选：C．【变式2】（23-24八年级下·全国·单元测试）摩托车甲、汽车乙从相距的A、B两地相向而行，图中、分别表示甲、乙两车离A地的距离与行驶时间之间的函数关系．当时，汽车乙离A地的距离不小于摩托车甲离A地的距离的时间范围是．【答案】【分析】本题考查了从函数图象中获取信息、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，熟练掌握相关知识点并灵活运用是解答此题的关键．先利用待定系数法求出两直线解析式，最后根据汽车乙离A地的距离不小于摩托车甲离A地的距离，列出一元一次不等式解不等式即可得到答案．解：设的解析式为，将代入得：，解得，解析式为，同理可得的解析式为，根据题意得：，解得：，又∵．∴汽车乙离A地的距离不小于摩托车甲离A地的距离的时间范围是：【题型5】利用一次函数解决其他问题【例5】（23-24八年级下·全国·期末）为预防流行病毒，某校对教室进行消毒．设室内每立方米空气中的含药量为，从开始消毒计时为（分钟）．前10分钟为药物释放阶段，与成正比例关系；10分钟以后，与成一次函数关系，测得10分钟时，室内含药量为；30分钟时，室内含药量为．根据以上信息解答下列问题：（1）求与的函数关系式；（2）当每立方米空气中含药量不低于持续40分钟消毒才有效，此次消毒是否有效？【答案】(1);(2)有效.【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用：（1）分当时，当时，两种情况设出解析式，利用待定系数法求解即可；（2）根据（1）所求，分别求出当时，当时函数值为4的自变量的值即可得到结论．解：（1）当时，设，把代入中得：，解得，∴；当时，设，把、代入中得：，∴，∴；综上所述，（2）解：在中，当时，，在中，当时，，∵，∴这次消毒是有效的．【变式1】（24-25九年级上·北京·开学考试）小明同学在一次学科综合实践活动中发现，某品牌鞋子的长度与鞋子的码数之间满足一次函数关系，下表给出与的一些对应值：根据小明的数据，可以得出该品牌38码鞋子的长度为（

）码数x26303442长度y18202226A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了一次函数的应用．根据待定系数求出一次函数解析式，然后再将代入函数解析式，求出y的值即可．解：设与的一次函数解析式为，点，在该函数图象上，∴，解得，即与的函数解析式为，当时，，故选：A．【变式2】（23-24八年级下·湖南长沙·期末）某医院研究所开发了一种新药，在实验药效时发现：如果成人按规定剂量服用，那么服药后每毫升血液中含药量y（微克）随时间x（小时）的变化情况如图所示，如果每毫升血液中的含药量3微克或3微克以上时，治疗疾病最有效，那么这个最有效的时间共有小时．【答案】4【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，求出时，与之间的函数关系式，时，与之间的函数关系式，把代入所得的两个函数解析式，看得到的相应时间，较大的数减较小的数即为有效时间．解：设时，正比例函数解析式为，把代入得，，当时，与之间的函数关系式是；设时，一次函数解析式为，，，在函数解析式上，，解得，当时，与之间的函数关系式是；把代入得，；把代入得，，有效时间为，如果每毫升血液中的含药量3微克或3微克以上时，治疗疾病最有效，那么这个最有效的时间共有4小时．故答案为：4．第三部分【中考链接与拓展延伸】【题型6】直通中考【例1】（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）领航无人机表演团队进行无人机表演训练，甲无人机以a米/秒的速度从地面起飞，乙无人机从距离地面20米高的楼顶起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达训练计划指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙无人机按照训练计划准时到达距离地面的高度为96米时，进行了时长为t秒的联合表演，表演完成后以相同的速度大小同时返回地面．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y(米)与无人机飞行的时间x(秒)之间的函数关系如图所示．请结合图象解答下列问题：（1）(1)______米/秒，______秒；（2）求线段所在直线的函数解析式；（3）两架无人机表演训练到多少秒时，它们距离地面的高度差为12米？(直接写出答案即可)【答案】(1)8，20；(2)；(3)2秒或10秒或16秒．【分析】本题主要考查求一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键．（1）根据图形计算即可求解；（2）先求得甲无人机单独表演所用时间为秒，得到，利用待定系数法即可求解；（3）利用待定系数法分别求得线段、线段、线段所在直线的函数解析式，再分三种情况讨论，列式计算即可求解解：（1）由题意得甲无人机的速度为米/秒，，故答案为：8，20；（2）由图象知，，∵甲无人机的速度为8米/秒，甲无人机匀速从0米到96米所用时间为秒，甲无人机单独表演所用时间为秒，∴秒，∴，设线段所在直线的函数解析式为，将，代入得，解得，∴线段所在直线的函数解析式为；（3）由题意，，同理线段所在直线的函数解析式为，线段所在直线的函数解析式为，线段所在直线的函数解析式为，当时，由题意得，解得或（舍去），当时，由题意得，解得或（舍去），当时，由题意得，解得或（舍去），综上，两架无人机表演训练到2秒或10秒或16秒时，它们距离地面的高度差为12米．【例2】（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）某超市从某水果种植基地购进甲、乙两种优质水果，经调查，这两种水果的进价和售价如表所示：水果种类进价（元/千克）售价（元/千克）甲22乙25该超市购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元：购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需705元．（1）求的值；（2）该超市决定每天购进甲、乙两种水果共150千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于50千克，且不大于120千克．实际销售时，若甲种水果超过80千克，则超过部分按每千克降价5元销售．求超市当天销售完这两种水果获得的利润（元）与购进甲种水果的数量（千克）之间的函数关系式（写出自变量的取值范围），并求出在获得最大利润时，超市的进货方案以及最大利润．【答案】(1)，；(2)，购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，解题的关键是∶（1）根据“购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元：购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需705元”列方程求解即可；（2）分，两种情况讨论，根据总利润等于甲的利润与乙的利润列出函数关系式，然后利用一次函数的性质求解即可．解：（1）根据题意，得，解得；（2）当时，根据题意，得，∵，∴随的增大而增大，∴当时，有最大值，最大值为，即购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元；当时，根据题意，得，∵，∴随的增大而减小，∴时，有最大值，最大值为，即购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元；综上，，购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元．【题型7】拓展延伸【例1】．（2024·四川广安·中考真题）已知，直线与轴相交于点，以为边作等边三角形，点在第一象限内，过点作轴的平行线与直线交于点，与轴交于点，以为边作等边三角形（点在点的上方），以同样的方式依次作等边三角形，等边三角形，则点的横坐标为．【答案】【分析】直线直线可知，点坐标为1,0，可得，由于是等边三角形，可得点，把代入直线解析式即可求得的横坐标，可得，由于是等边三角形，可得点；同理，，发现规律即可得解，准确发现坐标与字母的序号之间的规律是解题的关键．解：∵直线l