2024-2025学年沪科版九年级数学上册复习：动点的函数图象问题（压轴题）解析版

动点的函数图象问题

♦思想方法

I/

数形结合思想：所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学

问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函数与图象

的对应关系；（3所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。

♦典例分析

【典例1］如图，在aABC中，^ACB=90°,AABC=60°,BD=2,CD14B于点D,点E、F、G分别是

边CD、CA,4。的中点，连接EF、FG,动点M从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向点4方向运动（点

M运动到4B的中点时停止）；过点M作直线MPIIBC与线段4C交于点P,以PM为斜边作Rt△PMN,点N在4B

上，设运动的时间为t（s）,Rt^PMN与矩形DEFG重叠部分的面积为S,贝口与t之间的函数关系图象大致为

（）

本题考查几何动点问题的函数图象，正确分段并分析是解题的关键.根据题意先分段，分为0WtW0.5,

0.5<t<1,1<t<2三段，分别列出三段的函数解析式便可解决，本题也可只列出。<t<0.5,1<t<2

两段，用排除法解决.

【解题过程】

解：分析平移过程,

①从开始出发至PM与点E重合，由题意可知0WtW0.5,如图,

过点M作MT于点T,

・4=60。，CD1AB,

：.BC=2BD=4,CD=遮BD=2收BT==t,

•・•乙4cB=90°,MP||BC,

=乙MPA=90°,

・•・四边形CTM尸为矩形，

.-.PM=CT=BC—BT=4—t,

-Z.PMN=^B=60°,PN1AB,

…rPM4-t

；.MN=—

:・DN=MN-MD=MN-BD+BM=^,

・・・E为CD中点,

・•.DE=牛=V3,

；.S=DE,DNT

・•.S与力的函数关系是正比例函数;

②当0.5<t<1,即从PM与E重合至点M与点。重合，如图,

BMDN

由①可得QN=ED=g,DM=2—2t,DN=|t,S矩形=考

•・ZPMN==60°,CDLAB,

:.SD=V3MD=2V3—2V3t,

：.ES—ED—SD—2y[3t—V3?

；・ER=-=2t—1,

・.,S=S矩形EDMQ_SAERS=—|(2V3t—V3)(2t—1)=+写£一浮

此函数图象是开口向下的二次函数；

③当l<tW2,即从点M与点。重合至点M到达终点，如图，

BDMNGA

由①可得DN=|t,MN=?,

■:AD=近CD=6,DG=^AD=3,

3

・・.NG=DG-DN=3--t,

••.QF=NG=3-|3

••,PQ专巡-当，

,•・收=51=1一3，

.=(HQ+MN)XQN=(l-lf+i^)xV3=_乌+3V3

・•.s与t的函数关系是一次函数，

综上，只有选项A的图象符合，

故选：A.

♦学霸必刷

1.(2024・四川广元・二模)如图，在矩形ABCD中，AB=4cm,AD=2cm,动点M自点/出发沿AB方向以

每秒1cm的速度向点B运动，同时动点N自点/出发沿折线2D—DC—CB以每秒2cm的速度运动，到达点8

时运动同时停止.设aAMN的面积为y(cm2),运动时间为无(秒)，则下列图象中能大致反映y与x之间

的函数关系的是()

DC

AM―►B

【思路点拨】

本题考查动点问题的函数图象问题；根据自变量不同的取值范围得到相应的函数关系式是解决本题的关

键.根据题意，分三段(0<x<l,lWx<3,3<%<4)分别求解y与x的解析式，从而求解.

【解题过程】

解：当0<x<l时，M、N分别在线段48、AD±,

此时AM=xcm,AN=2%cm,

1

2

y=S^AMN=-xAMxAN=x,为二次函数，图象为开口向上的抛物线;

当1W久<3时，M,N分别在线段48、CD上，

DNC

此时ZM=xcm,△4MN底边力M上的高为2D=2cm,

1

X4MXXO-X

y—^AAMN2-为一次函数,图象为直线;

当3Wx<4时，M、N分别在线段48、BC上,

此时AM=xcm,△4MN底边AM上的高为BN=(8-2%)cm,

y=S/^MN=Jx4MxBN=1r（8—2无）=一万2+4%,为二次函数，图象为开口向下的抛物线；

结合选项，只有A选项符合题意，

故选：A.

2.（22-23九年级上•安徽合肥・期中）如图，在△ABC中，NC=135。，AC=BC=242,P为BC边上一动

点，PQII4B交力C于点Q,连接BQ,设PB=x,SABPQ=y,则能表示y与％之间的函数关系的图象大致是

（）

过点Q作QE1BC交延长线于点E,根据S^BPQ=y=•BP列出解析式再判断即可.

