2024-2025学年重庆市南开中学高一数学上学期开学考试卷（附答案解析）

2024-2025学年重庆市南开中学高一数学上学期开学考试卷

（试卷满分：100分时间：90分钟）

一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.一个四边形的四边长依次为b,c,d,且（"—°）+M—M=°,则这个四边形一定为（）

A.平行四边形B.矩形

C.菱形D.正方形

2.若4d—（4+1）%+9能用完全平方公式因式分解，则左的值为（）

A.±6B.±12c.—13或11D.13或—n

3.把1+2孙+丁分解因式的结果是（）

A.(x+l)(x-l)+y(2x+y)B.(%+y+l)(x-y-l)

C.(x-y+l)(%-y-l)D.(x+y+l)(x+y-l)

4.回xJg+M的结果在哪两个连续整数之间（）

A.7与8B.8与9C.9与10D.10与11

5.将抛物线y=/_2x+3通过某种方式平移后得到抛物线y=（%-4）2+4,则下列平移方式正确的是

（）

A.向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度

B.向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度

C.向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度

D.向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度

h—1a—]

6.若实数awb,且a,6满足/一8。+5=0，ZJ2-8Z?+5=O＞贝!1代数式--+----值为（）

a-1b-1

A.2B.-20C.2或一20D.2或20

,3

7.若不等式2区2+6一：＜o对一切实数》都成立，则实数左的取值范围是（）

A—3（左＜0B.—3WZW0C.—3＜ZW0D.%＜—3或左之0

1

x-a,八

------1>0

2

8.若关于尤的不等式组〈无解，且一次函数y=（a—5）x+（2—a）的图象不经过第一象限,

4。+2x<2

3-<

则符合条件的所有整数a的和是（）

A.7B.8C.9D.10

二、选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得5分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.

9.我们定义一种新函数，形如y=|依2-4ac>0）的函数叫做“鹊桥”函数.小丽同学

画出了“鹊桥”函数y=2x-3］的图象（如图所示），并写出下列四个结论，其中正确的结论是（）

A.图象与y轴的交点为（0,3）

B.图象具有对称性，对称轴是直线x=l

C.当一1<%<1或X23时，函数值y随x值增大而增大

D.当x=l时，函数的最大值是4

10.己知不等式3加+2ax+l>0，则下列说法正确的是（）

A.若a=—1,则不等式的解集为1-L；

B.若不等式的解集为1-2,：

贝!JQ=--

8

C.若不等式的解集为（％,%），则占4〉0

D.若不等式的解集为（玉,%）"无+玉|+|九—司之耳

11.已知抛物线丁=3代—加+c,当X=1时，y<Q；当X=2时，y<Q.下列说法正确的是（）

A.b2<2c

2

3

B.若c〉l，则

2

c.已知点4(774,4),6(7%,4)在抛物线+c上，当叫<?<〃时，nx>n2

D.若方程］必—法+c=0的两实数根为王,々，则%+々〉3

三、填空题：本题共3小题，每小题3分，共9分.

12.多项式2x?—4孙+4y~+6x+25的最小值为.

13.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为“，b,c,已知bsinAcosC=Lasin3,ab=6,则△ABC

2

的面积为.

14.对于每个x,函数y是％=-x+6,%=-2必+4x+6这两个函数的较小值，则函数y的最大值是

四、解答题：本题共5小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.己知关于x的一元二次方程d—2"+/+2=2(1—另有两个实数根项,马.

(1)求实数左的取值范围；

(2)若方程两个实数根毛,％,满足|%+%|=%%一6，求上的值.

16.已知函数y=2x+a.

x+1

(1)当%>—1时，函数值y随工的增大而增大.求〃的取值范围；

⑵若。=1,求xe［0,2］时，函数值y的取值范围.

17.已知二次函数y=奴2+6x+c的图象经过点A(2,c),

(1)求该抛物线的对称轴；

(2)若点(〃,％)和点5—2,%)均在该抛物线上，当“<2时.请你比较打，为的大小；

(3)若c=l,且当—时，y有最小值;，求。的值.

1

18.己知~7=,求2a2—8a+l的值，小明是这样分析与解答的：

2+V3

1_2-6_°仄

‘••”"飞囚(2_司73,

3

••a-2=—y/3，

•**(a-2)2=3,即/-4。+4=3，

a2—4a=-1，

・・・2/—8Q+1=2(/—4〃)+i=2x(-1)+1=-1.

