江西省广昌某中学2025届高考模拟（三）数学试题（含解析）

江西省广昌一中2025届高考全真模拟（三）数学试题

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1-z

2.如图，平面四边形中，ABLBC,AB=6,BC=2,AABD为等边三角形，现将沿翻

折，使点。移动至点P,且则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为（）

A.8%B.6兀C.4%

已知等比数列｛4｝的前〃项和为S“，且满足2s“=2田+/1,则X的值是（）

C.-2

4.椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有

一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃厚度忽略

不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是（）

£

x-2,(x>10)

5.设/(%)=，则”5)=()

yw+6)],(x<io)

用一个平面去截正方体，则截面不可能是（

A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形

7.在AABC中，“1皿母3!1。＞1”是“入45。为钝角三角形”的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

8.已知平面a,夕，直线/满足/ua,贝！是的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.即不充分也不必要条件

9.复数的2=-l-2z〈z为虚数单位)在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

10.已知集合4={1|1<X424},B=<x\y=-,1=>,则=()

、，—f+6%—5,

A.{x|x>5)B.{x|5<x<24}

C.{x|xVl或xN5}D.{x[5<x<24}

11.设等差数列{4}的前〃项和为S〃，若。3=2,〃]+%=5,则S6=()

A.10B.9C.8D.7

12.已知数列{%}中，q=l,%=2,且当〃为奇数时，a.—4=2;当〃为偶数时，%+2+1=3(为+1).则此数

列的前20项的和为()

1QQ11ool2ool2o

A.^-—^+90B.^—^+100C.^—^+90D.^—^+100

2222

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知函数八％)在定义域R上的导函数为了'(%)，若函数y=f'(x)没有零点，且f[f(%)-20191=2019,当

g(x)=sinx—cosx—西在上与“X)在R上的单调性相同时，则实数化的取值范围是.

14.某四棱锥的三视图如图所示，那么此四棱锥的体积为.

俯视图

15.“六艺”源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.某校在周末学生业余兴趣活动中开

展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“礼”与“乐”必须排在前两节，“射”和“御”两讲座必须相邻的

不同安排种数为.

16.已知a=logo302〃=log20.2,则q+力."（填“>”或“="或

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）S“是数列｛4｝的前〃项和，且4—S,=g〃—g"2.

（1）求数列｛凡｝的通项公式；

（2）若b“=2%-5a“,求数列也｝中最小的项.

18.（12分）如图，点T为圆0：必+/=1上一动点，过点?分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A,B,连接

54延长至点尸，使得丽=而，点尸的轨迹记为曲线C.

（1）求曲线C的方程；

（2）若点A,5分别位于X轴与y轴的正半轴上，直线与曲线C相交于Af,N两点，且|人却=1,试问在曲线

C上是否存在点Q,使得四边形OMQN为平行四边形，若存在，求出直线/方程；若不存在，说明理由.

19.（12分）已知函数/（x）=三，•一1（“eH0）.

（1）当a=l时，求函数/（%）在（0"（。））处的切线方程；

（2）若函数/（九）没有零点，求实数。的取值范围.

20.（12分）已知六面体ABCDEF如图所示，BE1平面ABC。，BE//AF,AD//BC,BC=1,CD=y/5,

FM1

AB=AF=AD=2,"是棱ED上的点，且满足——=-.

MD2

E

(1)求证：直线8/〃平面加4C；

(2)求二面角A—MC—。的正弦值.