【解题过程】

解：如图，过点Q作QE1BC交BC延长线于点E,

E

「、义

AB

■■■AC=BC=2V2

：.Z-A=Z-ABC

•••PQII4B,

：.Z-CQP=乙A,乙CPQ=Z-ABC

"CQP=Z.CPQ

•••CQ=CP—2V2—x.

-AACB=135°

:ZECQ=45°

在RtZkCEQ中，Z-ECQ=45°,

QE=*CQ=¥（2&_x）=2_孝居

y=-BP=夫（2---x）--?/+x=—-V2）2+享

.•.当x=鱼时,y最大值=¥，

故选：c.

3.（2024•河北石家庄•二模）如图所示，aaBC和△DEF均为边长为4的等边三角形，点力从点。运动到点

E的过程中，48和。尸相交于点G,2C和第相交于点H,（S4BGF+SVCH）为纵坐标门点2移动的距离为横坐

标x,则y与x关系的图象大致为（）

,y.y

C.°\XD.°\X

【思路点拨】

如图，过G作GK1BC于K,过H作HT1BC于T,证明四边形4CFD为平行四边形，可得力D=CF=%,

BF=4-%,求解CT=FT=*TH=、FH2—FT2=争,同理可得：6"费4—%),再利用面积公式

建立函数关系式即可判断.

【解题过程】

解：如图，过G作GKLBC于K,过H作HT18C于T,

DAE

••・四边形4CFD为平行四边形，

：.AD=CF=x,

：.BF=4—%,

・・・△4BC和△OEF均为边长为4的等边三角形，AD\\CFf

.・2。=乙DFB=60°,而48=60°,

.•.△BGF为等边三角形，

同理：为等边三角形，

-,-HT1BC,

:.CT=FT=3，TH=VFH2-FT2=与c,

同理可得：GK=^(4—x),

■-y=%争+1(4-X)-苧(4-x)

=争2_2V3X+4V3,

故选B

4.（2023•辽宁铁岭•模拟预测）如图，矩形4BCD中，AB=8cm,AD=12cm,AC与BD交于点0,M是BC

的中点.P、Q两点沿着B-CTD方向分别从点B、点M同时出发，并都以lcm/s的速度运动，当点Q到达。点

时，两点同时停止运动.在P、Q两点运动的过程中，与△OPQ的面积随时间t变化的图象最接近的是（）

【思路点拨】

本题考查了动点问题函数图象.根据矩形的性质求出点。到的距离等于4,至北。的距离等于6,求出点Q

到达点C的时间为6s,点P到达点C的时间为12s,点Q到达点。的时间为14s,然后分①0WtW6时，点P、

Q都在BC上，表示出PQ,然后根据三角形的面积公式列式计算即可；②6<tW12时，点P在BC上，点Q在

CD上，表示出CP、CQ,然后根据SAOPQ=SACOP+SACOQ—S"CQ列式整理即可得解；③12<tW14时，表

示出PQ,然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解.

【解题过程】

解：•.•矩形力BCD中，AB=8cm,AD=12cm,4c与BD交于点0,

•••点。到BC的距离==4,至此。的距离=^AD=6,

•••点M是BC的中点，

•••CM=|fiC=6,

点Q到达点C的时间为6+1=6s,

点P到达点C的时间为12+1=12s,

点Q到达点。的时间为(6+8)+1=14s,

①0WtW6时，点P、Q都在BC上，PQ=6,

△OPQ的面积=：x6x4=12；

②6<tW12时，点P在BC上，点Q在CD上，

CP=12-t,CQ=t-6,

SROPQ—SACOP+SRCOQ—

=5X(12—t)x4+-x(t—6)x6——x(12—t)x(t—6),

=1t2-8t+42,

=1(t-8)2+10,

@12<t<14时，PQ=6,

△。「<2的面积=《*6*6=18；

纵观各选项，只有B选项图形符合.

故选：B.

