人教A版高中数学(必修第一册)培优讲义+题型检测专题4.2 指数函数-重难点题型精讲及检测（教师版）

第第页专题4.2指数函数-重难点题型精讲1．指数函数的定义(1)一般地，函数y=SKIPIF1<0(a>0,且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.

(2)指数函数y=SKIPIF1<0(a>0,且a≠1)解析式的结构特征：

①SKIPIF1<0的系数为1;

②底数a是大于0且不等于1的常数.2．指数函数的图象与性质3．底数对指数函数图象的影响指数函数y=SKIPIF1<0(a>0,且a≠1)的底数对图象的影响可以从不同角度来记忆理解.

(1)无论是a>1还是0<a<1，在第一象限内，自下而上，图象越高的指数函数的底数越大，即“底大图高”.(2)左右比较：在直线y=1的上面，a>1时，a越大，图象越靠近y轴；0<a<1时，a越小，图象越靠近y轴.

(3)上下比较：比较图象与直线x=1的交点，交点的纵坐标越大，对应的指数函数的底数越大.4．比较幂值大小的方法比较幂值大小的方法：【题型1指数函数的解析式、定义域与值域】【方法点拨】根据指数函数的定义，结合具体条件，进行求解即可.【例1】（2021秋•南宁期末）函数f（x）＝2x的定义域为（）A．[1，+∞） B．（0，+∞） C．[0，+∞） D．R【解题思路】由指数函数的性质可得其定义域．【解答过程】解：函数f（x）＝2x的定义域为R，故选：D．【变式1-1】（2021秋•阎良区期末）函数y＝2x（x≤0）的值域是（）A．（0，1） B．（﹣∞，1） C．（0，1] D．[0，1）【解题思路】本题可利用指数函数的值域．【解答过程】解：∵y＝2x（x≤0）为增函数，且2x＞0，∴20＝1，∴0＜y≤1．∴函数的值域为（0，1]．故选：C．【变式1-2】（2021秋•城区校级期中）指数函数y＝f（x）的图象过点（2，4），则f（3）的值为（）A．4 B．8 C．16 D．1【解题思路】设出指数函数y＝f（x）的解析式，把点的坐标代入求出解析式，再计算f（3）的值．【解答过程】解：设指数函数y＝f（x）＝ax，a＞0且a≠1；由f（x）的图象过点（2，4），即a2＝4，解得a＝2；所以f（x）＝2x，所以f（3）＝23＝8．故选：B．【变式1-3】（2021秋•罗湖区校级期中）若函数f（x）＝（a2﹣2a﹣2）ax是指数函数，则a的值是（）A．﹣1 B．3 C．3或﹣1 D．2【解题思路】根据指数函数的定义列出方程组，求出a的值．【解答过程】解：∵函数f（x）＝（a2﹣2a+2）（a+1）x是指数函数，∴a2﹣2a﹣2＝1，且a＞0，a≠1解得a＝3．故选：B．【题型2比较幂值的大小】【方法点拨】利用指数函数的单调性，来比较幂值的大小.【例2】（2021秋•路南区校级期中）已知a＝0.32，b＝0.31.5，c＝20.3，则（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．a＞b＞c【解题思路】根据指数函数的图象和性质，比较三个数的大小，可得答案．【解答过程】解：∵y＝0.3x为减函数，2＞1.5＞0，故a＝0.32＜b＝0.31.5＜0.30＝1，∵y＝2x为增函数，0.3＞0，故c＝20.3＞20＝1，故c＞b＞a，故选：C．【变式2-1】（2021秋•厦门期末）下列选项正确的是（）A．0.62.5＞0.63B．1.7−13＜1.7−12C．1.11.5＜0.72.1D【解题思路】利用指数函数和幂函数的单调性求解．【解答过程】解：对于选项A：∵指数函数y＝0.6x在R上单调递减，且2.5＜3，∴0.62.5＞0.63，故选项A正确，对于选项B：∵指数函数y＝1.7x在R上单调递增，且−13＞−12对于选项C：∵1.11.5＞1.10＝1，0＜0.72.1＜0.70＝1，∴1.11.5＞0.72.1，故选项C错误，对于选项D：∵(212)6=23＝8，(313)6=【变式2-2】（2021秋•怀仁市校级期末）设a＝0.60.6，b＝0.60.7，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞a＞b【解题思路】利用指数函数的性质求解．【解答过程】解：∵0＜0.60.7＜0.60.6＜0.60＝1，∴0＜b＜a＜1，∵1.50.6＞1.50＝1，∴c＞1，∴c＞a＞b，故选：D．