21.(12分)为了加强环保知识的宣传，某学校组织了垃圾分类知识竞赛活动.活动设置了四个箱子，分别写有“厨余垃

圾，，、“有害垃圾，，、“可回收物，，、，，其它垃圾，，；另有卡片若干张，每张卡片上写有一种垃圾的名称.每位参赛选手从所

有卡片中随机抽取20张，按照自己的判断将每张卡片放入对应的箱子中.按规则，每正确投放一张卡片得5分，投放

错误得。分.比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子，得5分，放入其它箱子，得。分.从所有参赛选手

中随机抽取20人，将他们的得分按照［0,20］、(20,40］,(40,60］、(60,80］,(80,100］分组，绘成频率分布直方图

如图：

(1)分别求出所抽取的20人中得分落在组［0,20］和(20,40］内的人数；

(2)从所抽取的20人中得分落在组［0,40］的选手中随机选取3名选手，以X表示这3名选手中得分不超过20分的

人数，求X的分布列和数学期望.

22.(10分)已知函数/(x)=msinx+J^cosx(根〉0)的最大值为2.

(I)求函数"X)在［。,河上的单调递减区间;

（II）AABC中,7（A—工）+/（3—工）=4#sinAsinB,角A,B,C所对的边分别是a,dc,且C=60°,c=3,求

44

AABC的面积.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.

【详解】

2+i_(2+z)(l+i)_2+3，+，2_1+3，_13.

T7-(l-z)(l+z)-2—-2—521

本题正确选项：A

本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题.

2.A

【解析】

将三棱锥尸-A3C补形为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同，由此易知外接球球心。应在棱柱上下底面三角形

的外心连线上，在中,计算半径08即可.

【详解】

由AB_LBC,PB±BC,可知BCJ_平面PAB.

将三棱锥尸-A3C补形为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同.

由此易知外接球球心。应在棱柱上下底面三角形的外心连线上，

记ZXABP的外心为E，由/XABD为等边三角形，

Be

可得BE=1-又OE——^―=1,故在Rt^OBE中，OB=y/2，

此即为外接球半径，从而外接球表面积为8万.

故选：A

本题考查了三棱锥外接球的表面积，考查了学生空间想象，逻辑推理，综合分析，数学运算的能力，属于较难题.

3.C

【解析】

利用s,先求出an,然后计算出结果.

【详解】

4+2

根据题意，当〃=1时，2s1=2。1=4+4,二。]=(一,

故当〃N2时，an=Sn-Sn_x=T-\

・♦•数列｛4｝是等比数列，

则4=1,故=0=1,

解得4=—2,

故选C.

本题主要考查了等比数列前九项和S”的表达形式，只要求出数列中的项即可得到结果，较为基础.

4.C

【解析】

根据题意可知当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大，由椭圆的几何性质即可确定

此时椭圆的离心率，进而确定离心率的取值范围.

【详解】

当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大.

此时椭圆长轴长为7122+62=66，短轴长为6,

所以椭圆离心率e=—=2叵，

V16舟5

(-21]

所以ee0,——.

故选：C

本题考查了楠圆的定义及其性质的简单应用，属于基础题.

5.B

【解析】

根据题中给出的分段函数，只要将问题转化为求定10内的函数值，代入即可求出其值.

【详解】

x-2(x>10)

,/⑴/[/(x+6)](x<10)>

•V(5)="(1)]

=/⑼="(15)]

=/(13)=1.

故选：B.

本题主要考查了分段函数中求函数的值，属于基础题.

6.C

【解析】

试题分析：画出截面图形如图

显然A正三角形，B正方形：D正六边形，可以画出五边形但不是正五边形；故选C.

考点：平面的基本性质及推论.

7.C

【解析】

分析：从两个方向去判断，先看tanAtan5>l能推出三角形的形状是锐角三角形，而非钝角三角形，从而得到充分性

不成立，再看当三角形是钝角三角形时，也推不出tanAtan5>l成立，从而必要性也不满足，从而选出正确的结果.

详解：由题意可得，在AABC中，因为tanAtan6>l,

所以smAsm'>],因为。<人(万,0<3(不，

cosAcosB

所以sinAsinB>0,cosAcosB>0,

结合三角形内角的条件，故A,B同为锐角，因为sinAsin5>cosAcos6,

JI

所以cosAcoSjB—sinAsin5v0,即cos(A+5)<。，所以一<A+JB<»,

2

71

因此0<C<一,所以AA5c是锐角三角形，不是钝角三角形，

2

所以充分性不满足,

反之，若AABC是钝角三角形，也推不出“tanBtanC>l,故必要性不成立，

所以为既不充分也不必要条件，故选D.