5.(2023•江苏南通•模拟预测)如图，在矩形2BCD中，4B=4,BC=6,E为4B中点，动点P从点B开始

沿8C方向运动到点C停止，动点Q从点C开始沿CD-ZM方向运动，与点P同时出发，同时停止；这两点的运

动速度均为每秒1个单位；若设他们的运动时间为x(s),△EPQ的面积为y,贝的与久之间的函数关系的图

像大致是()

___________________D

V''''''''

BPC

【思路点拨】

先求出点P在BC上运动是时间为6秒，点。在CD上运动是时间为4秒，再根据中点的定义可得

AE^BE^^AB,然后分①点0在CD上时，表示出BP、CP、CQ,再根据△EPQ的面积为y=S裁施CQE

SABPE—S^PCQ，列式整理即可得解；②点。在4。上时,表示出BP、AQ,再根据△EPQ的面积为、=

S梯形ABPQ—S&BPE-SAAEQ，列式整理即可得解，再根据函数解析式确定出函数图象即可.

【解题过程】

解：•・•点P、Q的速度均为每秒1个单位，

•••点尸在BC上运动的时间为6+1=6（秒），点0在CD上运动的时间为4+1=4（秒），

■■■E为中点，

.-.AE=BE=，B="4=2,

①如图1,点0在CD上时，0WxW4,

则BP=x,CP=6—x,CQ=%,

・•.△EPQ的面积为y=S梯形BCQE一S2PE一SNCQ，

111

=—(2+%)x6——x2%——(6—%)•%

1

=—9—x+6

111

=2(K-1)2Q+彳

②如图2,点。在4。上时，4<x<6,

AQD

贝ijBP=x,AQ=6+4—%=10—%,

△EPQ的面积为y=S梯形ABPQ—S^BPE—

iii

=-(%+10—x)x4--x2%--(10—%)-2=10,

函数图象为对称轴为直线1=1的抛物线的一部分加一条线段，只有A选项符合.

故选：A.

6.(2024・河南开封•一模)如图1,在△ABC中，zB=60°,点。从点5出发，沿运动，速度为1

cm/s.点P在折线BZC上，且尸。于点D点。运动2s时，点P与点力重合.△尸8。的面积S(cm2)与

运动时间t(s)的函数关系图象如图2所示，£是函数图象的最高点.当S(cm2)取最大值时，尸。的长为()

图1图2

A.2V3cmB.(1+V3)cmC.(1+2V3)cmD.(2+2V3)cm

【思路点拨】

本题考查动点函数图象，二次函数图象性质，三角形面积.本题属二次函数与几何综合题目.

先根据点。运动2s时，点尸与点/重合.从而求得产〉=7PB2一BD2=2g(cm),再由函数图象求得

BC=(2+2V3)X1=(24-2V3)cm,从而求得DC=BC—BD=2+2V3—2=2V3(cm),得出PO=DC,

然后根据由题图2点、E的位置可知，点尸在ZC上时，SMBZ)有最大值.所以当2<t<2+2旧时，点尸在/C

边上，此时8。=tx1=t(cm),PD=DC=(2+2V3—t)cm,根据三角形面积公式求得=一万

[t-(l+V3)]2+2+V3,最后根据二次函数的性质求解即可.

【解题过程】

解：由题意知，点。运动2s时，点尸，。的位置如图1所示.

P⑷

图1

此时，在Rt^PBD中，BD=2cm,NB=60。，PD1BC,

：.PB=2BD=4(cm),

：.PD=7PB2-BD2=2V3(cm).

由函数图象得BC=(2+2V3)x1=(2+2V3)cm,

-'-DC=BC—BD=2+2V3—2=2V3(cm),

.-.PD=DC.

由题图2点K的位置可知，点尸在AC上时，S^PBD有最大值.

当2WCW2+2机时，点尸在AC边上，如图2,

图2

此时BQ=tX1=t(cm),PD=DC=(2+2V3—t)cm,

:S&pBD=gxBDxPD=gxtx(2+2V3-t)=-|t2+(1+V3)t.

1r-12

•'△PBD=__(1+v3)J+2+V3,

1

又•••一5<0,

.•.当t=1+遮时，S»BO的值最大，

此时PD=CD=2+2V3-(1+V3)=(1+V3)cm.

故选：B.

7.(2024•安徽•一模)如图，在四边形A8CD中，乙4=60。，CDLAD,^BCD=90°,AB=BC=4,动点

P,Q同时从4点出发，点Q以每秒2个单位长度沿折线A—B—C向终点C运动；点P以每秒1个单位长度沿线

段4。向终点。运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动.设运动时间为x秒，△APQ的面积为y

个平方单位，则y随x变化的函数图象大致为（）

分当0Wx<2时，点Q在上和当2WXS4时，点Q在8c上，根据三角形的面积公式即可得到结论.

