2025年高考数学一轮复习：函数模型及其应用（五大题型）（练习）（解析版）

第08讲函数模型及其应用

目录

模拟基础练.....................................................................2

题型一：二次函数模型，分段函数模型............................................................2

题型二：对勾函数模型..........................................................................4

题型三：指数型函数、对数型函数'幕函数模型...................................................6

题型四：已知函数模型的实际问题................................................................8

题型五：构造函数模型的实际问题...............................................................10

重难创新练....................................................................12

真题实战练....................................................................24

题型一：二次函数模型，分段函数模型

1.（2024・高三•四川巴中•期末）已知甲、乙两个城市相距120千米，小王开汽车以100千米/时匀速从甲城

市驶往乙城市，到达乙城市后停留1小时，再以80千米/时匀速返回甲城市.汽车从甲城市出发时，时间x

（小时）记为0,在这辆汽车从甲城市出发至返回到甲城市的这段时间内，该汽车离甲城市的距离y（千米）

表示成时间x（小时）的函数为（）

fl00x,0<x<1.2

A.y=\

[80x,x>1.2

fl00x,0<x<1.2

B.y=5

[120-80x,x>1.2

100x,0<x<1.2

C.y=<120,1.2<x<2.2

120-80x,2.2<x<3.7

100x,0<x<1.2

D.y=<120,1.2<x<2.2

296-80x,2.2<x<3.7

【答案】D

【解析】当04x4五=1.2时，y=100x,

当1.2<xW2.2时，J=120,

当2.2<xW2.2+——=3.7时,y=120-80（x-2.2）=296-80%,

80

100x,0<x<1.2

综上：y=120,1.2<x42.2

296-80x,2.2<x<3.7

故选：D.

2.汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距离”.

刹车距离是分析交通事故的一个重要依据.在一个限速为40km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现

情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过6m,乙车的刹车距离略超

过10m.已知甲车的刹车距离sm与车速nkm/h之间的关系为S甲=高丫2v,乙车的刹车距离sm与车速

nkm/h之间的关系为$乙=+v.请判断甲、乙两车哪辆车有超速现象（）

A.甲、乙两车均超速B.甲车超速但乙车未超速

C.乙车超速但甲车未超速D.甲、乙两车均未超速

【答案】C

【解析】对于甲车，令击声一5丫々6,BPv2-10v-600«0

解得vp-20km/h（舍）或VQ30km/h,所以甲未超速；

对于甲车，令击I?-焉vaio,gpv2_10v_2000«0

解得VQ-40km/h（舍）或v=50km/h,所以乙超速；

故选:C.

3.（2024・高三・浙江•开学考试）某地区居民生活用电分高峰和低谷两个时段进行分时计价.

高峰时间段用电价格表：

高峰月用电量（单位：千瓦时）高峰电价（单位：元/千瓦时）

50及以下的部分0.568

超过50至200的部分0.598

超过200的部分0.668

低谷时间段用电价格表:

低谷月用电量（单位：千瓦时）低谷电价（单位：元/千瓦时）

50及以下的部分0.288

超过50至200的部分0.318

超过200的部分0.388

若某家庭7月份的高峰时间段用电量为250千瓦时，低谷时间段用电量为150千瓦时，则该家庭本月应付

电费为（）元

A.200.7B.207.7C.190.7D.197.7

【答案】D

【解析】高峰时段电费为50x0.568+150x0.598+50x0.668=151.5元，

低谷时段电费为50x0.288+100x0.318=46.2元，

共计151.5+46.2=197.7元.

故选：D

题型二：对勾函数模型

4.如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72dm2（图中阴影部分），上下空白各宽2dm,

左右空白各宽1dm,则四周空白部分面积的最小值是（）dm2.

C.120D.88

【答案】A

72

【解析】设阴影部分的长为xdm,则宽为一dm,四周空白部分的面积是ydm4

x

（72、（144、I144144

由题意得：^=（x+4）I+2I-72=8+21x+>8+2x2Jx-------=56,当且仅当工=,即x=12时等号成立.

