高三数学教案导数

【知识网络】导数

模块二导数导数的几何意义导数的看法基本导数公式两个函数和、差、积商的导数导数的运算幂、指数对数函数的导数复合函数的导数函数单调性导数的应用函数极值函数的最值2．1导数的看法、公式及其运算法规【考点透视】一、考纲指要1．认识导数看法的实质背景，认识曲线的切线、运动物体的瞬时速度等。2．理解导数的几何意义，掌握函数在某点的导数的意义就是函数图象在该点的切线的斜率。3．掌握函数y=xn(x∈N+)的导数公式，会求多项式函数的导数。4．熟练掌握导数的运算法规，特别是和、差、常数与函数的积的导数的运算法规。二、命题落点s1．导数看法的实质背景：瞬时速度是平均速度t当t趋近于0时的极限；切线是割y线的极限地址，切线的斜率是割线斜率x当x趋近于0时的极限；边缘成本是平均成本Cq当q趋近于0时的极限.如例1．2．利用导数的几何、物理意义，求切线的斜率（导数方法可用于研究平面曲线的切线）、即时速度、加速度，如例2，例3．【典例精析】例1：求双曲线y1yx在交点处的切线的夹角．与抛物线x解析：按定义直接求出。先求出两曲线的交点，再分别对两个函数求导，得出两个函数在交点处的斜率，进而用夹角公式求夹角．y1,x1,由xy1.yx,1y1111对y,limlimxxxlimx)，xx0xx0xx0x(xx2对yx，limylimxxx(xxx)(xxx)xlimx(xxx)x0xx0x0limxlim11x(xxx)xx)，x0x0(x2x111,k21∴y/x11，即k1．222设夹角为，则tan|k2k1|3∴arctan3．1k1k2例2：（2002天·津文）已知a＞0，函数f（x）3－a，x∈［0，+∞）.设x1=x＞0，记曲线y=f（x）在点M（x1，f（x1））处的切线为l.1）求l的方程；2）设l与x轴交点为（x2，0）.证明：1（i）x2≥a3；1ii）若x1＞a3，则a3＜x2＜x1.解析：利用导数的几何意义，求切线的斜率1）求f（x）的导数，得f′（x）=3x2，由此知切线l的方程为：y－（x13－a）=3x12（x－x1）.2）依题意，切线方程中令y=0，21x13a2x13a，x=x－3x123x1211321111（i）x2a3a3x12(x1a3)2(2x1a3)≥0，2(2x1a3)3x13x11∴x23，≥a1当且仅当x1=a3时等号建立.13a＜0，且由（i）x21（ii）若x13，则x13－a＞0，x21x13，23x11因此a3＜x21＜x.例3：（2004湖·南）如图，过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P（0,m）(m>0)作直线与抛物线交于A,B两点，点Q是点P关于原点的对称点．（1）设点P分有向线段AB所成的比为，证明:QP(QAQB)（2）设直线AB的方程是x-2y+12=0，过A,B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程.解析：本题主要察看导数的看法和相关的解几知识。（1）依题意，可设直线AB的方程为ykxm,代入抛物线方程x24y，得x24kx4m0.①(x1,y1)、(x2,y2),则x1、x设A、B两点的坐标分别是2是方程①的两根.因此4.x1x2m由点P（0，m）分有向线段AB所成的比为，得x1x20,即x1.1x2又点Q是点P关于原点的对称点，故点Q的坐标是（0，－m），进而QP(0,2m).QAQB(x1,y1m)(x2,y2m)(x1x2,y1y2(1)m).QP(QAQB)2m[y1y2(1)m]2m[x12x1x22(1x1)m]2m(x1x2)x1x24m4x24x24x22m(x1x2)4m4m0.4x2因此QP(QAQB).x2y120,6，9）、（－4，4）.（2）由4y,得点A、B的坐标分别是（x2由x2y得y1x2,y1x,x242因此抛物线4y在点A处切线的斜率为yx63．设圆C的方程是(xa)2(yb)2r2,b91,则ab3(a6)2(b9)2(a4)2(b4)2.解之，得a3,b23,r2(a4)2(b4)2125.22323125,2因此圆C的方程是(x)2(y)2222即x2y23x23y720.【常有误区】1．对“变与不变”、“曲与直”、“局部与整体”、“近似与精确”、“有限与无量”等对峙一致关系认识不清．2．不能够正确理解导数的几何意义。函数在某点的导数的意义就是函数图象在该点的切线的斜率应用不够熟练。【基础演练】1．(2005浙·江)函数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝（）111D．1A．B．C．8422．（2005·湖北）在函数yx38x的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数4的点的个数是（）A．3B．2C．1D．03．（2004·湖南卷）设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0时，f(x)g(x)f(x)g(x)0,且g(3)0,则不等式f(x)g(x)0的解集是（）A．