连续函数市公开课金奖市赛课一等奖课件

第五章连续函数郇中丹-年第一学期1第1页第1页基本内容§1函数在一点连续性§2初等函数连续性§3主要函数极限§4在集合上连续函数§5闭区间上连续函数性质§6 一致连续性§7闭集和开集及紧性概念2第2页第2页§1.函数在一点连续性函数在一点连续定义函数在一点左连续和右连续函数在一点连续性质连续函数例子3第3页第3页函数在一点连续定义定义:设IR为区间,:IR.说在x0I处连续,假如e>0,d=d(e)>0,xI:|x-x0|<d,|(x)-(x0)|<e.在一点连续等价说法:4第4页第4页函数在一点左连续和右连续左连续和右连续:设:IR,x0I不是端点.假如就说在x0处右连续；假如就说在x0处左连续.和分别叫做在x0处右极限和左极限.命题:设:IR,x0I.则在x0处连续当且仅当:(1)x0不是端点时,在x0处左右都连续;(2)x0为左(右)端点时,在x0处右(左)都连续.#5第5页第5页函数在一点连续性质设,g:IR在x0I处连续,c,dR.则算术性质:c+dg,g,和/g(若g(x0)0)在x0处连续;复合性质:若函数u在(x0)处连续,则h=u在x0处连续;保号性:若(x0)0,则d>0,xI(x0-d,x0+d),(x)(x0)>0有界性:C>0,d>0,xI(x0-d,x0+d),|(x)|C.6第6页第6页连续函数例子1.常值函数(x)=c是连续;2.恒等函数(x)=x是连续;3.多项式函数P(x)=Sakx^k是连续;4.有理函数(x)=P(x)/Q(x)在Q(x)0处(自然定义域上)是连续,其中P(x)和Q(x)是多项式;(3和4是连续函数性质推论)5.n根函数(x)=x^{1/n}在其定义域上是连续;6.整数部分函数(x)=[x]在非整数点连续,宰整数点右连续但不左连续;7第7页第7页书上62页例子设在闭区间[a,b]每个点连续.则函数

在闭区间[a,b]每个点同样连续.其中n为整数.讨论:(1)通过讨论在整数点左右极限.(2)注意当求和下限不小于上限时,商定和式为零.#8第8页第8页习题十一(I)1.设:RR,x0R.证实:(x)l(xx0)当且仅当(x)l(xx0+)和(x)l(xx0-).2.设:RR.讨论函数g(x)=([x])连续性.3.讨论下列函数连续性:9第9页第9页习题十一(II)4.计算下列极限:5.设和g是定义在(a,+)函数.假设和g在任何有界区间(a,b)上都有界,x>y>a,g(x)>g(y)且g(x)+(x+).证实:10第10页第10页§2初等函数连续性幂定义指数函数性质指数函数连续性指数函数极限和值域性质自然对数函数对数函数和幂函数三角函数11第11页第11页幂定义(I)正整多次幂:设aR.nN+.an次幂定义下列正整多次幂基本性质:幂推广到整数并且保留幂性质:要把幂推广到有理数,首先需要确保n次算术根存在性,为此要求a>0.定义下列

12第12页第12页幂定义(II)有理指数幂仍然保留了幂基本性质(验证关键是用到n次算术根惟一性).无理次幂:先考虑a>1,对于rR,定义ar次幂为这里利用了有理次幂递增性.由对于有理次幂性质,能够自然定义当0<a<1时,13第13页第13页指数函数性质设a>0,a0.定义以a为底指数函数为讨论a>1情形就够了.此时(x)由下列性质:(1)正性:xR,(x)>0;(2)严格单调递增性:x<y,(x)<(y);(3)x,yR,(x+y)=(x)(y).证实:(1)和(2)直接由定义.(3)由14第14页第14页指数函数连续性指数函数在R每一点都连续.证实:取定x0R.则对于xR,因此只要证实在x0=0点连续就行了.任取e>0,由则存在N,有因此由指数函数单调性,当|x|<1/N时,15第15页第15页指数函数极限和值域性质指数函数(x)极限性质(a>1):(1)(x)+(x+);(2)(x)0(x-)证实:由单调性和(-x)=1/(x),只要证实(n)+(n+)就够了,这是相关a^n极限推论.#指数函数值域(R)=(0,+).证实:由指数函数正性(R)(0,+).假设r>0,r(R),记a=sup{x|(x)<r},b=inf{x|(x)>r}.必有a=b.因此在a点不连续,矛盾.#16第16页第16页自然对数函数考虑a=e情形,此时指数函数记作exp(x).记其在(0,+)上反函数为ln(x),叫作自然对数函数.1.ln(x)严格单调,ln(0+)=-,ln(+)=+.