故选：A

5.一家金店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店内购买20g黄金，店员先将10g的祛码放在

天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中，使天平平衡；再将10g的祛码放在天平右盘中，再取出一些黄

金放在天平左盘中，使得天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.记顾客实际购得的黄金为xg,则不与

20的大小关系为（）

A.%<20B.x>20

C.x=20D.无法确定

【答案】B

【解析】设天平左臂长为加，右臂长为〃，机,〃〉0且相。孙左盘放的黄金为不克，右盘放的黄金为巧克,

10m=nx10m

2解得％

mx{=10nmn

当且仅当机="时，取到等号,

由于相中“，所以x>20.

故选：B

6.（2024•内蒙古呼和浩特.一模）小明在春节期间，预约了正月初五上午去美术馆欣赏油画，其中有一幅

画吸引了众多游客驻足观赏，为保证观赏时可以有最大视角，警卫处的同志需要将警戒线控制在距墙多远

处最合适呢？（单位：米，精确到小数点后两位）己知该画挂在墙上，其上沿在观赏者眼睛平视的上方3

米处，其下沿在观赏者眼睛平视的上方1米处.（）

如图，设观赏者的眼睛在点。处，油画的上沿在点A处，下沿在点B处,

点C在线段A3延长线上，且保持与点。在同一水平线上，

则=e即观赏时的视角.

依题意AB=2,3C=1,AC，QC,

不妨设OC=x,则3£)=JX2+I,AD=&+9,

2X2+6Ix4+6x*2+9

在中，由余弦定理，cos6=

VX4+10X2+9

Vx4+10x2+9V/+1+1°

因x>0,则/+=»2d=6,当且仅当犬=9时，即X=6时等号成立,

go

由犬——N6可得x2H—5+10之16,

XX

0<―4__J4

则犬+e+1。一4,则J八1+1。一2，

XVX2

IT7T

因函数y=cosx在（0,刍上单调递减，故得0«段3

26

即最大视角为：，此时观赏者距离油画的直线距离为退。1.73.

6

故选：A.

7.某厂计划建造一个容积为8m3,深为2m的长方体无盖水池.若池底的造价为120元每平方米，池壁的造价

为100元每平方米，则这个水池的最低造价为元.

【答案】2080

【解析】因为水池的容积为8m③，深为2m,所以底面积为4m

/、4

设水池池底的一边长为mi（x>0）,则另一边长为-m,

x

贝IJ总造价y=4xl20+100x（2x+2-gjx2

=480+400^+-^

>480+400x2=2080（元）.

4

当且仅当尤=—,即尤=2时，y取最小值为2080.

x

所以水池的最低造价为2080元.

故答案为：2080.

8.某景区的平面图如图所示，其中AB,AC为两条公路，Zfi4c=135。，P为景点，AP=10,AP±AC,

现需要修建一条经过景点尸的观光路线MN,M,N分别为A3,AC上的点，则AAW面积的最小值

为.

AMB

【答案】200

【解析】设AN=b,由工人印+&APM=S^AMN，

可得gA/V-AP+gAM•APsin45°=gAM-AN-sinl35°,BP10a+10y/2b=ab-

由10a+10技=abN2«0a.10亚，解得“62400收，当且仅当。=20后，匕=2。时，等号成立，止匕时取

得最小值.

故，AMN面积的最小值为:。加山135。=200.

故答案为：200.

题型三：指数型函数、对数型函数、幕函数模型

9.某食品的保鲜时间》（单位：小时）与储存温度x（单位：。C）满足函数关系>（e=2.718为自

然对数的底数，k、b为常数）.若该食品在0℃的保鲜时间设计192小时，在22℃的保鲜时间是48小时,

则该食品在33℃的保鲜时间是一小时.

【答案】24

eb=192

e-192

【解析】由题意得e*-8'即

2

所以该食品在33℃的保鲜时间是:

故答案为：24.

10.考古学家对四川广汉“三星堆古墓”进行考古发据，科学家通过古生物中某种放射性元素的存量来估算古

生物的年代，已知某放射性元素的半衰期约为4200年（即：每经过4200年，该元素的存量为原来的一半），

已知古生物中该元素的初始存量为经检测古生物中该元素现在的存量为年，请推算古生物距今大约—

年（参考数据：睇必.3）.

【答案】5600

]

【解析】由半衰期的定义可知，每年古生物中该元素的存量是上一年该元素存量的（J14200,

因此该元素的存量y与时间x（年）的关系式为y而，x>0,

4r41-2馆2

——，贝U-----------=log1—=

1042001101g2

lg2

解得「吗123叭56。。,

1g2

所以该古生物距今大约5600年.