(3,0)(3,)B．(3,0)(0,3)C．(,3)(3,)D．(,3)(0,3)4．函数f(x)在x0处的导数f(x0)是指（）A．limf(x02x)f(x0)B．limf(x0x)f(x0x)x0xx0xC．limf(x0x)f(x0x)D．limf(x02x)f(x0)x02xx02x5．已知曲线y2x1则在曲线上点处的切线与直线y2x3垂直.6．（2004·湖北）某日中午12时整，甲船自A处以16km/h的速度向正东行驶，乙船自A的正北18km处以24km/h的速度向正南行驶，则当日12时30分时两船之间距间对时间的变化率是km/h.7．求曲线y2xx3在点(1,1)处切线的方程，及其与x轴，y轴所围成的平面图形的面积．8．若三次抛物线yx3pxq与ox轴相切，试证明：(p)3(q)20．1329．（2004·广东）设函数f(x)10．,xx（1）证明：当0ab且f(a)f(b)时，ab1；（2）点P(x0,y0)（0<x0<1）在曲线yf(x)上，求曲线上在点P处的切线与x轴，y轴正向所围成的三角形面积的表达式．（用x0表示）2．2导数的应用（一）【考点透视】一、考纲指要1．理解极大值、极小值、最大值、最小值的看法，并会用导数判断函数的单调性，求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值。2．会利用导数求最大值和最小值的方法，解决科技、经济、社会中的某些简单实责问题．3．会用导数的方法解析和研究函数的性诘问题，进一步能解决与解析几何、不等式有关的一些综合问题．二、命题落点1．高考察看的热点集中在求导法规以及导数在函数研究上的应用．2．函数的单调性是函数一条重要性质．利用导数与函数的单调性的关系，研究函数的性质（比初等方法精确细微）是高考的重点，如例3、例4．3．关于函数特色，最值问题很多，因此有必要专项谈论，导数法求最值要比初等方法快捷简略，如例1和例2．【典例精析】例1：（2005福·建）已知函数f(x)x3bx2axd的图象过点P（0，2），且在点M（－1，f（－1））处的切线方程为6xy70.（1）求函数yf(x)的解析式；（2）求函数yf(x)的单调区间.解析：应用导数知识及函数思想方法，解决函数的单调性问题。函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义，就是yf(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率。（1）由f(x)的图象经过P（0，2），知d=2，因此f(x)x3bx2cx2,f(x)3x22bxc.由在M(1,f(1))处的切线方程是6xy70，知6f(1)70,即f(1)1,f(1)6.32bc6,即2bc3,解得bc3.1bc21.bc0,故所求的解析式是f(x)x33x23x2.（2）f( )3x26x3.令3x26x30,即x22x10.x解得x112,x212.当x12,或x12时,f(x)0;当12x12时,f(x)0.故f(x)x33x23x2在(,12)内是增函数，在(12,12)内是减函数，在(12,)内是增函数.一般地，设函数yf(x)在某区间内可导，则当f(x)0时，f(x)为增函数，当f(x)0时，f(x)为减函数，若在某区间内，恒有f(x)0，则f(x)为常数．例2：（2005湖·南）设t0，点P（t，0）是函数f(x)x3ax与g(x)bx2c的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线.（1）用t表示a，b，c；（2）若函数yf(x)g(x)在（－1，3）上单调递减，求t的取值范围.解析：函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义，就是yf(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率，即曲线yf(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率为f(x0)．（1）由于函数f(x)，g(x)的图象都过点（t，0），因此f(t)0，即t3at0.由于t0,因此at2.g(t)0,即bt2c0,因此cab.又由于f(x)，g(x)在点（t，0）处有相同的切线，因此f(t)g(t).而f( )3x2,g()2,32a2.xaxbx因此tbt将at2代入上式得bt.因此cabt3.故at2，bt，ct3.（2）yf(x)g(x)x3t2xtx2t3,y3x22txt2(3xt)(xt).当y(3xt)(xt)0时，函数yf(x)g(x)单调递减.由y0，若t0,则txt；若t0,则txt.33由题意，函数yf(x)g(x)在（－1，3）上单调递减，则(1,3)(t,t)或(1,3)(t,t).33因此t3或t3.即t9或t3.3又当9t3时，函数yf(x)g(x)在（－1，3）上单调递减.因此t的取值范围为(,9][3,).例3：（2004·湖北）已知b1,c

