新高考数学第一轮复习：集合（原卷版+解析）

专题01集合

【命题方向目录】

命题方向一：集合的表示：列举法、描述法

命题方向二：集合元素的三大特征

命题方向三：元素与集合间的关系

命题方向四：集合与集合之间的关系

命题方向五：集合的交、并、补运算

命题方向六：集合与排列组合的密切结合

命题方向七：集合的创新定义

【2024年高考预测】

1、考查两个几何关系的判定或子集的个数问题

2、常与一元二次不等式解法、一元一次不等式解法、分式不等式解法、指数、对数不等式解法结合

重点考查集合的交集运算，也可能考查集合的并集、补集运算

【知识点总结】

1、集合与元素

某些指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集，通常用大写字母A,B>（?，・•・表示.集合中的

每个对象叫做这个集合的元素，通常用小写字母。，b,c,...表示.

2、集合的分类

集合按元素多少可分为：有限集（元素个数有限）、无限集（元素个数无限）、空集（不含任何元素）；

也可按元素的属性分，如：数集（元素是数），点集（元素是点）等.

3、集合中元素的性质

对于一个给定的集合，它的元素具有确定性、互异性、无序性.

4、常用集合符号

数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集

符号NN*或N.ZQR

5、元素与集合之间的关系

元素与集合之间用“e”或“任”连接，元素与集合之间是个体与整体的关系，不存在大小或相等关系.

6、集合与集合之间的关系

（1）包含关系：如果对任意xwA，都有则称集合A是集合3的子集，记作A=显然A=A，

0GA;

（2）相等关系：对于集合A、B，如果同时那么称集合A等于集合3,记作4=台；

（3）真包含关系：对于集合A、B，如果A=并且AwB，我们就说集合A是集合3的真子集，

记作AtJB；

（4）空集是任何非空集合的真子集.

7、集合的基本运算

（1）交集：一般地，由属于集合A且属于集合台的所有元素组成的集合，称为A与3的交集，记作AQ8,

即AP|3={xI尤©A，GB]-

（2）并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合8的元素组成的集合，称为A与3的并集，记作AU3,

即A|JB={彳1xeA,或veB}■

（3）补集：对于一个集合A,由全集中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全

集U的补集，简称为集合A的补集，记作QA，即{尤且xeA}.

8、集合表示方法：列举法、描述法、Venn图.

9、集合之间的运算性质

（1）交集：4口8=804，=Ap|A=A，Ap|0=0，=A-

（2）并集：AUB=BUA，AIJBNA，AUB=3，AIJA=A，AU0=A，A^B^A\JB=B-

（3）补集的运算性质：CU（CUA）=A，Cu0=U，GU=0，An（C[/A）=0，A\J（CuA）=U-

【秒杀总结】

U）若有限集A中有“个元素，则A的子集有2"个，真子集有2"-1个，非空子集有2"-1个，非空

真子集有2"_2个.

（2）空集是任何集合A的子集，是任何非空集合3的真子集.

（3）AryB=A<^A^B,A^jB=A<^B^A.

【典例例题】

命题方向一：集合的表示：列举法、描述法

【通性通解总结】

1、列举法，注意元素互异性和无序性，列举法的特点是直观、一目了然.

2、描述法，注意代表元素.

例L（2023•新疆•校联考二模）集合A={—L0,L2,3,4,5},8={x|x为晨10以内的质数},记Ac3=M,

贝I（）

A.leMB.2eM

C.3^MD.4任M

例2.（2023•全国•高三专题练习）已知集合A={T,0,l},B=则集合8中所有元

素之和为（）

A.0B.1C.-1D.也

例3.（2023•全国•高三专题练习）已知集合4={刈2＜》＜6,尤eN},则集合A的子集的个数为（）

A.3B.4C.7D.8

变式1.（2023•广东茂名•高三统考阶段练习）设集合A={2,4},B={1,2},集合

M=1z|z=3，xeAy＞,则M中所有元素之和为（）

A.3B.5C.7D.9

变式2.(2023•全国•高三专题练习)已知集合A={#244},集合8={小©“且x-le耳，则3=()

