沪科版八年级数学 13.2 命题与证明（学习、上课课件）

13.2命题与证明第13章三角形中的边角关系、命题与证明逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2命题命题的结构互逆命题及反例定理与证明三角形内角和定理及推论1,2三角形内角和定理推论3、4(三角形外角的性质)知识点命题知1－讲11.命题的定义对某一事件作出正确或不正确判断的语句(或式子)叫做命题.知1－讲特别解读：(1)命题只是对事件进行判断，判断的结果可能是正确的，也可能是错误的；(2)命题必须是一个完整的句子，不能是一个词语；(3)命题必须具有“判断”作用，要对事件作出肯定或否定的判断，故命题不能是祈使句或疑问句.知1－讲2.

命题的种类(1)真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题.(2)假命题：题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题.知1－讲特别提醒只要作出判断性的语句都是命题，与它判断的对错无关.知1－练例1下面语句中，哪些是命题，哪些不是命题？如果是命题，判断命题的真假.(1)同位角相等；(2)如果a是实数，那么a2＋1>0；(3)如果a∥c，b∥c，那么a∥b；(4)一个实数的平方一定是正数；(5)不相交的两条直线是平行线.(6)画一个半径是1cm的圆.(7)任何数的绝对值都是正数.知1－练解：(1)(2)(3)(4)(5)(7)是命题，其中(2)(3)是真命题，(1)(4)(5)(7)是假命题.(6)不是命题.知1－练1-1.[期末·宿州桥区]下列命题是真命题的是()A．如果AB＝BC，那么点C是AB的中点B．三条线段的长分别为a，b，c，如果a＋b>c，那么这三条线段一定能组成三角形C．三角形的内角和等于180°D．如果|a

|＝|b|，那么a＝bC知2－讲知识点命题的结构21.命题的构成数学命题通常由题设和结论两部分组成，命题常写成“如果……那么……”的形式.其中，“如果”引出的部分是条件(或题设)，“那么”引出的部分是结论(或题断).有时为了叙述简便，也可以省略关联词“如果”“那么”.知2－讲2.

命题的一般形式“如果p，那么q”，或者说成“若p，则q”，其中p是这个命题的条件(或题设)，q是这个命题的结论(或题断).知2－讲特别解读命题的条件和结论有时不止一个，此时要注意把条件和结论都表达清楚.例如命题“同角或等角的余角相等”，其条件是“两个角是同一个角的余角”或“相等的两个角的余角”,结论是“这两个角相等”.知2－练把下列命题改写成“如果……那么……”的形式并判断命题的真假.(1)互为补角的两个角相等；(2)同角的余角相等；(3)垂直于同一条直线的两条直线平行.例2解题秘方：紧扣命题的结构形式进行改写.知2－练解：(1)如果两个角互为补角，那么这两个角相等.假命题.(2)如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等.真命题.(3)如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行.假命题.知2－练方法点拨：改写命题的方法：理清命题的题设与结论部分，改写命题时将题设放在“如果”后面，将结论放在“那么”后面.知2－练2-1.[期末·宿州]把命题“全等三角形的对应角相等”改写成“如果……，那么……”的形式：___________________________________________________.如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应角相等知3－讲知识点互逆命题及反例31.

互逆命题互逆命题：将命题“如果p，那么q”中的条件与结论互换，便得到一个新命题“如果q，那么p”，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个就叫做原命题的逆命题.知3－讲特别提醒：(1)“题设、结论正好相反”是指：第一个命题的题设是第二个命题的结论，第一个命题的结论是第二个命题的题设.知3－讲(2)“互逆命题”是说明两个命题之间的关系，两个命题的地位可以互换，可以确定其中任何一个为原命题，另一个为逆命题.(3)写一个命题的逆命题的关键是分清它的题设和结论，把题设和结论互换，并用通顺的语句将它们连接起来即可得到它的逆命题.知3－讲2.

