重点突围：专题3 用勾股定理构造图形解决问题（解析版）-人教八下期中综合复习

八年级数学下册期中期末综合复习专题提优训练（人教版）专题3用勾股定理构造图形解决问题【典型例题】1．（2022·江苏·南京玄武外国语学校八年级期末）滑撑杆在悬窗中应用广泛．如图，某款滑撑杆由滑道，撑杆、组成，滑道固定在窗台上．悬窗关闭或打开过程中，撑杆、的长度始终保持不变．当悬窗关闭时，如图①，此时点与点重合，撑杆、恰与滑道完全重合；当悬窗完全打开时，如图②，此时撑杆与撑杆恰成直角，即，测量得，撑杆，求滑道的长度．【答案】滑道的长度为51cm．【解析】【分析】设cm，可得出cm，cm，在在Rt△ABC中，根据勾股定理可得m的值，由此可得结论．【详解】解：设cm，则由图①可知cm，由图②可知cm，∵，∴在Rt△ABC中，根据勾股定理可得，，∴，解得，∴滑道的长度为51cm．【点睛】本题考查勾股定理的应用，能结合撑杆、的长度始终保持不变正确表示出BC和AC是解题关键．【专题训练】一、解答题1．（2021·黑龙江龙凤·七年级期末）《九章算术》中的“引葭赴岸”问题：今有池方一丈，葭（一种芦苇类植物）生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？其大意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面1尺．如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边（如图所示），则水深多少尺．【答案】12【解析】【分析】我们可以将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知的长为10尺，则尺，设尺，表示出水深，根据勾股定理建立方程，求出方程的解即可得到水深．【详解】依题意画出图形，设芦苇长尺，则水深尺，因为尺，所以尺，在中，，解得：，即水深12尺，故答案为：12．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程式解题的关键．2．（2021·江西乐平·八年级期中）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（门槛）一尺，不合四寸，问门广几何？其大意：如图，推开双门（大小相同），双门间隙CD＝4寸，点C、点D与门槛AB的距离CE＝DF＝1尺（1尺＝10寸），求AB的长．【答案】52寸【解析】【分析】取的中点为点，由题意可得，设寸，则寸，利用勾股定理即可求解【详解】如图：取的中点为点，则的中点也为根据题意可得：，设寸，则寸．，尺寸解得：寸寸【点睛】本题考查了勾股定理的应用，弄清题意，构建直角三角形是解题关键．3．（2022·江苏苏州·八年级期末）滑梯的示意图如图所示，左边是楼梯，右边是滑道，立柱，垂直于地面，滑道的长度与点到点的距离相等，滑梯高，且，求滑道的长度．【答案】2.5m【解析】【分析】设AC=xm，则AE=AC=xm，AB=AE-BE=（x-0.5）m，在Rt△ABC中利用勾股定理列出方程，通过解方程即可求得答案．【详解】解：设AC=xm，则AE=AC=xm，AB=AE-BE=（x-0.5）m，由题意得：∠ABC=90°，在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，即（x-0.5）2+1.52=x2，解得x=2.5，∴AC=2.5m．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大．4．（2021·全国·八年级课时练习）如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为13米，此人以0.5米/秒的速度收绳问6秒后船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）【答案】船向岸边移动了米．【解析】【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD=AB-AD可得BD长．【详解】解：在Rt△ABC中：∵∠CAB=90°，BC=13米，AC=5米，∴（米），∵此人以0.5米每秒的速度收绳，6秒后船移动到点D的位置，∴CD=13-0.5×6=10（米），∴（米），∴BD=AB-AD=（米），答：船向岸边移动了（）米．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．5．（2021·陕西·西安高新第一中学初中校区东区初级中学八年级阶段练习）明朝数学家程大位在《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”翻译成现代文为：如图，秋千细索悬挂于O点，静止时竖直下垂，A点为踏板位置，踏板离地高度为一尺（尺）．将它往前推进两步（于点E，且尺），踏板升高到点B位置，此踏板高地五尺（尺，），则秋千绳索长多少尺？【答案】【解析】【分析】设OB＝OA＝x（尺），在Rt△OBE中利用勾股定理构建方程即可解决问题．【详解】解：设OB＝OA＝x（尺），∵四边形BECD是矩形，∴BD＝EC＝5（尺），在Rt△OBE中，OB＝x，OE＝x−4，BE＝10，∴x2＝102＋（x−4）2，∴x＝．∴OA的长度为（尺）．【点睛】本题考查勾股定理，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．6．（2021·四川东坡·八年级期中）我市《道路交通管理条例》规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过60km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街道上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测点A正前方30m的C处，2秒后又行驶到与车速检测点A相距50m的B处．请问这辆小汽车超速了吗？若超速，请求出超速了多少？【答案】超速了，超速了12km/h【解析】【分析】由勾股定理可求得小汽车行驶的距离，再除以小汽车行驶的时间即为小汽车行驶的车速，再与限速比较即可．【详解】.解：由已知得∴在直角三角形ABC中AB2＝AC2＋BC2∴BC2＝AB2－AC2＝，又∵72－60＝12km/h∴这辆小汽车超速了，超速了12km/h．【点睛】本题考查了勾股定理，其中1米/秒=3.6千米/时的速度换算是易错点．