#2.ln(x)在(0,+)每一点都连续.证实:取x0(0,+).任取e>0,令d=min{exp(ln(x0)+e)-x0,x0-exp(ln(x0)-e)}.当|x-x0|<d时,exp(ln(x0)-e)<x<exp(ln(x0)+e)也就是ln(x0)-e<ln(x)<ln(x0)+e.#17第17页第17页对数函数和幂函数对于a>0,a1,指数函数和相应对数函数指数运算规则:幂函数:设aR,指数为a幂函数能够写为更普通地:利用复合函数能够讨论它们定义域和连续性.18第18页第18页三角函数三角函数连续性讨论是基于下面利用三角函数单位圆描述得得到几何事实:xR,|sinx||x|.以及|sinx|,|cosx|1.正弦函数:利用sinx-siny=2sin(x-y)/2cos(x+y)/2;余弦函数:利用cosx-cosy=2sin(y-x)/2sin(x+y)/2;tanx,cotx,secx和cscx利用其与正弦和余弦关系及连续函数算术性质.19第19页第19页习题十二1.用定义验证下列函数再起定义域上是连续.2.证实:(1)x(0,1),lnx<0;(2)x>1,lnx>0;3.讨论幂函数 在区间(0,+)单调性,即,对于那些a,有x>y>0,(x)>(y);对于那些a,有x>y>0,(x)<(y).20第20页第20页§3主要函数极限指数对数函数主要极限三角函数主要极限应用主要极限例子21第21页第21页指数对数函数主要极限(I)指数对数主要极限:证实:1.先考虑x+情形:由数列情形结论得到利用指数函数和幂函数单调性:夹逼性质就给出相应结论.22第22页第22页指数对数函数主要极限(II)2.考虑x-情形:作代换(把问题当作是复合函数)y=-x,就得到3.结合前两部分结果就得到结论.#主要极限推论:23第23页第23页三角函数主要极限正弦主要极限:证实:只要考虑0<|x|<p/2.先考虑0<x<p/2情形.利用单位圆中面积比较得到:sinx<x<tanx.因此,cosx<sinx/x<1.由cosx和sinx/x都是偶函数,这个不等式对于0>x>-p/2也是成立.利用cosx连续性和夹逼性质就得到了结论.#24第24页第24页应用主要极限例子(I)1.2.(1-cosx)/x^21/2(x0);或1-cosx=x^2/2+o(x^2)(x0);或(1-cosx)/x^2=1/2+o(1)(x0);或cosx=1-x^2/2+o(x^2)(x0);或1-cosx~x^2/2(x0).25第25页第25页应用主要极限例子(II)3.(1+x/n)^n=exp(nln(1+x/n))=exp(xln[(1+x/n)^{n/x}])exp(x)(x0);或(1+x/n)^n=exp(x)+o(1)(x0).26第26页第26页习题十三(I)1.计算下列极限2.利用小o记号表述上述极限.27第27页第27页习题十三(II)3.计算下列极限:若28第28页第28页§4在集合上连续函数描述函数性质若干定义间断点及其分类单调收敛原理单调函数间断点和连续性区间上严格单调函数反函数初等函数反函数及其性质29第29页第29页描述函数性质若干定义在集合上连续:若函数在集合A每一点都连续,就说在集合A上连续.单调函数:设AR,:AR.下面四类函数称作单调:1)递增函数:x,yA,x<y,(x)(y);2)递减函数:x,yA,x<y,(x)(y);3)严格递增函数:x,yA,x<y,(x)<(y);4)严格递减函数:x,yA,x<y,(x)>(y).30第30页第30页间断点及其分类间断点:设:AR,xA.若在x点不连续就说在x点间断.间断点分类:1)第一类间断点:左右极限存在且有限,其中之一与函数在该点值不相等;2)第二类间断点:不是第一类间断点叫第二类间断点.可去间断点:左右极限相等第一类间断点.例子:1)(x)=[x];2)(x)={x};3)(x)=sin1/x,若x0,定义(0)=0.31第31页第31页单调收敛原理引理:设在(a,b)上单调,则在a点右极限和在b点左极限存在.证实:只讨论递增时在b点左极限,其它情形类似.记b=sup{(x)|x(a,b)}.情形1.b<+.任取e>0,z(a,b),(z)>b-e.则当z<x<b时,b-e<(x)b.因此(x)b(xb).情形2.b=+.任取c>0,z(a,b),(z)>c.则当z<x<b时,(x)>c.因此(x)b(xb).