A.{0,1}B.{0,1,2}C.{1,2,3}D.{1,2,3,4}

变式3.（2023•河北•高三统考学业考试）直角坐标平面中除去两点A（l,l）、3（2,-2）可用集合表示为（）

A.{(x,y)|xwl,ywl,xw2,y。一2}

B.{(羽刈[或J

〔"1〔yw-2

c.{(x,y)|[(尤-1)2+(y—1)2][(x-2)2+(y+2)2]w0}

D.{(x,y)|[(x-1)?+(y—1尸]+[(尤-2)2+(y+2)2卜0}

命题方向二：集合元素的三大特征

【通性通解总结】

1、研究集合问题，看元素是否满足集合的特征：确定性、互异性、无序性.

2、研究两个或者多个集合的关系时，最重要的技巧是将两集合的关系转化为元素间的关系.

例4.（2023・全国•高三专题练习）集合A={a,6,c}中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么

这个三角形一定不是（）

A.等腰三角形B.锐角三角形

C.直角三角形D.钝角三角形

例5.（2023・全国•高三专题练习）定义集合A*B={z|z=町,xeAye3},设集合A={-1,0,1},

3={-1,1,3},则中元素的个数为（）

A.4B.5C.6D.7

例6.（2023•河南新乡•高三校联考开学考试）已知集合人={4,无,2y},B={-2,x2,l-y},若A=B,则实数

尤的取值集合为（）

A.{-1,0,2}B.{-2,2}C.{-1,0,2}D.{-2,1,2）

变式4.（2023・全国•高三专题练习）设集合A={-2,-1,1,2,3},B={y|y=log21x|,%eA},则集合5元素的

个数为（）

A.2B.3C.4D.5

变式5.（2023•全国•高三专题练习）己知集合A={2,-5,3<7+1,叫，3={a+5,9,l-a,4},若AcB={4},

则实数。的取值的集合为（）

A.{1,2,-2}B.{1,2}C.{1,-2}D.{1}

命题方向三：元素与集合间的关系

【通性通解总结】

1、一定要牢记五个大写字母所表示的数集，尤其是N与N*的区别.

2、当集合用描述法给出时，一定要注意描述的是点还是数，是还是.

例7.（2023•贵州黔东南•凯里一中校考三模）已知集合$=卜|〉=*一1},7={（羽丫）|工+?=0},下列关系正

确的是（）

A.-2eSB.（2,-2）gTD.（-1,1）eT

例8.（2023・新疆•校联考二模）集合A=3={x|x为l~10以内的质数},记

AoB=M,贝!I（）

A.leMB.D.4^M

例9.（2023•河北石家庄•统考一模）设全集U={2,4,6,8},若集合”满足令"={2,8},则（）

A.B.6^MC.41MD.6^M

变式6.（2023•河南・开封高中校考模拟预测）已知4={引炉—依+i＜。},若26儿且3任A,则。的取值

范围是（）

A，5，+0）B<5101「510、（10'

-U°J-b,TjC匕句D.1可

变式7.（2023•云南昆明・昆明一中校考模拟预测）已知集合4={-2,-1,1,3,5},集合

B={x|-x2+5>0,xeZ）,则图中阴影部分所表示的集合为（）

A.{-2-1,1}B.{0,3,5)

C.{0,1}D.{0,2}

变式8.（2023・河北•高三学业考试）给出下列关系：①giR；②⑸R；③|-3|eN；@|-3|eQ.其中

正确的个数为（）

命题方向四：集合与集合之间的关系

【通性通解总结】

1、注意子集和真子集的联系与区别.