7．（2021·天津津南·八年级期中）一架云梯长25m，如图所示斜靠在一而墙上，梯子底端C离墙7m．（1）这个梯子的顶端A距地面有多高?（2）如果梯子的顶端下滑了4m，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米?【答案】（1）这个梯子的顶端距地面有高；（2）梯子的底部在水平方向滑动了．【解析】【分析】（1）根据勾股定理即可求解；（2）先求出BD，再根据勾股定理即可求解．【详解】解：（1）由题意可知：，；，在中，由勾股定理得：，∴，因此，这个梯子的顶端距地面有高．（2）由图可知：AD=4m，，在中，由勾股定理得：，∴，∴．答：梯子的底部在水平方向滑动了．【点睛】此题主要考查勾股定理的实际应用，解题的关键是根据题意在直角三角形中，利用勾股定理进行求解．8．（2021·贵州六盘水·八年级期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图所示，有一台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上的两点A，B的距离分别为：，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．（1）请计算说明海港C会受到台风的影响；（2）若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？【答案】（1）计算见解析；（2）台风影响该海港持续的时间为7小时【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；（2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．【详解】解：（1）如图，过点C作于点D∵∴∴是直角三角形∴∴∴∵以台风中心为圆心周围以内为受影响区域∴海港C会受台风影响；（2）当时，台风在上运动期间会影响海港C在中在中∴∵台风的速度为20千米/小时∴（小时）答：台风影响该海港持续的时间为7小时．【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．9．（2021·江苏兴化·八年级期中）某路段限速标志规定：小汽车在此路段上的行驶速度不得超过70km/h，如图，一辆小汽车在该笔直路段l上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面的车速检测仪A的正前方30m的点C处，2s后小汽车行驶到点B处，测得此时小汽车与车速检测仪A间的距离为50m．(1)求BC的长．(2)这辆小汽车超速了吗？并说明理由．【答案】(1)40(2)超速【解析】【分析】（1）首先结合题目中所给的数据，，，根据勾股定理求出BC的长；（2）求出小汽车的时速与限定时速比较即可得出答案．(1)解：则根据题意可以得到，根据勾股定理可得：，∴BC的长为40m.(2)解：∵该小汽车的速度为：，，这辆小汽车超速了．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据已知得出BC的长是解题关键．10．（2021·四川省巴中中学八年级期中）八（1）班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得下图风筝的高度，他们进行了如下操作：①测得的长度为米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米；③牵线放风筝的小明身高为米．（1）求风筝的高度；（2）若小亮让风筝沿方向下降了米到点（即米），则他往回收线多少米？【答案】（1）19.68米，（2）4米．【解析】【分析】（1）在中，利用勾股定理可求得，根据，可求得风筝的高度；（2）连接，根据，，可得，利用勾股定理可求得，再根据可求得往回收线的长度．【详解】解：（1）在中，由勾股定理得，，∴（取正），∴（米，∴风筝的高度为19.68米．（2）如图示，连接∵，∴，在中，由勾股定理得，，∴（取正），∴往回收线的长度是：（米）【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．11．（2021·吉林九台·八年级期末）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从移动到，同时小船从移动到，且绳长始终保持不变．、、三点在一条直线上，．回答下列问题：（1）根据题意可知：（填“＞”、“＜”、“＝”）．（2）若米，米，米，求小男孩需向右移动的距离（结果保留根号）．【答案】（1）=；（2）小男孩需向右移动的距离为米．【解析】【分析】（1）根据男孩拽绳子前后始终保持不变即可得；（2）由勾股定理分别求出AC，BC的长，然后根据（1）中结论求解即可．【详解】解：（1）∵AC的长度是男孩拽之前的绳长，是男孩拽之后的绳长，绳长始终未变，∴，故答案为：=；（2）∵A、B、F三点共线，∴在中，，∵，∴在中，，由（1）可得：，∴，∴小男孩需移动的距离为米．【点睛】题目主要考查勾股定理的应用，理解题意，熟练运用勾股定理是解题关键．12．（2021·陕西长安·八年级期中）有一个如图所示的长方体透明玻璃水缸，高，水深，在水面线上紧贴内壁处有一粒食物，且，一只小虫想从水缸外的处沿水缸壁爬到水缸内的处吃掉食物．（1）你认为小虫应该沿怎样的路线爬行才能使爬行的路线最短，请你画出它爬行的最短路线，并用箭头标注．（2）求小虫爬行的最短路线长（不计缸壁厚度）．【答案】（1）见解析；（2）100cm【解析】【分析】(1)做出A关于BC的对称点A’，连接A’G，与BC交于点Q，由两点之间线段最短，此时A’G最短，即AQ+QG最短；(2)A’G为直角△A’EG的斜边，根据勾股定理求解即可．【详解】解：(1)如下图所示，作点A关于BC所在直线的对称点，连接，与交于点，由两点之间线段最短，此时A’G最短，则为最短路线．(2)∵，∴，∴．在中，，，∴．由对称性可知，∴．故小虫爬行的最短路线长为100cm．【点睛】本题考查的是利用勾股定理求最短路径问题，本题的关键是根据对称性作出A的对称点A’，再根据两点之间线段最短，从而可找到路径求出解．13．（2020·江西南丰·八年级期中）如图，地面上放着一个小凳子，点距离墙面，在图①中，一根细长的木杆一端与墙角重合，木杆靠在点处，．在图②中，木杆的一端与点重合，另一端靠在墙上点处．（1）求小凳子的高度；（2）若，木