安徽省池州市贵池区2024-2025学年九年级上学期开学考数学试题

九年级数学随堂练习（九月份）

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）

1.“长城是中华民族的骄傲"的英文是"TheGreatWallistheprideoftheChinesenation",在这句英文中,

字母“i”出现的频率是（）

2.适量的运动有助于身体健康.经常运动的人在静息状态下心率的范围是60〜80次/分.某班班主任随机

测量了15名学生的心率，统计结果如下表所示：

心率/（次/分）6068707380

人数/名25512

这15名学生的心率的中位数是（）

A.65次/分B.67.5次/分C.70次/分D.72.5次/分

3.3知-6+j6-3x+y=2024,则J2024肛的值为（）

A.202473B.2024&C.2024D.2025

4.象棋是中国的传统棋种。在如图所示的象棋盘中，每个小正方形的边长均为1,“马”从图中的位置出发,

按照“马走日”的规则，走一步之后的落点与‘'帅”的最大距离是（）

A.5B.75C.A/13D.V17

5.下列运算正确的是（）

A.-\/6—A/4=,^2B.2A/5x3A/5=6A/5

c.（3-Vio）（3+Vio）=iD.V18-V8=V2

6.若关于x的一元二次方程（a—+x—g

=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）

A.awlB.a>一且awlC.且D.a>l

22

7.生活中，我们可以用肘、柞、步长等来估计距离，某校教室里新安装了一台屏幕为矩形的多媒体设备，

小明同学想知道屏幕有多大，他用手测得屏幕的长是12挥，宽是5挥，则屏幕的对角线长大约是（）

（如图，1升=20cm）

A.100cmB.240cmC.260cmD.340cm

8.某校举办了运动会，在200m赛跑中，有5位同学的成绩如下表所示,其中有两个数据被墨水遮盖了,

那么被遮盖的两个数据依次是（）

同学甲乙丙T戊平均成绩方差

时间/s3234363333

A.30,4B.30,2C.32,4D.32,2

9.如图，在,ABCD中，AD=2AB*是AD的中点，作CELAB,垂足£在线段上，连接防,CF,

下列结论中错误的是（）

A.ZDCF=-ZBCDB.EF=CFC.ZDFE=3ZAEFD.BC=BE

2

10.如图，在正方形ABCD中，是对角线5。上的两点，且NM4N=45°,若BM=1,DN=2,

则MN的长为（）

A.5B.3卡C.2A/5D.75

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

11.计算：&般-娓=.

12.睡眠管理作为“五项管理”中重要的内容之一，也是学校教育重点关注的内容，为了了解学生的睡眠

情况，张老师统计了八（3）班40名学生每天的睡眠时间，结果如下表所示，该班学生每天的平均睡眠时

间是h.

睡眠时间/h891()

人数/人62410

13.在△ABC中，NC=90°,48=0,3。=a,AC=6.若〃—a=6,。=3帽，则△ABC的面积为.

14.如图，在菱形ABC。中，AB=2,ZABC=120°.

(1)菱形A3CD的面积为.

(2)若点及尸分别在A5,CD上，且DF=BE,连接。E,A产，则。石+A尸的最小值为.

三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)

15.解方程.

(1)3X2+X-4=0.(2)(3x—2)2=(2x—3了.

16.计算.

(1)V6xJ|+V12-A/27.(2)(甘+国(3—6)+(52了.

四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)

17.如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“梦想三角形”.

(1)如图，在5c中，AB=AC=5,BC=2卮求证：AA3C是''梦想三角形”.

(2)在Rt2\ABC中，NC=90°,AC=2jL若/XABC是“梦想三角形”，求5c的长；

18.若关于x的一元二次方程(％—2)(x-3)=加有实数根毛,％2，且再片赴.

(1)求机的取值范围.

(2)若%；%2+再后=15,求7〃的值.