2、判断集合之间关系的两大技巧：

（1）定义法进行判断

（2）数形结合法进行判断

例10.（多选题）（2023,全国•高二专题练习）若非空集合满足：McN=N,MuP=P,贝！]（）

A.P^MB.MlP=M

C.NuP=PD.McbpN=0

例11.（多选题）（2023•全国•高三专题练习）已知集合4={削-l<x<7},B={.r|a+2<x<2a-l},若使

成立的实数a的取值集合为M,则M的一个真子集可以是（）

A.（一94]B.（一8,引C.（3,4]D.[4,5）

例12.（多选题）（2023•全国•高三专题练习）已知集合旧=同6/一5%+1=0},集合尸=卜麻=1},若

McP=P,则实数。的取值可能为（）

A.0B.1C.2D.3

变式9.（多选题）（2023•全国•高三专题练习）设Z表示整数集，且集合机=5"2,左eZ},

N={H〃=10左+8,左eZ},则（）

A.MuN=MB.McN=0

C.&㈣UN=ZD.（枷）=（zN）

变式10.（多选题）（2023•云南昆明・昆明一中校考模拟预测）已知条件p：{刈/+》-6=0},条件q：

{x|xm+1=0},且p是q的必要条件，则根的值可以是（）

A.-B.—C.-~D.0

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变式11.（多选题）（2023•全国•高三专题练习）设集合

M={x\x=6k+2,keZ},N={x\x=6k+5,keZ},P={x\x=3k+2,keZ},则（）

A.McNw0B.MuN=PC.M=PD.dpM=N

变式12.（多选题）（2023•全国•高三专题练习）下列关系式错误的是（）

A.0e{O}B.{2}c{l,2}C.6.三QD.OGZ

变式13.（多选题）（2023•全国•高三专题练习）设4={#2-9x+14=0},B=[x\ax-l=Q\,若

A^B=B,则实数。的值可以为（）

A.2B.4C.-D.0

27

变式14.（多选题）（2023•全国•高三专题练习）已知集合4={无€即2-318<。},

5eR|X2+ax+a"—T1<o|,则下列命题中正确的是（）

A.若A=3,则°=一3B.若AgB,则a=—3

C.若3=0,贝！Ja<-6或D.若BUA时，贝1]-6<。4一3或aN6

变式15.（2023・全国•高三专题练习）已知集合4={-1,1,3},2={&+2,4，B^A,则实数。的值是

变式16.（2023•全国•高三专题练习）已知集合出={x—+x-6=。}N={x|mx-l=0},若N三M,则实

数m的取值构成的集合为.

命题方向五：集合的交、并、补运算

【通性通解总结】

1、注意交集与并集之间的关系

2、全集和补集是不可分离的两个概念

例13.（2023•安徽•高三安徽省临泉第一中学校联考阶段练习）已知集合4={#1"（彳-2）<0},

3=何5-2尤〉0},则人口5=（）

A.jx|2<x<-|>B,卜弓<尤<31C.l<x<­|>D.{x[l<x<2}

例14.（2023•宁夏银川・银川一中校考二模）已知集合A={x|-L<xW3},B=（x|y=ln（4-x2））,则

A<JB=（）

A.（—oo,—1]U[2,+8）B.[—1,2）

C.[-1,3]D.（-2,3]

例15.（2023•安徽宣城•高三统考期末）已知U=R,集合A={T-l,0,l,3},B={^||x-l|>1},则

AI”=（）

A.{-1,0,1}B.{-3,3}C.{-3,-1,3}D.{0,1}

变式17.（2023•江西吉安・统考一模）已知全集U=R.设集合A=国log2（x+2）<l},B=，则

（M）UB=（）

A.{x|-2<x<0}B.{x|x4-2或x>l}

C.{x[x<-2或x>0}D.

变式18.（2023.内蒙古赤峰.统考二模）设全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},AI0B={1,3},a（AUB）={2,4},

则集合8为（）

A.{1,3,5,6,7,8}B.{2,4,5,6,7,8}

C.{5,6,7,8}D.{1,2,3,4）

变式19.（2023.贵州.校联考二模）已知全集。=11,集合4={疝蝎无<2},3={XH<X<5},则图中阴影

部分表示的集合为（）

A.{x|x<5}B.{x|O<xWl}C.{x|尤44}D.{邓<x45}

变式20.（2023•全国•高三专题练习）我们把含有有限个元素的集合A叫做有限集，用card（A）表示有限集

合A中元素的个数.例如，A={a,b,c},贝"ard（A）=3.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有4民。三