【变式2-3】（2021秋•天宁区校级期中）已知a＝0.3﹣0.2，b=(13)0.3，c＝A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．b＜c＜a【解题思路】利用指数函数的单调性比较大小即可．【解答过程】解：∵0.3﹣0.2＞0.30＝1，∴a＞1，∵(13)0.3＜(13∴b＜c＜a，故选：D．【题型3解指数不等式】【方法点拨】指数不等式的三种求解方法：(1)性质法：解形如SKIPIF1<0>SKIPIF1<0的不等式，可借助函数y=SKIPIF1<0的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论.(2)隐含性质法：解形如SKIPIF1<0>b的不等式，可先将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助函数y=的单调性求解.(3)图象法：解形如SKIPIF1<0>SKIPIF1<0的不等式.可利用对应的函数图象求解.【例3】（2020秋•兴庆区校级期中）不等式ax﹣3＞a1﹣x（0＜a＜1）中x的取值范围是（）A．（﹣∞，2）∪（2，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，2） D．（﹣2，2）【解题思路】利用指数函数的单调性解不等式．【解答过程】解：因为0＜a＜1，所以由不等式ax﹣3＞a1﹣x可得：x﹣3＜1﹣x，解得：x＜2，所以不等式ax﹣3＞a1﹣x（0＜a＜1）中x的取值范围是：（﹣∞，2）．故选：C．【变式3-1】（2021秋•北碚区校级月考）不等式(1A．（﹣2，4） B．（﹣∞，﹣2） C．（4，+∞） D．（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）【解题思路】由指数函数的性质，把(13)x2−8＞3−2x=(【解答过程】解：∵(13)x2−8＞3−2x=(13)2x，∴x2【变式3-2】（2021秋•黄埔区校级期中）已知a＞0，且a≠1，若函数y＝xa﹣1在（0，+∞）内单调递减，则不等式a3x+1＞a﹣2x中x的取值范围是（）A．（﹣∞，−15） B．（−15，+∞C．（﹣∞，−15）∪（−15，+∞） D【解题思路】根据函数y＝xa﹣1在（0，+∞）内单调递减，求出a的范围，得到函数y＝ax的单调性，将a3x+1＞a﹣2x转化为x的不等式即可．【解答过程】解：依题意，a﹣1＜0，即0＜a＜1，所以函数y＝ax为R上的减函数，由a3x+1＞a﹣2x可得，3x+1＜﹣2x，解得x＜−15【变式3-3】（2021秋•丰台区期中）已知指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象过点（1，12（I）求函数y＝f（x）的解析式；（II）若不等式满足f（2x+1）＞1，求x的取值范围．【解题思路】（Ⅰ）因为指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象过点（1，12），构造方程，可得函数y＝f（x（II）利用指数函数的单调性，可将f（2x+1）＞1化为：2x+1＜0，解得答案．【解答过程】解：（Ⅰ）因为指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象过点（1，12），所以所以指数函数的解析式为y=(12（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f（2x+1）＞1等价于(12)2x+1＞所以2x+1＜0，解得x＜−12，【题型4指数函数的图象及应用】【方法点拨】①指数函数图象的识别：对于所给函数解析式，研究函数的单调性、特殊值等，利用排除法，得出正确的函数图象.②指数函数图象的应用：对于与指数函数有关的函数的作图问题，一般宜用变换作图法作图，这样有利于从整体上把握函数的性质，从而指数函数的图象来比较大小、解不等式、求最值等.【例4】（2021秋•临渭区期末）函数y＝x+a与y＝a﹣x（a＞0且a≠1）在同一坐标系中的图像可能是（）A． B． C．D．【解题思路】分别讨论a＞1和0＜a＜1时，函数y＝x+a与y＝a﹣x在同一坐标系中的图像情况，即可得出答案．