点睛：该题考查的是有关充分必要条件的判断问题，在解题的过程中，需要用到不等式的等价转化，余弦的和角公式,

诱导公式等，需要明确对应此类问题的解题步骤，以及三角形形状对应的特征.

8.A

【解析】

戊，夕是相交平面，直线/u平面a,则反之。，，，直线/满足/ua,贝必上，或/〃/

或/u平面£,即可判断出结论.

【详解】

解:已知直线/u平面a,则“/，知”n“a"L£”,

反之。，尸，直线/满足/ua,贝网,，或/〃/或/u平面少，

是的充分不必要条件.

故选：A.

本题考查了线面和面面垂直的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力.

9.C

【解析】

所对应的点为(-1,-2)位于第三象限.

【考点定位】本题只考查了复平面的概念，属于简单题.

10.D

【解析】

首先求出集合3,再根据补集的定义计算可得；

【详解】

解：V-X2+6X-5>0>解得1<X<5

8={x11<%<5},05={115WxW24}.

故选：D

本题考查补集的概念及运算，一元二次不等式的解法，属于基础题.

11.B

【解析】

根据题意%=q+2d=2,4+。4=2q+3d=5,解得弓=4,J=-l,得到答案.

【详解】

%=%+2d=2,%+%=2%+3d=5,解得％=4,j=-i,故既=6%+152=9.

故选：B.

本题考查了等差数列的求和，意在考查学生的计算能力.

12.A

【解析】

根据分组求和法，利用等差数列的前九项和公式求出前20项的奇数项的和，利用等比数列的前〃项和公式求出前20项

的偶数项的和，进而可求解.

【详解】

当n为奇数时,a,.-=2,

则数列奇数项是以1为首项，以2为公差的等差数列，

当〃为偶数时，%+2+1=3(4+1)，

则数列中每个偶数项加1是以3为首项，以3为公比的等比数列.

所以S20=%+%+43+,•,+〃20="1+°3+••,+%9++/+•,,+〃20

1f)xQ

=10x1+--—x2+(tz2+l)+(tz4+l)+---(a20+1)-10

3(1—3)3n-3

=100+-^----^--10=------+90-

1-32

故选：A

本题考查了数列分组求和、等差数列的前九项和公式、等比数列的前几项和公式，需熟记公式，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.(F-1]

【解析】

由题意可知：Ax)为R上的单调函数，则/(X)-201T为定值，由指数函数的性质可知/Xx)为R上的增函数，则g«)

在[-友，单调递增，求导，则g(x)..O恒成立，则鼠0sin(x+?),»"，根据函数的正弦函数的性质即可求得上的

取值范围.

【详解】

若方程r(x)=o无解，

则/'(%)>0或f'(x)<0恒成立，所以/(X)为R上的单调函数,

VxeT?都有f[f{x)-2019」=2019,

则广⑴-2019,为定值,

设"〃尤)-2019、，则/(x)=r+2019,,易知了(幻为R上的增函数,

g(x)=sinx—cosx—kx,

gr(x)=sinx+cosx-k=y/2sin(x+-k,

4

又g(x)与/(%)的单调性相同，

・•.g。)在R上单调递增，则当xe-g],g'(x)..O恒成立，

卷，'兀万1口+n71：3啊.,7TV2II

当尤e[——，一]时，x+———，一],sin(x+—)e[------,U,

2244442

A/2sin(x+—)e[-1,42],

4

此时匕，-1,

故答案为：(-co,-l]

本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性，正弦函数的性质，辅助角公式，考查计算能力，属于中档

题.