类，那么，cai-d（AUBUC）=

cardA+cardB+cardC-card（An3）-card（B^|C）-card（A^|C）+card（A^|3^|C）.某校初一四班学生46人，

寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游

泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？（教材阅读与思考改编）

（）

A.2B.3C.4D.5

变式21.（2023・全国•高三专题练习）如图，/为全集，M、P、s是/的三个子集，则阴影部分所表示的

A.M尸)nsB.(Mg)US

C.(MnP)nSD.(MnP)uS

命题方向六：集合与排列组合的密切结合

【通性通解总结】

利用排列与组合思想解决集合或者集合中元素个数的问题，需要运用分析与转化的思想方法

例16.（2023•全国•高三专题练习）已知集合丫={1,2,3},匕={1,2,3,…,"},（"eN*）,设S”={（。力）1。整除

6或6整除。aeX,b^Yn},令〃〃）表示集合S,所含元素的个数，则“2022）=.

例17.（2023•上海•高三专题练习）设非空集合。当。中所有元素和为偶数时（集合为单元素时和

为元素本身），称2是加的偶子集，若集合M={1,2,3,4,5,6,7},则其偶子集。的个数为.

例18.（2023•全国•高三专题练习）对任何有限集S,记"（S）为S的子集个数.设河=｛1,2,3,4｝,则

对所有满足A&BUM的有序集合对（A,B）,p（A）p（B）的和为

变式22.（2023・高三课时练习）从集合M=｛1,2,3,…,10｝选出5个数组成的子集，使得这5个数的任两个

数之和都不等于11,则这样的子集有个.

命题方向七：集合的创新定义

【通性通解总结】

1、集合的创新定义题核心在于读懂题意.读懂里边的数学知识，一般情况下，它所涉及到的知识和方

法并不难，难在转化.

2、集合的创新定义题，主要是在题干中定义“新的概念，新的计算公式，新的运算法则，新的定理”,

要根据这些新定义去解决问题，有时为了有助于理解，还可以用类比的方法进行理解.

例19.（2023・湖南长沙•高三校联考期中）若一个非空数集F满足：对任意。力eP,有。+6,a-b,

ab&F,且当6x0时，有”F,则称歹为一个数域，以下命题中：

b

（1）0是任何数域的元素；（2）若数域/有非零元素，贝。2021CF；

（3）集合尸=｛x|尤=3匕％eZ｝为数域；（4）有理数集为数域；

真命题的个数为

例20.（2023・全国•高三专题练习）对于非空集合A=｛o1M2，/，…,%｝（420，，=1，2,31的），其所有元素的

几何平均数记为E（A）,即矶A）=Wv%•・…凡.若非空数集B满足下列两个条件：①BA；②

E（5）=E（A）,则称B为A的一个“保均值真子集”，据此，集合｛1,2,4,8,16｝的“保均值真子集”有一个.

例21.（2023・全国•高三专题练习）非空集合G关于运算㊉满足：（1）对任意a、blG,都有。㊉beG；

（2）存在eeG,使得对一切awG,者B有a㊉e=e㊉a=a,则称G关于运算㊉为“融洽集”.现给出下列

集合和运算：

①G=｛非负整数｝,㊉为整数的加法；

②G=｛偶数｝,㊉为整数的乘法：

③G=｛平面向量｝,㊉为平面向量的加法；

@G=｛二次三项式｝,㊉为多项式的加法；

⑤G=｛虚数｝,㊉为复数的乘法

其中G关于运算㊉为“融洽集”的是.（写出所有“融洽集”的序号）

变式23.（2023・全国•高三专题练习）设集合A1R,如果满足：对任意都存在xeA,使得

0<|x-%0|<a,那么称与为集合A的聚点，则下列集合中：

n1

（l）Z+uZ：（2）R+UTT；（3）{--IneA^*}；（4）{-|??e2V*）.

n+1n

以。为聚点的集合有（写出所有你认为正确结论的序号）

变式24.（2023・全国•高三专题练习）给定数集若对于任意〃、b&M,有a+6?M,且a-be/,

则称集合M为闭集合，则下列所有正确命题的序号是：

①集合”={-2,-1,0,1,2}是闭集合；

②正整数集是闭集合；

③集合M=刨〃=3左水cZ}是闭集合；

④若集合4、4为闭集合，则A口4为闭集合.

变式25.（2023•全国•高三专题练习）在整数集中，被4除所得余数为人的所有整数组成一个“类”，记为

［k］,即因={4〃+巾€2},左=0,1,2,3.给出下列四个结论.