故答案为：5600

11.某医院开展某种病毒的检测工作，第"天时每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时外〃）（单

~j=,n<M

位：小时）,t（n）=­,“°,即为常数）.已知第16天检测过程平均耗时为16小时，第64天和

%n>N

k

第67天检测过程平均耗时均为8小时，那么可得到第49天检测过程平均耗时为小时.（精确到1小

时）

【答案】9

【解析】根据函数的解析式可知，当〃时，，（"）=+单调递减；当〃2N。时，《〃）=乎为常数.

且第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时,

所以有‘(16)=^^=；=16,

64

所以电=64,t^n)=—j=(n<N°).

又收)=.=枭=8,所以*64.

64j

--,n<64

所以，t(n)=<4n^

8,n>64

所以"2号4

故答案为：9.

12.测量地震级别常用里氏级，它是地震强度(即地震释放的能量)的常用对数值.如日本1923年地震是

8.9级，旧金山1906年地震是8.3级，问日本1923年地震强度是旧金山1906年地震强度的

倍.(在2。03)

【答案】4

【解析】设地震强度为X,则地震级别为/(x)=lgx,

设日本1923年地震强度为a,旧金山1906年地震强度为b,

»fig=8.9a

由题意可得Q。，贝iJlgQ—坨人=坨7=8.9—8.3=0.6,

[lg0=8.3b

因为lg220.3,则1g,。21g2=lg4,所以

bb

即日本1923年地震强度是旧金山1906年地震强度的4倍.

故答案为：4.

题型四：已知函数模型的实际问题

13.(2024.浙江绍兴.模拟预测)人类已进入大数据时代.目前，数据量己经从TB(1TB=1O24GB)级别跃升

到PB(1PB=1024TB),EB(1EB=1024PB)乃至ZB(1ZB=1024EB)级别.国际数据公司(IDC)的研究结果表明,

2008年全球产生的数据量为0.500ZB,2010年增长到1.125ZB.若从2008年起，全球产生的数据量产与年份

f的关系为「二雄广,期，其中4，。均是正的常数，则2023年全球产生的数据量是2022年的倍.

【答案】1.5《

【解析】由题意，1.125=0.5产。-2叫所以a=1.5,所以尸=0.515'-2%

所以2022年全球产生的数据量为051.5",则2023年全球产生的数据量0.515巴

所以2023年全球产生的数据量是2022年的一心：=1.5倍.

0.5.1.514

故答案为：1.5

14.科学家在研究物体的热辐射能力时定义了一个理想模型叫“黑体”，即一种能完全吸收照在其表面的电磁

波（光）的物体.然后，黑体根据其本身特性再向周边辐射电磁波，科学研究发现单位面积的黑体向空间

辐射的电磁波的功率B与该黑体的绝对温度T的4次方成正比，即3为玻尔兹曼常数.而我们在

做实验数据处理的过程中，往往不用基础变量作为横纵坐标，以本实验结果为例，3为纵坐标，以广为横

坐标，则能够近似得到（曲线形状），那么如果继续研究该实验，若实验结果的曲线如图所示，试写

出其可能的横纵坐标的变量形式.

Ox

【答案】射线B为纵坐标，以为横坐标.

【解析】（1）因为3=bT4,。为玻尔兹曼常数.B为纵坐标，以为横坐标，因为x=〃20,所以

B=bx（x>0）,所以曲线是一条射线；

（2）由于曲线的形状类似y=«,根据曲线可知可能的横纵坐标的变量形式：B为纵坐标，以78为横坐标，

故答案为：B为纵坐标，以为横坐标.

故答案为：（1）射线；（2）8为纵坐标，以八为横坐标.

