北京西城某中学2024-2025学年高考数学模拟试题（含解析）

北京西城8中2024-2025学年高考数学试题考点梳理与题型解析

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.如图，矩形中，AB=1,8。=e，后是40的中点，将八45后沿取折起至小45£,记二面角4-5£-。

的平面角为戊，直线AE与平面3C0E所成的角为夕，AE与5c所成的角为/,有如下两个命题：①对满足题意的

任意的A'的位置，a+(3<7T.②对满足题意的任意的A'的位置，£+7<»,贝!!()

A.命题①和命题②都成立B.命题①和命题②都不成立

C.命题①成立，命题②不成立D.命题①不成立，命题②成立

2.记S”为等差数列｛q｝的前〃项和.若4=-5,54=76,则%=()

4.设全集U=R,集合A={x|log2(4—x)Wl},B={x|(x-3)(x-5)>0),贝!］曲5)1A=()

A.25]B.[2,3]C.[2,4)D.[3,4)

_3_

5.已知a是第二象限的角，tan（/r+«）=一一，贝!Jsin2a=（)

4

12122424

A.B.------C.—D.------

25252525

—1

6.()

已知a=心,b=log4、后,c=log52，则的大小关系为

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>b>a

7.2019年10月1日，中华人民共和国成立70周年，举国同庆.将2,0,1,9,10这5个数字按照任意次序排成一行，拼成

一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为

A.96B.84C.120D.360

8.若2x+的二项式展开式中二项式系数的和为32,则正整数〃的值为（）

A.7B.6C.5D.4

9.如图，在△ABC中,AD±AB,BD=xAB+yAC(x,ye=2,且/.而=12，则2x+y=()

212

A.1C.——D.

334

10.设集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U=AUB,则集合（in/?）中的元素共有（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

11.已知命题°：Vx>0,ln(x+l)>0；命题4：若。>6,则/>〃，下列命题为真命题的是（）

A.p八qB.PAfc.f八qD.

x+1

2+2,x<0,r*

12.已知函数/（x）=〈隧29〉。,若关于“的方程口切一2匹）+3i有六个不相等的实数根，则实数"的

取值范围为（）

A.B.3?C.（3,4）

D.(3,4]

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（x2+^］的展开式中一项的系数为.

14.在(«-2)”的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256,则“=,X项的系数等于.

X

15.记复数2="+瓦(i为虚数单位)的共朝复数为5=。—初(a,b^R),已知z=2+i,则］=.

16.若复数z=l—3i(i是虚数单位)，贝-10)=

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)如图，在四棱锥尸—A3CD中，底面是边长为2的菱形，NSAD=60。，PB=PD=42-

(1)证明：平面平面ABC。；

(2)设〃在AC上，AH=-AC,若PH=^,求PH与平面尸5c所成角的正弦值.

33

【一.后

%=2H-----1

2

18.(12分)在平面直角坐标系xOy中，直线/的参数方程为；(，为参数)，以坐标原点。为极点，X轴

V=1------1

2

的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为夕2-4夕cos夕=3.

(1)求直线I的普通方程和圆C的直角坐标方程；

(2)直线/与圆C交于A,B两点,点尸(2,1),求|P用的值.

19.(12分)已知函数/(x)=sinx+Gsin(x+1)+sin(x+m),xeR.

(I)求“2019万)的值;

(II)若/(。)=1,且0<1(不，求cosa的值.

20.(12分)已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y-29=0相切.

(1)求圆的方程；

(2)设直线ax-y+5=0(«>0)与圆相交于A,3两点，求实数a的取值范围；

(3)在(2)的条件下，是否存在实数a,使得弦A5的垂直平分线/过点产(-2,4),若存在，求出实数“的值；

若不存在，请说明理由.

21.(12分)如图，在直三棱柱ABC—A4G中，AB=BC=AAl=l,AC=6,点、D,E分别为AC和四。1的中点.

(I)棱A/上是否存在点尸使得平面平面ABE?若存在，写出的长并证明你的结论；若不存在，请说

明理由.

(II)求二面角A—BE—。的余弦值.

22.(10分)已知函数/(幻=2如+陵一1一2111%(46火).

