考点07 解直角三角形及其应用（解析版）

考点七解直角三角形及其应用知识点整合一、锐角三角函数的定义在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，正弦：sinA=；余弦：cosA=；正切：tanA=．根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.二、特殊角的三角函数值αsinαcosαtanα30°45°160°三、解直角三角形1．在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．2．解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则：（1）三边关系：a2+b2=c2；（2）两锐角关系：∠A+∠B=90°；（3）边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=；（4）sin2A+cos2A=1．3．科学选择解直角三角形的方法口诀：已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.四、解直角三角形的应用1．仰角和俯角仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．2．坡度和坡角坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．学-科网3．方向角（或方位角）指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角．4．解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解.学科_网5．解直角三角形实际应用的一般步骤（1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；（2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；（3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；（4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．考向一求三角函数的值（1）分清直角三角形中的斜边与直角边.（2）正确地表示出直角三角形的三边长，常设某条直角边长为k（有时也可设为1），在求三角函数值的过程中约去k．（3）正确应用勾股定理求第三边长．（4）应用锐角三角函数定义，求出三角函数值．典例引领1．在中，若三个内角，则等于（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了特殊角的三角函数值及三角形内角和．熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．先求出、的度数，即可计算得到结论．【详解】解：∵的度数之比为，，∴，，∴，，∴，故选：B．2．的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解本题的关键．【详解】解：，故答案为：3．如图是一个的方阵，其中每行、每列的两数和相等，则a可以是（

）

A． B． C．0 D．【答案】D【分析】此题考查了立方根，零指数幂，以及绝对值，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．利用立方根定义，零指数幂法则，以及绝对值的代数意义求出各自的值，判断即可．【详解】解：，，，根据题意得：，即，解得：，，可以是1．故选：D．4．的相反数是（）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了相反数的定义，特殊角的三角函数值．根据特殊角的三角函数值以及相反数的定义即可求解．【详解】解：∵，∴的相反数是，故选：B．5．角的正弦值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题的关键．特殊角三角函数值即得答案．【详解】角的正弦值为．故选：C．变式拓展6．如图，在中，已知，，，则．

【答案】8【分析】本题主要考查了利用三角函数解直角三角形以及利用含直角三角形求边长，过点A作交与点D，由已知条件利用三角函数求出，再利用含直角三角形直接求出．【详解】解：过点A作交与点D．

∵，，∴，∵，∴，故答案为：8．7．如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长相同，那么的正弦值为．

