专题10全等三角形的辅助线问题-2022-2023学年八年级数学上册重要考点题型(人教版)(原卷版)

专题10全等三角形的辅助线问题倍长中线：解题技巧：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形【例】．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，D是BC的中点，AD＝2，求△ABC的面积．【跟踪训练】．（2022·贵州毕节·二模）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：(1)如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程．(2)如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC干E，交AD于F，且AE=EF．请判昕AC与BF的数量关系，并说明理由．【变式训练】变式1．（2022·全国·八年级课时练习）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE．请根据小明的方法思考：(1)由已知和作图能得到的理由是（

）．A．SSS

B．SAS

C．AAS

D．ASA(2)AD的取值范围是（

）．A．

B．

C．

D．(3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．【问题解决】如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．二：垂线模型：【例】．（2021·河南·鹤壁市外国语中学八年级阶段练习）阅读理解：(1)如图1，在中，若，，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使，再连接BE（或将绕着点D逆时针旋转180°得到），把AB，AC，2AD集中在中，体现了转化和化归的数学思想，利用三角形三边关系即可判断中线AD的取值范围是______；问题解决：(2)如图2，在中，D是BC边上的中点，于点D，DM交AB于点M，DN交AC于点N，连结MN．求证：．【跟踪训练】．（2022·全国·八年级）王强同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（），点在上，点和分别与木墙的顶端重合．（1）求证：；（2）求两堵木墙之间的距离．【变式训练】．变式1.（2019·内蒙古·乌兰浩特市第十三中学八年级期末）已知如图，在正方形中，为的中点，，平分并交于.求证：变式2．（2012·安徽阜阳·七年级期末）如图，已知：，，，，那么AC与CE有什么关系？写出你的猜想并说明理由．三．旋转模型【例】．（2022·全国·八年级课时练习）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，求证：DE＝AD+BE；(2)当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不写证明过程）；(3)当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不写证明过程）．【跟踪训练】．（2020·辽宁·抚顺市顺城区长春学校九年级期中）已知：点D是等腰直角三角形ABC斜边BC所在直线上一点（不与点B重合），连接AD．(1)如图1，当点D在线段BC上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE．直接写出BD和CE数量关系和位置关系．(2)如图2，当点D在线段BC延长线上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE，画出图形．（1）的结论还成立吗?若成立，请证明；若不成立，说明理由．【变式训练】．变式1.（2022·广东佛山·七年级阶段练习）在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时，度；(2)求证：DE=CD+BE；(3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．变式2．（2022·全国·八年级）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°．(1)当点D在AC上时，如图①，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请证明你的猜想；(2)将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°），如图②，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．四：用“截长法”或“补短法”：解题技巧：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，【例】．（2022·陕西延安·八年级期末）【问题提出】（1）如图①，在四边形中，，，E、F分别是边BC、CD上的点，且.求证：；【问题探究】（2）如图②，在四边形中，，，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立?若成立，请说明理由；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并说明理由.【跟踪训练】．（2022·全国·八年级课时练习）如图，已知在四边形ABCD中，BD是的平分线，．2求证：．【变式训练】．变式1.（2020·安徽淮南·八年级期中）利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半动倍．（1）尺规作图：作的平分线．【模型构造】（2）填空：①如图．在中，，是的角平分线，则______．（填“”、“”或“”）方法一：巧翻折，造全等在上截取，连接，则．②如图，在四边形中，，，和的平分线，交于点．若，则点到的距离是______．方法二：构距离，造全等过点作，垂足为点，则．【模型应用】（3）如图，在中，，，是的两条角平分线，且，交于点．①请直接写出______；②试猜想与之间的数量关系，并说明