数学单元整合学案：第二讲参数方程

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精单元整合知识网络专题探究专题一曲线的参数方程与普通方程的互化(1)将直线的参数方程转化为普通方程，需要消去参数t，其一般步骤为:①将参数t用变量x表示；②将t代入y的表达式；③整理得到x,y的关系，即为所求的普通方程．(2)参数方程与普通方程的区别与联系．曲线的普通方程F(x，y)＝0是相对参数方程而言，它反映了坐标变量x与y之间的直接联系；而参数方程x＝f(t），y＝g（t）（t为参数）是通过参数t反映坐标变量x与y之间的间接联系．曲线的普通方程中有两个变数,变数的个数比方程的个数多1；曲线的参数方程中，有三个变数和两个方程,变数的个数比方程的个数多1，从这个意义上讲，曲线的普通方程和参数方程是“一致”的．(3）参数方程与普通方程是同一曲线的两种不同形式．参数方程普通方程，可见普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式．【应用1】已知圆(x－r)2＋y2＝r2(r＞0），点M在圆上,O为原点，以∠MOx＝φ为参数，那么圆的参数方程为（）A．B．C．D．解析：如图，设圆心为O′,连接O′M。∵O′为圆心，∴∠MO′x＝2φ。∴答案:D【应用2】求在下列条件下普通方程4x2＋y2＝16对应的参数方程．(1)设y＝4sinθ,θ为参数;（2)以过点A（0,4）的直线的斜率k为参数．提示：对于（1），可以直接把y＝4sinθ代入已知方程，解方程求出x即可；对于(2），可寻找斜率k与此方程任一点的坐标之间的关系来求解．解：(1)把y＝4sinθ代入方程，得到4x2＋16sin2θ＝16,于是4x2＝16－16sin2θ＝16cos2θ.所以x＝±2cosθ.由于参数θ的任意性，可取x＝2cosθ，因此4x2＋y2＝16的参数方程是x＝2cosθ,y＝4sinθ（θ为参数)．（2）设M（x，y）是曲线4x2＋y2＝16上异于A的任一点，则eq\f（y－4,x)＝k（x≠0)，将y＝kx＋4代入方程，得x［(4＋k2)x＋8k］＝0。所以（k为参数)，易知A（0，4）也适合此方程．另有一点.所以所求的参数方程为(k为参数）和专题二曲线参数方程的应用曲线的参数方程通过参数反映坐标变量x，y之间的间接关系．其中的参数一般具有相应的几何意义或物理意义．利用参数来表示曲线的方程时，要充分注意参数的取值范围．常用参数方程研究最值问题、求轨迹方程、证明恒等式等．【应用1】求点M0（0,2）到双曲线x2－y2＝1的最小距离(即双曲线上任一点M与点M0距离的最小值）．解:把双曲线方程化为参数方程（θ为参数)．设双曲线上的动点为M(secθ，tanθ），则|M0M|2＝sec2θ＋（tanθ－2）＝tan2θ＋1＋tan2θ－4tanθ＋4＝2tan2θ－4tanθ＋5＝2（tanθ－1)2＋3，当tanθ－1＝0,即tanθ＝1时，｜M0M|2取最小值3，此时有｜M0M|＝eq\r(3)，即点M0到双曲线的最小距离为eq\r(3）。【应用2】椭圆eq\f(x2，16）＋eq\f(y2,4)＝1上有P，Q两点，O为椭圆中心,OP，OQ的斜率分别为kOP，kOQ，且kOP·kOQ＝－eq\f(1,4）。（1）求|OP｜2＋|OQ｜2的值；（2）求线段PQ中点的轨迹方程．提示：利用椭圆的参数方程,设出P，Q的坐标，再依题意求解．解：（1）设P（4cosθ1,2sinθ1)，Q(4cosθ2,2sinθ2)．因为kOP·kOQ＝－eq\f(1,4),所以eq\f(2sinθ1,4cosθ1）·eq\f（2sinθ2，4cosθ2）＝－eq\f(1,4）.所以cos（θ1－θ2）＝0。所以θ1－θ2＝kπ＋eq\f(π，2)（k∈Z)．所以sin2θ1＝cos2θ2,cos2θ1＝sin2θ2.所以|OP|2＋|OQ|2＝16cos2θ1＋4sin2θ1＋16cos2θ2＋4sin2θ2＝20，即|OP|2＋|OQ｜2＝20.（2）设PQ的中点为(x，y)，则所以eq\f(x2，4)＋