【解题过程】

解：过Q作QNLAD于N,当0Wx<2时，点Q在4B上，

■.■/.A=60°,

"AQN=90°-60°=30°,

.-.AN=^AQ=|X2%=%,

■.QN=JAQ2—AN2=V3x,

：.y=^xAPxNQ=^xxxV3x=

当2WxW4时，点Q在8c上，过点B作BM14D于点M,

■:BMLAD,Z.A=60°,

：.Z.ABM=30°,

：.AM=^AB=|x4=2,

：.BM=7AB2-4AP=2V3,

■.■CD1AD,QNLAD,

：.QN||CD,

:/BQN=4BCD=90°,

■■BM1AD,CD1AD,

二.四边形8MNQ是矩形，

.-.QN=BM=2V3,

y=-QN=^xx2V3=V3x,

综上所述，当0W"<2时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，当2WXW4时，函数图象是直线的一

部分，

故选：D.

8.（23-24九年级上•浙江温州•期末）某兴趣小组开展综合实践活动：在以△ABC中，NC=90。，CD=近

,D为AC上一点,动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿CrB-a匀速运动，到达点2时

停止，以DP为边作正方形DPEF,设点P的运动时间为ts,正方形DPEF的面积为S,当点P由点C运动到点4

时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，若存在3个时刻q,t2，均©<t2<t3）

对应的正方形OPE尸的面积均相等，当功=5切时，则正方形DPEF的面积为（）

【思路点拨】

由题意可得：CD=42,CP=t,当点P在8C上运动时S=产+2,由图可得，当点P与点B重合时，5=6,

求出t=2,即BC=2,当P在B2上时，由图可得抛物线过点（2,6）,顶点为（4,2）,求出抛物线解析式为

S=（t—2/+2,从两个函数表达式看，两个函数a相同，都为1,则从图象上看以，以关于％=2对称，t2，

「3关于％=4对称，ti+t2=40,t2+t3=8（2）,结合t3=5ti③，求出t的值即可得出答案.

【解题过程】

解：由题意可得：CD=五,CP=t,

当点P在BC上运动时，S=DP2=CP2+CD2=t2+2,

由图可得，当点P与点B重合时，5=6,

•1•t2+2=6,

.•"=2或1=—2（不符合题意，舍去），

.・.BC=2,

当P在84上时，由图可得抛物线过点（2,6）,顶点为（4,2）,

则抛物线的表达式为S=a（t-4）2+2,

将（2,6）代入得：a（2—4尸+2=6,

•*,CL-],

•••抛物线的表达式为:S=（"4）2+2,

从两个函数表达式看，两个函数a相同，都为1,

若存在3个时刻以，以，2Vt3）对应的正方形DPE尸的面积均相等，则从图象上看“，t2关于x=2

对称，13关于久=4对称，

ti+t2=4①，4+%=8②,

,­,h=5tl③，

由①③③解得以=1，

二5=/+2=1+2=3,

故选：A.

9.（22-23九年级上•浙江嘉兴・期中）如图，在中，NC=90。，^ABC=60%BC=6,点。为AC

中点，点。为线段力B上的动点，连接OD,设BD=x,OD2=y,则y与x之间的函数关系图像大致为（）

【思路点拨】

如图:过。作。E14B,垂足为E,先根据直角三角形的性质求得=12/C=6K，再根据中点的定义求得

OA=|4C=3V3,进而求得4E=7A02+阳=轲得DE=y-x,然后再根据勾股定理求得函数解析式,

最后确定函数图像即可.

【解题过程】

解：如图:过。作0E14B,垂足为E

A

.・2=30°

-BC=6

：.AB=2BC=12

'-AC=7AB2-BC2=4122-62=6V3

・•・点o为zc中点

：.OA=^AC=3V3

vZ.A=30°

：.OE=夕。=竽

'-AE=、AO2+g=J(3圾2+(竽丫=2

■■-DE=\^-x\

•■OD2=OE2+DE2,BPy=(乎)+(y-x)=(%-勇+4

当x=0时，y=(o—•2+今=63

当一当时，”停一？?+¥=¥

当％=12时，y=(12-Y)+,=27

则函数图像为

故选C.

10.（2024•广东深圳•三模）如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=12,BC=8,点D和点E分别是力B和4c

的中点，点M和点N分别从点4和点E出发，沿着A-C-B方向运动，运动速度都是1个单位/秒，当点N到达

点B时，两点间时停止运动.设△DMN的面积为S,运动时间为3则S与t之间的函数图象大致为（）

本题主要考查动点问题，依托三角形面积考查二次函数的图象和分类讨论思想，取BC的中点F,连接DF

根据题意得到DF和。号分三种情况讨论三角形的面积：（1）当0<tW6时，得MN=AE=6,结合三角

形面积公式求解即可；（2）当6<tW12时，得AM,MC,CN和BN,结合S=SAABC-SAADM-SABDN-

SMMN；（3）当12<tW14时，点M、N都在BC上，结合。尸和MN求面积即可.