①2021«1］；②③％<。］/］二］^］］；④“整数。，b属于同一“类””的充要条件是“。-匹网”.

其中正确的结论是（填所有正确的结论的序号）.

【过关测试】

一、单选题

1.(2023•山东青岛・统考模拟预测)设集合A={(x,y)k，yeN*,yNx},B={(x,y)|x+y=8},则集合AcB

中元素的个数为()

A.6B.5C.4D.3

2.(2023•陕西榆林•统考三模)已知集合4={川0<尤<16},5=3-4<4><16},则Au3=()

A.(-1,16)B.(0,4)C.(-1,4)D.(-4,16)

3.(2023•新疆喀什・统考模拟预测)已知集合4={-2,—3,-1,0,1},B={x|x>0),则()

A.{-1,1}B.{-1,0}C.{1}D.{0,1}

4.(2023•河南•校联考模拟预测)已知集合5=卜s=2〃+l,〃wZ},T={x|x2-x-6<0},则S”的子集

的个数是()

A.1B.2C.3D.4

5.（2023•内蒙古呼和浩特・统考二模）已知全集。={》|-3<尤<3},集合A={尤|V+x-2<0},则=

A.（—2,1]B.（—3,—2][1,3）C.[一2,1）D.（—3,—1）U（L3）

6.（2023.陕西宝鸡.统考三模）已知集合4={（*,月卜+丫=5},集合3={（x,y）|x-y=-l},则Ac3等于

（）

A.{2,3}B.{（2,3）}C.{尤=2,y=3}.D.（2,3）

7.（2023•山东荷泽•统考二模）已知全集U={x|x、0},集合A={x|x（x—2）40},则6A=（）

A.（2,+oo）B.[2,+co）

C.（Y,0）D（2,+OO）D.（-（»,0]U[2,+CO）

8.（2023・湖南怀化•统考二模）已知集合〃={-1,1,2,3,4,5},N={1,2,4},P=McN,则尸的真子集共有

（）

A.3个B.6个C.7个D.8个

Y

9.（2023・陕西・统考一模）在R上定义运算⑤:尤⑤'=—,若关于x的不等式（x-a）区（x-l-a）W0的解

2-y

集是集合卜卜2〈尤44}的子集，则实数。的取值范围为（）

A.-2<a<1B.—2Wa<1C.—2<Q<1D.—2WQ<1

10.（2023•陕西宝鸡•校考模拟预测）设A、B、。是三个集合，若AuB=BcC,则下列结论不正确的是

（）.

A.BB.BjCC.BcrAD.AcC

11.（2023•辽宁丹东•统考一模）已知集合&=卜€e|（彳+1）（彳-0）<0},B={-3,-2,l},若A=B且

AcBw0,贝ij”（）

A.-3B.-2C.0D.1

12.（2023•江西吉安・统考模拟预测）已知4=仕,2},5={1,2,6,7,8},且AUCaB,满足这样的集合C的

个数（）

A.6B.7C.8D.9

13.（2023•黑龙江哈尔滨・哈尔滨市第六中学校校考一模）己知集合&=卜|f+xV2},B={L。},若

B^A,则实数“的取值集合为（）

A.1—2,—1,01B.1x|—2<x<lj

C.{x|—2<x<1}D.{-2,-1,0,1}

二、多选题

14.（2023•山东潍坊・统考一模）若非空集合尸满足：McN=N,MuP=P,则（）

A.PjMB.MIP=M

C.NuP=PD.McbpN=0

15.（2023•云南昆明・昆明一中校考模拟预测）已知条件）：{x|/+x-6=0},条件q：{x|x机+1=0},且

p是q的必要条件，则m的值可以是（）

A.—B.—C.--D.0

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16.（2023•全国•高三专题练习）图中阴影部分用集合符号可以表示为（）