(I)当6=0时，讨论函数/(尤)的单调区间；

(II)若对任意的ae工3］和xe(0,+8),f(x)>2法一3恒成立，求实数力的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

作出二面角戊的补角、线面角夕、线线角/的补角，由此判断出两个命题的正确性.

【详解】

①如图所示，过A'作40,平面3CDE,垂足为。，连接OE,作连接AM.

由图可知NA'MO=;F—ZAEO^j3<ZAMO=7v-a,所以c+月〈万，所以①正确.

②由于3C//DE,所以A'E与8。所成角/=〃—NA'EZ)<NA'MO=»—a,所以a+乃，所以②正确.

综上所述，①②都正确.

故选：A

本题考查了折叠问题、空间角、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

2.B

【解析】

_4x3

由题得。1+〃=—5,4alH---d=—16,解得q=-7,d=2,计算可得与.

【详解】

4x3_

1.-a2=-5,S4——16,ar+d——5,4见■)—d=—16,解得。i=-7,d=2,

4=q+5d=3.

故选：B

本题主要考查了等差数列的通项公式，前九项和公式，考查了学生运算求解能力.

3.D

【解析】

7T

分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在(万,兀)上的符号，即可判断选择.

详解：令于3=2Msin2x，

因为x€R,f(—x)=2卜乂sin2(-x)=一2.sin2x=-7(x),所以/(x)=2凶sin2x为奇函数，排除选项A,B;

jr

因为xeq,兀)时，/(%)<0,所以排除选项C,选D.

点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：(1)由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值

域，判断图象的上、下位置；(2)由函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)由函数的奇偶性，判断图象的对称性;

(4)由函数的周期性，判断图象的循环往复.

4.D

【解析】

求解不等式，得到集合A,B,利用交集、补集运算即得解

【详解】

由于log2(4—九)<1.\2<x<4

故集合4=[2,4)

(%—3)(%—5)>0尤<3或无>5

故集合B=(-00,3)D(5,+00)

@B)C|A=[3,4)

故选：D

本题考查了集合的交集和补集混合运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题.

5.D

【解析】

利用诱导公式和同角三角函数的基本关系求出cos?。,再利用二倍角的正弦公式代入求解即可.

【详解】

3

因为tan(〃+OL)——,

4

cinrv3

由诱导公式可得,tana=——=—-,

cosa4

3

即sina=——cosa,

4

因为sin?or+cos2a=1,

16

所以cos9a=—,

25

由二倍角的正弦公式可得，

sinla=2sintzcostz=——cos2a,

2

g-c31624

所以sm2(z=——x一=----.

22525

故选:D

本题考查诱导公式、同角三角函数的基本关系和二倍角的正弦公式;考查运算求解能力和知识的综合运用能力;属于中档

题.

6.A

【解析】

根据指数函数的单调性，可得再利用对数函数的单调性，将仇。与1,；对比，即可求出结论.

【详解】

1L1

由题知a=55〉5°=l,l〉b=log46〉log42=5,

c=log52<log5A/5=^,贝Ua>6>c.

故选:A.

本题考查利用函数性质比较大小，注意与特殊数的对比，属于基础题..

7.B

【解析】

2,0,1,9,10按照任意次序排成一行，得所有不以0开头的排列数共4A：=96个，其中含有2个10的排列数共A；=12个,

所以产生的不同的6位数的个数为96-12=84.故选B.

8.C

【解析】

由二项式系数性质，｛a+bY的展开式中所有二项式系数和为2"计算.

【详解】

+的二项展开式中二项式系数和为2"，二2"=32,.•.“=5.

故选：C.

本题考查二项式系数的性质，掌握二项式系数性质是解题关键.

9.C

【解析】

由题可乐・荏=0,衣•汨=12,所以将已知式子中的向量用而通，恁表示，可得到的关系，再由三

点共线，又得到一个关于羽y的关系，从而可求得答案

【详解】

由丽=而，贝U

AD=(x+l)AB+yAC,AbAD=AD[(x+AB+yAC]=(x+l)ADAB+yAbAC,即4=12y,所以y=；,

又台,。,。共线，则x+l+y=l,x=—g,2x+y=—g.

故选：C

此题考查的是平面向量基本定理的有关知识，结合图形寻找各向量间的关系，属于中档题.

