山东省部分省重点中学2025届高三数学第二次质量监测联考试题

PAGEPAGE13山东省部分省重点中学2025届高三数学其次次质量监测联考试题考生留意：1．本试卷共150分．考试时间120分钟．2．请将各题答案填写在答题卡上．3．本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，函数与导数，三角函数，解三角形，平面对量，复数，数列，不等式，立体几何，解析几何．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）A． B．C． D．2．已知复数满意，则（）A． B．C． D．3．已知，都是实数，则“”是“”的（）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件4．函数的部分图象大致为（）A． B．C． D．5．点为抛物线：的准线上一点，直线交抛物线于，两点，若的面积为20，则（）A．1 B． C．2 D．6．已知，则（）A． B． C． D．7．已知点是边长为2的菱形内的一点（包含边界），且，则的取值范围是（）A． B． C． D．8．已知正方体的棱长为2，以为球心，为半径的球面与平面的交线长为（）A． B． C． D．二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．已知向量，，，则（）A． B．C． D．10．已知实数，满意，，则（）A．的取值范围为 B．的取值范围为C．的取值范围为 D．的取值范围为11．已知函数的图象经过点，且在上有且仅有4个零点，则下列结论正确的是（）A． B．C．在上单调递增 D．在上有3个微小值点12．经探讨发觉：随意一个三次多项式函数的图象都只有一个对称中心点，其中是的根，是的导数，是的导数．若函数图象的对称点为，且不等式对随意恒成立，则（）A． B．C．的值可能是 D．的值可能是三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．在等差数列中，，，则数列的公差为______．14．将一个斜边长为4的等腰直角三角形以其始终角边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的表面积为______．15．已知双曲线：的左焦点为，点在双曲线的右支上，，当的周长最小时，的面积为______．16．已知函数，若关于的方程恰有两个实数根，则实数的取值范围是______．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在中，角，，所对的边分别为，，．已知．（1）若，，求的值；（2）若的面积为，求周长的最小值．18．在①，且，，②，，③，，且，，成等差数列这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．问题：设数列的前项和为，______．若，求数列的前项和．注：假如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．如图，在三棱柱中，平面，是的中点，是边长为1的等边三角形．（1）证明：．（2）若，求二面角的大小．20．已知函数的部分图象如图所示．（1）求的解析式；（2）设．若关于的不等式恒成立，求的取值范围．21．已知，分别是椭圆：的左、右焦点，过点的直线与椭圆交于，两点，点在椭圆上，且当直线垂直于轴时，．（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在实数，使得恒成立．若存在，求出的值；若不存在，说明理由．22．已知函数．（1）探讨的单调性；（2）当时，若无最小值，求实数的取值范围．其次次质量监测联考数学参考答案1．A因为，所以．因为，所以．2．B因为，所以．3．C由，得，则，从而，反之不成立，故“”是“”的充分不必要条件．4．B因为，所以是偶函数，所以的图象关于轴对称，解除A，C；因为，解除D．5．C由题意不妨设，，则的面积为，解得．6．D设，则，，从而．7．A如图，建立平面直角坐标系，则，，，．设，则，故，即的取值范围是．8．D由题意知．如图，在平面内任取一点，使，则，故以为球心，为半径的球面与平面的交线是以为圆心，以2为半径的圆弧，故该交线长为．9．AD由题意可得，．因为，所以，则A正确，B错误；对于C，D，因为，，所以，则C错误，D正确．10．ABD因为，所以．因为，所以，则，故A正确；因为，所以．因为，所以，所以，所以，故B正确；因为，，所以，，则，故C错误；因为，，所以，，则，故D正确．11．AC因为点在的图象上，所以，所以．因为，所以，则．由，得．因为在上有且仅有4个零点，所以，所以．因为，所以，则，故A正确，B错误．令，解得，当时，．因为，所以在上单调递增，故C正确．由的图象（图略）易知在上有2个微小值点，故D错误．12．ABC由题意可得，因为，所以，所以，解得，，故．因为，所以等价于．设，则，从而在上单调递增．因为，所以，即，则（当且仅当时，等号成立），从而，故．13．设数列的公差为．因为，所以，则．14．由题意可知所得几何体是圆锥，其底面圆的半径，母线长，则其表面积为．15．12如图，设双曲线的右焦点为．由题意可得，，．因为，所以，则的周长为，即当在处时，的周长最小，此时直线的方程为．联立整理得，则，故的面积为．16．由题意可得，明显不是方程的实数根，则．故关于的方程恰有两个实数根等价于与的图象恰有两个不同的交点．画出的大致图象，如图所示，由图象可得．17．解：（1）由余弦定理可得，则．由正弦定理可得，则．（2）因为的面积为，所以，则．由余弦定理可得，则（当且仅当时，等号成立），即．因为，所以，所以（当且仅当时，等号成立），故，即周长的最小值为12．18．解：若选①，因为，所以，即数列是等差数列．因为a，，所以解得，，故．因为，所以，则．若选②，因为，所以，，所以，解得，则．因为满意上式，所以．以下步骤同①．若选③，因为，，成等差数列，所以，所以，即．因为，，所以，则数列是首项为1，公差为2的等差数列，故．以下步骤同①．19．（1）证明：因为是边长为1的等边三角形，所以，．因为是的中点，所以，即是等腰三角形，则，故，即．因为平面，，所以平面．因为平面，所以．因为，平面，平面，所以平面．因为平面，所以．（2）解：连接，则，以为原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．则，，，，，故，，．设平面的法向量为，则令，得．由（1）可得平面的一个法向量为．故．设二面角为，由图可知为锐角，则，故．20．解：（1）由图可知，，则，从而，故．因为的图象过点，所以，所以．因为，所以．故．（2）由（1）可得．设，因为，所以．因为，即在上恒成立，则，即解得．故的取值范围为．21．解：（1）由题意可得解得，．故椭圆的标准方程为．（2）如图，由（1）可知，．当直线的斜率不存在时，，则．当直线的斜率存在时，设其斜率为，则直线的方程为，，．联立整理得，则，，从而，故．由题意可得，，则．因为，所以．综上，存在实数，使得恒成立．22．解：（1）因为，所以．令，得或．当0时，由，得；由，得，则在上单调递减，在上单调递增．当时，由，得或；由，得，则在上单调递减，在和上单调递增．当时，恒成立，则在上单调递增．当时，由，得或；由，得，则在上单调递减，在，上单调递增．综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在和上单调递增；当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在，上单调递增．（2）当时，由（1）可知在上单调递减，在上单调递增，则有最小值，故不符合题意；当时，由（1）可知在上单调递减，在和上单调递增，因为无最小值，所