A.Bn（AuC）B.CuBc（AuC）

C.BcCu（AuC）D.（AnB）u（BnC）

17.（2023•全国•高三专题练习）当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全

食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合成“偏食”.对于集合A=

3={x［（依+l/x-a）=0},若A与B构成“全食”或“偏食”，则实数。的取值可以是（）

A.-2B.0C.1D.2

18.（2023・全国•高三专题练习）已知M是同时满足下列条件的集合：②若则

x-y&M.③xeA/且xrO,则工eM.下列结论中正确的有（）

尤

A.-&MB.-IgM

3

C.若龙,yeM,贝D.若尤,yeM,贝U町eM

19.（2023・全国•高三专题练习）非空集合G关于运算®满足：（1）对任意a,beG,都有。㊉6eG；

⑵存在eeG,使得对一切aeG,者陌a㊉e=e㊉a=a,则称G关于运算㊉为“融洽集”.现给出下列集

合和运算，其中G关于运算㊉为“融洽集”的是（）

A.G={有理数},㊉为实数的乘法B.G={非负整数},㊉为整数的加法

C.G={偶数},㊉为整数的乘法D.G={二次三项式},㊉为多项式的加法

三、填空题

20.（2023・上海崇明・上海市崇明中学校考模拟预测）若集合P={x|x（尤—1）>0},Q={X||尤|<1},则2门。=

21.（2023•上海徐汇•统考二模）已知集合4={如<3},8=卜卜=万7},则4口3=.

22.（2023•全国•高三专题练习）已知集合4=卜卜=」无一炉,集合8={#2<1},则

』＜尤,』=卜,=现214-4,则（4A）U3=

23.（2023•全国•高三专题练习）已知集合4=X

X+1

24.（2023•上海闵行•高三上海市七宝中学校考阶段练习）已知集合4=向左<。},3=例xNl},且

AUB=R,则实数。的取值范围是.

25.（2023・高三课时练习）已知集合4=卜|-2<%<7},B=[x\m+l<x<2m-]],且Au5=A,则实数

m的取值范围是.

26.（2023・高三课时练习）已知集合人=可一%2+3%+1。之。},B={x|m+l<x<2m-l},若则实

数m的取值范围是.

专题01集合

【命题方向目录】

命题方向一：集合的表示：列举法、描述法

命题方向二：集合元素的三大特征

命题方向三：元素与集合间的关系

命题方向四：集合与集合之间的关系

命题方向五：集合的交、并、补运算

命题方向六：集合与排列组合的密切结合

命题方向七：集合的创新定义

【2024年高考预测】

1、考查两个几何关系的判定或子集的个数问题

2、常与一元二次不等式解法、一元一次不等式解法、分式不等式解法、指数、对数不

等式解法结合重点考查集合的交集运算，也可能考查集合的并集、补集运算

【知识点总结】

1、集合与元素

某些指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集，通常用大写字母A，3,C，•-表

示.集合中的每个对象叫做这个集合的元素，通常用小写字母a,°,c...表示.

2、集合的分类

集合按元素多少可分为：有限集（元素个数有限）、无限集（元素个数无限）、空集（不

含任何元素）；也可按元素的属性分，如：数集（元素是数），点集（元素是点）等.

3、集合中元素的性质

对于一个给定的集合，它的元素具有确定性、互异性、无序性.

4、常用集合符号

数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集

符号NN*或N+ZQR

5、元素与集合之间的关系

元素与集合之间用“e”或连接，元素与集合之间是个体与整体的关系，不存在

大小或相等关系.

6、集合与集合之间的关系

（1）包含关系：如果对任意xeA，都有Xe8，则称集合A是集合8的子集，记作A18，

显然A=A，0cA;

（2）相等关系：对于集合A、B，如果A=8，同时4口8，那么称集合A等于集合

B>记作A=3；

（3）真包含关系：对于集合A、B，如果AQB，并且我们就说集合A是集合

3的真子集，记作At）8；

（4）空集是任何非空集合的真子集.

7、集合的基本运算

（1）交集：一般地，由属于集合A且属于集合3的所有元素组成的集合，称为A与3

的交集，记作即Ang={x|xeA,且xeB}・

（2）并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合3的元素组成的集合，称为A与台

的并集，记作AUB，即AU3={x|xeA,或xeB}•

（3）补集：对于一个集合A，由全集0中不属于集合A的所有元素组成的集合称为

集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作C〃A，即

QA={尤|尤eU,JLveA}.

