2025年高考数学一轮复习：指数与指数函数（八大题型）讲义（原卷版）

第04讲指数与指数函数

目录

01考情透视•目标导航............................................................2

02知识导图•思维引航............................................................3

03考点突破•题型探究............................................................4

知识点1：指数及指数运算.......................................................................4

知识点2:指数函数.............................................................................5

解题方法总结...................................................................................5

题型一：指数鬲的运算..........................................................................6

题型二：指数函数的图象及应用..................................................................6

题型三：指数函数过定点问题....................................................................8

题型四：比较指数式的大小......................................................................8

题型五：解指数方程或不等式....................................................................9

题型六：指数函数的最值与值域问题..............................................................9

题型七：指数函数中的恒成立问题...............................................................10

题型八：指数函数的综合问题...................................................................12

04真题练习•命题洞见...........................................................13

05课本典例•高考素材...........................................................14

06易错分析•答题模板...........................................................15

答题模板1:指数型复合函数的值域问题..........................................................15

答题模板2：指数型复合函数的单调问题..........................................................16

考情透视.目标导航

考点要求考题统计考情分析

从近五年的高考情况来看，指数运算

2023年新高考1卷第4题，

与指数函数是高考的一个重点也是一个基

5分

本点，常与幕函数'二次函数、对数函

(1)指数幕的运算性质2023年乙卷第4题，5分

数、三角函数综合，考查数值大小的比较

(2)指数函数的图像与性质2022年甲卷第12题，5分

和函数方程问题.在利用指数函数的图像

2020年新高考II卷第11

与性质应用上，体现了逻辑推理与数学运

题，5分

算素养.

复习目标：

(1)理解有理数指数幕的含义，了解实数指数幕的意义，掌握指数幕的运算性质.

(2)通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.

(3)理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用.

「（根式的定义］（般地，如果x"=a,那么x叫做。的〃次方根，其中记丽）

当〃为奇数时,正数的〃次方根是一个正数，负数的〃次方根是一个负薪二）

Y根式的性质

当〃为偶数时，止数的〃次方根有两个，它们互为相反数.

指数是显运算（）中的一个参数，。为底数，〃为指数,

一（指数的概念/“=0

指数位于底数的右上角，幕运算表示指数个底数相乘.

指数及指数运算），（正整数指数鬲）

一（零指数厚）

Y有理数指数用的分类

Y负整数指数幕）

〔｛o的正分数指数幕等于0,0的负分数指数幕没有意义.

mnm

aa=a\a>^trn,iieQ)

<⑷）”=「（心0,肛〃£心

1（有理数指数幕的慢质）一

(ab)n=ambm(a>Q,b>Q,meQ)

=若(。>0,〃1,〃£2))

指数函数的概念—（2.般地，函数丁=叫。>0,比"1）叫做指数函数

指数与指数函数

(1。)

1

指数函数的图五>

*1。）

O1X

域七值域（0,+8）

a°=1,即时"0j，=1，图象都经过（0,1）点

即\=1时等于底数。

指数函数的性质当0<0<1时”v<0时,a、>l;x>0时,0<丁<1

当°>1时,x<0时时,a、>l

当0<a<l时，在定义域上是单调减函数

当0>1时，在定义域上是单调增函数

v________________/

既不是奇函数，也不是偶函数

老占突硒・力理悭宙

知识固本

知识点1:指数及指数运算

(1)根式的定义：

一般地，如果尤"=q，那么x叫做。的〃次方根，其中(〃>1,〃eN*)，记为赤，〃称为根指数，a

称为根底数.

(2)根式的性质：

当〃为奇数时，正数的〃次方根是一个正数，负数的〃次方根是一个负数.

当〃为偶数时，正数的"次方根有两个，它们互为相反数.

(3)指数的概念：指数是幕运算罐①片0)中的一个参数，〃为底数，〃为指数，指数位于底数的右上角,

塞运算表示指数个底数相乘.

