高中数学 3.3.2 双曲线的简单性质课时作业 北师大版选修2-1

3.2双曲线的简单性质课时目标了解双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质，会根据几何性质求双曲线方程，及学会由双曲线的方程研究几何性质．1．双曲线的简单几何性质标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)范围对称性关于______轴对称关于原点对称顶点(a,0)，(－a,0)渐近线y＝±eq\f(a,b)x离心率e＝eq\f(c,a)>12.(1)双曲线的对称中心叫做双曲线的________；(2)双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的两个顶点为A1(－a,0)、A2(a，0)．设B1(0，－b)、B2(0，b)，线段A1A2叫做双曲线的________，它的长等于2a，a叫做双曲线的半实轴长，线段B1B2叫做双曲线的________，它的长等于2b，b叫做双曲线的半虚轴长．实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，等轴双曲线的渐近线方程为y＝±x.(3)当双曲线的离心率e由小变大时，双曲线的形状就从扁狭逐渐变得________，原因是eq\f(b,a)＝eq\r(e2－1)，当e增大时，eq\f(b,a)也增大，渐近线的斜率的绝对值________．一、选择题1．下列曲线中离心率为eq\f(\r(6),2)的是()A.eq\f(x2,2)－eq\f(y2,4)＝1B.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1C.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,6)＝1D.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,10)＝12．双曲线eq\f(x2,25)－eq\f(y2,4)＝1的渐近线方程是()A．y＝±eq\f(2,5)xB．y＝±eq\f(5,2)xC．y＝±eq\f(4,25)xD．y＝±eq\f(25,4)x3．双曲线与椭圆4x2＋y2＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y＝eq\r(2)x，则双曲线的方程为()A．2x2－4y2＝1B．2x2－4y2＝2C．2y2－4x2＝1D．2y2－4x2＝34．设双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2eq\r(3)，则双曲线的渐近线方程为()A．y＝±eq\r(2)xB．y＝±2xC．y＝±eq\f(\r(2),2)xD．y＝±eq\f(1,2)x5．直线l过点(eq\r(2)，0)且与双曲线x2－y2＝2仅有一个公共点，则这样的直线有()A．1条B．2条C．3条D．4条6．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为()A.eq\f(4,3)B.eq\f(5,3)C．2D.eq\f(7,3)题号123456答案二、填空题7．两个正数a、b的等差中项是eq\f(5,2)，一个等比中项是eq\r(6)，且a>b，则双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的离心率e＝______.8．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且a＝10，c－b＝6，则顶点A运动的轨迹方程是________________．9．与双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1有共同的渐近线，并且经过点(－3，2eq\r(3))的双曲线方程为__________．三、解答题10．根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,4)，3))，且一条渐近线为4x＋3y＝0；(2)P(0,6)与两个焦点连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为eq\f(π,3).11．已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为eq\r(2)，且过点(4，－eq\r(10))．(1)求此双曲线的方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF1⊥MF2；(3)求△F1MF2的面积．能力提升12．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C.eq\f(\r(3)＋1,2)D.eq\f(\r(5)＋1,2)13．F1、F2是双曲线的左、右焦点，P是双曲线上一点，且∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝12eq\r(3)，又离心率为2，求双曲线的方程．1．双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)既关于坐标轴对称，又关于坐标原点对称；其顶点为(±a，0)，实轴长为2a，虚轴长为2b；其上任一点P(x，y)的横坐标均满足|x|≥a.2．双曲线的离心率e＝eq\f(c,a)的取值范围是(1，＋∞)，其中c2＝a2＋b2，且eq\f(b,a)＝eq\r(e2－1)，离心率e越大，双曲线的开口越大．可以通过a、b、c的关系，列方程或不等式求离心率的值或范围．3．双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，也可记为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝0；与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1具有相同渐近线的双曲线的方程可表示为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．3．2双曲线的简单性质知识梳理1.