#32第32页第32页单调函数间断点和连续性单调函数值由第一类间断点:设是[a,b]上单调函数,则在各点单侧极限都存在.因而值也许有第一类间断点.证实:利用单调收敛原理.#区间上单调函数连续性准则:设在区间I上单调.则在I上连续当且仅当(I)是区间.(要讨论什么是区间)证实:1.I是区间当且仅当x,yI,x<y,则[x,y]I.这由区间定义得到.33第33页第33页区间上单调函数连续性准则2.不妨假设是递增.3.若是在I上连续.任取a,b(I),a=(a)<b=(b),则a<b.任取g(a,b),令c=sup{x[a,b]|(x)<g}.不难证实必有c=inf{x[a,b]|(x)>g}.这样就有(c^-)g.由连续性(c)=g.4.假设(I)是个区间.任取cI,则(c^-)(c)(c^+).若(c^-)<(c)或(c)<(c^+)成立,则取不到((a),(c))中或((c),(b))中所有值,其中a,bI,a<c<b.因此在c点连续.#34第34页第34页区间上严格单调函数反函数严格单调函数反函数定理:假如是区间I上严格单调函数,则有定义在(I)上反函数,记为g.若在I上连续,则g在(I)上也连续.证实:由严格单调,是I到(I)双射,因而有定义在(I)上反函数,记为g.若在I上连续,则直接利用区间上单调函数连续性准则就得到g在(I)上也连续.例子:Kepler方程x-esinx=y(0<e<1)在R上有严格增连续函数解x=x(y).35第35页第35页初等函数反函数及其性质(I)1.指数函数exp(x)和对数函数ln(x):x>0,exp(ln(x))=x;xR,ln(exp(x))=x;x,yR,exp(x+y)=exp(x)exp(y);x,y>0,ln(xy)=ln(x)+ln(y);x>0,yR,ln(x^y)=yln(x);2.幂函数(x)=x^a(aR)反函数仍是幂函数g(x)=x^{1/a},x(0,+).(奇延拓和偶延拓)3.反三角函数定义:y=arcsinx,x[-1,1],y[-p/2,p/2];y=arccosx,x[-1,1],y[0,p];36第36页第36页初等函数反函数及其性质(II)反三角函数y=arctanx,x(-,+),y(-p/2,p/2);y=arccotx,x(-,+),y(0,p);y=arcsecx,x(-,-1][1,+),y(0,p/2)(p/2,p);y=arccscx,x(-,-1][1,+),y(-p/2,0)(0,p/2).反三角函数之间关系arcsecx=arccos1/x;arccscx=arcsin1/x;x[-1,1],arcsin(-x)=-arcsinx,arccos(-x)=p-arccosx;x[-1,1],arcsinx+arccosx=p/2.37第37页第37页习题十四(I)1.研究下列函数连续性:2.a取什么值时,下列函数处处连续:38第38页第38页习题十四(II)3.设函数f,g在x=a处不连续,f+g和fg在x=a处一定不连续吗?4.设函数f在x=a处连续,g在x=a处不连续,f+g和fg在x=a处一定不连续吗?5.设函数f,g是[a,b]上连续函数,证实:|f|,max{f,g},min{f,g}也是[a,b]上连续函数.6.设f是[0,1]上连续函数,并且满足条件证实:f常值函数.39第39页第39页习题十四(III)7.设是R上单调函数并且满足:x,yR,(x+y)=(x)+(y).证实是R上连续函数,并给出表示式.8.设是R上单调函数并且满足:x,yR,(x+y)=(x)(y).证实是R上连续函数,并给出表示式.9.设是R上至多只有第一类间断点函数.假设

证实:在R上连续.40第40页第40页习题十四(IV)10.设在[0,+)上连续.假设x0,0(x)x.任取a00,n0定义an+1=(an).证实:{an}收敛并且其极限l满足l=(l).尤其若x>0,0(x)<x,l=0.若41第41页第41页§5闭区间上连续函数整体性质连续函数零点定理连续函数介值(中间值)定理连续函数有界性定理连续函数确实界定理42第42页第42页连续函数零点定理零点定理:设函数在闭区间[a,b]上连续.假如在两点a,b值异号,即(a)(b)<0,则c(a,b),(c)=0.证实:设(a)<0,不然考虑-.考虑集合A={x(a,b)|y(a,x],(y)<0}由在a处连续和在一点连续保号性得到A.再由(b)>0及b处连续和连续保号性可知:c=supA(a,b).