(4)有理数指数幕的分类

“个

①正整数指数幕“-,“*、；②零指数累=1(a/0);

a=a-a-a--a(nE.N)\7

③负整数指数幕=』(awO，〃eN*)；④0的正分数指数幕等于0，0的负分数指数幕没有意义.

(5)有理数指数塞的性质

①a%"=6r+"(a>0，加，②(屋)〃二罐机，〃wQ)；

®{ab)m=ambm(a>0b>0»meg);^=〃?(〃>()，m9〃sQ)・

【诊断自测】化简下列各式:

2

(1、-2.5

(1)0.064)

\7

小03b2

(2)(11V_11(a>0,b>0=_____

aI分

I)

(3设£+/=3，贝1JX+%T的值为

知识点2：指数函数

y二屋

0<<2<1a>\

图

1:上）

象

0|1*o\

性①定义域尺，值域（。，+8）

质②a°=l,即时x=0,y=l,图象都经过（0，1）点

③优=a,即x=l时，V等于底数。

④在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数

⑤x<0时，ax>1;x>0时，xvO时，0<优<1;%>0时，ax>1

0<，v1

⑥既不是奇函数，也不是偶函数

【诊断自测】若指数函数/。）=优（〃>0且。31）在［-1,1］上的最大值为2,则々=

解题方法总结

1、指数函数常用技巧

（1）当底数大小不定时，必须分和两种情形讨论.

⑵当0<”1时，尤f+oo，y-0；4的值越小，图象越靠近，轴，递减的速度越快.

当。>1时工一+/，丫一0；。的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快.

（3）指数函数y=优与y=（-）A的图象关于V轴对称.

a

题型一：指数幕的运算

Y1丫2

【典例1-1】己知，,=a(。*0且“力：),则41=___.(结果用。表示)

x-+x+l2x4+x2+l

2

【典例1-2](1)楣「+(0.1尸+(2印3-100兀。；

11

(2)已知x+y=ll,xy=9,求无？+*的值.

d+y2

【方法技巧】

(1)灵活运用指数的运算性质进行指数运算，根式形式需要化为分数指数基形式去求解.

(2)运算的最终结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有负指数又有分母.

【变式1-1](多选题)已知a+a-=3,下列结论正确的是()

A.a2+a2=7B.a3+a3=18

1_1

c-辰+”=±百

【变式1-2】已知函数〃x)=f^(xeR).

⑴求证/(x)+/(l-x)为定值；

⑵若数列｛%｝的通项公式为(加为正整数，«=1,2,L,加)，求数列｛%｝的前加项和S.；

题型二：指数函数的图象及应用

【典例2』】已知a>°且“八则函数广噫(川)与广5+1在同一直角坐标系中的图象大致是

A.B.

【典例2-2］（2024•黑龙江•二模）已知函数y=a+6的图象经过原点，且无限接近直线y=2,但

又不与该直线相交，则必=（）

A.-1B.-2C.-4D.-9

【方法技巧】

对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过伸缩、平移、对称等

变换得到，当。＞1时，指数函数丁=优的图像呈上升趋势；当0＜。＜1时，指数函数丁=优的图像呈下

降趋势.

【变式2-1］已知X］,%是方程2*+x=10,log2X+x=10的两个根，则%+々=

【变式2-2］（2024•高三•山西•期末）已知函数+6的图象经过坐标原点，且当x趋向于

正无穷大时，了（冷的图象无限接近于直线1=2,但又不与该直线相交，则。=

【变式2-3】直线＞=3。与函数＞=,+|-1|（“＞0且的图像有两个公共点，则”的取值范围是

【变式2-4］设方程勺+x-5=0的解为小巧，方程既:+2=0的解为尤3,尤4,则

题型三：指数函数过定点问题

【典例3-1]（2024•高三•河北•期末）已知函数》=优一2+3（°>0,且ab1）的图象恒过定点A,若点A在

21

直线如+几>=2上，其中相>0,〃〉0,则一+一的最小值为_____.

m3n

【典例3-2】函数〃力=优+1+2（a>0且"1）的图象恒过定点仙〃），则m+〃等于.