标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)范围x≥a或x≤－ay≥a或y≤－a对称性关于x、y轴对称关于原点对称顶点(a,0)，(－a,0)(0，a)，(0，－a)渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x离心率e＝eq\f(c,a)>1e＝eq\f(c,a)>12.(1)中心(2)实轴虚轴(3)开阔增大作业设计1．B[∵e＝eq\f(\r(6),2)，∴e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(3,2)，∴eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,2)，故选B.]2．A3．C[由于椭圆4x2＋y2＝1的焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，±\f(\r(3),2)))，则双曲线的焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，±\f(\r(3),2)))，又由渐近线方程为y＝eq\r(2)x，得eq\f(a,b)＝eq\r(2)，即a2＝2b2，又由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2＝a2＋b2，得a2＝eq\f(1,2)，b2＝eq\f(1,4)，又由于焦点在y轴上，因此双曲线的方程为2y2－4x2＝1.]4．C[由题意知，2b＝2,2c＝2eq\r(3)，则b＝1，c＝eq\r(3)，a＝eq\r(2)；双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(2),2)x.]5．C[点(eq\r(2)，0)即为双曲线的右顶点，过该点有两条与双曲线渐近线平行的直线与双曲线仅有一个公共点，另过该点且与x轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点．]6．B[||PF1|－|PF2||＝2a，即3|PF2|＝2a，所以|PF2|＝eq\f(2a,3)≥c－a，即2a≥3c－3a，即5a≥3c，则eq\f(c,a)≤eq\f(5,3).]7.eq\f(\r(13),3)解析a＋b＝5，ab＝6，解得a，b的值为2或3.又a>b，∴a＝3，b＝2.∴c＝eq\r(13)，从而e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(13),3).8.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1(x>3)解析以BC所在直线为x轴，BC的中点为原点建立直角坐标系，则B(－5,0)，C(5,0)，而|AB|－|AC|＝6<10.故A点的轨迹是双曲线的右支，其方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1(x>3)．9.eq\f(x2,\f(9,4))－eq\f(y2,4)＝1解析∵所求双曲线与双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1有相同的渐近线，∴可设所求双曲线的方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝λ(λ≠0)．∵点(－3,2eq\r(3))在双曲线上，∴λ＝eq\f(－32,9)－eq\f(2\r(3)2,16)＝eq\f(1,4).∴所求双曲线的方程为eq\f(x2,\f(9,4))－eq\f(y2,4)＝1.10．解(1)因直线x＝eq\f(15,4)与渐近线4x＋3y＝0的交点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,4)，－5))，而3<|－5|，故双曲线的焦点在x轴上，设其方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,4)))2,a2)－\f(32,b2)＝1，,\f(b2,a2)＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝9，,b2＝16.))故所求的双曲线方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1.(2)设F1、F2为双曲线的两个焦点．依题意，它的焦点在x轴上．因为PF1⊥PF2，且|OP|＝6，所以2c＝|F1F2又P与两顶点连线夹角为eq\f(π,3)，所以a＝|OP|·taneq\f(π,6)＝2eq\r(3)，所以b2＝c2－a2＝24.故所求的双曲线方程为eq\f(x2,12)－eq\f(y2,24)＝1.11．(1)解∵e＝eq\r(2)，∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ.∵过点(4，－eq\r(10))，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线方程为x2－y2＝6.(2)证明易知F1(－2eq\r(3)，0)、F2(2eq\r(3)，0)，∴kMF1＝eq\f(m,3＋2\r(3))，kMF2＝eq\f(m,3－2\r(3))，kMF1·kMF2＝eq\f(m2,9－12)＝－eq\f(m2,3)，∵点(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3，故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2.(3)解△F1MF2的底|F1F2|＝4eq\r(3)，F1F2上的高h＝|m|＝eq\r(3)，∴S△F1MF2＝6.12.D[设双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为y＝eq\f(b,a)x，而kBF＝－eq\f(b,c)，∴eq\f(b,a)·(－eq\f(b,c))＝－1，整理得b2＝ac.∴c2－a2－ac＝0，两边同除以a2，得e2－e－1＝0，解得e＝eq\f(1＋\r(5),2)或e＝eq\f(1－\r(5),2)(舍去)，故选D.]13．解设双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1.∵|F1F2|＝2c，而e＝