2025年高考数学一轮复习：课时作业七 函数的单调性与最值

七函数的单调性与最值

（时间：45分钟分值:85分）

【基础落实练】

1.（5分X多选题）下列函数中，在区间。D上是增函数的是（）

1

A.y=|x|B.y=x+3C.yqD.j?=-x2+4

【解析】选AB.函数产|与产4+4在（0,1）上都是减函数.

2.（5分）函数人%）=坨（遥4）的单调递增区间为（）

A.（0,+oo）B.（-oo,0）C.（2,+oo）D.（-oo,-2）

2

【解析】选c.由复合函数的单调性知,要使人X）单调递增，需xY二°，

%>0,

解得x>2.

3.（5分）函数加）=一一在区间［1,2］上的最大值与最小值分别是（）

X+1

111

A-9-B.5,2C.2JD.l9-

【解析】选A.因为产炉+1在（0,+到上单调递增，且乃1,所以於在区间

X+1

［1,2］上单调递减，所以函数1%）一一在区间［1,2］上的最大值与最小值分别是

X+1

1111

__2-%.

4.（5分）函数小户百^,%£（加,“］的最小值为0,则m的取值范围是（）

A.(l,2)B.(-l,2)C.[l,2)D.[-l,2)

【解析】选D.因为人工）田=1+*在（-8,一1）上单调递减，在（一1,+W上单调递减,

人I.L人I.L

且当工£（加加时最小值为0,即人〃尸0,片2,所以加<片2.又函数小）的定义域分为

两段7=2在（-l，+oc）上，故加N-1,综上广机<2.

X

-\'O

一1-1

5.（5分）已知定义在R上的函数人x）对任意（0,九）有人x）：/（-x）=0,且对22>0时,

有％X>0,设。4遂）步》?2）,臼（3）,则（）

人1-12

A.a<b<cB.b<c<aC.a<c<bD.c<b<a

【解析】选A.因为对任意XG（。㈤人乃人-工尸。,所以代2）=/（2）,因为X1,X2>O时有

f（X.）-f（X）LL

——4?>o,所以函数於）在区间（0m）上单调递增，因为"<2<3,所以人也

］-2

）</（2）</（3），即人"）</（-2）</（3）,所以a<b<c.

6.（5分）（多选题）关于函数产（4.（%+1］,下列说法正确的是（）

A.在区间［-1,0］上单调递减

B.单调递增区间为

C.最大值为2

D.没有最小值

【解题指南】先求出函数定义域，令片4«+1)2根据二次函数的性质，由已知解析

式，逐项判断，即可得出结果.

【解析】选ABC.由4-(%+1冶0得一3至口，

即函数尸,4-(%+的定义域为［-3,1］.

令片4«+1)2,则片4-(%+1)2的图象是开口向下、对称轴为产-1的抛物线，

所以函数片4«+1)2在［一3,-1］上单调递增，在上单调递减.

又产M单调递增，所以尸而"7『在［3-1］上单调递增，在口,1］上单调递减，

故A,B正确；

Jmax=j4_(_］+I/2,

当产-3时产J4_(_3+1)2=0,

当X=1时产“-(1+1，=0,则Jmin=0,故C正确,D错误

7.(5分)函数尸-广+2］中1的单调递增区间为，单调递减区间

为.

-x+2x+l,x>0,

【解析】严2

-x-2x+l5x<0,

-(%-1)+2,x>0,

即产，2

-(%+1)+2?x<0.

画出函数图象如图所示,

则其单调递增区间为和［0,1］,单调递减区间为［-1⑼和［1,+功.

答案和［0,1］［10］和［1,+8）

8.（5分）函数危尸-x+：在［-2」］上的最大值是_______.

1

【解析】易知八%）在［-2,-寸上单调递减，

12

即火-2）为最大值为2-^.

林室总

口木，2

9.（5分）函数产2x+的最小值为.