【解题过程】

解：如图，取BC的中点尸，连接DF,

•.•点D、E是中点,

：.DE=|BC=4,DF||CB,

•••zC=90°,

.•・四边形DECF为矩形，

当0<tW6时，点M在4E上，点N在EC上，MN=AE=6,

•••S=*N-D£,=|x6x4=12；

如图，当6<tW12时，点M在EC上，点N在BC上，

MC=12-t,CN=t—6,BN=14-t,

S=Sf^BC-SAADM—S^BDN-S&CMN

1111

=-x8x12--x4t--x6(14-t)--(12-t)(t-6)

=5t之—8t+42；

如图，当12<tW14时，点M、N都在BC上，

综上判断选项A的图象符合题意.

故选：A.

11.（2024•河南南阳•二模）如图是一种轨道示意图，其中4、B、C、。分别是菱形的四个顶点，

ZX=60°.现有两个机器人（看成点）分别从力，C两点同时出发，沿着轨道以相同的速度匀速移动，其路线

若移动时间为t,两个机器人之间距离为d.则d2与t之间的函数关系用图象表

示大致为()

【思路点拨】

设菱形的边长为2,根据菱形的性质求出关于两个机器人之间的距离d2的解析式，再利用二次函数的性质即

可解答.

【解题过程】

解：①设4。=2,如图所示，

••・移动时间为3乙4=60°,

.-.CK=1,FT=KB=遍,

：.AE=t,CF=2—t,

••FK=2—t—1=1+t,

••ET=2—t—(1+t)=l+2t,

2

・•・在RtZkEFT中，EF2=ET2+FT2=(1+2t)2+(V3)=4t2+4t+4；

•・,移动时间为3乙4=60°,

.-.BM=t—2,CM=2—(t—2)=4—t,CP=1,PD=LQ=V3,

：.MQ=CM-CQ=(4-t)-1=3-t,

在Rt△LMQ中，ML2=MQ2+LQ2=(3-t)2+(V3)=t2-6t+12,

・•・函数图像为两个二次函数图象；

③当从4出发的机器人在B点，从C出发的机器人在D点，此时距离是8D；从4出发的机器人在4点，从C出

发的机器人在C点，此时距离是4C；

•.•设2。=2,42=60°,

:.BD=2,AE=V3,

■■.AC=2AE=2-/3>

：.BD<AC,

・•・函数图象的起点和终点高于中间点；

综上所述：A项符合题意；

故选A.

12.（2024•山东聊城•二模）如图，等边aABC与矩形DEFG在同一直角坐标系中，现将等边△48C按箭头

所指的方向水平移动，平移距离为x,点C到达点尸为止，等边△2BC与矩形DEFG重合部分的面积记为

S,则S关于x的函数图象大致为（）

【思路点拨】

本题主要考查了动点问题的函数图象，二次函数的图象，等腰三角形的性质等知识，如图，作4Q1BC于点

Q,可知42=遮.分当0<久W1或1<xW2或2<xW3三种情形，分别求出重叠部分的面积，即可得出

图象.

【解题过程】

解：如图①，设AC与DE交于点H,

图1

•・•△4BC是等边三角形，

.-./.ABC=/.ACB=60°,AB=BC=AC=2,

过点4作4Q1BC于点Q,则BQ=CQ=：8C=1,

■-AQ='"2—CQ2=。22—I=V3,

•.•四边形DEFG是矩形，

:/DEF=90°,DE=AQ=曲,EF=。/-0E=5-2=3,

当0<xW1时，

在Rt△中，/-ACE=60°,EC=x,

:./.CHE=30°,

：.HC=2x,

■.HE=VWC2-EC2=V(2x)2-%2=V3x

;.S='|ECxHE=京xV3x=,

所以，S关于x的函数图象是顶点为原点，开口向上且在。〈比W1内的一段;

