人教A版高中数学(必修第一册)培优讲义+题型检测专题3.1 函数的概念及其表示-重难点题型精讲及检测（原卷版）

第第页专题3.1函数的概念及其表示-重难点题型精讲1．函数的概念(1)一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作y=f(x)，xA.(2)函数的四个特征：①非空性：A，B必须为非空数集，定义域或值域为空集的函数是不存在的.

②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值.

③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应.

④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定的关系就不一定是函数关系.2．函数的三要素(1)定义域：函数的定义域是自变量的取值范围．(2)值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|xA}叫做函数的值域(range).(3)对应关系：对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”．3．函数的相等同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是同一个函数.4．区间的概念设a，b是两个实数，而且a<b.我们规定：

(1)满足不等式SKIPIF1<0的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；

(2)满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)；

(3)满足不等式SKIPIF1<0或SKIPIF1<0的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b),(a,b].

这里的实数a与b都叫做相应区间的端点.5．函数的表示法函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法.

(1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系；

(2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系；

(3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系.6．抽象函数与复合函数(1)抽象函数的概念：没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数．(2)复合函数的概念：若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当CSKIPIF1<0A时，称函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数.【题型1对函数概念的理解】【方法点拨】定义法：对于给定的对应关系，判断是否满足函数的概念，即可判断对应关系是否是函数.【例1】下列对应中：（1）x→y，其中y＝2x+1，x∈{1，2，3，4}，y∈{x|x＜10，x∈N}；（2）x→y，其中y2＝x，x∈[0，+∞），y∈R；（3）x→y，其中y为不大于x的最大整数，x∈R，y∈Z；（4）x→y，其中y＝x﹣1，x∈N*，y∈N*．其中，是函数的是（）A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（3）（4）【变式1-1】设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下列四个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有（）A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．②【变式1-2】下列集合A、B及其对应法则不能构成函数的是（）A．A＝B＝R，f（x）＝|x+1| B．A＝B＝R，f(x)=1C．A＝{1，2，3}，B＝{4，5，6，7}，f（x）＝x+3 D．A＝{x|x＞0}，B＝{1}，f（x）＝x0【变式1-3】设A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，图中表示A到B的函数的是（）A．B．C．D．【题型2同一函数的判断】【方法点拨】对于给定的两个函数，分析两函数的定义域、对应关系是否相同，即可判断两函数是否是同一函数．【例2】下列四组函数中，表示相等函数的一组是（）A．y1=x2，y2=(x)2 C．y1=x2−1x−1，y2＝x+1 【变式2-1】下列函数与f（x）＝x+1是同一个函数的是（）A．g(x)=3x3+1 C．g(x)=x2+1 D．g（x）＝【变式2-2】下列函数中与函数y＝x表示同一个函数的是（）A．y＝|x| B．y=x2x C．y＝（x）2 D【变式2-3】下列函数表示同一函数的是（）A．y＝x+1与y=x2x+1 B．y＝x3与y＝（x﹣C．y＝|x|与y=(x)2 D．y＝x【题型3函数的定义域问题】【方法点拨】(1)根据解析式有意义的条件，列出关于自变量的不等式（组），即可求解，把不等式（组）的解集表示成集合或区间的形式.(2)已知函数的定义域求参数，结合解析式有意义的条件，列出关于参数的关系式，即可得解.【例3】函数f（x）=1A．[﹣2，2] B．[0，2] C．（0，2] D．[﹣2，0）∪（0，2]【变式3-1】若函数f（x+1）的定义域为[﹣1，15]，则函数g(x)=f(A．[1，4] B．（1，4] C．[1，14] D．（1，14]【变式3-2】函数y=x−2x中，自变量A．