4

14.-

3

【解析】

利用三视图判断几何体的形状，然后通过三视图的数据求解几何体的体积.

【详解】

此四棱锥的高为0,底面是长为近，宽为2的矩形,

所以体积丫=』乂2义0义尬=多.

33

4

所以本题答案为一.

3

本题考查几何体与三视图的对应关系，几何体体积的求法，考查空间想象能力与计算能力.解决本类题目的关键是准确

理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断.

15.24

【解析】

分步排课，首先将“礼”与“乐”排在前两节，然后，“射”和“御”捆绑一一起作为一个元素与其它两个元素合起来全排列，

同时它们内部也全排列.

【详解】

第一步：先将“礼”与“乐”排在前两节，有42=2种不同的排法；第二步：将“射”和“御”两节讲座捆绑再和其他两艺全

排有£团=12种不同的排法，所以满足“礼”与“乐”必须排在前两节，“射”和“御”两节讲座必须相邻的不同安排种数为

盘国区=24.

故答案为：L

本题考查排列的应用，排列组合问题中，遵循特殊元素特殊位置优先考虑的原则，相邻问题用捆绑法，不相邻问题用

插入法.

16.>

【解析】

注意到。>1力<0,故只需比较4+_1与1的大小即可.

ab

【详解】

由己知，a>l,b<0,故有a><0,a>".又由工f-nlogozOB+logozZulogozOSvl,

ab―一-"

故有a+b>ab.

故答案为：>.

本题考查对数式比较大小，涉及到换底公式的应用，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)an=n-(2)-7.

【解析】

（1）由4—s”可得出a“M—s“+i=ge+i）—g（”+i）2,两式作差可求得数列｛4｝的通项公式；

（2）求得b“=2"-5n,利用数列的单调性的定义判断数列｛勿｝的单调性，由此可求得数列｛%｝的最小项的值.

【详解】

（1）对任意的“eN*，由a“_S“=5〃—得a,+]_Sm+]=5（〃+1）_5（"+1）2,

两式相减得。“=〃，

因此，数列｛4｝的通项公式为alt=n；

（2）由⑴得包=2”-5〃,则％-a=[23-5（〃+1）]-（2"-5〃）=2"-5.

当"W2时，bn+1-bn＜0,即：.瓦＞2＞瓦；

当时，bn+l-bn＞0,即b“+i＞b“：.々＜“（瓦＜….

所以，数列也｝的最小项为a=23-5x3=-7.

本题考查利用S"与%的关系求通项，同时也考查了利用数列的单调性求数列中的最小项，考查推理能力与计算能力,

属于中等题.

2

18.（1）—+y2=1（2）不存在；详见解析

4

【解析】

（1）设T（x0,%）,P（x,y）,通过丽=而，即4为PB的中点，转化求解，点尸的轨迹C的方程.

产

（2）设直线/的方程为丁=履+乙先根据|AB|=1,可得±+/=1,①，再根据韦达定理，点在椭圆上可得

4t2=4k2+l，②,将①代入②可得4/+左2+i=o,该方程无解，问题得以解决

【详解】

（1）设P（羽y）,则A（%,0）,3（°，%），

由题意知丽=衣，所以A为PB中点，

x

U2

由中点坐标公式得〈，即2,

[o=A2±Z、「

丫2

又点T在圆。：X2+/=l±,故满足/2+寸=1,得L+2=1.

4-

r2

二曲线C的方程土+J=1.

4-

(2)由题意知直线/的斜率存在且不为零，设直线/的方程为y=

因为|AB|=|O刀=1,故—(|+〃=1,即±=i①,

y=kx+t

消去y得：(4左2+1)r+8H尤+4(厂-1)=0,

联立《X221

—+y=1

14'

设■(4%),N(x2,y2),

Skt4(t2-1)

软2+1'4公+1

X+y,=k(x.+xA+2t=k\--|+2z=―—

“，k1,I4/+1J4/+1

因为四边形°MQN为平行四边形’故。一言，

整理得4/=442+1②,

将①代入②，得4/+左2+i=o,该方程无解，故这样的直线不存在.

