江苏省南京市九中2025届高二上数学期末复习检测试题含解析

江苏省南京市九中2025届高二上数学期末复习检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数（为自然对数的底数），若的零点为，极值点为，则（）A. B.0C.1 D.22．已知是椭圆两个焦点，P在椭圆上，，且当时，的面积最大，则椭圆的标准方程为（）A. B.C. D.3．如图，已知，分别是椭圆的左、右焦点，现以为圆心作一个圆恰好经过椭圆的中心并且交椭圆于点，．若过点的直线是圆的切线，则椭圆的离心率为（）A. B.C. D.4．设等差数列的前n项和为，且，则（）A.64 B.72C.80 D.1445．在正方体中，E，F分别为AB，CD的中点，则与平面所成的角的正弦值为（）A. B.C. D.6．已知曲线与直线总有公共点，则m的取值范围是（）A. B.C. D.7．若圆与直线相切，则实数的值为（）A. B.或3C. D.或8．已知命题p：函数在（0，1）内恰有一个零点；命题q：函数在上是减函数，若p且为真命题，则实数的取值范围是A. B.2C.1<≤2 D.≤l或>29．设等差数列的前项和为，已知，，则的公差为（）A.2 B.3C.4 D.510．函数图象的一个对称中心为（）A. B.C. D.11．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S7＝28，则a4＝（）A.4 B.7C.8 D.1412．将直线绕着原点逆时针旋转，得到新直线的斜率是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．圆锥的母线长为2，母线所在直线与圆锥的轴所成角为，则该圆锥的侧面积大小为____________.(结果保留)14．已知抛物线：上有两动点，，且，则线段的中点到轴距离的最小值是___________.15．已知春季里，甲地每天下雨的概率为，乙地每天下雨的概率大于0，且甲、乙两地下雨相互独立，则春季的一天里，已知乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率为___________.16．已知数列满足，，则______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知直线过点（1）若直线与直线垂直，求直线的方程；（2）若直线在两坐标轴的截距相等，求直线的方程18．（12分）已知数列的前n项和为，且（1）求证：数列为等比数列；（2）记，求数列的前n项和为19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别a，b，c．已知2bcosB=ccosA+acosC（1）求B；（2）若a=2，，设D为CB延长线上一点，且AD⊥AC，求线段BD的长20．（12分）有一种鱼的身体吸收汞，当这种鱼身体中的汞含量超过其体重的1.00ppm（即百万分之一）时，人食用它，就会对人体产生危害．现从一批该鱼中随机选出30条鱼，检验鱼体中的汞含量与其体重的比值（单位：ppm），数据统计如下：0.070.240.390.540.610.660.730.820.820.820.870.910.950.980.981.021.021.081.141.201.201.261.291.311.371.401.441.581.621.68（1）求上述数据的众数，并估计这批鱼该项数据的80%分位数；（2）有A，B两个水池，两水池之间有8个完全相同的小孔联通，所有的小孔均在水下，且可以同时通过2条鱼①将其中汞的含量最低的2条鱼分别放入A水池和B水池中，若这2条鱼的游动相互独立，均有的概率进入另一水池且不再游回，求这两条鱼最终在同一水池的概率；②将其中汞的含量最低的2条鱼都先放入A水池中，若这2条鱼均会独立地且等可能地从其中任意一个小孔由A水池进入B水池且不再游回A水池，求这两条鱼由不同小孔进入B水池的概率21．（12分）已知命题p：实数x满足（其中）；命题q：实数x满足（1）若，为真命题，求实数x的取值范围；（2）若p是q的充分条件，求实数的取值范围22．（10分）从甲、乙两名学生中选拔一人参加射击比赛，现对他们的射击水平进行测试，两人在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数如下：甲：7，8，6，8，6，5，9，10，7，乙：9，5，7，8，7，6，8，6，7，（1）求，，，（2）你认为应该选哪名学生参加比赛？为什么？

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】令可求得其零点，即的值，再利用导数可求得其极值点，即的值，从而可得答案【详解】解：，当时，，即，解得；当时，恒成立，的零点为又当时，为增函数，故在，上无极值点；当时，，，当时，，当时，，时，取到极小值，即的极值点，故选：C【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，考查函数的零点，考查分段函数的应用，突出分析运算能力的考查，属于中档题2、A【解析】由题意知c＝3，当△F1PF2的面积最大时，点P与椭圆在y轴上的顶点重合，即可解出【详解】由题意知c＝3，当△F1PF2的面积最大时，点P与椭圆在y轴上的顶点重合，∵时，△F1PF2的面积最大，∴a＝＝，b＝∴椭圆的标准方程为故选：A3、A【解析】由切线的性质，可得，，再结合椭圆定义，即得解【详解】因为过点的直线圆的切线，，，所以由椭圆定义可得，可得椭圆的离心率故选：A4、B【解析】利用等差数列下标和性质，求得，再用等差数列前项和公式即可求解.