【解析】方法1（单调性法）:函数产2x+产I的定义域为［1,+8）,因为函数尸2x

与尸lI在定义域口,+8）上均单调递增，

故厂2%+月1在［1,+8）上单调递增，

所以当％=1时，Vmin=2+Jl_1=2,

即函数y=2x+C^l的最小值为2.

方法2（换元法）:令5工=力则仑0/=产+1,

所以原函数转化为刖=2祥+什2=2（+）2+?

易知在易[0,+8）时,函数刖单调递增,

所以当片0时而）min=2,

故函数歹=2x+7^1的最小值为2.

答案：2

10.（10分）已知函数益）可.

（1）写出函数1%）的定义域和值域；

【解析】⑴函数小）的定义域为｛小川｝.

9

又1工）=1+丁所以函数於）的值域为｛y[y#l｝.

（2）证明:函数/（x）在（0,+8）上单调递减,并求1工）在x£[2,8]上的最大值和最小值.

2(%2-%1)

>

又0<%1<%2,所以%1%20,%2-^1>0,

所以加1）次%2）>0,即加1）次）2）,

所以函数人%）在（0,+8）上单调递减.

在X引2,8]上加）的最大值为42）=2,最小值为48谆

41

2

11.（10分）已知外）="+：+、e[l,+oo）.

1

⑴当时，求函数人%）的最小值；

11

【解析】⑴当喳时/)=x+五+2,

任取1<X1<X2,

(XX2XX

mi〃、〃、/、/11、i'2)(I2-1)

则大修)十%2)=(%1-%2)+----右-----

乙人］乙人*2乙人］入2

因为1<%1<%2,

所以修工2>1,所以2%1%2-1>0.

又Xi-X2<0,

所以於1)夕%2)<。,即於1)成切，

所以於)在口,+功上单调递增.

7

所以於)在［1,+8)上的最小值为X1)^.

(2)若对任意工£［l,+8)4x)>0恒成立，试求实数a的取值范围.

【解析】(2)在区间口,+8)上/)恒成立=/+2%+心()恒成立.

2

设g(x)^x+2x+a(x>1),p］IJg(x)min>o.

又g(x)=(x+l)2+a-l,其图象的对称轴为X=-1,且开口向上，

所以g(x)在口,+8)上单调递增，

所以g(x)在［1,+8)上的最小值为g⑴=3+a.

由3+A0得。>-3,所以a的取值范围是(-3,+8).

【能力提升练】

12.(5分)(多选题)下列函数有最小值的是()

12

A，Xx)=x2+-^B./x)=2x+-

Xx

X-1I—

C4X)GTTDX^)=lg(V^+1)

,1

【解析】选AD.对于A/)=%2+学2,

X

1

当且仅当炉个,即％=±1时等号成立，故_A%)min=2,A正确.

X

对于B,当x>0时，

外)=2%+：22,2%.|=4,

当且仅当即％=i时等号成立；

当x<0时，式%)=2(-%)+三之2j(-%).三=4,当且仅当2(-%)=^,即x=-l时等号成立,

2

故加)£4.所以加)=2%+工勺值域为(-8,一4］U［4,+功,无最小值,B错误

Y19

对于1-5T的值域为无最小值,C错误.

对于D,由题意可得｛口：彳，0,解得后0,

故危尸lg(m+1)的定义域为［0,+8).

因为尸lgU在定义域内单调递增，片m+1在定义域［0,+8)上单调递增，

所以加)=坨(m+1)在定义域［。,+8)上单调递增，

则/(x)=lg(a+l)求0尸0,故人x)=lg(m+l)有最小值0,D正确.

f(x.)-f(x)

13.(5分)已知函数产/㈤的定义域为R,对任意修通且％e2,都有」~冬Q-1,则

-X2

下列说法正确的是()

A.y=/a)+x是增函数

B.y=/(x)+x是减函数

C.y=/3)是增函数

D.y=/a)是减函数

【解析】选A.不妨令11<%2,所以修-工2<。，

/(%1)-/(^9)

因为Y1日/8)出%2)<