0,函数f(x)

xb的图象与函数

g(x)

x2

bx

c的图象相切

.（1）求

b与

c的关系式（用

c表示

b）；（2）设函数

F(x)

f(x)g(x)在(

,

)内有极值点，求

c的取值范围

.解析：本小题察看导数、切线、极值等知识及综合运用数学知识解决问题的能力。（1）依题意，令f(x)g(x),得2xb1,故x1b.2由于f(1b)g(1b),得(b1)24c.22Qb1,c0,b12c.（2）F(x)f(x)g(x)x32bx2(b2c)xbc.F(x)3x24bxb2c.令F(x)0,即3x24bxb2c0.则16b212(b2c)4(b23c).若0,则F(x)0有一个实根x0,且F(x)的变化以下:x(,x0)0（x0,)xF(x)+0+于是xx0不是函数F(x)的极值点.若0,则F(x)0有两个不相等的实根x1,x2(x1x2)且F(x)的变化以下：x(,x1)x1(x1,x2)x2（x2,)F(x)+0—0+由此，xx1是函数F(x)的极大值点,xx2是函数F(x)的极小值点.综上所述，当且仅当0时,函数F(x)在(,)上有极值点.由4(b23c)得b或3c.03cbQb12c,12c3c或12c3c.解之得或743.0c743c故所求的取值范围是(0,743)(743,).c【常有误区】1．我们在应用导数判断函数的单调性时必然要搞清以下三个关系，才能正确无误地判断函数的单调性：（1）f(x)0与f(x)为增函数的关系．f(x)0能推出f(x)为增函数，但反之不用然。如函数f(x)x3在(,)上单调递加，但f(x)0，∴f(x)0是f(x)为增函数的充分不用要条件．（2）f(x)0时，f(x)0与f(x)为增函数的关系．若将f(x)0的根作为分界点，由于规定f(x)0，即抠去了分界点，此时f(x)为增函数，就必然有f(x)0。∴当f(x)0时，f(x)0是f(x)为增函数的充分必要条件．（3）f(x)0与f(x)为增函数的关系．f(x)为增函数，必然能够推出f(x)0，但反之不用然，由于f(x)0，即为f(x)0或f(x)0。当函数在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)为常数，函数不拥有单调性。∴f(x)0是f(x)为增函数的必要不充分条件．我们必然要掌握好以上三个关系，为解决单调区间的端点问题，一律用开区间作为单调区间，防备谈论以上问题，也简化了问题。但在实质应用中还会遇到端点的谈论问题，要谨慎办理．2．函数f(x)在区间[a,b]上的最大值为极大值和f(a)、f(b)中最大的一个，最小值为极小值和f(a)、f(b)中最小的一个。注意：极值≠最值．3．判断极值，需结合函数的单调性说明．f/(x0)＝0不能够获适当x=x0时，函数有极值。但是，当x=x0时，函数有极值f/(x0)＝0．【基础演练】1．（2005·江西）已知函数yxf(x)的图象如右图所示(其中f'(x)是函y数f(x)的导函数)，下面四个图象中yf(x)的图象大1x致是（）-2-1O12-1yyyy21O