【详解】根据等差数列的下标和性质，，解得，.故选：B.5、B【解析】作出线面角构造三角形直接求解，建立空间直角坐标系用向量法求解.【详解】设正方体棱长为2，、F分别为AB、CD的中点，由正方体性质知平面，所以平面平面，在平面作，则平面，因为，所以即为所求角，所以.故选：B6、D【解析】对曲线化简可知曲线表示以点为圆心，2为半径的圆的下半部分，对直线方程化简可得直线过定点，画出图形，由图可知，，然后求出直线的斜率即可【详解】由，得，因为，所以曲线表示以点为圆心，2为半径的圆的下半部分，由，得，所以，得，所以直线过定点，如图所示设曲线与轴的两个交点分别为，直线过定点，为曲线上一动点，根据图可知，若曲线与直线总有公共点，则，得，设直线为，则，解得，或，所以，所以，所以，故选：D7、D【解析】利用圆心到直线的距离等于半径可得答案.【详解】若圆与直线相切，则到直线的距离为，所以，解得，或.故选：D.8、C【解析】命题p为真时：；命题q为真时：，因为p且为真命题，所以命题p为真，命题q为假，即，选C考点：命题真假9、B【解析】由以及等差数列的性质，可得的值，再结合即可求出公差.【详解】解：，得，，又，两式相减得，则.故选：B.10、D【解析】要求函数图象的一个对称中心的坐标,关键是求函数时的的值;令,根据余弦函数图象性质可得,此时可求出,然后对进行取值,进而结合选项即可得到答案.【详解】解:令,则解得,即,图象的对称中心为,令,即可得到图象的一个对称中心为故选:D【点睛】本题考查三角函数的对称中心,正弦函数的对称中心为,余弦函数的对称中心为.11、A【解析】由等差数列的性质可知，再代入等差数列的前项和公式求解.【详解】数列{an}是等差数列，，那么，所以.故选：A.【点睛】本题考查等差数列的性质和前项和，属于基础题型.12、B【解析】由题意知直线的斜率为，设其倾斜角为，将直线绕着原点逆时针旋转，得到新直线的斜率为，化简求值即可得到答案.【详解】由知斜率为，设其倾斜角为，则，将直线绕着原点逆时针旋转，则故新直线的斜率是.故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由题设知：圆锥的轴截面为等边三角形，进而求圆锥的底面周长，由扇形面积公式求圆锥的侧面积大小.【详解】由题设，圆锥的轴截面为等边三角形，又圆锥的母线长为2，∴底面半径为1，则底面周长为，∴圆锥的侧面积大小为.故答案为：.14、2【解析】设抛物线的焦点为，由，结合抛物线的定义可得线段的中点到轴距离的最小值.【详解】设抛物线的焦点为，点在抛物线的准线上的投影为，点在直线上的投影为，线段的中点为，点到轴的距离为，则,∴，当且仅当即三点共线时等号成立，∴线段的中点到轴距离的最小值是2，故答案为：2.15、##0.5【解析】根据条件概率求概率的方法即可求得答案.【详解】设A表示“甲地每天下雨”，B表示“乙地每天下雨”，乙地每天下雨的概率为p，则，因为甲乙两地下雨相互独立，所以，于是在乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率为.故答案为：.16、1023【解析】由数列递推公式求特定项，依次求下去即可解决.【详解】数列中，则，，，，，，故答案为：1023三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）或【解析】(1)由两条直线垂直可设直线的方程为，将点的坐标代入计算即可；(2)当直线过原点时，根据直线的点斜式方程即可得出结果；当直线不过原点时可设直线的方程为，将点的坐标代入计算即可.【小问1详解】解：因为直线与直线垂直所以，设直线的方程为，因为直线过点，所以，解得，所以直线的方程为【小问2详解】解：当直线过原点时，斜率为，由点斜式求得直线的方程是，即当直线不过原点时，设直线的方程为，把点代入方程得，所以直线的方程是综上，所求直线的方程为或18、（1）证明见解析;（2）.【解析】（1）由已知得，当时，两式作差整理得，根据等比数列的定义可得证；（2）由（1）求得，，再运用错位相减法可求得答案.【小问1详解】证明：因为，……①，所以当时，，当时……②，则①-②可得，所以，因为，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列【小问2详解】解：由（1）知，即，因为所以，则……①，①得……②，①-②得，所以.19、（1）（2）【解析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得，由此求得.（2）利用正弦定理求得，由列方程来求得.【小问1详解】，由正弦定理得，因为，所以，.【小问2详解】由（1）知，，由正弦定理：得，，或（舍去），，，所以由得，，20、（1）众数为0.82，8％分位数约为1.34（2）①；②【解析】（1）根据题中表格数据即可求得答案；（2）①两条鱼有可能均在A水池也可能都在B水池，故可根据互斥事件的概率结合相互独立事件的概率计算求得答案；②先求出这两条鱼由同一个小孔进入B水池的概率，然后根据对立事件的概率计算方法，求得答案.【小问1详解】由题意知，数据的众数为0.82，估计这批鱼该项数据的80％分位数约为【小问2详解】①记“两鱼最终均在A水池”为事件A，则，记“两鱼最终均在B水池”为事件B，则，∵事件A与事件B互斥，∴两条鱼最终在同一水池的概率为②记“两鱼同时从第一个小孔通过”为事件，“两鱼同时从第二个小孔通过”为事件，…依次类推，而两鱼的游动独立，∴，记“两条鱼由不同小孔进入B水池”为事件C，则C与对立，又由事件，事件