x＞2 B．x≥2 C．x≥2且x≠0 D．x≠0【变式3-3】若函数f(x)=ax2+ax+1的定义域为A．[0，4] B．[0，4） C．（0，4] D．（0，4）【题型4函数的值域问题】【方法点拨】(1)已知函数解析式求值域，观察所给解析式，先得出函数的定义域，在由函数解析式求解；(2)已知函数值域求参数问题时，将给出的值域转化为方程的解或不等式的解集问题，然后来确定参数的值或取值范围.【例4】函数y=2x−A．(−∞，−158] B．(−∞，−15【变式4-1】下列函数中，值域为（0，+∞）的是（）A．y=x2−2x+1 B．y=x+2x+1（x∈（0C．y=1x2+2x+1（x∈N） 【变式4-2】若函数f(x)=x−2+m在区间[a，b]上的值域为[a，b]（b＞a≥2），则实数A．(14，4] B．[14，4]【变式4-3】高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[﹣0.5]＝﹣1，[1.5]＝1，已知函数f(x)=12x2−3x+4(1＜x＜4)A．[12，32) B．{﹣1，0，1} C．{﹣1，0，1，2} D【题型5求函数值或由函数值求参】【方法点拨】(1)已知函数解析式求函数值，将自变量代入解析式，求解即可．(2)由函数解析式，求对应函数值的自变量的值（或解析式中的参数值），只需将函数值代入解析式，建立关于自变量（或参数）的方程即可求解.【例5】已知函数f(x)={x+1−x+3(x≤1)A．52 B．32 C．12 【变式5-1】已知函数y=x2+1(x≤0)2x(x＞0)，若f（A．3或﹣3 B．﹣3或5 C．﹣3 D．3或﹣3或5【变式5-2】设函数f(x)=12x−1(x≥0)1x(x＜0)，若A．±1 B．﹣1 C．﹣2或﹣1 D．±1或﹣2【变式5-3】已知函数f（x）=x，(x≥0)x2，(x＜A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4【题型6函数的表示法】【方法点拨】根据函数的三种表示方法的特点，具体问题具体分析，用适合的表示法表示出函数关系.【例6】甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（）A．甲比乙先出发 B．乙比甲跑的路程多 C．甲、乙两人的速度相同 D．甲比乙先到达终点【变式6-1】给出函数f（x），g（x）如表，则f[g（x）]的值域为（）x1234f（x）4321x1234g（x）1133A．{4，2} B．{1，3} C．{1，2，3，4} D．以上情况都有可能【变式6-2】一辆中型客车的营运总利润y（单位：万元）与营运年数x（x∈N）的变化关系如表所示，要使总利润达到最大值，则该客车的营运年数是（）x（年）468…y＝ax2+bx+c7117…A．15 B．10 C．9 D．6【变式6-3】某同学到长城旅游，他租自行车由宾馆骑行前往长城，前进了akm，觉得有点累，休息后沿原路返回bkm（b＜a）．想起“不到长城非好汉”，便调转车头继续前进．则该同学离起点的距离s与时间t的图象大致为（）A．B． C．D．专题3.1函数的概念及其表示-重难点题型检测一．选择题1．下列的对应关系f是从集合A到集合B的函数的是（）A．A＝R，B＝{x∈R|x＞0|}，f：x→1|x| B．A＝N，B＝N*，f：xC．A＝{x∈R|x＞0}，B＝R，f：x→x2 D．A＝R，B＝{x∈R|x≥0}，f2．在下列函数中，函数y＝|x|表示同一函数的（）A．y=(x)2B．y=3x3C3．下列图象可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的是（）A．B．C．D．4．已知函数f（x+2）的定义域为（﹣3，4），则函数g(x)=f(x)A．(13，4) B．(13，2)5．已知函数f（x）=x2+4x+3，x≤03−x，A．0 B．﹣2 C．﹣1 D．16．设f（x）=(x+1)2(x＜1)4−x−1(x≥1)则使得A．10 B．0，10 C．0，﹣2，10 D．1，﹣1，117．在实数的原有运算中，我们定义新运算“*”为：当a≥b时，a*b＝a；当a＜b时，a*b＝b2．设函数f（x）＝（﹣2*x）﹣（2*x），x∈（﹣2，2]，则函数f（x）的值域为（）A．[﹣6，﹣2] B．[﹣2，2） C．（﹣2，2] D．[﹣2，2]8．一次函数g（x）满足g[g（x）]＝9x+8，则g（x）是（）A．g（x）＝9x+8 B．g（x）＝3x+8 C．g（x）＝﹣3x﹣4 D．g（x）＝3x+2或g（x）＝﹣3x﹣4二．多选题9．下列每组函数不是同一函数的是（）A．f(x)=x−1，g(x)=(x−1)C．f(x)=x2−4x−2，10．已知函数y＝f（x）用列表法表示如表，若f（f（x））＝x﹣1，则x可取（）x12345f（x）23423A．2 B．3 C．4 D．511．下列四个函数：①y＝3﹣x；②y=1x2+1；③y＝x2+2x﹣10；④A．① B．② C．③ D．④12．函数D(x)=1A．函数D（x）的值域为[0，1] B．若D（x0）＝1，则D（x0+1）＝1 C．若D（x1）﹣D（x2）＝0，则x1﹣x2∈Q D．∃x∈R，D（x+2）＝三．填空题13．函数f（x）=x−1+1x−3的定义域为14．下列函数y＝（x）2；y=x2x；y=3x3；y=x2与函数y15．已知f(x)=x2−1，x≥0x+2，x＜0，求f16．若函数f(x)=(a−1)x+1，x≤1，x2−2ax+6，x＞四．解答题17．某种笔记本的单价是5元，买x本（x∈{1，2，3，4，5}）笔记本需要y元，试用函数的三种表示法表示函数y＝f（x）．18．求下列函数的定义域．（1）y=x−2⋅3−x；（219．判断下列各组函数是否为相等函数：（1）f（x）＝f（x）=(x+3)(x−5)x+3，g（x）＝x﹣（2）f（x）＝2x+1（x∈Z）