【解答过程】解：根据指数函数的定义知，当a＞1时，函数y＝x+a与y＝a﹣x在同一坐标系中的图像为图（1）所示：当0＜a＜1时，函数y＝x+a与y＝a﹣x在同一坐标系中的图像为图（2）所示：只有选项B满足题意．故选：B．【变式4-1】（2021秋•微山县校级月考）若指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx（其中a、b、c均为不等于1的正实数）的图象如图所示，则a、b、c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞a＞c【解题思路】由题意，做出直线x＝1，结合图象可得结论．【解答过程】解：对于指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx（其中a、b、c均为不等于1的正实数）的图象，做出直线x＝1，结合图象可得，直线x＝1和指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx的图象的交点的纵坐标分别为a、b、c，且c＞a＞b，故选：B．【变式4-2】（2021秋•中宁县校级期中）如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小是（）A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c C．a＜b＜1＜d＜c D．1＜a＜b＜c＜d【解题思路】作直线x＝1，根据直线x＝1与四个指数函数图象交点的纵坐标即可判断出a，b，c，d的大小关系．【解答过程】解：作直线x＝1与四个指数函数图象交点的坐标分别为（1，a），（1，b），（1，c），（1，d），由图象可知纵坐标的大小关系为0＜b＜a＜1＜d＜c，故选：B．【变式4-3】（2021•长春模拟）如图，①②③④中不属于函数y＝2x，y＝3x，y=(1A．① B．② C．③ D．④【解题思路】直接根据函数的图象和函数的单调性判断即可．【解答过程】解：根据函数的图象，函数的底数决定函数的单调性，当底数a＞1时，函数单调递增，当0＜a＜1时，函数单调递减，当底数a＞1，满足底数越大函数的图象在x＞0时，越靠近y轴，则③是对应函数y＝3x的图象，④是对应函数y＝2x的图象，根据对称性，①是对应函数y=(12)故选：B．【题型5指数型复合函数性质的应用】【方法点拨】借助指数函数的图象和性质来研究指数型复合函数的性质，再结合具体问题，进行求解即可.【例5】（2021秋•蚌埠月考）已知函数f（x）＝ax﹣1（a＞0，a≠1）的图象经过点（3，19（1）求a的值；（2）求函数f（x）＝a2x﹣ax﹣2+8，当x∈[﹣2，1]时的值域．【解题思路】（1）由题意：函数f（x）＝ax﹣1（a＞0，a≠1）的图象经过点（3，19）．代入计算即可求a（2）求函数转化为二次函数的问题求值域即可．【解答过程】解：（1）由题意：函数f（x）＝ax﹣1（a＞0，a≠1）的图象经过点（3，19则有：19=a（2）由（1）可知a=13，那么：函数f（x）＝a2x﹣ax﹣2+8=[(1∵x∈[﹣2，1]∴(13)x∈[13，9]则当(13)x=9，即x＝﹣2时，f（x）max＝8．当(13所以函数的值域为[−494，【变式5-1】（2021秋•凌源市期中）设函数f（x）＝（12）10﹣ax，其中a为常数，且f（3）=（1）求a的值；（2）若f（x）≥4，求x的取值范围．【解题思路】（1）根据f（3）=116，求出a的值即可；（2）根据指数函数的性质求出【解答过程】解：（1）函数f（x）＝（12）10﹣ax由f（3）=116，得：(12)10−3a=116，得：3a﹣（2）由（1）f（x）＝22x﹣10，由f（x）≥4，得：22x﹣10≥22，故2x﹣10≥2，解得：x≥6．【变式5-2】（2021秋•钦州期末）已知函数f（x）＝2x﹣1+a（a为常数，且a∈R）恒过点（1，2）．（1）求a的值；（2）若f（x）≥2x，求x的取值范围．【解题思路】（1）将点（1，2）的坐标代入函数f（x）的解析式即可求出a的值；（2）由f（x）≥2x化简得到2x﹣1≤1，再利用指数函数的单调性即可求出x的范围．【解答过程】解：（1）由已知条件可得f（1）＝20+a＝1+a＝2，解得a＝1；（2）由f(x)=2x−1+1=2x2+1≥2x，得2x2≤1，即2x﹣1≤1＝2因此，实数x的取值范围是（﹣∞，1]．