人教A版高中数学(必修第一册)培优讲义+题型检测专题4.4 对数函数-重难点题型精讲及检测（原卷版）

第第页专题4.4对数函数-重难点题型精讲1．对数函数的定义(1)对数函数的定义：一般地，函数y=SKIPIF1<0(a>0,且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0,+SKIPIF1<0).(2)判断一个函数是对数函数的依据：

①形如y=SKIPIF1<0；②底数a满足a>0，且a≠1；③真数是x；④定义域为(0,+SKIPIF1<0).

​​​​​​​例如:y=SKIPIF1<0是对数函数，而y=SKIPIF1<0(x+1)，y=SKIPIF1<0都不是对数函数.2．对数函数的图象与性质对数函数y=SKIPIF1<0(a>0,且a≠1,x>0)的图象和性质如下表所示：3．底数a对对数函数图象的影响(1)底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”.

当a>1时，对数函数的图象“上升”;

当0<a<1时,对数函数的图象“下降”.

(2)函数y=SKIPIF1<0与y=SKIPIF1<0(a>0,且a≠1)的图象关于x轴对称.

(3)底数的大小决定了图象相对位置的高低：

无论是a>1还是0<a<1,在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大.

①上下比较：在直线x=1的右侧,a>1时,a越大,图象越靠近x轴;0<a<1时,a越小,图象越靠近x轴;

②左右比较：比较图象与直线y=1的交点,交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大.4．反函数比较幂值大小的方法：【题型1对数（型）函数的定义域与值域】【方法点拨】根据对数函数的定义，结合具体条件，进行求解即可.【例1】函数y＝lgx＋lg(5－3x)的定义域是（

A．[0,53) B．[1,53)【变式1-1】函数fx=logA．−∞,0 B．2,+∞ C．0,2【变式1-2】已知函数fx=lgx2A．0,+∞ B．0,1 C．lg2,1 【变式1-3】函数y=ln(x−2)+1的值域为（A．R B．(1,+∞) C．[1,+∞【题型2对数式的大小比较】【方法点拨】比较对数值的大小，主要依据对数函数的单调性，同底时可直接利用相应的对数函数比较大小；不同底时，可借助中间量进行比较.【例2】已知a=log32，b=log52，c=3a−1，则A．a<b<c B．b<a<c C．c<a<b D．c<b<a【变式2-1】已知a=40.1，b=log32A．a>c>b B．a>b>c C．b>a>c D．c>a>b【变式2-2】若a=0.50.3，b=log0.53A．a>b>c B．a>c>bC．b>a>c D．c>a>b【变式2-3】设a=log53，b=log0.30.2，c=0.543A．a<c<b B．a<b<cC．b<c<a D．c<a<b【题型3解对数不等式】【方法点拨】对数不等式的三种考查类型：(1)形如SKIPIF1<0m>SKIPIF1<0n的不等式，借助y=SKIPIF1<0x的单调性求解.(2)形如SKIPIF1<0m>b的不等式，应将b化成以a为底数的对数式的形式(b=SKIPIF1<0SKIPIF1<0)，再借助y=SKIPIF1<0x的单调性求解.(3)形如SKIPIF1<0>SKIPIF1<0(f(x),g(x)>0且不等于1,a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解.【例3】已知函数f(x)=log4(x−2)−log4(a−x)，A．72,4 B．（3，4） C．（2，5） 【变式3-1】已知函数fx的图象与gx=log14xA．0,+∞ B．0,1 C．0,12【变式3-2】已知fx是定义在R上的奇函数，在区间0,+∞上为增函数，则不等式flogA．−∞,1 B．1,+∞ C．0,1【变式3-3】定义在R上的奇函数f(x)在(−∞,0]上单调递增，且f(−2)=−2，则不等式f(lgA．0,1100 B．1100,+∞ 【题型4对数函数的图象及应用】【方法点拨】①对数函数图象的识别：对于所给函数解析式，研究函数的单调性、特殊值等，利用排除法，得出正确的函数图象.②对数函数图象的应用：对于与对数函数、对数型函数有关的函数的作图问题，一般宜用变换作图法作图，这样有利于从整体上把握函数的性质，从而利用对数函数的图象来比较大小、解不等式、求最值等.【例4】函数y=lg(x+1)的图像是（A．B．C．D．【变式4-1】函数y=lg|x+1|的图像的大致形状是（A．B．C．D．【变式4-2】如图所示的曲线是对数函数y=logax，y=logbx，y=logcx，y=logdA．b>a>1>c>d B．a>b>1>c>d C．b>a>1>d>c D．a>b>1>d>c【变式4-3】已知函数fx=logax−b（a>0且a≠1，aA．a>0，b<−1 B．a>0，−1<b<0C．0<a<1，b<−1 D．0<a<1，−1<b<0【题型5对数型复合函数性质的应用】【方法点拨】借助对数函数的图象和性质来研究对数型复合函数的性质，再结合具体问题，进行求解即可.【例5】已知函数fx=logax+2(1)当a=2时，求fx(2)是否存在实数a，使得fx在−1,34【变式5-1】已知函数fx(1)求该函数的定义域；(2)求该函数的单调区间及值域.【变式5-2】已知函数fx(1)求fx(2)设函数gx=log4m+2x+4，若不等式【变式5-3】已知函数f(x)=log(1)若m=1，求函数f(x)的定义域．(2)若函数f(x)的值域为R，求实数m的取值范围．(3)若函数f(x)在区间−∞，1−3上是增函数，求实数m【题型6对数函数的实际应用】【方法点拨】从实际问题出发，建立对数（型）函数模型，借助对数函数的图象和性质进行解题，注意要满足实际条件.【例6】大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为V(m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究中发现V与log3Q100成正比，且当Q＝900时，V（1）求出V关于Q的函数解析式；（2）计算一条鲑鱼的游速是1.5m/s时耗氧量的单位数．【变式6-1】近年来，我国在航天领域取得了巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术．据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式v=v0lnMm计算火箭的最大速度v（单位：m/s）．其中v0（单位m/s）是喷流相对速度，m（单位：kg）是火箭（除推进剂外）的质量，参考数据：ln230≈5.4，1.648<(1)当总质比为230时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；(2)经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，总质比变为原来的13，若要使火箭的最大速度增加500m/s，记此时在材料更新和技术改进前的总质比为T，求不小于T【变式6-2】每年红嘴鸥都从西伯利亚飞越数千公里来到美丽的昆明过冬，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数v=12log3x100−lgx0(1)若x0=5，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位.(2)若雄鸟的飞行速度为1.3km/min，雌鸟的飞行速度为0.8km/min，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍.【变式6-3】学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，每天能用于锻炼的课余时间有90分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y与当天锻炼时间x（单位：分）的函数关系，要求及图示如下：（1）函数是区间[0,90]上的增函数；（2）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；（3）每天运动时间为30分钟时，当天得分为3分；（4）每天最多得分不超过6分.现有三个函数模型①y=kx+bk>0②y=k⋅1.2x+bk>0(1)请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由，再根据所给信息求出函数的解析式；(2)求每天得分不少于4.5分，至少需要锻炼多少分钟.（注：2≈1.414专题4.4对数函数-重难点题型检测一．选择题1．下列函数是对数函数的是（