请你根据小明的分析过程，解决如下问题:

1

(1)若。二不一］，求3〃的值;

口）求万山+及五+国晨行++7100+799值

（3）比较J2025—J2024与J2024—42023的大小，并说明理由.

19.己知某二次函数图象的顶点坐标为（3,T）,且图象经过点（0,5）.

（1）求该二次函数的解析式，

（2）若当时，该二次函数的最大值与最小值的差是9,求才的值；

（3）己知点M（2,m）,N（5,-4）,若该函数图象与线段MN只有一个公共点，求用的取值范围.

4

【答案】

1.A

【分析】由非负数和为零的意义得a-c=0,b-d=O,由平行四边形的判定方法即可求解.

【详解】(a—。7+忸―d|=0,

/.ci—c=0,b—d=0,

a=c,b=d,

四边形一定是平行四边形.

故选：A.

2.C

【分析】由题意可知，关于X的方程4/—(左+l)x+9=0有两个相等的实根，可得出A=0,即可求

得实数人的值.

【详解】由题意可知，关于x的方程4——优+1b+9=0有两个相等的实根，

则△=(左+1)2—4x4x9=(k+1)2—12?=0,解得上=11或一13.

故选：C.

3.D

【分析】观察发现：一、三、四项一组，符合完全平方公式，然后运用平方差公式继续分解.

【详解】x2-l+2xy+y2=(x2+2孙+丁)—1=(x+y)2-l=(x+y+1)(%+y-1).

故选：D.

4.C

【分析】根据二次根式的乘法和二次根式的性质化简再估算血的大小，进一步求解.

【详解】回义《+灰=5后义5+3&=5+3后，

V2«1.414-

;.4<3形<5，

.-.9<5+3V2<10.

故选：C.

5

5.A

【分析】将原二次函数整理为用顶点式表示的形式，根据二次函数的平移法则即可判断.

【详解】函数y=J—2x+3=(x—1了+2,对称轴轴为x=l,顶点为(1,2),

函数y=(x—4,+4,对称轴为x=4,顶点为(4,4),

故将抛物线y=Y-2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，

得到,=(%—4)2+4的图象.

故选：A

6.B

【分析】

b—1a—1

利用韦达定理可求——+--的值.

a-1b-1

【详解】因为4―8々+5=0，〃―8人+5=0,故为方程8X+5=0的两个根，

i^a+b=S,ab=5.

又b-la-1仅-1)2+一2(〃+6)一2ab+2

a—1b—1ab—(〃+Z?)+lab—++1

64-16-10+2.

=--------------二-20,

5-8+1

故选：B.

【点睛】本题考查一元二次方程的解、韦达定理，注意利用同构的思想来构建方程，另外注意将代数式

整合成与两根和、两根积有关的代数式，本题属于基础题.

7.C

3

【分析】由2日92+丘一§<0对一切实数x都成立，结合函数的性质分类讨论进行求解.

3

【详解】解：2"29+丘一§<0对一切实数x都成立，

3

①左二0时，——<0恒成立，

8

快<。

②左00时，L,,c,C，解得一3(左<0,

A=k+3k<0

综上可得，—3〈女W0,

故选：C.

6

8.C

【分析】先解不等式组求出。的取值范围,再根据一次函数的图象不经过第一象限求出a的取值范围，从

而可得符合条件的所有整数然后求和即可得到答案.

-1>00

【详解】因为窘+2工三，

解不等式①得：x>a+2,

解不等式②得：x<3-2a,

此不等式组无解，

a+2»3—2a,解得a2—,

3

一次函数y=(a—5)x+(2—a)的图象不经过第一象限，

a—5<0

解得2<a<5,

2-a<0

综上所述：2<a<5,

所以符合条件的所有整数。的和是2+3+4=9

故选：C

9.ABC

【分析】代入检验函数图象上的点判断选项A；观察图象结合二次函数对称轴公式求解选项B；观察图

象变化情况判断选项C；由函数图象得最值情况判断选项D.

