2024-2025学年新教材高中数学第四章对数运算和对数函数4.4指数函数幂函数对数函数增长的比较一课一练含解析北师大版必修第一册

PAGEPAGE3第四章对数运算与对数函数§4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较*§5信息技术支持的函数探讨（略）学问点1三种函数的不同增长1.☉%#1￥@￥158%☉(2024·北京顺义区模拟)当x越来越大时,下列函数中,增长速度最快的应当是()。A.y=100x B.y=log100xC.y=x100 D.y=100x答案：D解析：由于指数型函数的增长是爆炸式增长,则当x越来越大时,函数y=100x的增长速度最快。故选D。2.☉%2*5@@*63%☉(2024·延安中学模拟)下面对函数f(x)=log13x与g(x)=13x在区间(0,+∞)上的衰减状况的说法中正确的是A.f(x)的衰减速度越来越慢,g(x)的衰减速度越来越快B.f(x)的衰减速度越来越快,g(x)的衰减速度越来越慢C.f(x)的衰减速度越来越慢,g(x)的衰减速度越来越慢D.f(x)的衰减速度越来越快,g(x)的衰减速度越来越快答案：C解析：结合指数函数y=13x和对数函数y=log13x的图像易得3.☉%84*@@4#4%☉(2024·泉州七中月考)四个物体同时从某一点动身向前运动,其路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x>1)的函数关系是f1(x)=x2,f2(x)=2x,f3(x)=log2x,f4(x)=2x,假如它们始终运动下去,最终在最前面的物体具有的函数关系是()。A.f1(x)=x2 B.f2(x)=2xC.f3(x)=log2x D.f4(x)=2x答案：D解析：由函数性质,可得选项D正确。故选D。学问点2三种函数图像性质的应用4.☉%#920@*￥7%☉(2024·临川一中月考)三个数60.7,0.76,log0.76的大小关系为()。A.0.76<log0.76<60.7 B.0.76<60.7<log0.76C.log0.76<60.7<0.76 D.log0.76<0.76<60.7答案：D解析：在同一坐标系中画出函数y=x0.7,y=0.7x,y=log0.7x的图像,视察x=6时的y值,或由60.7>1,0<0.76<1,log0.76<0来推断。故选D。5.☉%533#￥0**%☉(2024·厦门统考)已知f(x)=ax,g(x)=logax,其中a>0,a≠1,若f(1)g(2)<0,那么f(x)与g(x)在同一坐标系内的图像可能是()。图4-4-1答案：C解析：因为f(1)g(2)=aloga2<0(a>0,a≠1),所以loga2<0,所以0<a<1。结合四个选项,可知选C。6.☉%@3#887*#%☉(2024·襄城高一检测)设x∈(0,1)时,y=xp(p∈R)的图像在直线y=x的上方,则p的取值范围是()。A.p≥0 B.0<p<1C.p<1 D.p>1答案：C解析：画图可知,C正确。7.☉%8￥7￥1￥6￥%☉(2024·深圳中学月考)已知f(x)=x2-bx+c且f(0)=3,f(1+x)=f(1-x),则有()。A.f(bx)≥f(cx) B.f(bx)≤f(cx)C.f(bx)<f(cx) D.f(bx),f(cx)大小不定答案：B解析：由f(1+x)=f(1-x),知b2=1,b=2由f(0)=3,知c=3。此时f(x)=x2-2x+3。当x<0时,3x<2x<1,函数y=f(x)在x∈(-∞,1)上是减函数,所以f(bx)<f(cx);当x=0时,f(bx)=f(cx);当x>0时,3x>2x>1,函数y=f(x)在x∈(1,+∞)上是增函数,所以f(bx)<f(cx)。综上,f(bx)≤f(cx)。故选B。8.☉%@*￥065￥7%☉(2024·长沙一中检测)当2<x<4时,2x,x2,log2x的大小关系是()。A.2x>x2>log2x B.x2>2x>log2xC.2x>log2x>x2 D.x2>log2x>2x答案：B解析：方法一:在同一坐标系中画出函数y=log2x,y=x2,y=2x的图像,在区间(2,4)内从上往下依次是y=x2,y=2x,y=log2x的图像。所以x2>2x>log2x。故选B。方法二:取x=3,经检验知B正确。故选B。9.☉%6*￥3*0*5%☉(2024·吉安一中检测)函数f(x)=2x与函数g(x)=x2的图像交点的个数是。

答案：3解析：函数f(x)=2x与g(x)=x2的图像如图所示,明显函数f(x)=2x与g(x)=x2的图像在(-∞,0)上有一个交点,又f(2)=g(2)且指数函数的增长速度大于幂函数的增长速度,所以在(0,+∞)上它们有2个交点。综上,两函数图像交点的个数为3。10.☉%6##5￥#16%☉(2024·南阳一中月考)函数y=x2与函数y=xlnx在区间(0,+∞)上增长较快的一个是。