8、集合表示方法：列举法、描述法、腌〃”图.

9、集合之间的运算性质

（1）交集：A^B=BC\A-AQBcA-AC\B^B>A^\A=A<A^]0=0>

A<z2?AP]B=A•

（2）并集：A\JB=B\JA-AIJBNA，A\JB^B>A|JA=A，AIJ0=A，

=B-

（3）补集的运算性质：CU（CUA）=A，Cv0=U-CvU=0>Ap[（CvA）=0，

AU（S）=U-

【秒杀总结】

（1）若有限集A中有〃个元素，则A的子集有2"个，真子集有2'-1个，非空子集有

2"_1个，非空真子集有2"_2个.

（2）空集是任何集合A的子集，是任何非空集合3的真子集.

（3）Ar}B=A^>A^B,A^jB=A<^B^A.

【典例例题】

命题方向一：集合的表示：列举法、描述法

【通性通解总结】

1、列举法，注意元素互异性和无序性，列举法的特点是直观、一目了然.

2、描述法，注意代表元素.

例1.（2023・新疆•校联考二模）集合A={—L0,L2,3,4,5},3={x|x为1~10以内的质数},

记=贝！）（）

A.leMB.2^M

C.3^MD.4eM

【答案】D

【解析】因为8=同天为1~10以内的质数}={2,3,5,7},又A={-l,0,l,2,3,4,5},

则A/=Ac3={2,3,5},对比选项可知，"M,2cM3eM,4eM,即D正确，ABC错

误.

故选：D.

例2.（2023・全国•高三专题练习）已知集合&={-1,0,1},B=则

集合B中所有元素之和为（）

A.0B.1C.-1D.&

【答案】C

【解析】根据条件分别令〃/-1=T,。』，解得=0,±1,±忘，

又m-leA,所以〃2=-1,±0,2={-1,形,-应},

所以集合B中所有元素之和是T，

故选：C.

例3.（2023・全国•高三专题练习）已知集合4=口|2<彳<6,》《可（，则集合A的子集的个

数为（）

A.3B.4C.7D.8

【答案】D

【解析】集合A={x|2<x<6,xeN}={3,4,5},

则集合4的子集有：0,{3},{4},{5},{3,4},{3,5},{4,5},{3,4,5）,共8个，

所以集合A的子集的个数为8.

故选：D

变式1.（2023・广东茂名.高三统考阶段练习）设集合A={2,4},8={1,2},集合

M=1z|z=>,则〃中所有元素之和为（）

A.3B.5C.7D.9

【答案】C

【解析】当x=2,y=l时，z=2；

当x=2,y=2时，z=l；

当x=4,y=l时，z=4；

当x=4,y=2时，z—2；

所以M={1,2,4},M中所有元素之和为7.

故选：C.

变式2.(2023.全国.高三专题练习)已知集合4={尤卜之<味集合

B-eN*JELX-1e,贝!]3=()

A.{0,1}B.{0,1,2}C.{1,2,3}D.{1,2,3,4}

【答案】C

【解析】•.•4={尤，<4}=-2,2],8=仲小小—]叫，

，3={1,2,3},

故选：C

变式3.(2023・河北•高三统考学业考试)直角坐标平面中除去两点41,1)、8(2,-2)可用集

合表示为()

A.{(%,y)|%w1,yw1,%w2,yw—2}

B.{(羽y)l]或J

C.{(x,y)|[(I)?+(y-1)?])x-2)2+(y+2力w0}

D.{(x,y)|[(x-1)2+(y-1)2]+[(x-2)2+(y+2)2]0)

【答案】C

【解析】直角坐标平面中除去两点A(l,l)、B(2-2),其余的点全部在集合中，

A选项中除去的是四条线x=l,y=Lx=2,y=-2；

8选项中除去的是A(LD或除去3(2,-2)或者同时除去两个点，共有三种情况，不符合题

思；

C选项{(%,y)|[(x-1)2+(_1)勺[(X-2)2+(y+2)2]H0},则(X_1产+⑶_1)2/。且

(X一2)2+。+2)2*0,即除去两点A(l,l)、3(2,-2),符合题意;

。选项{(羽y)|[(x-+(y-1)?]+[(x-2尸+(y+2)2]w0},则任意点(x,y)都不能

[(x-l)2+(y-l)2]+[(x-2)2+(>+2)2]=0,即不能同时排除A,5两点.

