【学霸满分】2023-2024学年九年级数学下册重难点专题提优训练（北师大版）专题13 垂径定理之六大考点（原卷版）

专题13垂径定理之六大考点【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一利用垂径定理求值】 1【考点二利用垂径定理求平行弦问题】 4【考点三利用垂径定理求同心圆问题】 7【考点四利用垂径定理求解其他问题】 10【考点五垂径定理的推论】 13【考点六垂径定理的实际应用】 16【过关检测】 18【典型例题】【考点一利用垂径定理求值】例题：（2023上·安徽合肥·九年级校考阶段练习）如图，为的直径，为的弦，，垂足为，，，．【变式训练】1．（2023上·江苏无锡·九年级校考期末）如图，是的直径，弦，垂足为点E，，则．2．（2023上·江苏苏州·九年级苏州工业园区星湾学校校考期中）将半径为5的如图折叠，折痕长为6，C为折叠后的中点，则长为．【考点二利用垂径定理求平行弦问题】例题：（2023秋·天津和平·九年级校考期末）半径为5，弦，，，则与间的距离为（

）A．1 B．7 C．1或7 D．3或4【变式训练】1．（2023·全国·九年级专题练习）在半径为10的中，弦，弦，且，则与之间的距离是．2．（2023春·甘肃武威·九年级校联考阶段练习）的半径为13cm，AB、CD是的两条弦，，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离．【考点三利用垂径定理求同心圆问题】例题：如图，已知的两条弦、分别与的同心圆交于点E、F、X、Y，，，，则的长度为．

【变式训练】1．如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为cm2．如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．(1)求证：．(2)若，大圆的半径，求小圆的半径r．【考点四利用垂径定理求解其他问题】例题：如图所示，一圆弧过方格的格点，试在方格中建立平面直角坐标系，使点的坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）

A． B． C． D．【变式训练】1．如图是一破损了的圆形零件的设计图，请你根据所学的有关知识将设计图恢复完整．

2．已知：如图，是的直径，点C在上，请用无刻度直尺画图（保留作图痕迹，不写画法）．

(1)如图①，若M是半圆的中点，且与C点在同侧，画出的平分线．并说明理由；(2)如图②，若，画出的平分线．【考点五垂径定理的推论】例题：（2023·新疆喀什·统考二模）某公路隧道的截面为圆弧形，设圆弧所在圆的圆心为O，测得其同一水平线上A、B两点之间的距离为12米，拱高为4米，则的半径为米．【变式训练】1．（2023·浙江·九年级假期作业）如图是一位同学从照片上前切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，厘米．则“图上”太阳从目前所处位置到完全跳出海平面，升起厘米．2．（2023春·江苏无锡·九年级校联考期末）《九章算术》中卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？转化为数学语言：如图，为的半径，弦，垂足为，寸，尺尺寸，则此圆材的直径长是寸．【考点六垂径定理的实际应用】例题：（2023春·安徽亳州·九年级专题练习）如图，的直径与弦交于点E，，则下列说法错误的是（

）A． B． C． D．【变式训练】1．（2023春·九年级单元测试）下列说法正确的是（）①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦②平分弦的直径平分弦所对的弧③垂直于弦的直线必过圆心④垂直于弦的直径平分弦所对的弧A．②③ B．①③ C．②④ D．①④2．已知一座圆弧形拱桥，圆心为点O，桥下水面宽度为，过O作于点D，．

(1)求该圆弧形拱桥的半径；(2)现有一艘宽，船舱顶部高出水面的货船要经过这座拱桥（船舱截面为长方形），请问，该货船能顺利通过吗？【过关检测】一、单选题1．（2023上·江苏盐城·九年级统考期中）如图，是的弦，半径，垂足为D，设的半径为5，，则的长为（