答案：y=x2解析：当x变大时,x比lnx增长要快,所以x2要比xlnx增长得快。11.☉%6*￥214*￥%☉(2024·石门一中月考)已知函数f(x)=2x和g(x)=x3,设两个函数的图像相交于点A(x1,y1)和B(x2,y2),且x1<x2。若x1∈[a,a+1],x2∈[b,b+1],且a,b∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12},指出a,b的值,并说明理由。答案：解:依题意知,x1和x2是使两个函数的函数值相等的自变量x的值。当x<x1时,2x>x3,即f(x)>g(x);当x1<x<x2时,f(x)<g(x);当x>x2时,f(x)>g(x)。因为f(1)=2,g(1)=1,f(2)=22=4,g(2)=23=8,所以x1∈[1,2],即a=1;又因为f(8)=28=256,g(8)=83=512,f(8)<g(8),f(9)=29=512,g(9)=93=729,f(9)<g(9),f(10)=210=1024,g(10)=103=1000,f(10)>g(10)。所以x2∈[9,10],即b=9。题型三种函数的实际应用12.☉%751##￥0@%☉(2024·珠海一中月考)有一组试验数据如下表:t23456v1.54.047.51218.01现打算用下列函数中的一个近似地表示这些数据所满意的规律,其中最接近的是()。A.v=log2t B.v=log1C.v=t2-12 D.答案：C解析：当t分别取2,3,4,5,6时,C选项中得到的函数值最接近试验数据,故选C。13.☉%6#**@641%☉(2024·保定期末)据报道,某淡水湖的湖水在50年内削减了10%,若年平均削减率相等,按此规律,设2013年的湖水量为m,从2013年起,经过x年后湖水量y与x的函数关系为()。A.y=0.9x50 B.y=(1-0.1C.y=0.9x50m D.y=(1-0.150x答案：C解析：设每年湖水量为上一年的q%,则(q%)50=0.9,所以q%=0.9150,所以x年后的湖水量y=0.9x5014.☉%3￥07@@#6%☉(2024·九江一中月考)商店某种货物进价下降了8%,但销售价没有变,于是这种货物的销售利润率销售价-进价进价×100%由原来的r%增加到(r+10)%,则r的值等于A.25 B.20C.15 D.10答案：C解析：设原进货价为a,销售价为b,由题意得b-a所以100+r100×10092=r+110100,解得15.☉%6#4**7#1%☉(2024·丰城中学月考)某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y=alog2(x+1),设这种动物第一年有100只,若不考虑自然死亡,到第7年它们发展到只。

答案：300解析：由已知第一年有100只,得a=100,将a=100,x=7代入y=alog2(x+1),得x=300。16.☉%￥#@504#5%☉(2024·广雅中学月考)近几年由于北京房价的上涨,引起了二手房市场交易的火爆,房子没有什么改变,但价格却上涨了。小张在2007年以150万元的价格购得一所新居子,假设这10年来价格年膨胀率不变,那么到2024年,这所房子的价格y(万元)与价格年膨胀率x之间的函数关系式是。

答案：y=150(1+x)10解析：1年后,y=150(1+x);2年后,y=150(1+x)2;3年后,y=150(1+x)3,…,10年后,y=150(1+x)10。17.☉%649*0#**%☉(2024·吉安一中检测)已知元素“碳-14”每经过5730年,其质量就变成原来的一半。现有一文物,测得其中“碳-14”的残存量为原来的41%,此文物距现在约有年。(注:精确到百位数,lg2≈0.3010,lg4.1≈0.613)

答案：7400解析：设距现在有x年,则有12x5730=41%,两边取对数,利用计算器可得x18.☉%*@￥7@087%☉(2024·新余四中期中)某工厂今年1月份、2月份、3月份生产某种产品的产量分别为1万件、1.2万件、1.3万件,为了以后估计每个月份的产量,以这三个月的产品数据为依据,用一个函数模拟产品的月产量与月份数的关系,模拟函数可选用二次函数f(x)=px2+qx+r(其中p,q,r为常数,且p≠0)或指数型函数g(x)=a·bx+c(其中a,b,c为常数,且a≠0),已知4月份该产品的产量为1.37万件,请问用上述哪个函数作为模拟函数较好?并说明理由。答案：解:用指数型函数g(x)=a·bx+c作为模拟函数较好,理由如下:因为f(x)=px2+qx+r,由已知f(1)=1,f(2)=1.2,f(3)=1.3,得p+q所以f(x)=-0.05x2+0.35x+0.7,故f(4)=1.3。又因为g(x)=a·bx+c,由已知g(1)=1,g(2)=1.2,g(3)=1.3,得a·b+c=1,a·b2+c=1.2,a·b3+c=1.3,解得a=-0.依据4月份的实际产量为1.37万件,所以|1.3-1.37|>|1.35-1.37|,故选用g(x)=a·bx+c作为模拟函数较好。19.☉%13*03@#@%☉(2024·丰城中学月考)我们知道,燕子每年秋天都要从北方飞往南方过冬,探讨燕子的科学家发觉,两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v=5log2Q10,单位是m/s,其中Q(1)计算:燕子静止时的耗氧量是多少个单位?答案：解:由题知,当燕子静止时,它的速度v=0,代入函数关系式可得0=5log2Q10,解得Q=10即燕子静止时的耗氧量是10个单位。(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时,它的飞行速度是多少?答案：将耗氧量Q=80代入函数关系式,得y=5log28010=5log28=15(m/s)即当一只燕子的耗氧量是80个单位时,它的飞行速度为15m/s。20.☉%730￥#@3@%☉(2024·百色中学检测)如图4-4-2,桶1中的水按肯定规律流入桶2中,已知起先时桶1中有aL水,桶2是空的,tmin后桶1中剩余的水量符合指数衰减曲线y1=ae-nt(其中n是常数,e是自然对数的底数)。假设在5min时,桶