当1<xW2时，如图，

设AB与DE交于点P,

'-'EC=x,BC=2,

.,.BE=BC—EC=2—x,

同理可得，PE=V3(x—2),

:S=S^ABC—S^PBE=5x2xV3--(2—x)-V3(2—x)=—字(％—2)2+V3,

所以，图象为2时开口向下的一段抛物线索；

当2<xW3时，如图，

S=|x2xV3=V3,

此时的函数图象是在2<xW3范围内的一条线段，即S=V3（2<x<3）,

故选：C

13.（2024・河南•模拟预测）如图，在等腰直角三角形4BC中，AABC=90°,BD是4C边上的中线，将△BCD

沿射线B4方向匀速平移，平移后的三角形记为△BiCi%,设△8停1。1与△4BD重叠部分的面积为y,平

移距离为％,当点当与点4重合时，△BiCWi停止运动，则下列图象最符合y与x之间函数关系的是（）

【思路点拨】

本题考查了二次函数与几何图形的综合，涉及等腰直角三角形，平移的性质，二次函数的性质等知识，解

题的关键是灵活运用这些性质，学会分类讨论.过点。作于由△ABC为等腰直角三角形,

/.ABC=90°,可设4B=BC=2,可得2。=CD=8。=&,DM=AM=BM=1,然后分情况讨论：当

0<xWl时，当1<XW2时，分别求出关于S、x的函数，再数形结合即可求解.

【解题过程】

解：过点。作于M,

•••△ABC为等腰直角三角形，AABC=90°,

•••AB—BC,

设4B=BC=2,

•••AD=CD=BD=V2,DM=AM=BM=1,

当0<%W1时，设为。1交4c于点G,BG交BD于N,

・•・AB^=AB—BBi=2—%,

由平移知BiGIIBO,^ABrG=^LABD,

•••4ABiG是等腰直角三角形，

SAAB1G=3*孙="(2-x)2,

又^/\ABD=万>5乂2*2=1,SABBIN=/2

222

S=ABD—SAAB1G—S^BB,N=1一式2—x)--%=--x+x,

12

当"一巾J号时取得最大值，故排除A、B选项

当1<XW2时，Bi外交4：于点G,B1J交AC于点H,

||BC,

・•・Z.B^G=/.ACB=45°,

又・・•4。$1的=45。，

.•・△/G”为等腰三角形，

4ABiDi=Z-ABD=45°=Z-A,

a/G为等腰三角形，

B]G=浮AB[='(2—%),

2

S=SAB1GH—去孝(2—%)x孝(2—x)=](2—x),

即当1<XW2时，函数图像为开口向上的抛物线，故排除C选项

故选：D.

14.(23-24九年级上•安徽滁州・期末)如图，菱形4BCD的边长为3cm,NB=60。，动点P从点B出发以3cm/

s的速度沿着边BC—CD—D4运动，到达点2后停止运动；同时动点Q从点B出发，以lcm/s的速度沿着边B4

向力点运动，到达点力后停止运动.设点P的运动时间为久(s),△BPQ的面积为y(cm2),贝!Jy关于乂的函数图

【思路点拨】

根据题意可知分情况讨论，分别列出当点P在BC上时，点P在CD上时，点P在力。上时表达式，再画图得到函

数解析式，即可得到本题答案.

【解题过程】

解：设点尸的运动时间为x(s),aBPQ的面积为y(cm2),

①当OWxWl时，点P在BC上时，

过点P作PE1B4

A

C

•••根据题知：N8=6O°,PB=3x,BQ=x,

.■.BE=|x,PE=久，

.-.y—^BQ-PE—^x-^-x-^-x2；

2，24

②当1<xW2时，点P在CD上时，

过点P作PH1B4

・•・根据题知：NB=60°,BC=3,BQ=x,

③当2<xW3时，点P在4。上时,

过点P作PF184交ZM延长线于尸，

丸

P

C

・・・根据题知：48=60。，即乙兄40=60。,

♦:BC+CD+AD=3+3+3=9cm,BC+CD+DP=3%,

：-AP=(9—3x)cm,

：.PF=手电,

■•'y=^BQ-PF==竽x-苧«2；

••.结合三种情况，图像如下所示：

15.（2023・辽宁盘锦・中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形48CD的顶点/在y轴的正半轴上，顶

点、B、C在x轴的正半轴上，D（2,V3）,P（—1,—1）.点M在菱形的边4。和DC上运动（不与点n,C重

合），过点M作MN||y轴，与菱形的另一边交于点N,连接PM,PN,设点M的横坐标为x,△PMN的面

积为y,则下列图象能正确反映y与x之间函数关系的是（）

【思路点拨】

先根据菱形的性质求出各点坐标，分M的横坐标x在。〜1,1〜2,2〜3之间三个阶段，用含x的代数式

表示出△PMN的底和高，进而求出分段函数的解析式，根据解析式判断图象即可.