）A．4 B．6 C．8 D．102．（2023上·广西南宁·九年级南宁市第四十七中学校联考阶段练习）如图，点在上，直径于点，下列结论中不一定成立的是（

）A． B． C． D．3．（2023上·陕西西安·九年级西安市铁一中学校考阶段练习）已知，为中的两条弦，．若，，的直径为，则与之间距离为（

）A． B． C．或 D．4．（2013·重庆·统考二模）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于C点，AB=12cm，AO=8cm，则OC长为（）cmA．5 B．4 C． D．5．（2023上·浙江杭州·九年级杭州市丰潭中学校考期中）杭州亚运会开幕式出现一座古今交汇拱底桥，桥面呈拱形．该桥的中间拱洞可以看成一种特殊的圆拱桥，此圆拱桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长），拱高（桥拱圆弧的中点到弦的距离）约为，则此桥拱的半径是（）A． B． C． D．二、填空题6．（2023上·福建莆田·九年级校考期中）如图，都是的半径，交于点D．若，则的长为

7．（2023上·江苏扬州·九年级统考阶段练习）把一张圆形纸片按如图方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数是．8．（2023上·江苏南京·九年级统考期中）“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径如何？”．问题翻译为：如图，现有圆形木材埋在墙壁里，不知木材大小，将它锯下来测得深度为1寸，锯长为10寸，则圆材的半径为寸．9．（2023上·全国·九年级专题练习）已知的直径为，，是的两条弦，，，，则与之间的距离为cm．10．（2023上·浙江金华·九年级校联考期中）图1是某奢侈品牌的香水瓶．从正面看上去（如图2），它可以近似看作割去两个弓形后余下的部分与矩形组合而成的图形（点B、C在⊙O上），其中；从侧面看，它是扁平的，厚度为，已知的半径为，，香水瓶的高度为，现用一张矩形硬纸板做成如图3所示的香水瓶包装盒，则这个香水瓶包装盒的表面积是三、解答题11．（2023上·安徽合肥·九年级校考阶段练习）如图，是的直径，且经过弦的中点，已知，，则的长的长度．

12．（2023上·江苏苏州·九年级苏州高新区第二中学校考阶段练习）如图，在中，，以点O为圆心，为半径的圆交于点C，交于点D．(1)若，则弧的度数为______．(2)若，，求的长．13．（2023上·湖北黄冈·九年级统考期中）某村为了促进农村经济发展，建设了蔬菜基地，新建了一批蔬菜大棚．如图是蔬菜大棚的截面，形状为圆弧型，圆心为，跨度（弧所对的弦）的长为8米，拱高（弧的中点到弦的距离）为2米．

(1)求该圆弧所在圆的半径；(2)在修建过程中，在距蔬菜大棚的一端（点）1米处将竖立支撑杆，求支撑杆的高度．14．（2023上·北京·九年级期末）如图，内接于，是的直径，，垂足为D．(1)求证：；(2)已知的半径为5，，求长．15．（2023上·江苏徐州·九年级统考期中）在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于C、D两点．

(1)与相等吗？为什么？(2)若大圆、小圆的半径分别为13和7，，求的长．16．（2023上·江苏苏州·九年级苏州市胥江实验中学校校联考阶段练习）如图，中，，以为直径作，分别交，于点，，过点作，交于点，垂足为，连接．(1)若，求的度数；(2)若，，求弦的长．17．（2023上·河北石家庄·九年级校联考期中）如图，是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为O，直径是河底藏线，弦是水位线，米，于点E，此时测得．(1)求的长；(2)如图，阴影矩形是漂浮的箱子移出水面的截面图，若其长为10米，高为2米，当点E恰在中点时，①画出半圆O最高点H，并直接写出点H到线段的距离；②若该箱子随水面上升1米，请判断此木箱能否通过该桥洞．并说明理由．18．（2023·广东深圳·校考模拟预测）[问题提出]（1）如图①，在等腰直角中，，为等边三角形，，则线段的长为．[问题解决]（2）如图②，