【变式5-3】（2022秋•新华区校级月考）已知函数f（x）＝ax+b的图象如图所示．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若不等式c⋅10x+6xf(x)+3＞0对任意x∈【解题思路】（Ⅰ）由图像可知函数f（x）过点（0，﹣2）和（2，0），利用待定系数法求出a，b的值，即可得到函数f（x）的解析式．（Ⅱ）依题意不等式c⋅10x+6x＞0，对任意x∈（﹣∞，2]恒成立，再利用分离参数法转化为求最值，结合指数函数的单调性即可求出实数c的取值范围．【解答过程】解：（I）因为函数f（x）＝ax+b的图象经过点（0，﹣2）和（2，0），又注意到a＞1，∴a0+b=−2a2+b=0，解得a=3b=−3（Ⅱ）因为由（I）知f(x)+3=(3)x＞0对任意x∈所以由题设得不等式c⋅10x+6x＞0，对任意x∈（﹣∞，2]恒成立，即c＞−6x10x，亦即c＞−(3又易知函数y=−(35)x在（﹣∞，故所求实数c的取值范围(−9【题型6指数函数的实际应用】【方法点拨】从实际问题出发，建立指数函数模型，借助指数函数的图象和性质进行解题，注意要满足实际条件.【例6】（2022春•殷都区校级期末）某医药研究所开发一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用该药，服药后每毫升血液中的含药量y（μg）与服药后的时间t（h）之间近似满足如图所示的曲线．其中OA是线段，曲线段AB是函数y＝k•at（t≥1，a＞0，k，a是常数）的图象．（1）写出服药后每毫升血液中含药量y关于时间t的函数关系式；（2）据测定：每毫升血液中含药量不少于2（μg）时治疗有效，假若某病人第一次服药为早上6：00，为保持疗效，第二次服药最迟是当天几点钟？（3）若按（2）中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药后再过3h，该病人每毫升血液中含药量为多少μg？（精确到0.1μg）【解题思路】（1）由图象知，0≤t＜1时函数的解析式是一个线段，再结合函数y＝k•at（t≥1，a＞0，k，a是常数）即可得到函数的解析式；（2）根据（1）中所求出的解析式建立不等式y≥2，解此不等式计算出第二次吃药的时间即可；（3）根据所求出的函数解析式分别计算出两次吃药的剩余量，两者的和即为病人血液中的含药量．【解答过程】解：（1）当0≤t＜1时，y＝8t；当t≥1时，把A（1，8）、B（7，1）代入y＝kat，得ka=8ka7故y=8t（2）设第一次服药后最迟过t小时服第二次药，则t≥182(22)t=2，解得t（3）第二次服药3h后，每毫升血液中含第一次服药后的剩余量为：y1含第二次服药量为：y2=82故该病人每毫升血液中的含药量为4.7μg.【变式6-1】牛奶保鲜时间因储藏时温度的不同而不同，假定保鲜时间与储藏温度间的关系为指数型函数，若牛奶放在0℃的冰箱中，保鲜时间约是192h，而在22℃的厨房中则约是42h（1）写出保鲜时间y（单位：h）关于储藏温度x（单位：℃）的函数解析式；（2）利用（1）中结论，指出温度在30℃和16℃的保鲜时间（精确到1h）.【解题思路】（1）设y＝k•ax（k≠0，a＞0且a≠1），则利用牛奶放在0℃的冰箱中，保鲜时间约为192h，放在22℃的厨房中，保鲜时间约为42h，即可得出函数解析式；（2）x＝30°时，y＝192•（732）1511，x＝16°时，y＝192•（732【解答过程】解：（1）设y＝k•ax（k≠0，a＞0且a≠1），则有192=k42=k⋅a22，∴y＝192•（732）x22．x≥（2）x＝30°时，y＝192•（732）1511，x＝16°时，y＝192•（732）【变式6-2】（2021秋•朝阳区期末）已知某地区现有人口50万．（I）若人口的年自然增长率为1.2%，试写出人口数y（万人）与年份x（年）的函数关系；（Ⅱ）若20年后该地区人口总数控制在60万人，则人口的年自然增长率应为多少？（201.2=【解题思路】（I）由于人口的年自然增长率为1.2%，由此即可得出人口数y（万人）与年份x（年）的函数关系；（II）可直接设年人口自然增长率为p，即可得出50（1+p）20＝60，解此方向2即可得出人口的年自然增长率【解答过程】解：（I）x年后y＝50（1+1.2%）x．