【详解】对于A,点(0,3)的坐标满足函数y=2x-3|,所以函数图象与y轴的交点为(0,3),A选项

正确；

对于B,观察图象可知，图象具有对称性，对称轴用二次函数对称轴公式求得是直线x=l,故B选项正

确；

对于C,根据函数的图象和性质，发现当-1<工<1或X23时，函数值y随x值的增大而增大，故C选

项正确；

对于D,由图象可知，当x<-1时，函数值y随x值的减小而增大，当x>3时，函数值y随尤值的增大

而增大，

均存在大于顶点纵坐标的函数值，故当x=l时，函数值4并非最大值，D选项不正确.

故选：ABC.

7

10.ABD

【分析】对于A解一元二次不等式即可判断，对于BC根据不等式的解集可知对应一元二次方程的根,

由根与系数的关系求解即可判断，对于D,根据根与系数的关系及绝对值不等式即可判断.

【详解】对于A,a=—1时，不等式—3必—2x+l>0,即3f+2万—1<0,即(3x—l)(x+l)<0,

解得—,所以不等式的解集为，A正确;

3七

对于B,若不等式的解集为1-2,g],则二次函数丁=3以2+2℃+1的图象开口向下，即。<0,

4141

且女次？+2av+l=0方程的两根为—2,二,故3^=—2义二,所以。=一二,B正确；

33a38

对于C,若不等式的解集为(石,9)，则二次函数y=3以？+2奴+1的图象开口向下，即。<0,

且3ax2+2依+1=0方程的两根为西,々，故玉々=’-<0，C错误；

对于D,若不等式的解集为(玉,士),则二次函数y=3奴2+2奴+1的图象开口向下，即。<0,

2

且3依2+2℃+1=0方程的两根为国,々，故国+%=—]，

当且仅当(x+%)(x—/)W0时，等号成立，D正确.

故选：ABD.

11.BC

【分析】对于A,利用根的判别式可判断；对于B,把x=1,代入，得到不等式，即可判断；对于C,求得抛

物线的对称轴为直线X=瓦利用二次函数的性质即可判断;对于D,利用根与系数的关系即可判断.

【详解】对于A,a=—>0,开口向上，且当x=l时，y<0；当x=2时，y<0,

2

1

抛物线y=-x9-bx+c与x轴有两个不同的交点，

2

A=/-4ac-b1-2c>Q,

」./?2>2c,故A不正确；

对于B,当x=1时，y<0,

8

—/?+c<0,即b>—Fc,

22

3

C>1.故B正确；

2

1

对于C,抛物线y=-x92-bx+c的对称轴为直线x=b，且开口向上，

当x<b时，V的值随犬的增加反而减少，

.,.当叫<7%<6时，%>%,故©正确；

对于D,方程万必-法+c=0的两实数根为石,々，

玉+%2=2〃，

3

当c>1时，b>一，「.玉+%2〉3,

2

但当c<1时，则b未必大于|，则玉+々>3的结论不成立，故D不正确；

故选：BC.

12.16

【分析】将多项式分别按照％y的二次项与x的二次项进行配方，分析即可求得.

【详角军】2x2-4xy+4y2+6尤+25=(%?-4xy+4y2^+(^x2+6x+9)+16

=(x-2y)2+(X+3)2+16,

因对任意实数％，y，都有(1—2y)2>0,(x+3)2>0成立，

「f3

x-2y=0y=——

故当且仅当</c，即2时，多项式取得最小值16.

尤+3=0。

、[x=-3

故答案为：16

133A/3

2

【分析】根据正弦定理化简人sinAcosC=Lasin3可得.

2

【详解】由正弦定理，sinBsinAcosC=—sinAsinB,

2

因为sinA>0,sinjB>0,故cosC=

2

又。£(0,兀)，故。=>|,

9

故SVABC=—absinC=—^~.

故答案为：正

2

14.6

【分析】根据函数解析式，在同一平面直角坐标系内作出大致图象，然后根据图象即可解答.

【详解】函数%=一%+6,%=-2炉+4x+6的图像如图，函数y取两个函数的较小值，图像是如图

的实线部分，两个函数图像都过（0,6）点.

当xWO时，％<为，函数y的最大值是6,

2

当x>0时，函数y无论在％=-》+6上取得，还是y2=-2x+4x+6上取得，总有y<6,即％>0时,

函数y的图像是下降的.

所以函数y的最大值是6.

【分析】（1）利用一元二次方程有实根的等价条件，列出不等式求解即得.

（2）利用韦达定理，结合已知列出方程并求解即得.

【小问1详解】

方程V—2"+/+2=2（1—x）,整理得2（左一l）x+左2=o,

由该方程有两个实数根内,々，得△=4（左—Ip—4左2之0,解得上

所以实数左的取值范围是％<工.