本题考查点的轨迹方程的求法、满足条件的点是否存在的判断与直线方程的求法，考查数学转化思想方法，是中档题.

19.(1)2x—y—2=0.(2)ci>—7

【解析】

(1)利用导数的几何意义求解即可;

(2)利用导数得出g(x)=?的单调性以及极值，从而得出g(x)的图象，将函数的零点问题转化为函数图象的交

点问题，由图，即可得出实数。的取值范围.

【详解】

(1)当“=1时，/(耳=9一1，尸(%)=爰

.•.切线斜率左=/10)=2,又切点(0,—2)

・••切线方程为y+2=2(x-0),即2x-y-2=0.

(2)/(x)=Oo^^=lo^^=a,t己g(x)=^^,令g(x)=2广=0得尤=2

eee

g1%)>0nx<2；g'(%)<0=>x>2

.*.g(%)的情况如下表：

X3,2)2(2，+?)

g'(x)+0—

g(x)单调递增极大值单调递减

当x=2时，8(%)取极大值8(2)=(

又X--00时，g(x)->-00；Xf+co时，g(x)-0

若/(X)没有零点，即y=g(x)的图像与直线y=a无公共点，由图像知。的取值范围是

本题主要考查了导数的几何意义的应用，利用导数研究函数的零点问题，属于中档题.

20.(1)证明见解析(2)《垂

18

【解析】

(1)连接3D，设BDcAC=O,连接MO.通过证明MO/ABF,证得直线〃平面M4c.

(2)建立空间直角坐标系，利用平面MAC和平面MCD的法向量，计算出二面角A-MC-。的正弦值.

【详解】

(1)连接6。，设BDcAC=O,连接MO,

因为AD〃3C,所以△BOCsA£)Q4,所以空=422

OBBCT

»〜MD2DO

在AFBD中，因为———

MF1OB

所似MO"BF,且MOu平面MAC,

故8尸〃平面MAC.

(2)因为AD〃BC,AB=2,BC=1,AD=2,CD=^5,所以ABLAD,

因为BE"AF,Ml平面ABC。，所以”，平面ABC。，

所以AF_LAB,AFYAD,

取AB所在直线为x轴，取AO所在直线为丁轴，取AE所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

由已知可得8(2,0,0),C(2,l,0),。(0,2,0),£(2,0,3),尸(0,0,2)

…一­…FM1

所以。尸=(0,—2,2),因为——=—,

MD2

所以DM=jDF

所以点M的坐标为0,1,g

所以*=(2,1,0),W=0,|,|,设行=(x,y,z)为平面MAC的法向量,

2x+y=0

m-AM=0

则__.n24c令x=l解得y=-2,z=1,

m-AC=0—y+—z=0

[33

所以加二(1,—2,1)，即加=(1,—2,1)为平面MAC的一个法向量.

加=12，mCD=(-2,1,0)

同理可求得平面MCD的一个法向量为n=(1,2,2)

1-4+2___1

所以cos〈〃z,〃〉=

V6x3-376

所以二面角A—MC—。的正弦值为正运

本小题主要考查线面平行的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.

21.（1）所抽取的20人中得分落在组［0,20］和（20,40］内的人数分别为2人、3人；（2）分布列见解析，EX=12.

【解析】

（1）将20分别乘以区间［0,20］、（20,40］对应的矩形面积可得出结果；

（2）由题可知，随机变量X的可能取值为0、1、2,利用超几何分布概率公式计算出随机变量X在不同取值下的概

率，可得出随机变量X的分布列，并由此计算出随机变量X的数学期望值.

【详解】

（1）由题意知，所抽取的20人中得分落在组［0,20］的人数有0.0050x