反例符合命题的条件，但不满足命题结论的例子称之为反例.知3－讲特别警示判断一个命题是真命题，需要经过推理说明其正确性，而判断一个命题是假命题，只需举一个反例即可.原命题的真假和其逆命题的真假没有必然联系，原命题是真命题，其逆命题不一定是真命题；原命题是假命题,其逆命题也不一定是假命题.知3－练判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆命题的真假：(1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点；(2)如果a>b，那么a2>b2；(3)如果ab<0，那么a>0，b<0.例3解题秘方：紧扣互逆命题“题设、结论正好相反”这一特征改写命题.知3－练解：(1)原命题是真命题.逆命题：如果两条直线只有一个交点，那么它们相交.逆命题是真命题.(2)原命题是假命题.逆命题：如果a2>b2，那么a>b.逆命题是假命题.(3)原命题是假命题.逆命题：如果a>0，b<0，那么ab<0.逆命题是真命题.知3－练3-1.[期末·合肥]下列命题中，逆命题是真命题的是()A.若a＋b＝4，a－b＝2，则a2－b2＝8B．无理数是无限小数C．对顶角相等D．若x2＝1，则x＝1D知3－练3-2.[期末·亳州]对于命题“若a2＞b2，则a＞b.”下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是(

)A．a＝3，b＝2B．a＝－3，b＝2C．a＝3，b＝－1D．a＝－1，b＝3B知4－讲知识点定理与证明41.

基本事实人们在长期实践中总结出来，不需要推理证明的真命题.基本事实可以作为判断其他命题真假的依据，所有推理的原始共同出发点是一些基本的定义和基本事实.知4－讲2.定理有些命题，是从基本事实或其他真命题出发，用推理方法判断为正确的，并被选作判断命题真假的依据.这样的真命题叫做定理.知4－讲3.

证明从已知条件出发，依据定义、基本事实、已证定理，并按照逻辑规则，推导出结论，这一方法称为演绎推理(或演绎法).演绎推理的过程，就是演绎证明，简称证明.(1)证明一个命题是真命题的依据可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实(公理)、定理等.(2)证明一个命题是假命题，只要举出一个反例即可.知4－讲4.

证明的一般步骤(1)审题，分清命题的题设和结论；(2)画图，结合图形写出已知和求证；(3)分析因果关系，找出证明途径；(4)有条理地写出证明过程.知4－讲特别解读定义、命题、基本事实(公理)、定理之间的联系与区别：联系：这四者都是命题.区别：定义、基本事实(公理)、定理都是真命题，都可以作为进一步判断其他命题真假的依据，只不过基本事实(公理)是最原始的依据；而命题不一定是真命题，因而不能直接用来作为判断其他命题真假的依据.知4－练填写下列证明过程中推理的依据.如图13.2-1，已知AC，BD相交于点O，DF平分∠CDO与AC相交于点F，BE平分∠ABO与AC相交于点E，∠A＝∠C.

求证：∠1＝∠2.例4知4－练

已知内错角相等，两直线平行两直线平行，内错角相等已知角平分线的定义等量代换知4－练4-1.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠ABC＝∠ACB，CE∥DF．求证：∠DBF＝∠F．知4－练知5－讲知识点三角形内角和定理及推论1,251.

定理三角形的内角和等于180°.几何语言：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°.知5－讲2.

三角形内角和定理的证明证明方法图示证明过程方法一如图，过点A作l∥BC，则∠2＝∠B，∠3＝∠C.因为∠1＋∠2＋∠3＝180°，所以∠1＋∠B＋∠C＝180°.知5－讲续表：证明方法图示证明过程方法二如图，过点C作CD∥AB，则∠1＝∠A，∠2＝∠B.因为∠1＋∠2＋∠ACB＝180°，所以∠A＋∠B＋∠ACB＝180°.知5－讲续表：证明方法图示证明过程方法三如图，过点D作DE∥AB，DF∥AC，则∠1＝∠C，∠2＝∠4，∠3＝∠B，∠A＝∠4.所以∠2＝∠A.因为∠1＋∠2＋∠3＝180°，所以∠A＋∠B＋∠C＝180°.知5－讲续表：证明方法图示证明过程方法四如图，过点C作CD∥AB，则∠1＝∠A，∠B＋∠BCD＝180°，所以∠A＋∠B＋∠ACB＝180°.知5－讲续表：证明方法图示证明过程方法五如图，过点A作直线AD，过点B作BE∥AD，过点C作l∥AD，则l∥BE，所以∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠DAB＋∠ABE＝180°，所以∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°.总结借助平行线，转移内角，形成平角(180°)或同旁内角(和为180°).知5－讲3.