x

21O

x

44221-2-112-2-112-2-1O1x-2O2x-2-2-2-1ABCD2．(2005·广东)函数f(x)x33x21是减函数的区间为（）A．(2,)B．(,2)C．(,0)D．(0,2)3．（04·湖北）函数f(x)ax3x1有极值的充要条件是（）A．a0B．a0C．a0D．a04．（2005·全国１）函数f(x)x3ax23x9，已知f(x)在x3时获取极值，则a的值为（）A．2B．3C．4D．55．已知f(x)x33ax22bx在点x1处有极小值1，则a，b．6．设函数f(x)x32x2x1，x[1,2]，则函数的最小值为．7．（2004·天津）已知函数f(x)ax3bx23x在x1处获取极值．（1）谈论f(1)和f(1)是函数f(x)的极大值还是极小值；（2）过点A(0,16)作曲线yf(x)的切线，求此切线方程．8．（2004·湖南）如图，已知曲线C1：y=x3(x≥0)与曲线C2:y=y－2x3+3x(x≥0)交于O，A,直线x=t(0<t<1)与曲线C1,C2分C1D别交于B，D.1）写出四边形ABOD的面积S与t的函数关系式S=f(t);2）谈论f(t)的单调性，并求f(t)的最大值.9．（2004·湖北文）已知a为实数，f(x)(x24)(xa)A（1）求导数f(x)；C2OBx（2）若f(1)0，求f(x)在[-2，2]上的最大值和最t小值；（3）若f(x)在（—∞，—2）和[2，+∞]上都是递加的，求a的取值范围.2．3导数的应用（二）【考点透视】一、考纲指要1．利用导数求最值的方法，解决一些实责问题．2．用导数的方法研究函数的性质，解决与解析几何、不等式相关的一些综合问题．二、命题落点1．导数在解决实责问题中的应用（初等方法经常技巧性要求较高，而导数方法显得简略），如例1．2．导数与向量、解析几何、不等式或函数图象的混杂问题，也是高考中察看综合能力的一个方向，应引起注意，如例2、例3．【典例精析】例1：（2005全·国３）用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,尔后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?x解析：本题察看建立函数关系、最值求法等基本知识及综合应用数学知识、思想与方法解决实责问题能力.设容器的高为x，容器的体积为V，则V=（90-2x）（48-2x）x=4x3-276x2+4320x，(0<x<24)V′=12x-552x+4320由V′=12x-552x+4320=0得x1=10，x2=36∵x<10时，V′>0,当10<x<36时，V′<0；当x>36时，V′>0,因此,当x=10,V有极大值V(10)=1960．又V(0)=0,V(24)=0,因此当x=10,V有最大值V(10)=1960．例2：（2004广·东）已知f(x)=223()在区间[－1，1]上是增函数.4xaxxx（1）求实数a的值组成的会集A；3（2）设关于x的方程f(x)=2x1x3的两个非零实根为x1、x2.试问：可否存在实数m，3使得不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒建立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明原由.解析：本题主要察看函数的单调性，导数的应用和不等式等相关知识，察看数形结合及分类谈论思想和灵便运用数学知识解析问题和解决问题的能力.（1）f＇(x)=4+2ax2x2,∵f(x)在[－1，1]上是增函数，∴f＇(x)≥0对x∈[－1，1]恒建立，即x2－ax－2≤0对x∈[－1，1]恒建立.①设(x)=x2－ax－2，方法一：(1)1a20,①(1)1a20－1≤a≤1，∵对x∈[－1，1]，只有当a=1时，f＇(-1)=0以及当a=－1时，f＇(1)=0．