【答案】/【分析】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，求解特殊角的三角函数值，根据网格求出三角形的三边，得到是等腰直角三角形，再进行求解．【详解】解：由勾股定理可得，，，，∴，，∴是等腰直角三角形，且，，∴，故答案为：．8．在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是．【答案】【分析】本题考查特殊角的三角函数值、坐标与图形变化-轴对称，先根据特殊角的三角函数值得到已知点的坐标，再根据关于y轴对称的点的纵坐标相同，横坐标互为相反数求解即可．【详解】解：∵，，∴，∴点关于y轴对称的点的坐标是，故答案为：．9．和均为等腰直角三角形，按如图所示的方式放置，的顶点与斜边的中点重合，边与边相交于点，若，，，则的面积为．【答案】【分析】本题考查三角形面积，角，边等性质，相似三角形判定及性质．根据题意先判定，利用相似三角形性质得，继而得到，，的面积，继而得到本题答案．【详解】解：∵，∴，∴设，∵是等腰直角三角形，∴，是直角三角形，∴，则：，∵，∵为等腰直角三角形，∴，，∵的顶点与斜边的中点重合，∴，∵是的外角，∴，，∴，∴，∴，∴，即：，解得：，当时，（舍），当时，，且，故符合题意，则：，，∴，∴，∴的高，∴，∴的高，∴，∴，故答案为：．10．在等腰中，，高，则．【答案】或/或【分析】本题考查特殊角的三角函数值，分情况讨论是解题关键．分锐角三角形和钝角三角形两种情况，结合三角函数值分析计算．【详解】解：当为锐角时，如图∵，高，在中，∴当为钝角时，∵，高，在中，∴，则，综上，或，故答案为：或．11．在中，，则为三角形．【答案】等边/正【分析】本题考查了绝对值的非负性，特殊角的三角函数值，等边三角形的判定，根据特殊角的三角函数值求出，的值，进而可判断的形状．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴，即，∴为等边三角形．故答案为：等边．考向二解直角三角形的应用解此类题的一般方法：（1）构造直角三角形；（2）理清直角三角形的边角关系；（3）利用特殊角的三角函数值解答问题.典例引领1．如图，为了测量斜坡上的建筑物的高度，一个数学兴趣小组，站在山脚C点处测得建筑物底部B点的仰角为，然后沿水平方向走了6米到达点D，再沿坡度为的斜坡走了26米到达点E，继续向前走了25米到达了一个比较好的测量点F，在F点测得建筑物底部B的仰角为，建筑物顶部A的仰角为（测量员身高与测角仪高度均忽略不计，且A、B、C、D、E、F在同一平面内）．(1)求点F到山脚C的水平距离；(2)求建筑物的的高度；（精确到，参考数据，，，，）【答案】(1)55米(2)米【分析】（1）过点D作，垂足为G，过点C作，垂足为F，根据题意可得米，，先由斜坡的坡度为，设米，米，从而利用勾股定理求出，再根据米，求出x的值，从而求出，的长，进行计算即可解答；（2）延长交的延长线于点M，延长交的延长线于点N，根据题意可得米，，先米，从而表示出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义表示出的长，从而表示出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义，列出关于x的方程，即可求出x的值，从而求出，的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答．【详解】（1）解：如图，过点D作，垂足为G，过点C作，垂足为F，则米，，∵斜坡DE的坡度为，∴，∴设米，米，∴（米），∵米，∴，∴，∴（米），（米），∵米，∴米），∴点F到山脚C的水平距离为55米；（2）延长交的延长线于点M，延长交的延长线于点N，则米，，设米，∴米，在中，，∴（米），∴米，在中，，∴，∴，经检验：是原方程的根，∴米，米，在中，，∴（米），∴（米），∴建筑物的的高度为米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．2．如图，大厅的天花板上挂有一盏吊灯，测量人员从点处测得吊灯顶端的仰角为，吊灯底端的仰角为，从点沿水平方向前进6米到达点，测得吊灯底端的仰角为，求吊灯的长度．(结果保留根号，参考数据：，，）

【答案】【分析】延长与的延长线交于点，在、中，根据锐角三角函数，求出、的长，即可求解，本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是：连接辅助线，根据锐角三角函数求出边长．【详解】解：延长与的延长线交于点，

，，，，，在中，，，，在中，，，故答案为：．3．如图，为了测得某建筑物的高度，在C处用高为1米的测角仪，测得该建筑物顶端A的仰角为，再向建筑物方向前进80米，又测得该建筑物顶端A的仰角为．求该建筑物的高度．（结果保留根号）【答案】该建筑物的高度为米【分析】本题考查了解直角三角形的应用；设，则，根据等腰直角三角形的判定和性质求出，再在中，根据列式求出x，进而可得答案．【详解】解：设，则，，，，，在中，，解得：，∴米，答：该建筑物的高度为米．4．七中育才学校正在举行运动会，某同学想用无人机记录下运动会的盛况，如图，当无人机到达离地面高度为米的A处时，仪器显示正前方的教学楼顶部B的仰角是，底部C的俯角是，求教学楼的高度．（参考数据：，，，，结果精确到米）