五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)

19.2023年10月4日，杭州第19届亚运会龙舟项目在温州龙舟运动中心开赛，某商店为满足龙舟爱好者

的需求，特推出了龙舟模型，已知该模型每件成本30元，当模型售价为50元时，10月售出300件，11月、

12月销量持续走高，假如12月售出507件.

(1)求11月、12月这两个月的月平均增长率.

(2)为了让利于爱好者，商店决定在每月售出507件的基础上降价销售，已知模型单价每降低1元，可多

售出5件.若要使该商店仍能获利5570元，则每件模型应降价多少元？

20.观察下列等式.

第1个等式：（22-1）2+42=52；

第2个等式：（32—1）2+62=102；

第3个等式：（4?-1）2+82=*2;

第4个等式：（52-1）2+102=262.

（1）请用含〃（〃为正整数，且〃>1）的等式表示上面的规律，并证明其正确性.

（2）若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数（例如，3,4,5）.现有一个直角

边为35的直角三角形，它的三边长能否为勾股数？若能，请利用（1）中得出的等式算出这组勾股数；若

不能，请说明理由.

六、（本题满分12分）

21.像（6+2）（6—2）=1,血'•&=a（a20）,（扬+1）（扬—1）=》—1。20）,两个含有二次根式的

代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为“有理化因式”。例如、也与亚,6+1与

行-1,20+3百与20-3石等都是互为“有理化因式”.进行二次根式计算时，利用“有理化因式”

可以化去分母中的根号.

2

（1）化简：①--7==

\/7-\5

J(j2025+l).

（2）计算:

+A/3+V2+V4+V3++)2025+,2024

（3）已知a=J2023-J2O22,2=42024-42023,c=Y2a25-J2024,试比较。，瓦c的大小，并说明

理由.

七、（本题满分12分）

22.为了“弘扬载人航天精神，厚植爱国主义情怀”，某校团委从八、九年级学生中各抽取10名进行航天

知识竞赛.为便于统计成绩，采用了取整数的计分方式，满分10分.此次竞赛的成绩如下表所示：

学生编号©②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩

八年级8979867a108

九年级87978108779

（1）若八年级学生和九年级学生的平均成绩都是8分，则表中的。=.

（2）八年级学生成绩的中位数是多少？

（3）若八年级学生成绩的方差是1.2,请求出九年级学生成绩的方差，并判断哪个年级学生的成绩更为稳

定.

八、（本题满分14分）

23.如图，在正方形A3CD中，P为5D的延长线上一点，连接B4,过点P作？ELBA,交的延长

线于点£,过点£作历，成于点尸.

(1)求证：ABEF为等腰直角三角形.

(2)求证：①CE=JiPD；

②BD=2PF.

(3)若BP=BE,求证：PF=(V2+1)DF.

九年级数学

参考答案及评分标准

一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)

题号12345678910

答案CCBADBCADD

10•【解析】如图，将绕点A逆时针旋转90。得到连接

,AMAN=45°,.•.AMAN=ZHAN=45°,■.AABM绕点A逆时针旋转90。得到△ADH,

AH=AM,DH=BM=1,ZABM=ZADH=45°,

AM^AH,

在人勿河与△AfflV中，＜AMAN=ZHAN,

AN=AN,

AAACV2AAfflV(SAS),:.MN=HN,ZNDH=ZADN+ZADH=450+45°=90°,

：.MN=HN=ylDH2+DN2=75.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)

11.瓜12.9.113.-

2

14.(1)2A/3(2)4

【解析】(2)如图，连接CE,作点。关于直线A3的对称点N,连接CE,BN,NE,DB,可得

DE=NE,DK=NK,DN±AB,:四边形ABCD是菱形，:.AB=CD,AB//CD,AD//BC,

DF=BE,ZABC=120°,:.AE=CF,ZDCB=ZDAB=60°,/.四边形AECF为平行四边形，

:.AF=CE,:.DE+AF=NE+CENCN,当E,N,C三点、N共线时,DE+AF最小，四边形ABCD

是菱形，NAfiC=120°,.・.AB=AD,NABr)=60°,.・.A、ABr>为等边三角形，:.AD=BD,

DN±AB,:.AK=BK,-.DK=NK,ZAKD=ZBKN,^ADK^^RNK,

ZNBK=ZDAB=60°,BN=AD=2,ZABC=120°,/.NNBK+ZABC=180°,N,B,C三点、

共线，当及N,C三点共线时，点E,5重合，BN=BC=2,:.CN=4,即。石+A尸的最小值为4.