A={a|－1≤a≤1}.方法二：aa0,0,①2或2(1)1a20(1)1a200≤a≤1，或－1≤a<01≤a≤1.∵对x∈[－1，1]，只有当a=1时，f＇(－1)=0以及当a=－1时，f＇(1)=0∴A={a|－1≤a≤1}.（2）由4xax22x32x1x3,得x0,或x2ax20,33∵△=a2+8>0x1，x2是方程x2－ax－2=0的两非零实根，x1+x2=a，x1x2=－2，进而|x1－x2|=(x1x2)24x1x2=a28.∵－1≤a≤1，∴|x1-x2|=a28≤3.要使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒建立，当且仅当m2+tm+1≥3对任意t∈[－1，1]恒建立，即m2+tm－2≥0对任意t∈[－1，1]恒建立.②设g(t)=m2+tm－2=mt+(m2－2)，方法一：②g(－1)=m2－m－2≥0且g(1)=m2+m－2≥0，m≥2或m≤－2.因此，存在实数m，使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒建立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤－2}.方法二：当m=0时，②显然不行立；当m≠0时，m>0，g(－1)=m2－m－2≥0，或m<0，g(1)=m2+m－2≥0m≥2或m≤－2.因此，存在实数m，使不等式m2+tm+1≥|x12－x|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒建立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤－2}.例3：过点P(1,0)作曲线C:yxk（x(0,)，kN，k1）的切线切点为Q，1设Q1点在x轴上的投影是点P1；又过点P1作曲线C的切线切点为Q2，设Q2点在x轴上的投影是点P2；；依此下去，获取一系列点Q1,Q2,,Qn,，设点Qn的横坐标是an．（1）求证：an(k)n，nN；k1（2）求证：an1n；k1nik2k．（3）求证：i1ai解析：本题综合解析几何、导数、数列、二项式定理、不等式等知识点，在解答时，需要较强的思想能力，解析问题和解决问题的能力．（1）对yxk求导数，得y/kxk1．若切点是Qn(an,ank)，则切线方程是yankkank1(xan)．当n1时，切线过点P(1,0)，即0kk1a1)，得a1ka1ka1(1k；1当n1时，切线过点Pn1(an1,0)，即0ankkank1(an1an)，得ank．an1k1因此数列{an}是首项为k，公比为kk1的等比数列，an(k)n，nN．k1k1（2）应用二项式定理，得an(k)n(1k1)nk11Cn0Cn11Cn2(1)2LCnn(k1)nCn0Cn111n．k1k11k1k1443最少2项（3）记Sn12Ln1n，则k1Sn12Ln1n，a1a2an1anka2a3anan1两式相减，得(1k1)Sn11L1n11L1，ka1a2anan1a1a2ank1(k1n]1Sk[1k)kk1，kn11k故Snk2k．【常有误区】．关于研究性问题与应用性问题，因不能够理解题意而以致函数关系式列不出来，或变量间的等量关系找不到而不能够顺利解决问题。2．相关导数的综合性问题，经常是高考中的压轴题，察看灵便运用导数的知识解析问题和解决问题的能力，应引起注意。要求掌握常有的数学思想和方法。【基础演练】1．（2005·天津）若函数f(x)loga(x3ax)(a0,a1)在区间(1,0)内单调递加，则2a的取值范围是（）A．[1,1)B．[3,1)C．(9,)D．(1,9)44442．（04·浙江）设f'(x)是函数f(x)的导函数，y=f'(x)的图象如右图所y示，则y=f(x)的图象最有可能的是（）O12xyyyyO12x