【方法技巧】

y=ax+m+n恒过定点（~m,"+1）.

【变式3-1】已知函数y=2a"2-3（a>0且"1）的图象恒过定点尸，则点尸的坐标为

【变式3-2]（2024•山东济宁•一模）已知函数且awl）的图象过定点A,且点A在直线

Q3

M+2孙=8（相>0,〃>0）上，贝I]-----------的最小值是

mn2m

【变式3-3】函数y=一2（a>0且awl）,无论“取何值，函数图像恒过一个定点，则定点坐标为

题型四：比较指数式的大小

【典例4-1】（2024•云南•二模）若q=2"-2,b=6T,c=21则（）

A.b>a>cB.c>a>bC.a>b>cD.a>c>b

【典例4-2】（2024•河南•模拟预测）若a,beR,则“a”堤"3。-3“>2〃-2。”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【方法技巧】

比较大小问题，常利用函数的单调性及中间值法.

21二

【变式4-1]（2024•辽宁•一模）设。=—,b=2—e3,c=l-e3则（）

3

A.a<b<cB.c<b<a

C.b<c<aD.a<c<b

【变式4-2］已知9"=8,加=10"-9,九=8£1-7,则（）

A.m>O>nB.m>n>0C.n>m>0D.n>O>m

3

【变式4-3］（2024•陕西•模拟预测）设。=0.9,6=sin—,c=e~°,9,则（）

4

A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.b<c<a

题型五：解指数方程或不等式

【典例5-1］（多选题）甲、乙两人解关于x的方程2，+力2-，+°=0,甲写错了常数b,得到的根为x=-2

17

或X=log21,乙写错了常数C,得到的根为x=0或％=1,则下列是原方程的根的是（）

A.x=—lB.x=lC.x=0D.x=2

【典例5-2］（2024•河北邯郸•一模）不等式10,-6,-3,发的解集为.

【方法技巧】

利用指数的运算性质解题.对于形如$3=6,afM>b,〃⑶<6的形式常用“化同底”转化，再利用

指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如瞪+3优+。=0或j+8优+施（0）的形式，可借

助换元法转化二次方程或二次不等式求解.

【变式5-1］不等式9*-4X3*M+27<0的解集为—.

（工）,（）的两个实数解，则%+%=—.

【变式5-2】若看巧为方程”a>l

9国+9巧

【变式5-3】已知士和％是方程9"-3，+2+3=0的两根，则------

+x2

题型六：指数函数的最值与值域问题

a

【典例6-1］（2024•高三•云南楚雄•期末）已知奇函数/（x）="+W在［-M］上的最大值为1，则

【典例6-2】(2024•高三•江苏镇江•开学考试)设函数〃x)=2，+(p-1>2一、是定义域为R的偶函数.

⑴求P的值；

⑵若g(x)=f(2x»2k-(2'-2一，)在[1,+8)上最小值为T,求左的值.

【方法技巧】

指数函数的最值与值域问题通常利用指数函数的单调性解决.

【变式6-1]已知函数〃力=，a>0,且“1,若函数在[0,2]上的最大值比最小值大联

\-x+a,x>\,2

则a的值为.

【变式6-2】已知函数〃力=加-2x+b(aw0)在x=l处取得最小值0.

(1)求。，匕的值；

⑵g(x)=/区，求函数y=g(2,-1),xe的最小值与最大值及取得最小值与最大值时对应的x直

X1

题型七：指数函数中的恒成立问题

【典例7-1】已知函数/。)=-彳2+3尤+5,g(x)=2'+a,若X/%e[0,2],川e[2,3],使得/(占卜8值)，则

实数。的取值范围是.

【典例7-2】(2024•高三•河北衡水•开学考试)已知函数=3>0)是奇函数，且/⑴=看

⑴求。，上的值；

⑵若Vxe[l,2],不等式〃2x)+时(力20恒成立，求加的取值范围.