【解题过程】

解：•.•菱形4BCD的顶点/在y轴的正半轴上，顶点3、C在无轴的正半轴上，

:.AB=AD=2,0A=V3,

2

...OB=7AB2—。42=122-(V3)=1,

0C=。8+BC=1+2=3,

•••X(0,V3),C(3,0),

设直线4B的解析式为y=kx+b,将4(0,遮)，代入，得：

ck+b=0

Ib=V3'

解得F，

•1•直线4B的解析式为y=-V3x+V3.

•••MN||y轴，

'''N的横坐标为x,

(1)当初的横坐标x在0〜1之间时，点N在线段AB上，△PMN中MN上的高为1+x,

N(x,—V3x+V3),

MN=V3—(—A/3X+V3)=V3x,

•1'S^PMN=：MN-(1+%)=|>/3x•(1+x)=~x2+~x,

;该段图象为开口向上的抛物线；

(2)当M的横坐标x在1〜2之间时，点N在线段BC上，4PMN中MN=痘,MN上的高为1+%,

SAPMN=,(1+%)=,(1+%)=字x+日，

该段图象为直线;

(3)当M的横坐标尤在2〜3之间时，点N在线段BC上，△「"可中MN上的高为1+x,

由。(2,场，C(3,0)可得直线的解析式为y--V3x+3V3,

M(x,—V3x+3A/3),N(x,O),

MN=—V3x+3V3,

S^PMN=?MN-(1+x)V3x+3V3)-(!+%)=—与好+V3x+竽，

・•.该段图象为开口向下的抛物线；

观察四个选项可知，只有选项A满足条件，

故选A.

16.(22-23九年级上•安徽蚌埠•期末)如图，在平面直角坐标系中，点4(2,0),点B(0,2^),点C(—3，回,

点P从点。出发沿。-4路线以每秒1个单位的速度运动，点Q从点。出发沿。-CiB路线以每秒遥个单位

的速度运动，当一个点到达终点时另一个点随之停止运动，设丫=。(?2,运动时间为t秒，则正确表达y与t

【思路点拨】

先分析各个线段的长，在夫心。48中，可知，OA=2,O5=2V3,AB=4,^BAO=60°,过点C作CA/ly轴于

点M,易得△08C是等边三角形，OC=BC=OB=2^,点P在。4上运动用时2s,在48上运动用时4s,点

0在。。上运动用时2s,在OC上运动用时2s,则点尸和点0共用时4s,可排除。选项；再算出点尸在

OA上时，y的函数表达式，结合选项可得结论.

【解题过程】

解：如图，,・,点/(2,0),点2(0,2V3),

：.OA=2,OB=2-/3,

：.AB=4,乙8/0=60°,

过点C作CMly轴于点

plijOM=BM=y[3,CM=3,

：.OC=BC=2W，

.•.△O2C是等边三角形，乙BOC=60。,

.•.点P在O/上运动用时2s,在上运动用时4s,点0在OC上运动用时2s,在OC上运动用时2s,

即点尸和点。共运动4s后停止；由此可排除D选项.

当点尸在线段0/上运动时，点0在线段OC上运动，过点Q作轴于点M

由点尸，点0的运动可知，OP=t,OQ=yl3t,

■-QN=|0Q=*,ON=|t,

：.PN=

.-.y=PQ2=（|t）2+（^0=7/.

即当0V/V2时，函数图象为抛物线，

结合选项可排除A,C.

故选：B.

17.（2022•辽宁•中考真题）如图，在等边三角形/3C中，BC=4,在RfADEF中,乙EDF=90°,zF=

30°,DE=4,点、B,C,D,E在一条直线上，点C,。重合，AABC沿射线DE方向运动，当点2与点£

重合时停止运动.设aNBC运动的路程为X,A48C与7?/△£＞瓦'重叠部分的面积为S,则能反映S与x之间

函数关系的图象是（）

【思路点拨】

分三种情形：①当0＜烂2时，重叠部分为△CDG,②当2＜xf4时，重叠部分为四边形NGZJC,③当4V

烂8时，重叠部分为△2EG,分别计算即可.