15.（2024•北京朝阳•二模）假设某飞行器在空中高速飞行时所受的阻力/满足公式/=：夕。^2,其中。是

空气密度，S是该飞行器的迎风面积，v是该飞行器相对于空气的速度，C是空气阻力系数（其大小取决于

多种其他因素），反映该飞行器克服阻力做功快慢程度的物理量为功率？=介.当O，S不变，v比原来提高

10%时，下列说法正确的是（）

A.若C不变，则P比原来提高不超过30%

B.若C不变，则P比原来提高超过40%

C.为使P不变，则C比原来降低不超过30%

D.为使尸不变，则C比原来降低超过40%

【答案】C

112P

【解析】由题意，f=^pCSv\P=jv,所以尸三阳城，C=将”，

A：当P，S,C不变，”比原来提高10%时，

贝^=|pCS（l+10%）3v3=1/?C5（1.1）3V3=1.33-|pCSv3,

所以尸比原来提高超过30%,故A错误；

B：由选项A的分析知，/]=1.33.lpCSv3,

所以尸比原来提高不超过40%,故B错误;

C当“，p不变’V比原来提高1。％时，。广记升=而显=0.75即,

所以C比原来降低不超过30%,故C正确；

D：由选项C的分析知，C比原来降低不超过30%,故D错误.

故选：C

16.小微企业是推进创业富民、恢复市场活力、引领科技创新的主力军，一直以来，融资难、融资贵制约

着小微企业的发展活力.某银行根据调查的数据，建立了小微企业实际还款比例P与小微企业的年收入无（单

一0.968+西

位：万元）的关系为尸eR）.已知小微企业的年收入为80万元时，其实际还款比例为50%,

若银行希望实际还款比例为40%,则小微企业的年收入约为（参考数据：1113^1.0986,1112^0.6931）（）

A.46.49万元B.53.56万元C.64.43万元D.71.12万元

【答案】A

-0.968+80左

【解析】由题意知968+8化简得e"968+赖

50%=]《-u.yOo+oU。r=C=1,

故一0.968+80左=0,得左=0.0121.

-0.968+0.0121X）

则当P=40%时，40%=]：..968+。。⑵」化简得e4968+。。⑵，=；,

两边同时取对数，-0.968+0.0121x=ln2-ln3«-0.4055,得x=46.49,

故当实际还款比例为40%时，小微企业的年收入约为46.49万元.

故选：A

题型五：构造函数模型的实际问题

17.（2024.江西.二模）茶文化起源于中国，中国饮茶据说始于神农时代.现代研究结果显示，饮茶温度最

好不要超过6CTC.一杯茶泡好后置于室内，1分钟、2分钟后测得这杯茶的温度分别为80℃,68℃,给出三

个茶温T（单位：。C）关于茶泡好后置于室内时间f（单位：分钟）的函数模型：①T=R+。（a＜0）；②

T=log/+仇0＜。＜1）；③7=20+》屋。＞0,0＜。＜1）.根据生活常识，从这三个函数模型中选择一个，模

拟茶温T（单位：。C）关于茶泡好后置于室内时间r（单位：分钟）的关系，并依此计算该杯茶泡好后到饮

用至少需要等待的时间为（参考数据坨2“0.301,坨3。0.477）（）

A.2.72分钟B.2.82分钟

C.2.92分钟D.3.02分钟

【答案】B

【解析】依据生活常识，茶温一般不会低于室内温度，因此选择模型③,

_4

80=20+ba,解得“下

得至!J

68=20+ba2,

b=75,

W60n048=△3坨2-lg3-lg5

因止匕20+75・»2.814.

一15-21g2-lg5

故选：B

18.（2024•福建•模拟预测）视力检测结果有两种记录方式，分别是小数记录与五分记录，其部分数据如下

表：

小数记录九0.10.120.15L11.21.52.0

五分记录y4.04.14.2L55.15.25.3

现有如下函数模型：①y=5+igx,②>=5+1ig1,X表示小数记录数据，y表示五分记录数据，请选择

10x

最合适的模型解决如下问题：小明同学检测视力时，医生告诉他的视力为4.7,则小明同学的小数记录数据

为（附10°3=2,5422=0.7,10知=0.8）（）

A.0.3B.0.5C.0.7D.0.8

【答案】B

【解析】由表格中的数据可知，函数单调递增，故合适的函数模型为y=5+igx,

令y=5+lg尤=4.7,解得x=10《3=0.5.

故选：B.

19.（2024.高三•云南・期中）在一段时间内，某地的野兔快速繁殖，野兔总只数的倍增期（增加一倍所需的

时间）为21个月，贝！]100只野兔增长到100万只野兔需要（）个月.（记。=lg2,b=log212）

A.84aB.—C.846D.—

ab

【答案】B

【解析】设2k个月后野兔总只数为y,

y=100.2\则1002=1。6,

48484

则xn0ogzlOu：,所以21X=T^=一.

1g2lg2a

故选：B.