由连续性(c)0,若(c)<0,则d>0,x[c-d,c+d](a,b),(x)<0,这与c=supA矛盾.因此(c)=0.#43第43页第43页连续函数介值(中间值)定理介值定理:设函数在闭区间[a,b]上连续.g介于(a)与(b)之间,则c(a,b),(c)=g.换句话说,区间在连续函数下像还是区间.证实:由g介于(a)与(b)之间,考虑函数g(x)=(x)-g,则,g在闭区间[a,b]上连续并且g(a)g(b)<0.由零点定理c(a,b),g(c)=0,即(c)=g.#44第44页第44页连续函数有界性定理有界性定理:有界闭区间上连续函数必有界.证实:设是有界闭区间[a,b]上连续函数.考虑集合A={x(a,b]|在[a,x]上有界}.由在a处连续和在一点连续有界性得到A.记c=supA(a,b).由A有界c(a,b].若c<b,由在c点连续,d>0,在[c-d,c+d](a,b)上有界,因此在[a,c+d]上有界,即c+dA,这与c=supA矛盾.因此在[a,b]上有界.#45第45页第45页连续函数确界定理确界定理:有界闭区间上连续函数必能达到值域上确界和下确界,换句话说,闭区间在连续函数下像仍然是闭区间.(相应地叫最大(小)值)证实:设在有界闭区间[a,b]上连续.先讨论上确界情形,记b=sup{(x)|x[a,b]}.若b([a,b]),则x[a,b],b-(x)>0,因而g(x)=1/(b-(x))在有界闭区间[a,b]上连续,因此g(x)在[a,b]上有正上界a,即x[a,b],g(x)=1/(b-(x))<a,也就是(x)<b-1/a.与b定义矛盾.对-应用上面结论,得到下确界结论.#46第46页第46页平均值例题例:设在有界闭区间[a,b]上连续.xi[a,b],i=1,…,n.则c[a,b]:(c)=((x1)+…+(xn))/n.AA若bR47第47页第47页习题十五(I)1.证实ax^3+bx+c=0(ab>0)只有一个实根.2.设a<0,证实x^a=lnx只有一个实根.3.设C[a,b].证实函数.假如知道,能够推出C[a,b]吗？4.设C(a,b).假如存在(a,b)中点列{xn}和{yn},xnb,ynb(n+)满足.证实:c(A,B),存在(a,b)中点列{zn}:znb(n+)满足:n,(zn)=c.5.设在[0,+)上连续有界.证实:T>0,xn+使得(xn+T)-(xn)0.48第48页第48页习题十五(II)6.假设C(R)且存在常数L>0使得:x,yR,|(x)-(y)|L|x-y|.证实:(1)函数g(x)=(x)-Lx在R上单调递减;(2)M>L,cR,(c)=Mc;M=L时,结论如何？7.设C(a,b).假设其绝对值函数||在(a,b)单调.证实:在(a,b)单调.8.设和g是R上连续周期函数满足(x)-g(x)0(x+).证实:g.9.设C[a,+)并且(x)lR(x+).证实:在[a,+)上有界.49第49页第49页习题十五(III)10.设C(R)并且(x)+(x).证实:在R上能取到其下确界(最小值).11.设C[0,1]且恒为正.记M(x)=sup{(y)|y[0,x]}.证实:当且仅当在[0,1]上单调递增.12.设C[a,b]满足x[a,b],y[a,b],使得|(x)||(y)|/2.证实c[a,b],(c)=0.13.设C(R).证实:(1)若((x))(x),则(x)(x);(2)若((x))+(x),则(x)+(x).50第50页第50页§6 一致连续性一致连续概念Heine-Cantor定理51第51页第51页一致连续概念一致连续讨论是函数在一个集合上整体连续性问题.而不但仅要求在集合上各点都连续.这是在使用连续函数过程中发展起来概念.定义:设是定义在集合X上函数.假如对于任何e>0,d>0,x,yX,|x-y|<d,|(x)-(y)|<e,就说在X上一致连续.在R上一致连续函数例子:(x)=|x|,sinx,cosx在R上不一致连续函数例子:(x)=x^2.在(0,1]上不一致连续函数例子:(x)=sin1/x.52第52页第52页Heine-Cantor定理Heine-Cantor定理:有界闭区间上连续函数必在此区间上一致连续.证实1:设是[a,b]上连续函数.任取e>0,考虑集合A={z(a,b]|d>0,x,y[a,z],|x-y|<d,|(x)-(y)|<e}.由在a点连续,A.记c=supA.若c<b.