（II）设年人口自然增长率为p，因此有50（1+p）20＝60，即（1+p）20＝1.2．时解得1+p=201.2≈1.009．于是p＝0.009．即人口年自然增长率为【变式6-3】（2021秋•长丰县校级期末）某医药研究所开发一种抗甲流新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间近似满足如图所示的曲线．（1）结合图，求k与a的值；（2）写出服药后y与t之间的函数关系式y＝f（t）；（3）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.5微克时治疗疾病有效，求服药一次治疗有效的时间范围？【解答过程】解：（1）由题意，当0≤t≤1时，函数图象是一个线段，由于过原点与点（1，4），所以k＝4，其解析式为y＝4t，0≤t≤1；当t≥1时，函数的解析式为y=(1此时M（1，4）在曲线上，将此点的坐标代入函数解析式得4=(12)1−a（2）由（1）知，f(t)=4t（3）由（2）知，令f（t）≥0.5，即4t≥0.5，答：（1）k＝4，a＝3；（2）函数关系式为f(t)=4t，0≤t≤1(1专题4.2指数函数-重难点题型检测参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2021秋•红岗区校级期末）下列各函数中，是指数函数的是（）A．y＝（﹣3）x B．y＝﹣3x C．y＝3x﹣1 D．y＝（13）【解题思路】根据指数函数的定义，结合选项判断即可．【解答过程】解：根据指数函数的定义：形如y＝ax（a＞0，且a≠1）的函数叫做指数函数，结合选项从而可判断选项D正确．故选：D．2．（3分）（2021秋•湖州期中）某地国民生产总值每年平均比上一年增长7%，专家预测经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y＝f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【解题思路】由题意可知y＝1.07x（x≥0），由指数函数的单调性即可选出正确结果．【解答过程】解：由题意可得y＝（1+7%）x＝1.07x（x≥0），由指数函数的单调性和图像可知，y＝1.07x在[0，+∞）上单调递增，且过点（0，1），故选：A．3．（3分）（2021秋•裕安区校级月考）若函数f（x）＝（12a﹣1）•ax是指数函数，则f（1A．﹣2 B．2 C．﹣22 D．22【解题思路】由指数函数的定义可求出a的值，得到函数f（x）的解析式，从而求出f（12【解答过程】解：∵函数f（x）＝（12a﹣1）•ax是指数函数，∴12a−1=1，∴a∴f（x）＝4x，∴f（12）=4124．（3分）（2022秋•绥滨县校级期中）函数y＝ax﹣2（a＞0且a≠1，﹣1≤x≤1）的值域是[−53，A．3 B．13 C．3或13 D．2【解题思路】当a＞0且a≠1时，函数为指数型函数，它的单调性与底数a的大小有关，需要分情况进行讨论解决．当a＞1时，函数y＝ax﹣2（a＞0且a≠1，﹣1≤x≤1）是增函数；当0＜a＜1时，函数y＝ax﹣2（a＞0且a≠1，﹣1≤x≤1）是减函数．由此结合条件建立关于a的方程组，解之即可求得答案．【解答过程】解：当a＞1时，函数y＝ax﹣2（a＞0且a≠1，﹣1≤x≤1）是增函数，∵值域是[a﹣1﹣2，a﹣2]，∴1a−2=−53a−2=1当0＜a＜1时，函数y＝ax﹣2（a＞0且a≠1，﹣1≤x≤1）是减函数，∵值域是[a﹣2，a﹣1﹣2]，∴1a−2=1a−2=−53⇒a=1故选：C．5．（3分）（2021秋•姜堰区校级期中）已知a=(32)−0.3，b=1.10.7，A．c，b，a B．b，a，c C．c，a，b D．b，c，a【解题思路】结合指数函数的单调性即可比较函数值的大小．【解答过程】解：a＝（32）﹣0.3＝（23）0.3∈（0，1），c＝（23）13∈（且（23）0.3＞（23）13，b＝1.10.7＞1，所以b＞a＞c6．（3分）（2021秋•平罗县校级期中）如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图像，则下列结论正确的是（）A．0＜a＜b＜1＜c＜d B．0＜b＜a＜1＜d＜c C．1＜a＜b＜c＜d D．0＜a＜b＜1＜d＜c【解题思路】作直线x＝1，根据直线x＝1与四个指数函数图像交点的纵坐标即可判断出a，b，c，d的大小关系．