20.（2024.云南昆明•模拟预测）饮酒驾车、醉酒驾车是严重危害《道路交通安全法》的违法行为，将受到

法律处罚.检测标准：“饮酒驾车：车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于20mg/100ml,小于

80mg/100ml的驾驶行为;醉酒驾车:车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于80mg/100ml的驾驶行为

据统计，停止饮酒后，血液中的酒精含量平均每小时比上一小时降低20%.某人饮酒后测得血液中的酒精含

量为100mg/100ml,若经过小时，该人血液中的酒精含量小于20mg/100ml,贝!]〃的最小值为（参

考数据：馆2。0.3010）（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】B

【解析】经过小时，该人血液中的酒精含量为100x0.8"mg/100ml,

由题意得，100x0.8"<20,即0.8"<0.2,

lg0.2lg2-llg2-l'0.3010-1

解得:n>log0.2=~7.2,

08lg0.8-lg8-l31g2-l~3x0.3010-1

所以”的最小值为8.

故选：B.

21.（2024•山西朔州•模拟预测）为研究每平方米平均建筑费用与楼层数的关系，某开发商收集了一栋住宅

楼在建筑过程中，建筑费用的相关信息，将总楼层数x与每平米平均建筑成本y（单位：万元）的数据整理

成如图所示的散点图：

f每平米平均建筑成本/万元

20-

•

15•

1°一・

5-・

O1020*3040楼层数/层

则下面四个回归方程类型中最适宜作为每平米平均建筑费用》和楼层数尤的回归方程类型的是（）

A.y=a+bxB.y=a+bex

b2

C.y=a+—D.y=a+bx

x

【答案】c

【解析】观察散点图，可知是一个单调递减的曲线图，结合选项函数的类型可得回归方程类型是反比例类

型，故c正确.

故选：C.

1.（2024•北京•三模）2024年1月17日我国自行研制的天舟七号货运飞船在发射3小时后成功对接于空间

站天和核心舱后向端口，创造了自动交会对接的记录.某学校的航天科技活动小组为了探索运动物体追踪技

术，设计了如下实验：目标尸在地面轨道上做匀速直线运动；在地面上相距7m的A,8两点各放置一个传

感器，分别实时记录48两点与物体尸的距离.科技小组的同学根据传感器的数据，绘制了“距离-时间”函

数图像，分别如曲线。，6所示和马分别是两个函数的极小值点.曲线。经过和&，4），曲线6

rr

经过色，弓）.已知哂=^\=4m,/2=4s,并且从f=0时刻到f=芍时亥!]P的运动轨迹与线段AB相交.分析曲

线数据可知，尸的运动轨迹与直线AB所成夹角的正弦值以及尸的速度大小分别为（）

B.士巫m/s

72

D.2Mli/s

72

【答案】B

设动点P的轨迹与y轴重合,其在t=。工/时刻对应的点分别为。（坐标原点），D,E,P的速度为vm/S,V>0,

因为哂=r^r\=4m,q=2S/2=4S,可得马=2m,

由题意可知：均与y轴垂直，且|仞|=4皿忸/=2gOD|=|D£|=2vm,

作BC±AD垂足为C,则|AC|=6m,|BC|=2Vm,

因为时+忸C『=L，即36+4,=49，解得人平;

又因为5C〃y轴，可知P的运动轨迹与直线AB所成夹角即为/ABC,

AC6

所以尸的运动轨迹与直线42所成夹角的正弦值为sinWC二方

7

故选：B.

2.（2024.湖南益阳•三模）二手汽车价位受多方因素影响，交易市场常用年限折旧法计算车价位，即按照

同款新车裸车价格，第一年汽车贬值20%,从第二年开始每年贬值10%.刚参加工作的小明打算买一辆约5

年的二手车，价格不超过8万元.根据年限折旧法,设小明可以考虑的同款新车裸车最高价位是皿加eN）万,

则m=（）

A.13B.14C.15D.16

【答案】C

【解析】依题意，租（1-20%）（1-10%）448,解得加」八。8=空零,

0.8x0.96561

则加V15.24,又根£?<,则根=15.

故选：C.