【答案】米【分析】本题考查解直角三角解决仰俯角问题，过A作，根据求出，结合即可得到答案；【详解】解：过A作，由题意可得，

，∵，∴（米），∵，∴（米），∴（米）．5．鹤壁市新世纪广场，是鹤壁市为了打造“火焰般的活力，钻石般的晶莹，田园般的美丽”的城市品牌，聘请清华大学设计建造的高起点、高品味的大型综合性广场．其中，钟塔是广场的主题，也是鹤壁市新区城市的标志性建筑，他默默的陪伴着鹤壁人民走过了20多年的岁月．如图所示，小明在钟塔一侧的水平面上的处测得塔顶的仰角为，在某建筑物顶部处，又测得塔顶的仰角为，已知建筑物的总高度为米，水平距离的长度为10米，试求钟塔的高度．（结果精确到1米，参考数据：）【答案】钟塔的高度约为【分析】本题考查了解直角三角形的应用；过点作于点，证明四边形是矩形，求出，，然后在中，根据列式计算即可．【详解】解：过点作于点，则，设，，四边形是矩形．，在中，，，，，在中，，，，解得，答：钟塔的高度约为．变式拓展6．如图是一座人行天桥的引桥部分的示意图，上桥通道由两段互相平行并且与地面成角的楼梯和一段水平平台构成．已知天桥高度米，引桥水平跨度米．（参考数据：取）(1)求水平平台的长度；(2)若与地面垂直的平台立柱的高度为3米，求两段楼梯的长度之比．【答案】(1)水平平台的长度约为1.8米(2)两段楼梯的长度之比为【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，平行四边形的判定，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．（1）延长交于点F，过点E作，垂足为G，由题意得：，从而可得，四边形是平行四边形，进而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，即可解答；（2）根据题意可得：米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，进行计算即可解答．【详解】（1）解：延长交于点F，过点E作，垂足为G，由题意得：，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∴，在中，米，∴（米），∵米，∴（米），∴水平平台的长度约为1.8米；（2）解：由题意得：米，在中，（米），∴米，在中，米，∴（米），∴（米），∴两段楼梯的长度之比为．7．如图，我国某边防哨所树立了“祖国在我心中”建筑物，它的横截面为四边形．其中，，建筑物顶上有一旗杆，士兵小明站在D处，由E点观察到旗杆顶部A的仰角为，底部B的仰角为，已知旗杆米，米．求建筑物的高度（结果精确到0.1米，参考数据：，）．【答案】11.8米【分析】本题考查了解直角三角形的应用，把实际问题转化为解直角三角形问题，过点作千点，设，则，进而利用即可得出答案；【详解】解：过点作千点，设，，，，在中，，，解得，即（米）．答：建筑物的高度约为11.8米．8．如图，一艘渔船位于小岛M的北偏东方向、距离小岛180海里的A处，渔船从A处沿正南方向航行一段距离后，到达位于小岛南偏东方向的B处．(1)求渔船从A处到B处的航行过程中，与小岛M之间的最小距离（结果用根号表示）；(2)求的长（结果精确到1海里，参考数据：，，）．【答案】(1)海里(2)200海里【分析】本题主要考查解直角三角形和方位角的应用，过点M作于点D，根据题意可知，结合余弦定义可求得即为所求；分别在直角三角形中求得和，利用即可求得答案．【详解】（1）解：过点M作于点D，如图，根据题意可知，∵海里，∴海里．故小岛M之间的最小距离为海里．（2）在中，海里．在中，∴，∴(海里)，则(海里)，故AB的长为200海里．9．如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼的高度进行测量，先测得居民楼与之间的距离为，后站在M点处测得居民楼的顶端D的仰角为，居民楼的顶端B的仰角为，已知居民楼的高度为，小莹的观测点N距地面．求居民楼的高度（精确到）．（参考数据：，，）．【答案】30米【分析】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，过点N作交于点E，交于点F，可得，，再根据解直角三角形可得，推出、的长，进而可得的高度．【详解】解：过点N作交于点E，交于点F