【解答过程】解：作直线x＝1与四个指数函数图像交点的坐标分别为（1，a），（1，b），（1，c），（1，d），由图像可知纵坐标的大小关系为0＜b＜a＜1＜d＜c，故选：B．7．（3分）（2021春•昌吉州期末）若函数f(x)=a2x2−3x+1在（1，3）上是增函数，则关于x的不等式axA．{x|x＞1} B．{x|x＜1} C．{x|x＞0} D．{x|x＜0}【解题思路】根据二次函数的单调性以及复合函数的单调性求出x的范围即可．【解答过程】解：y＝2x2﹣3x+1的对称轴是x=34，开口向上，故函数在（1，3）递增，而f（x）在（1，3）递增，根据复合函数同增异减的原则，a＞1，则ax﹣1＞1＝a0，故x﹣1＞0，解得：x＞1，故选：8．（3分）（2021秋•自贡期末）函数f(x)=(13)x+1对于定义域内任意x1，x2（x①f（0）＝2；②f（x1）f（x2）＝f（x1+x2）；③f(x④f(x1其中正确的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【解题思路】直接把x＝0代入f（x）解析式可判断①的正误，利用有理数指数幂的运算性质可判断②的正误，由基本不等式可判断③的正误，由指数函数y=(13)【解答过程】解：对于①，f（0）=(13)0+1对于②，∵f（x1）f（x2）＝[(13)x1+1][(13)x2+1]=(13)x1+x2+(13)x1+(13)x2+1，对于③，由于(13)x1＞0，(13∴f(x1而f(x1+x22)=(对于④，由y=(13)x为R上的减函数可得，f(x1)−f(x二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2021秋•南关区校级期中）下列不等式中正确的有（）A．30.7＞30.8 B．（25）0.2＞（25）C．20.2＜30.2 D．0.243＜【解题思路】利用指数函数的单调性比较选项A，B，利用幂函数的单调性比较选项C，D．【解答过程】解：对于选项A：因为函数y＝3x在R上单调递增，且0.7＜0.8，所以30.7＜0.30.8，故选项A错误，对于选项B：因为函数y=(25)x在R上单调递减，且0.2＜0.3，所以对于选项C：因为函数y＝x0.2在（0，+∞）上单调递增，且2＜3，所以20.2＜30.2，故选项C正确，对于选项D：因为0．243=0．22×23=0.0423，210．（4分）（2021秋•沈阳期末）函数f（x）＝ax﹣b（a＞0且a≠1），图像经过二，三，四象限，则下列结论正确的是（）A．0＜ab＜1 B．0＜ba＜1 C．ab＞1 D．ba＞1【解题思路】根据指数函数图象特点分析可解决此题．【解答过程】解：若函数f（x）＝ax﹣b（a＞0且a≠1）的图像经过二，三，四象限，则0＜a＜1且b＞1，可知0＜ab＜1，ba＞1，∴AD对，BC错．故选：AD．11．（4分）（2021秋•运城月考）对于函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1），g（x）＝ax2﹣x，在同一直角坐标系下的图象可能为（）A．B． C．D．【解题思路】根据指数函数的性质，分0＜a＜1和a＞1两种情况对各选项进行验证即可得到结论．【解答过程】解：当a＞1时，f（x）＝ax是指数函数，单调递增，且图象过点（0，1），而g（x）＝ax2﹣x＝a（x−12a）2−14a，对称轴x=12a当0＜a＜1时，f（x）＝ax是指数函数，单调递减，且图象过点（0，1），而g（x）＝ax2﹣x＝a（x−12a）2−14a，对称轴x=12a＞12．（4分）（2021秋•石家庄期末）下列结论中，正确的是（）A．函数y＝2x﹣1是指数函数 B．函数y＝ax2+1（a＞1）的值域是[1，+∞） C．若am＞an（a＞0，a≠1），则m＞n D．函数f（x）＝ax﹣2﹣3（a＞0，a≠1）的图象必过定点（2，﹣2）【解题思路】A中，根据指数函数的定义判断函数y＝2x﹣1不是指数函数；B中，根据二次函数的图象与性质，求出函数y＝ax2+1的值域；C中，根据0＜a＜1时指数函数y＝ax单调递减，判断am＞an时m＜n；D中，根据指数函数的图象与性质求出f（x）的图象过定点（2，﹣2）．