10.A

【解析】

试题分析：。=4。5={3,4,5,7,8,9},4^^5={4,7,9},所以6(4门5)={3,5,8},即集合的(Ac5)中共有3个

元素，故选A.

考点：集合的运算.

11.B

【解析】

解：命题p：Vx>0,In(x+1)>0,则命题p为真命题，则「p为假命题；

取a=-l,b=-2,a>b,但a2<b2,则命题q是假命题，则「q是真命题.

；.pAq是假命题，p八「q是真命题，「pAq是假命题，「pA「q是假命题.

故选B.

12.B

【解析】

令于3=t,则r―2m+3a=0,由图象分析可知产—2G+3a=0在(2,4]上有两个不同的根，再利用一元二次方程

根的分布即可解决.

【详解】

令/(x)=t,贝！)/_2成+3a=0,如图

o

y=gy=/(x)顶多只有3个不同交点，要使关于X的方程[/(%)『—2叭x)+3〃=。有

六个不相等的实数根，则t2-2at+3a=G有两个不同的根％修£(2,4],

设(?(%)=干—2at+3a由根的分布可知,

A=4a2—12a>0

ae(2,4)

解得3<aV.

g⑵〉0

g(4)>0

故选：B.

本题考查复合方程根的个数问题，涉及到一元二次方程根的分布，考查学生转化与化归和数形结合的思想，是一道中

档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.40

【解析】

根据二项定理展开式，求得r的值，进而求得系数.

【详解】

根据二项定理展开式的通项式得C；(丁)*[2]=C；2rx10-3r

所以10—3r=4,解得r=2

所以系数C；X22=40

本题考查了二项式定理的简单应用，属于基础题.

14.81

【解析】

根据二项式系数和的性质可得小再利用展开式的通项公式求含x项的系数即可.

【详解】

由于所有项的二项式系数之和为2"=256,〃=8,

故(、6一2)〃的二项展开式的通项公式为T]=q.(-2)r-X~^，

令4—三=1,求得厂=2,可得含x项的系数等于4C；=112,

故答案为：8；1.

本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于中档题.

15.3-4/

【解析】

计算得到z2=(2+02=3+4。再计算7得到答案.

【详解】

z=2+i,/.z2=(2+i)2=3+4z,则z2=3_4j.

故答案为：3-4z.

本题考查了复数的运算，共轨复数，意在考查学生的计算能力.

16.35

【解析】

直接根据复数的代数形式四则运算法则计算即可.

【详解】

z=l+3z>z(z-10)=(1—3z)(l+3z-10)=30z.

本题主要考查复数的代数形式四则运算法则的应用.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)见解析；(2)叵

3

【解析】

(1)记Acrpo=。，连结尸o,推导出班>，平面PAC，由此能证明平面平面ABCD；(2)

推导出PHLAC,平面ABCD,连结由题意得〃为AABD的重心，BCLBH,从而平面平

面尸5C,进而NHPS是PH与平面尸5c所成角，由此能求出/W与平面P5C所成角的正弦值.

【详解】

(1)证明：记ACnBD=。，

连结PO,A/如中，OB=OD,PB=PD，:.BD±PO,

\-BDLAC,AC[yPO=O,，勖，平面PAC,

Q5£)u平面ABCD,二平面B4cl,平面ABCD.

jr

(2)APOB中,ZPOB=-,OB=1,PB=C，：.P0=\,

2

•:AO=g，OH=昱,

3

.­,PH2=(^.)2=|,:.PH2=PO2+OH2,

:.PH±AC,..PH，平面ABC。，BC,

连结HB，由题意得H为AABD的重心，

JTT[

:2HBO=—，NHBC=—,..3C_LB〃，..5CJ_平面PHB

62

•••平面PHB，平面PBC,：.H在平面PBC的射影落在PB上,

ZHPB是PH与平面PBC所成角,

PH当，PB3,：.BH昔,

.•.RtAPHB中，

:.s"BPH=%=空

BP3y/23

PH与平面PBC所成角的正弦值为逅

3

入\/

-----------

B

本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查运算求

解能力，是中档题.

18.(1)直线/的普通方程x+y—3=。，圆。的直角坐标方程：/+丁_4-3=0.⑵6

【解析】

(1)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.