3.（2024.重庆.模拟预测）物理学家本・福特提出的定律：在6进制的大量随机数据中，以〃开头的数出现

的概率为8（〃）=log〃=，应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误.根据此定

n

律，在十进制的大量随机数据中，以1开头的数出现的概率大约是以9开头的数出现的概率的（）倍（参

考数据：lg2=0.301,lg3=0.477）

A.5.5B.6C.6.5D.7

【答案】C

-I-1

【解析】由题意，以〃开头的数出现的概率为85）=iog〃0,

n

可得/⑴=lg2,^o（9）=lgy=lglO-lg9=l-21g3,

所以&*二馆2-6.5

为⑼L21g3

故选：C.

4.（2024•北京通州.二模）某池塘里原有一块浮萍，浮萍蔓延后的面积S（单位：平方米）与时间t（单位：

月）的关系式为S=（。>0,且。片1）,图象如图所示.则下列结论正确的个数为（）

①浮萍每个月增长的面积都相等；

②浮萍蔓延4个月后，面积超过30平方米；

③浮萍面积每个月的增长率均为50%；

④若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所经过的时间分别是1,4，4，则乙+4=6.

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】由已知可得"=2,则S=2"i.

对于①，浮萍蔓延1月至2月份增长的面积为23-2?=4（平方米），

浮萍蔓延2月至3月份增长的面积为24-23=8（平方米），①错；

对于②，浮萍蔓延4个月后的面积为25=32（平方米），②对；

r\n+2_Qn+1

对于③,浮萍蔓延第〃至〃+1个月的增长率为二=1,所以，浮萍蔓延每个月增长率相同，都是100%，

2"+i

③错；

对于④，若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所经过的时间分别是％,马，。

2+1

则2廿1=3,2'=4，2GM=12=3x4=2”•Z'N=2'计'2+2,所以％=彳+匀+1,④错.

故选：B.

5.（2024•陕西西安・模拟预测）2023年10月31日，国务院新闻办举行“权威部门话开局”系列主题新闻发

布会的第28场发布会.会上提出蒙古国、中国，包括东北亚的日本、韩国，都是沙漠化的受害者，所以防沙治

沙、植树造林符合本地区各国和人民当前及长远利益.根据对中国国家整理的中国沙尘暴资料的分析，发现持

续时间大于/的沙尘暴次数N满足N=A?1（?仍，目前经测验A地情况气象局发现，f=300时，次数

N=5,t=600时，次数N=3,据此计算N=4时对应的持续时间f约为（）

（参考数据：lg2«0.301,lg3«0.477）

A.389B.358C.423D.431

【答案】D

【解析】]黑=:两式相比，得IO*期="\A?10-3006|A=5?Ag,

[A10=3553

又IO"期=|两边取对数可得电胎由嗔坨3?300bIg5-lg3?blg：o：g3,

所以N二上?10,卜300,

3

25."g5-lg3z.rVlg5-lg31?

令N二三?10(卜3004,即10,卜300,

325

取对数并化简可得lgl2-lg25=-IgjoN，

因为Igl2=21g2+lg3,lg25=21g5=2-21g2,

300?(4lg2lg3-2)_300仓40.301+0.477-2)?

所以Qg

f=Ig2+lg3-1-0.301+0.477-1"

所以6431.

故选：D.

6.（2024.贵州遵义.一模）近年来，中国成为外来物种入侵最严重的国家之一，物种入侵对中国生物多样

性、农牧业生产等构成巨大威胁.某地的一种外来动物数量快速增长，不加控制情况下总数量每经过7个

月就增长1倍.假设不加控制，则该动物数量由入侵的100只增长到1亿只大约需要（坨2。0.3010）（）

A.8年B.10年C.12年D.20年

【答案】C

【解析】设经过尤个月动物数量由入侵的100只增长到1亿，

所以100・2,=1。8，所以方=1（）6,

两边同时取对数可得：坨2亍=lgl（）6=6，

x4242

所以一Jg2=6,所以x=----®----------«139.53,

71g20.3010

所以该动物数量由入侵的100只增长到1亿只大约需要12年.

故选：C.