【解答过程】解：对于A，根据指数函数的定义是y＝ax，（其中a＞1且a≠1），x是自变量，判断函数y＝2x﹣1不是指数函数，选项A错误；对于B，函数y＝ax2+1，当a＞1时，该函数的图象是抛物线，且开口向上，所以y＝ax2+1的值域是[1，+∞），选项B正确；对于C，0＜a＜1时，指数函数y＝ax单调递减，由am＞an得m＜n，所以选项C错误；对于D，函数f（x）＝ax﹣2﹣3中，令x﹣2＝0，x＝2，y＝f（2）＝1﹣3＝﹣2，f（x）的图象必过定点（2，﹣2），选项D正确．故选：BD．三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2022春•兴庆区校级期末）函数y=(12)x，(−3≤x≤1)【解题思路】由题意，利用指数函数的单调性，求得函数的值域．【解答过程】解：∵函数y=(12)x在R上单调递减，﹣3≤x≤1，故当x＝1当x＝﹣3时，函数y取得最大值为8，故函数的值域是[12，8]，故答案为：[14．（4分）（2022春•合肥期末）实数a＝0.50.6，b＝0.60.5，c＝20.5的大小关系为c＞b＞a．【解题思路】由题意利用指数函数、幂函数的单调性，得出结论．【解答过程】解：∵a＝0.50.6，b＝0.60.5，c＝20.5，函数y＝x0.5是（0，+∞）上的增函数，2＞0.6，∴c＞b．∵y＝2x是R上的增函数，a＝0.50.6＝2﹣0.6，﹣0.6＜0.5，∴a＜c，即c＞a．∵y＝0.5x是R上的减函数，0.6＞0.5，∴0.50.6＜0.50.5＜0.60.5，∴a＜b．综上可得，故答案为：c＞b＞a．15．（4分）若指数函数f（x）的图象过点（﹣2，4），则不等式f(x)+f(−x)＜52的解集是（﹣1，【解题思路】设指数函数f（x）＝ax，由题意运用代入法可得a，即有（12）x+2x＜【解答过程】解：指数函数f（x）＝ax的图象过点（﹣2，4），可得a﹣2＝4，解得a=1不等式f(x)+f(−x)＜52，即为（12）x+2x＜52，即为2•（2x）2﹣5•2x+2＜0，化为解得﹣1＜x＜1，则原不等式的解集为（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）．16．（4分）（2021秋•普宁市期末）已知a＞0且a≠1，函数f（x）＝ax﹣2﹣2的图像恒经过定点（m，n），正数b、c满足b+c＝m+n，则1b+4c的最小值为【解题思路】先求出指数函数过定点（2，﹣1），得到b+c＝1，再利用基本不等式求最值即可．【解答过程】解：令x﹣2＝0，则x＝2，y＝﹣1，∴函数f（x）＝ax﹣2﹣2的图像恒经过定点（2，﹣1），∵函数f（x）＝ax﹣2﹣2的图像恒经过定点（m，n），∴m＝2，n＝﹣1，∴b+c＝m+n＝1，∴1b+4c=（1b+4c）（b+c）当且仅当cb=4bc，即b=13，c=2四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2021秋•阳春市校级月考）已知函数f（x）＝ax﹣1（x≥0）的图象经过点(4，18)，其中a＞0，且（1）求a的值；（2）求函数y＝f（x）（x≥3）的值域．【解题思路】（1）代入点列方程即可求解；（2）根据指数函数的单调性即可求值域．【解答过程】解：（1）由a4−1=1（2）由（1）知，f(x)=(12)x−1，∵x≥3，∴x﹣1≥2∴18．（6分）（2022春•增城区期末）已知函数f（x）＝ax+b（a＞0，a≠1）．（1）若f（x）图象过点（0，2），求b的值；（2）若函数f（x）在区间[2，3]上的最大值比最小值大a22，求【解题思路】（1）将点的坐标代入求出b的值；（2）分0＜a＜1与a＞1两种情况，根据函数单调性表达出最大值和最小值，列出方程，求a的值．【解答过程】解：（1）函数f（x）＝ax+b（a＞0，a≠1），f（x）图象过点（0，2），∴f（0）＝a0+b＝1+b＝2，解得b＝1；（2）当0＜a＜1时，f（x）在区间[2，3]上单调递减，此时f（x）max＝f（2）＝a2+1，f（x）min＝f（3）＝a3+1，∴a2+1﹣（a3+1）=a22，解得a=12当a＞1时，f（x）在区间[2，3]上单调递增，此时f（x）min＝f（2）＝a2+1，f（x）max＝f（3）＝a3+1，∴a3+1−(a2+1)=a22综上，a的值为12或319．（8分）（2022•永泰县校级开学）已知函数y＝（a﹣1）x是指数函数．（1）该指数函数的图