）A．y=loga(2x) B．y=lg10x2．若函数fx=log2x+a的图象过点−2,0A．3 B．1 C．-1 D．-33．函数f(x)=2x−1+lgA．0，2 B．2，+∞ 4．设a=1.25，b=log34，c=log4A．a>b>c B．b>c>a C．b>a>c D．c>b>a5．已知log2a+log2b=0（a>0且a≠1，b>0且b≠1），则函数f(x)=A． B．C． D．6．已知函数fx=lgA．当a=0时，fx的定义域为B．fxC．当a=0时，fx的定义域为D．若fx在区间2,+∞上单调递增，则实数a7．已知奇函数fx在R上单调递增，且f1=1，则关于x的不等式fA．0,1 B．1,+∞ C．0,e 8．声强级Li（单位：dB）为声强I（单位：ωm2）之间的关系是：Li=10lgII0，其中A．闻阈的声强级为0dBB．此歌唱家唱歌时的声强范围[10−5,C．如果声强变为原来的2倍，对应声强级也变为原来的2倍D．声强级增加10dB，则声强变为原来的10倍二．多选题9．已知a=log23,b=ln2,c=A．b>a B．a>b C．c>a D．a>c10．已知函数f(x)=lgx2A．若f(x)的定义域为R，则−4≤a≤0B．若f(x)的值域为R，则a≤−4或 C．若a=2，则f(x)的单调减区间为−D．若f(x)在−2，−111．已知函数fx=logax+b(a>0，且a≠1,b∈A． B．C． D．12．已知函数f(x)=log2mx2A．若函数f(x)的定义域为R，则实数m的取值范围是1+B．若函数f(x)的值域为[−1,+∞)C．若函数f(x)在区间[2,+∞)上为增函数，则实数mD．若m=0，则不等式f(x)<1的解集为{x|x<三．填空题13．设a=2log32，b=log915，c=3−1，则a，14．不等式log12−x215．2021年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京开幕．研讨会聚焦于5G的持续创新和演进、信息通信的未来技术前瞻与发展、信息通信技术与其他前沿科技的融合创新．香农公式C=Wlog21+SN是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中SN叫作信噪比．若不改变信道带宽W，而将信噪比SN从11提升至499，则最大信息传递速率C16．关于函数y=log①该函数是偶函数；

②定义域为（−∞，−3]∪（1，+∞）；③递增区间为[1，+④最小值为1；其中正确结论的序号是．四．解答题17．解关于x的不等式：loga(x+1)>loga(3−18．比较下列各组中两个值的大小．(1)log31.9，log32；(2)19．对于函数y=logmx(1)若0<m<n<1，你能在直角坐标系中画出它们的大致图象吗？你发现了什么？(2)若1<m<n，你能在直角坐标系中画出它们的大致图象吗？你发现了什么？20．已知函数f(1)求函数fx(2)判断并证明函数fx(3)求不等式fx21．有一种候鸟每