O12x

21

x

O12

xA．B．C．D．3．一点作直线运动，由始点起经过ts后距离S为S1t44t316t2，则速度为零的时刻4是（）A．4s末B．8s末C．0s与8s末D．0s、4s、8s末4．（2005·辽宁）已知yf(x)是定义在R上的单调函数，实数x1x2，1,ax1x2,x2x1，若|f(x1)f(x2)||f( )f( )|，则（）11A．0B．0C．01D．15．某工厂要靠墙壁盖一间长方形小屋，现有存砖只能砌20m墙壁，问应围成长为m，宽为m的长方形才能使小屋面积最大．6．关于函数f(x)1ax(x0)(a是常数且a≠0)，给出以下命题：①它是一个奇函数；2(x0)2ax②它在每一点都连续；③它在每一点都可导；④它是一个增函数；⑤它有反函数．其中不正确的命题序号是．．．．7．（2001·春季）圆柱形金属饮料罐的容积为定值V时，它的高与底面半径应怎样采用才能使用料最省？8.（2005·湖北）已知向量a(x2,x1),b(1x,t),若函数f(x)ab在区间（－1，1）上是增函数，求t的取值范围.9．（2005·辽宁）函数yf(x)在区间（0，+∞）内可导，导函数f(x)是减函数，且f(x)0.设x0(0,),ykxm是曲线yf(x)在点（x,f(x)）的切线方程，并设函数00g(x)kxm.1）用x0、f(x0)、f(x0)表示m；（2）证明：当x0(0,)时,g(x)f(x)；（3）若关于x的不等式x21axb3x32在[0,)上恒建立，其中a、b为实数，2求b的取值范围及a与b所满足的关系.本章测试题一、选择题：（本题每题5分，共60分．）1．一点作直线运动，由始点起经过ts后距离S为S1t44t316t2，则速度为零的时刻4是（）A．4s末B．8s末C．0s与8s末D．0s、4s、8s末2．曲线yx3在点P处切线斜率为k，当k3时的P点坐标为（）A．(2,8)B．(1,1)(1,1)C．(2,8)D．(11,)283．物体自由落体运动方程为SS(t)1gt2，g9.8m/s，2若vlimS(1t)S(1)g9.8m/s，那么以下说法正确的选项是（）x0tA．9.8m/s是在0到1s这段时间内的速率B．9.8m/s是从1s到1ts这段时间内的速率C．9.8m/s是物体在t1s这一时刻的速率D．9.8m/s是物体从1s到1ts这段时间内的平均速率4．（2004·江苏）函数f(x)x33x1在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是（）A．1，－1B．1，－17C．3，－17D．9，－195．曲线yx(x1)(x2)(x50)在原点处的切线方程为（）A．y1275xB．y502xC．y100xD．y50!x6．若函数ya(x3x)的递减区间为(3,3)，则a的范围是（）33A．a0B．1a0C．a1D．0a17．（2005·全国１）函数f(x)x3ax23x9，已知f(x)在x3时获取极值，则a=（）A．2B．3C．4D．58．函数yf(x)是定义在R上的可导函数，则yf(x)为R上的单调增函数是f(x)0的（）A．充分不用要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不用要条件9．（2005·湖北）在函数yx38x的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数4的点的个数是（）A．3B．2C．1D．010．（2004·全国）函数y=xcosx-sinx在下面哪个区间内是增函数（）A．(,3)B．(π,2π)C．(3,5)D．(2π,3π)222211．a、b为实数且b－a=2，若多项式函数f(x)在区间(a，b)上的导数f′(x)满足f′(x)＜0，则一定建立的关系式是（）A．f(a)＜f(b)1B．f(a+1)＞f(b－)2C．f(a+1)＞f(b－1)D．f(a+1)＞f(b－3)212．已知函数f(x)x3ax2bxc,x[2,2]表示的曲线过原点，且在x1处的切线斜率均为－1，给出以下结论：①f(x)的解析式为f(x)x34x,x[2,2]；②f(x)的极值点有且仅有一个；③f(x)的最大值与最小值之和等于0，其中正确的结论有（）A．0个B．1个C．2个D．3个二、填空题：（本题每题4分，共16分．）13．已知函数f(x)x2，若f(x)f(x)，则x。．14．（2005·江苏）曲线yx3x1在点（1,3）处的切线方程是．15．若函数f(x)1(a1)x31ax21x1在其定义域内有极值点，则a的取值3245为．16．已知f(x)是可导的偶函数，且limf(1x)f(1)2，则曲线yf(x)在（－1，2）处x02x的切线方程是.三、解答题：（本题共７４分．）17．（本小题满分１２分）确定函数f(x)2x36x27在哪个区间上递加？哪个区间上递减．18．（本小题满分１２分）从边长为10cm×16cm的矩形纸板的4角，截去4个相同的小正方形，做成一个无盖的盒子，那么盒子容积的最大值为多少？19．（本小题满分１２分）已知f(x)x3ax2bxc在x2和x1时，都获取极值．3（1）求a、b的值；（2）若对x[1,2]，f(x)c2恒建立，求c的取值范围．20．（本小题满分１２分）设a为实数,函数f(x)x3x2xa.（1）求f(x)的极值.（2）当a在什么范围内取值时,曲线yf(x)与x轴仅有一个交点.21．