辅助线在证明的过程中，为了证明的需要，在原来图形上添画的线叫做辅助线.知5－讲注意(1)作辅助线是几何证明常用的方法,在书写证明过程时，首先应写明辅助线的画法；(2)辅助线通常画成虚线.知5－讲4.

推论1

直角三角形的两锐角互余.几何语言：在△ABC中，∵∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°.5.

推论2

有两个角互余的三角形是直角三角形.几何语言：在△ABC中，∵∠A＋∠B＝90°，∴∠C＝90°，即△ABC为直角三角形.知5－讲特别解读在直角三角形中，若已知两个锐角之间的关系，可结合两个锐角互余求出每个锐角的大小，不需要再利用三角形内角和定理求解.知5－练[期末·滁州]如图13.2-2，在△ABC中，∠A∶∠ABC∶∠ACB＝3∶4∶5，BE平分∠ABC，CF⊥AB于点F，BE和CF相交于点O.求∠BOC的度数.例5解题秘方：紧扣直角三角形两锐角互余和角平分线的定义求解.知5－练

知5－练5-1.[期末·亳州]CD是△ABC的角平分线，点E在AC上，BE交CD于点F，∠ACB＝56°.(1)如图①，若BE⊥AC，求∠DFB的度数；知5－练知5－练(2)如图②，若BE⊥CD，∠A＝50°，求∠ABE的度数．知5－练如图13.2-3，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P，求证：△EFP是直角三角形.解题秘方：三角形中有两个角的和等于90°(互余)就可说明该三角形为直角三角形.例6知5－练

知5－练方法点拨：直角三角形的判定方法：1.证明三角形中有一个内角为90°(或证明三角形的两条边互相垂直)；2.证明一个三角形中有两个内角互余；3.证明三角形中有一个内角与已知的直角相等.知5－练6-1.如图，点E是△ABC的边AC上的一点，ED⊥AB于点D，∠AED＝∠B.求证：△ABC是直角三角形.知5－练证明：∵ED⊥AB，∴∠ADE＝90°.∴∠A＋∠AED＝90°.∵∠AED＝∠B，∴∠A＋∠B＝90°.∴△ABC是直角三角形.知6－讲知识点三角形内角和定理推论3、4(三角形外角的性质)61.

外角的定义由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.判断一个角是不是三角形的外角的三个条件：(1)顶点在三角形的一个内角的顶点上；(2)一边是三角形这个内角的一条边；(3)另一边是三角形这个内角的另一条边的延长线.知6－讲2.

外角的性质推论3三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.常见应用：(1)已知一个外角及与它不相邻的两个内角中的一个，求另一个内角；(2)证明一个角等于另两个角的和或差；(3)作为中间关系式证明两个角相等.知6－讲推论4

三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.示例：三角形外角的性质

∠ACD＝∠A＋∠B

∠ACD>∠A，∠ACD>∠B外角与∠ACD不相邻的两个内角知6－讲特别解读1.外角：在三角形的外部，与相邻内角互为邻补角.2.三角形每一个顶点处都有两个外角，它们是对顶角，因此三角形共有六个外角，通常每一个顶点处取一个外角.3.三角形的外角和等于360°.知6－讲如图13.2-4，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝80°，CD是∠ACB的平分线，则∠BDC的度数是(

)A.60°B.65°C.70°D.80°例7知6－