【方法技巧】

已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：

(1)函数法：讨论参数范围，通常借助函数单调性求解；

(2)分离参数法：首先将参数分离，转化成求函数的最值或值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的

图象，再利用数形结合的方法来解决.

【变式7-1](2024•高三•山东枣庄•开学考试)已知函数/■(同=底9'-3，，若存在非零实数%,使得

=成立，则实数加的取值范围是.

【变式7-2](2024•高三•陕西商洛•期中)已知函数/(力=加-2依+b(a>0)在区间[0,3]上有最小值

2和最大值10.

⑴求。，6的值；

⑵设g(x)=//,若不等式g(2)+h2X"在xc[T0]上恒成立，求实数％的取值范围.

【变式7-3】已知定义在R上的函数了⑴满足：对任意都有/(x+y)=/(x)+/(y),且当尤>0时,

/(x)>0,于也")+/(4l+1-8x-2x)>0对任意xe[T2]恒成立，则实数k的取值范围是—.

【变式7-4】已知函数/(力=就+(1-机)](a>0,且。工1)是奇函数，且过点11，/.

(1)求实数相和a的值；

⑵设g(x)=log,[2^+20—/⑴](V*1),是否存在正实数使关于X的不等式g⑺<0对

xe[2,log25卜恒成立，若存在，求出/的值；若不存在，请说明理由.

题型八：指数函数的综合问题

——6x—5,x<0,

【典例8-1】已知函数〃x)=门丫，八若关于X的方程[〃尤)了+(2"-1)〃彳)+/-a=0有5个不

——1,x>0.

同的实数根，则。的取值范围为.

【典例8-2]若函数三(a,beR)是定义在R上的奇函数，且/(7侬2)+/(1-%)>〃0)对任意

xeR恒成立，则优的取值范围为.

【方法技巧】

指数函数常与其他函数形成复合函数问题，解题时要清楚复合的层次，外层是指数函数还是内层是指

数函数，其次如果涉及到定义域、值域、奇偶性、单调性等问题，则要按复合函数的性质规律求解.

【变式8-1】已知函数〃x)=e=er,则不等式的解集为.

【变式8-2](2024•高三•湖北•期中)已知/(力=屋”-2/是定义域为R的奇函数.

⑴函数g(x)=a2、+a0_2/(x),xe[0,2],求g(x)的最小值.

(2)是否存在几>0,使得对xe[-2,一日恒成立，若存在，求之的取值范围；若不存在，说明

理由.

【变式8-3]我们知道，函数y=/(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=/(x)为

奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y=/(x)的图象关于点尸(。⑼成中心对称图形的充要条件是函

数y=/(x+a)-人为奇函数.根据这一结论，解决下列问题.

2

已知函数〃x)=1T声.

(1)证明：函数/⑺的图象关于点(1,1)对称；

⑵若/(4)+“20-1)>2,求实数。的取值范围.

.a—1

【变式8・4】(2024•河南平顶山•模拟预测)已知函数/(%)=1———(。>0且awl)为定义在R上的奇

a+1

函数

(1)利用单调性的定义证明：函数〃盼在R上单调递增；

(2)若关于x的不等式/("£-D+/(2-777X)>0恒成立，求实数m的取值范围；

⑶若函数g(x)=妙(x)-3,有且仅有两个零点，求实数k的取值范围.

【变式8-5】已知函数y=/(%)的表达式为/(%)=9'-2a.3,+3.

⑴若a=l,xe[0,l],求函数y=f(x)的值域;

(2)当无e[-1,1]时，求函数y=f(x)的最小值/1(a)；

(3)对于(2)中的函数/z(“)，是否存在实数祖，〃，同时满足下列两个条件：(i)n>m>3；(ii)当”(。)的

定义域为[加,川，其值域为[〃/，1];若存在，求出孤〃的值；若不存在，请说明理由.

1.(2023年高考全国甲