（本小题满分１２分）已知平面向量a=(3–1),b=(1,3).221）证明a⊥b;2）若存在不相同时为零的实数k和t，使x=a+(t2–3)b，y=–ka+tb，且x⊥y，试求函数关系式k=f(t);（3）据（2）的结论，谈论关于t的方程f(t)–k=0的解的情况.22．（本小题满分１４分）已知a2R,函数f(x)xxa.1）当a=2时，求使f（x）＝x建立的x的会集；2）求函数y＝f(x)在区间[1,2]上的最小值.参照答案2．1导数的看法、公式及其运算法规1．B2．D3．D4．C5．（4，5）6．-1.67．∵y23x2，∴y/x123(1)21，∴过点(1,1)的切线方程为y11(x1)即xy20，其与x、y轴所围面积为S1|2||2|2．28．y3x2p，由曲线与ox轴相切，则3x2p0,x3pxq0,p3x2,(p)3(q)2x6x60，∴得证．q2x332111,x(0,1],Qf(x)|x|19．（1）x11,x(1,).x故f(x)在（0，1]上是减函数，而在（1，+∞）上是增函数，由0<a<b，且f(a)=f(b)，得0<a<1<b和1111,即1122abab2ab，故ab1,即ab1．abab（2）0<x<1时，yf(x)|11|11,f'(x0)12,0x01．xxx0曲线y=f(x)在点P（x0，y0）处的切线方程为：yy012(xx0),即yx2x02，x0x0x0∴切线与x轴、y轴正向的交点为(x(2x),0)和(0,1(2x)，x0故所求三角形面积的表达式为：A(x0)1x0(2x0)1(2x0)1(2x0)2．2x022．2导数的应用（一）1．C2．D3．C4．D5．1，16．3327．（1）f(x)3ax22bx3，依题意，f(1)f(1)0，即3a2b30,解得a1,b0．3a2b30.∴f(x)x33x,f(x)3x233(x1)(x1)．令f(x)0，得x1,x1．若x(,1)(1,)，则f(x)0，故函数f(x)在(,1)上是增函数，f(x)在(1,)上是增函数．若x(1,1)，则f(x)0，故f(x)在(1,1)上是减函数．因此，f(1)2是极大值；f(1)2是极小值．（2）曲线方程为yx33x，点A(0,16)不在曲线上．设切点为M(x,y)，则点00M的坐标满足y0x033x0．因f(x0)3(x021)，故切线的方程为yy03(x021)(xx0)．注意到点A（0，16）在切线上，有3216(03x0)3(x01)(0x0)，x化简，得x038，解得x02．因此，切点为M(2,2)，切线方程为9xy160．8．（1）由yx3,得交点O、A的坐标y2x3y3x,C1分别是（0，0），（1，1）.D1|BD|1|BD|f(t)SABDSOBD|10|221(3t33t),23(t3A即f(t)t).(0t1).C22BOxt（2）f(t)9t23.令f(t)022解得t3.3当0t3时,f(t)0,进而f(t)在区间(0,3)上是增函数；33当3t1时,f(t)0,进而f(t)在区间(3,1)上是减函数.33因此当t3时，f(t)有最大值为f(3)3.3339．(1)由原式得f(x)x3ax24x4a,∴f(x)3x22ax4.(2)由f(1)0得a1此时有f(x)(x21),f(x)3x2x4.2,4)(x2由f(1)0得x4或x=-1,又f(4)50,f(1)9,f(2)0,f(2)0,33272因此f(x)在[-2,2]上的最大值为9,最小值为50.227(3)f(x)3x22ax4的图象为张口向上且过点(0,-4)的抛物线,由条件得f(2)0,f(2)0,即4a80∴-2≤a≤2.84a0.因此a的取值范围为[--2,2].2．3导数的应用（二）1．B2．C3．D4．A5．10，56．①③④22v7．设高为h，底半径的R，则表面积S2Rh2R，又VRhhR2代入，得S(R)2v2R2．RS(R)2v4R0R3v，R22因此hv23v，即h2R．R22由于S(R)只有一个极值，因此它是最小值．故当h23v，R3v时用料最省．228．依定义f(x)x2(1x)t(x1)x3x2txt,则f(x)3x22xt.若f(x)在(1,1)上是增函数,则在(1,1)上可设f(x)0.f(x)0t3x22x,在区间(1,1)上恒建立,考虑函数g(x)3x22x,1由于g(x)的图象是对称轴为x,张口向上的抛物线，故要使t3x22x在区间3（－1，1）上恒建立tg(1),即t5.而当t5时,f(x)在(1,1)上满足f(x)0,即f(x)在(1,1)上是增函数.故t的取值范围是t5.9．（1）mf(x0)x0f(x0).（2）令h(x)g(x)f(x),则h(x)f(x0)f(x),h(x0)0.由于f(x)递减，所以h(x)递加，因此，当xx时,h(x)0；当xx时,h(x)0.因此x是h(x)唯一000的极值点，且是极小值点，可知h(x)的最小值为0，因此h(x)0,即g(x)f(x).（3）0b1，a0是不等式建立的必要条件，以下谈论设此条件建立.一方面，不等式x21axb,即x2ax(1b)0对任意x[0,)建立的充要条1件是a2(1b)2.另一方面，由于f(x)3x32满足前述题设中关于函数yf(x)的条件，利用（II）的结2320，b）与曲线y2果可知，axb3的充要条件是：过点（3xx3相切的直线的斜率大221于a，该切线的方程为y(2b)2xb.于是axb3x32的充要条件是a(2b)2