三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)

15.解：(1)3x?+*一4=0,

3光’—3+%—1=0,

3(x+l)(x—l)+(x—1)=0,

(x-l)(3x+4)=0,

二九一1=0或3x+4=0,

(2)(3x—2)2=(2x—3)2,

(3x-2)2—(2x-3)2=0,

[(3x-2)+(2%-3)][(3x-2)-(2x-3)]=0,

(5尤-5)(x+l)=0,

...5尤一5=0或％+1=0,

xx=l,x2=-1.

16.解：(1)原式=百+20—36=0.

(2)原式=7—5+3—4百+4=9—46.

四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)

17.(1)证明：如图1,过点A作AD,5c于点

AB=AC,AD1BC,:.BD=-BC=45,

2

由勾股定理得AD=NABP-B»=2A/5,

:.AD=BC,即△ABC是“梦想三角形

(2)解：如图2,当AC边上的中线HD=AC时，BC=y/BD2-CD2=3,

当3c边上的中线AB=NC时，AC2^AE2-CE2,即BC?—=(2百解得5c=4,

综上所述，=3或4.

18.解：(1)(%—2)(%—3)=根化为一般形式为炉一5冗+6-加二。，

♦・,原方程有实数根玉，马，且玉。工2，

/.A=b2—4ac=(-5)2—4(6—m)>0,

解得用〉一工.

4

(2)由(1)得再+々=5,%1%2=6-加,

,+%；%2=15,

/.XXX2(%1+々)=15,

/.（6-m）x5=15,

解得m=3.

五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

19.解：（1）设11月、12月这两个月的月平均增长率为x,

根据题意可得300（1+x）2=507,

解得Xi=0.3=30%,々=—2.3（不合题意，舍去）.

答：11月、12月这两个月的月平均增长率为30%.

（2）设当模型降价力z元时，该商店获利5570元，根据题意可得（50—30—机）（507+5?篦）=5570,

解得=10,7%=-91.4（不合题意，舍去）。

答：每件模型应降价10元.

20.解：（1）由题中等式的规律可得一+（277）2=[2+1）2,

证明：左边="4一2/+1+4/=+2"?+1=（"2+1）=右边.

（2）它的三边长能为勾股数.理由如下：

35=36—1=62—1,

把九=6代入，得⑹—1）2+（2x6）2=（62+1）2,

BP352+122=372,

它的三边长能为勾股数，这组勾股数为35,12,37.

六、（本题满分12分）

_________J2025->2024________

“2025+1)

(42025+(2024)(J2025-(2024)

=(V2-1+V3-V2+V4-A/3++,2025-,2024)(42025+1)

=(72025-1)(72025+1)

=2025-1

=2024.

1________A/2023+J2022_________

=(2023+J2022,

a,2023-12022(V2023+V2022)(72023-V2022)

同理：L1,=-2024+12023,

b0024—J2023

,1,=0025+J2024,

cV2025-V2024

11

—<-<-,:.a>b>c

abc

七、(本题满分12分)

22.解：(1)8

(2)把八年级学生的成绩按从小到大的顺序排列为6,7,7,8,8,8,8,9,9,10,

,8+8

中位z数a是----=8(分).

(3)九年级学生成绩的方差是：x[4x(7—8>+2x(9—8尸+3x(8—8>+1x(10—8尸]=1,

一八年级学生成绩的方差是1.2,九年级学生成绩的方差是1,

••・九年级学生的成绩更为稳定.

八、(本题满分14分)

23.证明：(1)EF±BP,:.ZBFE=90°,

四边形ABCD是正方形，

NFBC=