故选：C

命题方向二：集合元素的三大特征

【通性通解总结】

1、研究集合问题，看元素是否满足集合的特征：确定性、互异性、无序性.

2、研究两个或者多个集合的关系时，最重要的技巧是将两集合的关系转化为元素间的

关系.

例4.（2023•全国•高三专题练习）集合A={a,c}中的三个元素分别表示某一个三角形的

三边长度，那么这个三角形一定不是（）

A.等腰三角形B.锐角三角形

C.直角三角形D.钝角三角形

【答案】A

【解析】根据集合中元素的互异性得a手b,b手c,E,

故三角形一定不是等腰三角形.

故选：A.

例5.（2023•全国•高三专题练习）定义集合A*3={z|z=盯,xeAyeB},设集合

A={-1,0,1},3={-1,1,3},贝中元素的个数为（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【解析】因为A={T0,l},5={-1,1,3},

所以A*B={-3,-lQl,3},

故A*B中元素的个数为5.

故选：B.

例6.（2023•河南新乡•高三校联考开学考试）已知集合4={4,%2»,B={-2,x2,l-y],

若A=B,则实数x的取值集合为（）

A.{-1,0,2}B.{-2,2}C.{-1,0,2}D.{-2,1,2）

【答案】B

【解析】因为A=3,所以—2eA.

当尤=一2时，2y=l-y,得y=；：

当2y=-2时，贝ljx=2.

故实数尤的取值集合为{-2,2}.

故选：B

变式4.（2023・全国•高三专题练习）设集合4={-2,-1,1,2,3},

8={y|y=log2|x|,xeA},则集合B元素的个数为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】当彳=±2时，y=l；

当彳=±1时，y=0；

当x=3时，J=log23.

故集合8共有3个元素.

故选：B.

变式5.（2023・全国•高三专题练习）已知集合4={2,-5,3a+l,c/},3={a+5,9,l-a,4},

若Ac3={4},则实数。的取值的集合为（）

A.{1,2,-2}B.{1,2}C.{1,-2}D.{1}

【答案】D

【解析】•.•集合A={2,-5,3°+1,储},B={a+5,9,1-a,4},

乂Ac={4}3a+1=4或片=4•解得a=l或。=2或。=—2,

当4=1时，A={2,-5,4,1},8={6,9,0,4},Ac8={4},符合题意；

当a=2时，A={2,-5,7,4},B={7,9,-1,4},AnB={7,4},不符合题意；

当。=-2时，A={2,-5,-5,4},3={3,9,3,4},不满足集合元素的互异性，不符合题意.

：.a=\,则实数。的取值的集合为{1}.

故选：D.

命题方向三：元素与集合间的关系

【通性通解总结】

1、一定要牢记五个大写字母所表示的数集，尤其是N与N*的区别.

2、当集合用描述法给出时，一定要注意描述的是点还是数，是还是.

例7.（2023•贵州黔东南•凯里一中校考三模）已知集合

S={y|y=x2-l},T={（x,y）|x+y=0},下列关系正确的是（）

A.-2eSB.（2,-2）eTC.-1"D.（-1,1）eT

【答案】D

【解析】因为S={y|y=f-l}={y|y2-l},

所以A、C错误，

因为2+（-2）=0,所以（2,-2）eT,所以B错误，

又—1+1=0,所以（-M）eT,所以D正确，

故选:D.

例8.（2023・新疆•校联考二模）集合A=x

x+2

8={尤.为1~10以内的质数},记AcBuAf,则（）

A.leMB.2^MC.D.

【答案】D

Q

【解析】由扁>1，解得一2cx<6,又xeZ,所以A={—l,0,l,2,3,4,5},

而3={2,3,5,7},则AC3={2,3,5},即河={2,3,5},

对比选项可知，D正确，而A、B、C错误.

故选：D.

例9.（2023•河北石家庄•统考一模）设全集U={2,4,6,8},若集合M满足毛/={2,8},则

（）

A.41MB.6cM