12综上，不等式x21axb3x32对任意x[0,)建立的充要条件是211(2b)2a2(1b)2.①11显然，存在a、b使①式建立的充要条件是：不等式(2b)22(1b)2.②有解,解不等式②得22b22.③44因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数在a与b所满足的关系.本章测试题一、选择题1．D2．B3．C4．C5．D6．A7．D8．B9．D10．B11．B12．C二、填空题13．0或2．y4x115．a151516．y4x6.142,a2三、解答题17．f(x)6x212x．令6x212x0x2或x0，6x212x00x2，∴递加区间为(,0)和(2,)，递减区间为(0,2)．18．设小正方形边长为x，如图，则盒子的容积为V(102x)(162x)x4(x313x240x)(0x5)．x10-2xxV4(3x226x16-2x0，得3x226x40040)，令V202，∵0x5∴x2(0,5)解得x或x3列表以下x（0，2）2（2，5）V+0—V增极大值减由上表可知，x2时盒子的体积最大，且最大值为144cm3．19．⑴f(x)3x22axb0的两根为2和1．3221a1,a,∴332b21b2.33⑵由⑴知f(x)x31x22xc，且当x[1,2)时，f(x)0,x(2,1)时，233f(x)0,x(1,2]时，f(x)0，∴当x2时，f(x)有极大值223c．27又f(2)2c，即当x[1,2]时，f(x)的