7.（2024・四川•模拟预测）2023年6月22日，由中国帮助印尼修建的雅万高铁测试成功，高铁实现时速350km

自动驾驶，不仅速度比普通列车快，而且车内噪声更小.如果用声强/（单位：W/n?）表示声音在传播途

径中每平方米上的声能流密度，声强级L（单位：dB）与声强/的函数关系式为L=41g（a/）,其中册为基

准声强级，。为常数，当声强/=电时，声强级L=20dB.下表为不同列车声源在距离20m处的声强级：

声源与声源的距离（单位：m）声强级范围

内燃列车20[50,80]

电力列车20[20,50]

高速列车20{10}

设在离内燃列车、电力列车、高速列车20m处测得的实际声强分别为小匕A，则下列结论正确的是（）

A.4=30B.Z,>/2C.Z2>10/3D.^<100/2

【答案】B

【解析】对于A：因为声强/=W时，声强级L=20dB,

a

所以乙=4地，・?]=20,解得'=20,故A错误；

对于B：因为乙一乙=20,（叫）Tg（叱）]=201gy>0,

所以?并，即故B正确;

(心)-(叱)]=k

对于C：L?-L3=20[lg1g201g>20-10=10

13

Iii

所以,2102,即故C不正确;

13

右_4=20[lg(a/J—lg(a/2)]=201g4480—20=60,

对于D,

所以?V10',即，（IO。。/?,故D不正确.

A

故选：B.

8.（2024•陕西商洛•三模）近年来商洛为了打造康养之都，引进了先进的污水、雨水过滤系统.已知过滤

过程中废水的污染物数量N（mg/L）与时间f（小时）的关系为"="“，（N。为最初的污染物数量）.如

果前3小时消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%还需要（）

A.2.6小时B.6小时C.3小时D.4小时

【答案】C

【解析】由题意可得N°e应=\乂，可得e3=m，

k,

设N0&=0.64N。=「JNo,

.•.e，=（e3）2=e.,解得f=6,

因此，污染物消除至最初的64%还需要3小时.

故选：C.

9.（多选题）（2024.辽宁・二模）半导体的摩尔定律认为，集成电路芯片上的晶体管数量的倍增期是两年，

用/⑺表示从r=0开始，晶体管数量随时间r变化的函数，若/（0）=1000,则下面选项中，符合摩尔定律公

式的是（）

A.若，是以月为单位,则"）=1。。。+卷°，

B.若r是以年为单位,则/⑶=1000x（6/

C.若，是以月为单位，则1g/⑺=3+譬f

D.若，是以年为单位，则

1g/。~

【答案】BC

【解析】选项A,/(24)=2000=2f(0),/(48)=30002/(24),A不符合;

选项B,/'(2)=2000=2/(0),/(4)=4000=2/(2),/(2«)=1000x2",zieN*,符合;

选项C,lg/«)=3+譬f,贝U/Q)=IO"詈=iooox21，/(24)=2x1000,『(48)=4000=2/(24),

/(24«)=1000x2","eN*,符合，

选项D,+/(r)=1000x(1?+l)^

igJW-。十22

/(2)=2x1000=/(0),y(4)=1000x7^^2/(2),不符合•

故选：BC.

10.(多选题)(2024.安徽蚌埠•模拟预测)科学研究表明，物体在空气中冷却的温度变化是有规律的.如

果物体的初始温度为4℃,空气温度4。c保持不变，贝卜分钟后物体的温度e(单位：。0满足：

e=%+储-3若空气温度为该物体温度从4°C(9044〈100)下降到30。&大约所需的

时间为％,若该物体温度从7(FC,50。(2下降到3(FC,大约所需的时间分别为£4,则()(参考数据:

ln2~0.7,ln3-l.l)

A.々=20B.28<?!<30C.tx>2t3D.tx-t2<6

【答案】BC

【解析】有题意可知,6=10+(4-10)产,

当6=30,则30=10+(a—10)e《g\

2020

即e2gl—0.05%=In

(9,-10，一10

则4=20In三看，

其是关于4的单调递增函数,

90-10

当4=90时，tx=20In=201n4=40In2«28,

10(10

当4=100时，tx=20In^~=201n|=20(21n3-In2)®30,

则28%V30,故B正确;

当4=70时，t]=201n7,0=201n3-22,

故A错误;

当4=50时，t=20In50~10=201n2»14,

20

此时满足％±2*-z2>6,故C正确，D错误,

故选：BC.

11.（多选题）（2024.全国.模拟预测）小菲在学校选修课中了解了艾宾浩斯遗忘曲线.为了解自己记忆一

组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量y与时间x（单位：天）之

7

-----x+l,OvxVl

20

间的函数关系y=/（》）=<.则下列说法中正确的是（

O24681012x

A