2

小问2详解】

由和当是方程X?—2（左一l）x+左2=。的两个实数根，得玉+%=2伏—I）,%%=E,

10

而|不+%|=不%2—6，则I2（左一1）|=公一6,由（1）知，2（左一1）<0,

于是产+2左一8=0，又左《二，解得左=T,

所以女的值为Y.

\5'

16.（1）a<2（2）1,-

L3j

【分析】（1）将y=变形为y=2+匕，根据反比例函数的性质可求出。的取值范围;

x+1x+1

（2）将a=1代入到函数，根据函数单调性即可求出函数的值域.

【小问1详解】

2x+a2（x+l）+a—2a—2

y------------------ZH----,

x+1x+1x+1

因为当x>-1时，函数值y随x的增大而增大，

根据反比例函数性质可知。-2<0,即a<2,

所以。的取值范围是a<2.

【小问2详解】

因为。=1,所以y=上丁二2-----,

x+1X+1

因为当XG[0,2]时，函数值y随x的增大而增大，

所以当x=0时，y有最小值2——二=1；当x=2时，y有最大值2=?,

0+12+13

所以当。=1,尤e[0,2]时，函数值,的取值范围是1,1.

22

17.（1）x=l；（2）答案见解析；（3）二或——.

39

【分析】（1）把（2,c）代入二次函数解析式，求出。力的关系，再求出对称轴.

（2）把（〃,必）和⑺-2,%）分别代入二次函数解析式，作差分类即可判断.

（3）按二次项系数的正负分类求出最小值即可得解.

【小问1详解】

由二次函数_y=以？+6x+c的图象过点A（2,c）,得4a+2Z?+c=c,解得b=-2a,

b

所以该抛物线的对称轴为直线％=-L，即X=L

11

【小问2详解】

由(1)得抛物线的解析式为丁=以2一2以+。，

依题意，％=a”？-2。〃+c,%=。("-2)2-2。(〃一2)+c,

则M一%=a/—2cm+c-[tz(n-2)2-2a(n-2)+c]=4t?(n-2),而“<2，

当a>0时，有4a(4-2)<0,因此％<%；

当a<0时，有4aoi-2)>0,因此<>为，

所以当a>0时，M<%；当。<0时，%>为•

【小问3详解】

由c=l,得抛物线的解析式为y=a?—2ax+l,

当a>0时，则当x=l时，y有最小值，即a—2。+1=,，解得a=2；

33

12

当avO时，即当尤=—1时，y有最小值，即〃+2〃+1=§,解得〃二一§,

22

所以，的值为一或-一.

39

18.(1)2(2)9(3),2025々2024<,2024-32023，理由见解析

1广r-

【分析】⑴根据小明的分析过程，«=-7r-T-化为。=b+2,贝Ua—2=逐，两边平方得

v5—2

储_4a=l，由3a之一12。-1=3(4—4a)—1即可求解；

1111

⑵根据小明的分析过程，将其I+ETET+而晨丽的每一项分母有理化’

即可求得结果；

⑶因为,2025>(2024〉^2023，可得,2025—J2024〉0，J2024-J2023〉0，由

11

；——t——=72025+V2024,；——.——,=72024+72023,可得结论.

,2025-,2024,2024—,2023

【小问1详解】

..a=1=____后+2____=小2

■乒2(拈—2)(百+2)"'

12

••a-2=y/5，

(a-2)2=5,即/—4。+4=5,片—4〃=1,

3a2—12a—1=3(a?—4。)—1=3x1—1=2.

【小问2详解】

1111

-------------1------------------1------------------1-H----------------------

A/2+1G+0"+百y/lOO+y/99

V2-1月-0A/4-73

------------------------------1--------------------------------------1-------------------------------------

(A/2+1)(V2-1)(V3+72)(73-V2)(A/4+73)(A/4-73)

(^/100+^/99)(^/100-^/99)

=A/2-1+A/3-V2+V4-A/3++^/^00-A/99=V100-1=9.

【小问3详解】

J2025—42024<J2024—J2023，理由如下：

,/2025>2024>2023,；.。2025>,2024>,2023，

；•J2025-J2024〉0,。2024-12023〉0，

1_J2025+J2024(____,____

・•.V2025-V2024=(72025-72024)(72025