(2)将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，利用一元二次方程根和系数关系式即可求解.

【详解】

f°V2

X—2H-----1

2

（1）直线/的参数方程为《;（/为参数），转换为直角坐标方程为1+y-3=0.

y1

[=1---2---

圆C的极坐标方程为P2-4pcos0=3,转换为直角坐标方程为―+俨-4%-3=0.

f亚

X—2H-----1

2

（2）把直线/的参数方程为:（/为参数），代入圆的直角坐标方程N+y2-4%-3=0,

y=1---反---1

I2

得到t2—y[lt—6=0>

所以照||「8|=卬2|=6.

本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运

算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.

19.(I)一空;(II)粗-2垃.

26

【解析】

(I)直接代入再由诱导公式计算可得；

(II)先得到sin(e+g)=g,再根据coso=cos+利用两角差的余弦公式计算可得.

【详解】

解：(I)/(2019%)=sin2019%+石sin12019%++sin12019兀+：］

二-sin0-y/3sin--sin—

23

=-6+0-2.正；

22

(II)因为/(x)=sinx+逝sin(x+1)+sin(x+3)，xwR

所以/(x)=sinx+A/3COSx+^-sinx+cosx=3sin(x+，

7rli

由/(«)=1得sin(tz+-)=-<-,

又因为0<i<»,故，<a<g,所以cos(e+：)=-微2,

本题考查了三角函数中的恒等变换应用，属于中档题.

53

20.(2)(x-2)-+y^—2.(2)(—,+co).(3)存在，a=—

124

【解析】

(2)设圆心为M(加，0),根据相切得到R"L29|=5,计算得到答案.

5

(2)把直线〃x-y+5=0,代入圆的方程，计算△=4(5a-2)2-4(a2+2)>0得到答案.

(3)/的方程为y=-(x+2)+4,即x+〃y+2-4〃=0,过点M(2,0),计算得到答案.

a

【详解】

(2)设圆心为0)(mez).由于圆与直线4x+3y-29=0相切，且半径为5,

l4m-29l

所以J-------U5,即|4m-29|=2.因为根为整数，故根=2.

5

故所求圆的方程为(x-2)2+俨=2.

(2)把直线〃x-y+5=0,即y=ox+5,代入圆的方程，消去y,

整理得(6Z2+2)x2+2(5〃-2)x+2=0,

由于直线-y+5=0交圆于A,3两点,故△=4(5a-2)2-4(a2+2)>0,

即22〃2-5〃>0,由于。>0,解得〃>—,所以实数〃的取值范围是(—,+co).

1212

(3)设符合条件的实数。存在，则直线/的斜率为-工，

a

/的方程为y=(x+2)+4,即x+ay+2-4a=0,

a

由于/垂直平分弦AB,故圆心M(2,0)必在/上，

33/5、3

所以2+0+2-4a=0,解得a=—.由于二二,+oo],故存在实数。=—

44112J4

使得过点尸(-2,4)的直线I垂直平分弦AB.

本题考查了直线和圆的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力.

311

21.(I)存在点P满足题意，且丛==，证明详见解析；(II)—.

419

【解析】

(I)可考虑采用补形法，取AC的中点为B，连接EE"，小，可结合等腰三角形性质和线面垂直性质，先证

平面ACC],即BDLA产，若能证明则可得证，可通过应△E4Ds及△/1!)尸我们反推出点p对应位置

3

应在R4=-处，进而得证；

4

(II)采用建系法，以。为坐标原点，以DB,DC,分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，分别求出两平面对应

法向量，再结合向量夹角公式即可求解；

【详解】

3

(I)存在点尸满足题意，且上4='.

4

证明如下：

取AG的中点为R，连接历，AF,DF.

则打〃A耳〃A8,所以AFu平面ABE.

因为46=3。，。是AC的中点，所以

在直三棱柱A3C—4与£中，平面ABC，平面ACG，且交线为AC，

所以班)，平面ACC_所以BD_LA尸.

在平面ACG内，—>ZR4D=ZADF=90°,

ADDF2

所以RAPADs拉△ADF,从而可得AD.

又因为所以"，平面PBD.

因