华师版八年级数学 14.1勾股定理（学习、上课课件）

14.1勾股定理第14章勾股定理14.1.1直角三角形三边的关系逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2勾股定理勾股定理的证明知识点正方形的定义知1－讲11.

勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.几何语言：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，则a2＋b2＝c2.知1－讲2.

基本思想方法勾股定理把“形”与“数”有机地结合起来，即把直角三角形这个“形”与三边关系这一“数”结合起来，它是数形结合思想的典范.知1－讲特别提醒1.勾股定理揭示的是直角三角形的三边的平方关系，只有在直角三角形中才可以使用勾股定理.2.利用勾股定理，已知直角三角形的其中任意两边可以求出第三边.3.运用勾股定理求解时，若分不清哪条边是斜边，则要分类讨论，写出所有可能的情况，以免漏解或错解.知1－练例1在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，∠C＝90°.(1)已知a＝3，b＝4，求c；(2)已知c＝13，a＝12，求b；(3)已知a∶b＝2∶1，c＝5，求b(结果保留根号).解题秘方：紧扣“勾股定理的特征”解答.知1－练

知1－练1-1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.(1)若a∶b＝3∶4，c＝75，求a，b；解：设a＝3x(x>0)，则b＝4x.由勾股定理得a2＋b2＝c2，则(3x)2＋(4x)2＝752，解得x＝15.∴a＝3×15＝45，b＝4×15＝60.知1－练(2)若c－a＝4，b＝16，求a，c.知1－练已知直角三角形两边的长分别是6和8，则第三边的长为_________.例2解题秘方：紧扣“所求第三边可能是斜边或直角边”进行分类解答.

知1－练2-1.若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的值可能有()A.1个 B.2个C.3个 D.4个B知2－讲知识点勾股定理的证明21.

常用证法验证勾股定理的方法有很多，如测量法、几何证明法等，但最常用的是通过拼图，构造特殊图形，并根据拼图中各部分面积之间的关系来验证.知2－讲特别提醒通过拼图证明命题的思路：1.图形经过割补拼接后，只要没有重叠、没有空隙，面积就不会改变；2.根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式；3.利用等式的性质验证结论成立.即拼出图形→写出图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变形→证明命题结论.知2－讲2.著名证法举例方法图形证明赵爽的“赵爽弦图”知2－讲续表：方法图形证明刘徽的“青朱出入图”设大正方形的面积为S，则S＝c2.根据“出入相补，以盈补虚”的原理，有S＝a2＋b2，∴a2＋b2＝c2知2－讲方法图形证明加菲尔德总统拼图续表：知2－讲方法图形证明毕达哥拉斯拼图续表：知2－练一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启发人们发现了勾股定理的一种验证方法.如图14.1-1，火柴盒的一个侧面ABCD倒下后到四边形AB′C′D′的位置，连结AC，AC′，CC′，设AB＝a，BC＝b，AC＝c.请利用四边形BCC′D′的面积验证勾股定理：a2＋b2＝c2

.例3知2－练解题秘方：紧扣“总体面积等于各部分面积之和”进行验证.知2－练

知2－练

整个图形的面积等于不重叠、无空隙的各组成部分的面积的和.知2－练方法点拨：通过拼图，利用求面积来验证，这种方法以数形转换为指导思想，以图形拼补为手段，以各部分面积之间的关系为依据而达到目的.知2－练3-1.如图，写出字母所代表的正方形的面积：SA＝______，SB＝________.625144知2－练3-2.(1)观察图①、②并填写下表(图中每个小方格的边长均为1).16A的面积B的面积C的面积图①图②9254913知2－练(2)三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系？(3)三个正方形围成的一个直角三角形的三边长之间存在什么关系？解：三个正方形A，B，C的面积之间的关系为SA＋SB＝SC.三个正方形围成的一个直角三角形的三边长之间的关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．直角三角形三边的关系勾股定理验证拼图法面积法条件直角三角形结论三边平方关系应用几何应用实际应用14.1勾股定理第14章勾股定理14.1.2直角三角形的判定、反证法逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2勾股定理的逆定理勾股数反证法知识点勾股定理的逆定理知1－讲11.

勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a，b，c有关系a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角.知1－讲特别提醒●勾股定理的逆定理是判定直角三角形的一个依据，在判定时不能说“在直角三角形中”“直角边”“斜边”，因为还没有确定是直角三角形.●a2＋b2＝c2只是一种表现形式，满足a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2的也是直角三角形，只是这时a或b为斜边.知1－讲2.利用边的关系判定直角三角形的步骤(1)“找”：找出三角形三边中的最长边；(2)“算”：计算其他两边的平方和与最长边的平方；(3)“判”：若两者相等，则这个三角形是直角三角形，否则不是.知1－讲3.拓展当两短边的平方和大于最长边的平方时，该三角形为锐角三角形；当两短边的平方和小于最长边的平方时，该三角形为钝角三角形.知1－练例1判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形：(1)在△ABC中，∠A＝25°，∠C＝65°；(2)在△ABC中，AC＝12，AB＝20，BC＝16；(3)一个三角形的三边长a，b，c满足a∶b∶c＝3∶4∶5.解题秘方：紧扣“直角三角形的定义”和“勾股定理的逆定理”进行判断.知1－练解：(1)在△ABC中，∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＝25°，∠C＝65°，∴∠B＝180°－25°－65°＝90°.∴△ABC是直角三角形.(2)在△ABC中，∵AC2＋BC2＝122＋162＝202＝AB2，∴△ABC是直角三角形.(3)设a＝3x，则b＝4x，c＝5x.易得(3x)2＋(4x)2＝(5x)2，即a2＋b2＝c2，∴△ABC是直角三角形.遇比例用参数法.知1－练方法点拨：判定直角三角形的方法：1.如果已知条件与角度有关，可求出其中一个角是直角，或者证明其中一个角等于已知的直角，得到直角三角形.2.如果已知条件与边有关，可通过计算推导出三角形三边长的数量关系[即a2＋b2＝c2(c为最长边)]，得到直角三角形.知1－练1-1.有五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成各选项所示的两个直角三角形，其中正确的是()C知1－练

D知2－讲知识点勾股数21.勾股数能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.勾股数必须同时满足两个条件：(1)三个数都是正整数；(2)两个较小数的平方和等于最大数的平方.知2－讲2.

判别一组数是不是勾股数的一般步骤(1)“看”：看是不是三个正整数；(2)“找”：找最大数；(3)“算”：计算最大数的平方与两个较小数的平方和；(4)

“判”：若两者相等，则这三个数是一组勾股数，否则不是一组勾股数.知2－讲特别提醒1.勾股数有无数组.2.一组勾股数中的各数都乘相同的正整数可以得到一组新的勾股数：如3，4，5是勾股数，则6，8，10和9，12，15也是勾股数，即如果a，b，c是一组勾股数，那么na，nb，nc(n为正整数)也是一组勾股数.知2－练下面四组数中是勾股数的一组是()A.6，7，8 B.5，8，13C.1.5，2，2.5 D.21，28，35例2解题秘方：紧扣“勾股数定义中的两个条件”进行判断.解：根据勾股数的定义：满足a2＋b2＝c2的三个正整数a，b，c称为勾股数，可知D选项成立.D知2－练2-1.下列各组数中，是勾股数的是()A.3，4，7B.0.5，1.2，1.3C.6，8，10D.32，42，52C知3－讲知识点反证法31.

定义反证法是一种论证方式，首先假设命题的结论的反面是正确的，然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说假设不成立，原命题得证.知3－讲2.反证法证明命题的一般步骤反设——归谬——结论，即：(1)假设命题的结论的反面是正确的；(2)从这个假设出发，通过演绎推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾；(3)由矛盾判定假设不正确，从而得出原命题成立.知3－讲特别提醒1.若结论的反面只有一种情况，则反设单一，只需驳倒这种情况，即可达到反证的目的.2.若结论的反面不止一种情况，那么要把各种情况一一驳倒，才能证明原结论正确.知3－练用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.例3解题秘方：紧扣反证法证明命题的一般步骤进行证明.知3－练解：已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角.求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个角是直角.证明：假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角.不妨设∠B＝∠C＝90°.∴∠A＋∠B＋∠C＝∠A＋90°＋90°＝∠A＋180°>180°.这与“三角形的内角和是180°”相矛盾.∴假设不成立，即一个三角形中不能有两个角是直角.知3－练3-1.已知：在△ABC中，AB＝AC.求证：∠B，∠C都是锐角.(用反