【解题过程】

解：过点/作/M18C,交BC于点、M,

F

BMC(D)E

在等边A42C中，乙4cB=60。，

在用△£＞斯中，"=30°,

:/FED=60°,

/-ACB—乙FED,

：.AC\\EF,

在等边A42C中，AMLBC,

:.BM=CM=，C=2,AM=6BM=2小

：.S^ABC^BC-AM^4V3,

①当。〈烂2时，设/C与。尸交于点G,此时A43C与RtADEF重叠部分为△CDG,

F

BDCE

由题意可得C7)=x,DG=y/3x

■■■S=lcD-DG=^x2；

②当2c后4时，设A8与。尸交于点G,此时ZU2C与放△£>£/重叠部分为四边形/GOC,

F

h

BDCE

由题意可得：CD=x,则&)=4-x,DG=W(4-x),

■■^S^ABC-SABDG=4Y/3-(4-x)Y(4-x),

■■.S=-yx2+4V3x-4V3=-空(x-4)2+4A/3,

③当4c烂8时，设与斯交于点G,过点G作GM12C,交BC于点、M,

此时A48C与Rt/^DEF重叠部分为△BEG,

由题意可得CD=x,则CE=x-4,DB=x-4,

••.BE=x-(x-4)-(x-4)=8-x,

••.BM=4-

在QA8GM中，GM=y/3(4-1x),

■.S=IBE-GM=1(8-X)XV3(4-$),

：.S="(x-8)2,

4

综上，选项A的图像符合题意，

故选：A.

18.(2023•山东聊城•三模)如图(1)所示，£为矩形48C。的边4。上一点，动点尸，。同时从点3出发,

点P沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止，点。沿2c运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒,

设尸，0同时出发/秒时，的面积为ycm2.已知y与/的函数关系图像如图(2)(曲线。M为抛物线

的一部分)，则下列结论不正确的是()

图⑴图⑵

A.AB-.AD=4:5B.当t=2.5秒时，PQ=居

C.当"学时，=fD.当△BPQ的面积为4cm2时，/的值是VI同噂秒

【思路点拨】

先由图2中的函数图像得到当t=5时，点Q到达点C,即8C=5cm,然后由5<t<7时，y=10可知△BPQ

的面积是定值lOcm?、BE=5cm,ED=2cm,当t=7时点P到达点D,AE=3cm,AB=y/BE2—AE2=4cm,可

以判定“；当0<tW5时，根据

y=±2得到y=2.5cm2,过点P作PH1BC于点、H,根据y=^BQ-PH=|x2.5cmxPH=2.5cm2求得PH=2,

设QH=xcm,根勾股定理计算QH=1cm,可计算PQ=遮；根据力B=CD=4cm,得到再运动4秒到达C

点即

H(ll,0),N(7,10),确定直线HN的解析式，分别计算可得到机或半秒；

当”号〉髭=7时,故点Q在。。上,把1=今弋入直线HN的解析式计算器=1

【解题过程】

解:设抛物线的解析式为、=前2,

当t=5时，y—10,

•，-10=25a,

解得a=I，

■■■y=|t2,

由图2中的函数图像得当t=5时，点。到达点C,即BC=BE=5cm,

时，y=10,

△BPQ的面积是定值10cm2且BE=5cm,ED=2cm,

当t=7时点尸到达点

：.AE=5—2=3cm,AB=VBE2—AE2=4cm,AD=BC=5cm,

.'.AB'.AD=4:5,

故A正确，不符合题意；

当0<tW5时，

vy=|t2,t=2,5,

；,BP=BQ=2.5cm,y=2.5cm2,

图⑴

过点尸作于点”，

.,.y=^BQ'PH=gx2.5cmxPH=2.5cm2

解得PH=2,

设Q”=xcm,则8”=BQ—QH=(2.5—%)cm,

.-.2.52=22+(2.5-%)2,

解得％=lfx=4(舍去)，

:.QH=1cm,

:.PQ—712+22=岳,

故B正确，不符合题意；

根据/区=CD=4cm,

••・再运动4秒到达。点即H(1LO)，N(7,1O),

设直线"N的解析式为y=kt+b,

根据题意，得仅解得「［If，

・•・直线HN的解析式为y=-|t+y,

•••△BPQ的面积为4cm2,

故4=|t2^4=-|t+y

解得t=VIM=-（舍去）或t=?

故D正确，不符合题意；

e=7时,故点Q在DC上,

44-

当"那，y=—|x弓+苧=泉

175

解得PQ=?

BQ54

：'~PQ=T=3*

故c错误，符合题意.

故选：C.

19.（2023•辽宁•中考真题）如图，4MAN=60°,在射线AM,AN上分别截取4C=48=6,连接BC,乙MAN

的平分线交BC于点。，点E为线段4B上的动点，作EF1AM交力M于点尸，作EGII4M交射线力。于点G,过

点G作GH1AM于点X,点E沿方向运动，当点E与点3重合时停止运动.设点E运动的路程为x,四

边形EFHG与△4BC重叠部分