由在c点连续性,存在d>0当|x-c|<d时,|(x)-(c)|<e/2,由c定义c<c,c-c<d/3有d>0,x,y[a,c],|x-y|<d,|(x)-(y)|<e.则d=min{d/3,d}在[a,c+d/3]给出同类结论,这与c定义矛盾.因此c=b并且bA.#53第53页第53页Heine-Cantor定理Heine-Cantor定理:有界闭区间上连续函数必在此区间上一致连续.证实2:反证:设存在有界区间上[a,b]连续函数在[a,b]上不一致连续.则e>0,d>0x,y[a,b],|x-y|<d,|(x)-(y)|e.因而xn,yn[a,b],|xn-yn|<1/n,|(xn)-(yn)|e.Bolzano-Weierstrass定理,{xn}有收敛子列,仍然记作{xn},xnc[a,b].而|xn-yn|<1/n0,就有ync.由于在c点连续就有|(xn)-(yn)||(c)-(c)|=0,矛盾.#(其此引伸出哪种集合有上述性质问题)54第54页第54页例子直接由定义证实:(1)(x)=sqrt(x),x[0,+);(2)(x)=arctanx:由基本不等式|x||tanx|(|x|<p/2),因此,当|x|<p/2,|arctanx||x|,再由|arctanx|<p/2,xR,|arctanx||x|.先考虑0x<y,记b=arctany>0,a=arctanx0.则|arctanx-arctany|=arctany-arctanx=b-a.tan(b-a)=(y-x)/(1+yx).因此,b-a=arctan[(y-x)/(1+yx)](y-x)/(1+yx)y-x.若x<y0,也会有同样结论.当x<0<y时,b-a=arctany+arctan(-x)y+(-x).#55第55页第55页习题十六1.用一致连续定义证实下列函数在R上一致连续:2.证实用一致连续定义下列函数在R上一致连续:(1)(x)=xsinx;(2)(x)=sinx^2.3.设和g在(a,b)上一致连续.证实+g和g在(a,b)上一致连续.4.设在(a,b)上一致连续且((a,b))(c,d),g在(c,d)上一致连续.证实h(x)=g((x))在(a,b)上一致连续.56第56页第56页§7闭集和开集及紧性概念实直线上点关于给定集合分类开集和闭集开集和闭集性质开覆盖和紧集有界闭集是紧集紧集上Heine-Cantor定理例子57第57页第57页实直线上点关于给定集合分类设AR.对于xR,下列三种情形必有一个出现:1)d>0,Od(x)=(x-d,x+d)A(称x为A内点)2)d>0,Od(x)A=(称x为A外点)3)d>0,Od(x)A,Od(x)\A(称x为A边点)A内部(int(A)),边界(A),闭包(A)和外部.对于R中满足Od(x)A点x有下面分类:1)d>0,Od(x)A={x}(称x为A孤立点)2)d>0,Od(x)A{x}(称x为A极限点)A导集(A),A孤立点集(A\A).开集和闭集例子:,R,[a,b],(a,b).不开不闭58第58页第58页开集和闭集闭集:若AA,就称A是闭集.也就是闭集是包括其所有极限点集合.开集:若int(A)=A,就称A是开集.也就是开集是其所有点都是内点集合.开集和闭集关系:AR是闭集当且仅当R\A是开集.同样地,AR是开集当且仅当R\A是闭集.证实:设A是闭集,任取xA,则xA,因此d>0,Od(x)A=,不然由Od(x)A{x},xAA.因此R\Aint(R\A),即R\A是开集.设R\A是开集,xA,若xR\A,则d>0,Od(x)A=,因而xA,矛盾.#59第59页第59页开集和闭集性质1.任意多个开集并集是开集;2.有限多个开集交集是开集;3.任意多个闭集交集是闭集;4.有限多个闭集并集是闭集.证实:留作习题.#例1:设An=(0,1+1/n),nN+.An=(0,1];例2:设An=[0,1-1/n],nN+.An=[0,1).定理:R中任何开集是至多可数个开区间并.60第60页第60页开覆盖和紧集定义(集合开覆盖).设AR,O={Oa|aI}是R一个开集族.假如AO,就称O是A开覆盖;假如子族O1O仍然是A覆盖就称O1为O子覆盖;若O1为有限子族,称O1为O有限子覆盖,也称A能被O有限覆盖.定义(紧集).设AR.假如A任何开覆盖都有有限子覆盖,就说A是紧集.定理:紧集是有界闭集.证实:设A是紧集.有界:开覆盖{(-n,n)|nN}.闭:若xA,开覆盖{R\(x-1/n,x+1/n)