专题7.2特殊角的三角函数值专项提升训练（重难点培优）-2022-2023学年九年级数学下册尖子生培优题典

20212022学年九年级数学下册尖子生培优题典【苏科版】专题7.2特殊角的三角函数值专项提升训练（重难点培优）姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，其中选择8道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022秋•工业园区期中）tan45°的值等于（）A． B． C．1 D．【分析】根据特殊锐角的三角函数值进行判断即可．【解答】解：tan45°＝1，故选：C．2．（2022秋•工业园区校级期中）在Rt△ABC中，BC＝3，AC＝，∠C＝90°，则∠A的度数是（）A．30° B．40° C．45° D．60°【分析】根据题意画出图形，进而利用特殊角的三角函数值代入求出即可．【解答】解：如图所示：∵BC＝3，AC＝，∠C＝90°，∴tanA＝＝＝，∴∠A＝60°．故选：D．3．（2022秋•江阴市校级月考）已知tanA＝1.5，则∠A的度数所属范围是（）A．30°＜∠A＜45° B．45°＜∠A＜60° C．60°＜∠A＜75° D．75°＜∠A＜90°【分析】根据45°与60°的正切值判断即可．【解答】解：∵tan45°＝1，tan60°＝，tanA＝1.5，∴45°＜∠A＜60°，故选：B．4．（2022•淮阴区模拟）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，则sin∠AOC的值为（）A． B． C． D．【分析】根据作图的方法得出△OBC是等边三角形，进而利用特殊角的三角函数值求出答案．【解答】解：连接BC，由题意可得：OB＝OC＝BC，则△OBC是等边三角形，故sin∠AOC＝sin60°＝．故选：D．5．（2021秋•金坛区月考）已知锐角α满足tan（α+10°）＝1，则锐角α的度数为（）A．20° B．35° C．45° D．50°【分析】根据45°的正切值为1解答即可．【解答】解：∵tan（α+10°）＝1，tan45°＝1，∴α+10°＝45°，∴α＝35°，故选：B．6．（2022•荆州）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC：BC＝1：2，连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于P．若P（1，1），则tan∠OAP的值是（）A． B． C． D．3【分析】根据OP∥AB，证明出△OCP∽△BCA，得到CP：AC＝OC：BC＝1：2，过点P作PQ⊥x轴于点Q，根据∠AOC＝∠AQP＝90°，得到CO∥PQ，根据平行线分线段成比例定理得到OQ：AO＝CP：AC＝1：2，根据P（1，1），得到PQ＝OQ＝1，得到AO＝2，根据正切的定义即可得到tan∠OAP的值．【解答】解：如图，过点P作PQ⊥x轴于点Q，∵OP∥AB，∴∠CAB＝∠CPO，∠ABC＝∠COP，∴△OCP∽△BCA，∴CP：AC＝OC：BC＝1：2，∵∠AOC＝∠AQP＝90°，∴CO∥PQ，∴OQ：AO＝CP：AC＝1：2，∵P（1，1），∴PQ＝OQ＝1，∴AO＝2，∴tan∠OAP＝＝＝．故选：C．7．（2022•宣州区校级一模）下列计算错误的个数是（）①sin60°﹣sin30°＝sin30°；②sin245°+cos245°＝1；③；④．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据特殊锐角三角函数值以及同角三角函数之间的关系逐个进行进行判断即可．【解答】解：sin60°﹣sin30°＝﹣＝，而sin30°＝，因此①是错误的；sin245°+cos245°＝（）2+（）2＝1，因此②是正确的；（tan60°）2＝（）2＝3，因此③是错误的；tan30°＝，＝＝，因此④是错误的；综上所述，错误的有①③④，共3个，故选：C．8．（2020•连城县校级自主招生）已知有公式：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ且sinθ+cosθ＝，则锐角θ的值为（）A．75° B．60° C．30° D．15°【分析】将sinθ+cosθ＝化成sin60°sinθ+cos60°cosθ＝cos45°，再根据所提供的公式可得答案．【解答】解：（1）由公式：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ可得，∵sinθ+cosθ＝，即sin60°sinθ+cos60°cosθ＝，∴cos（60°﹣θ）＝cos45°，即60°﹣θ＝45°，∴θ＝15°，故选：D．二．填空题（共8小题）9．（2022秋•工业园区校级期中）在△ABC中，若|sinA﹣|+（cosB﹣）2＝0，且∠A、∠B为锐角，则∠C的度数是105°．【分析】根据绝对值、偶次方的非负性以及特殊锐角三角函数值可求出∠A，∠B，再根据三角形内角和定理求出∠C即可．【解答】解：∵|sinA﹣|+（cosB﹣）2＝0，∴sinA﹣＝0，cosB﹣＝0，即sinA＝，cosB＝，又∵∠A、∠B为锐角，∴∠A＝30°，∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣30°﹣45°＝105°，故答案为：105°．10．（2022秋•工业园区校级月考）计算：tan54°•tan36°＝1．【分析】根据互余两角的正切值乘积为1，即可解答．【解答】解：∵54°+36°＝90°，∴tan54°•tan36°＝1，故答案为：1．11．（2017秋•常州期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．给出下列四个结论：①sinα＝sinB；②sinβ＝sinC；③sinB＝cosC；④sinα＝cosβ．其中正确的结论有①②③④．【分析】本题主要考查锐角三角函数的定义，根据∠A＝90°，AD⊥BC，可得∠α＝∠B，∠β＝∠C，再利用锐角三角函数的定义可列式进行逐项判断．【解答】解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠α+∠β＝90°，∠B+∠β＝90°，∠B+∠C＝90°，∴∠α＝∠B，∠β＝∠C，∴sinα＝sinB，故①正确；sinβ＝sinC，故②正确；∵在Rt△ABC中sinB＝，cosC＝，∴sinB＝cosC，故③正确；∵sinα＝sinB，cos∠β＝cosC，∴sinα＝cos∠β，故④正确；故答案为①②③④．12．（2022秋•靖江市校级月考）如果∠α是锐角，且cosα＝，那么sinα的值是．【分析】根据三角函数的定义以及勾股定理解决此题．【解答】解：如图，∠B＝90°，∠A＝α．∵，∴AC＝3AB．在Rt△ABC中，∠B＝90°，∴BC＝＝．∴sinα＝．故答案为：．13．（2018秋•靖江市校级期中）已知α，β均为锐角，且满足|sinα﹣|+（tanβ﹣1）2＝0，则α+β＝75°．【分析】直接利用绝对值的非负性和偶次方的非负性得出sinα﹣＝0，tanβ﹣1＝0，再结合特殊角的三角函数值得出答案．【解答】解：∵|sinα﹣|+（tanβ﹣1）2＝0，∴sinα﹣＝0，tanβ﹣1＝0，∴sinα＝，tanβ＝1，∴α＝30°，β＝45°，则α+β＝30°+45°＝75°．故答案为：75°．14．（2021•常州二模）如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则sin∠AOB的值是．【分析】连接AB，利用勾股定理的逆定理证明△OAB是直角三角形，然后根据正弦函数的定义求解．【解答】解：连接AB，∵AB2＝12+32＝10，OB2＝12+32＝10，OA2＝22+42＝20，∴AB2+OB2＝OA2，∴△OAB是等腰直角三角形，∴sin∠AOB＝＝＝．故答案是：．15．（2022•扬州）在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，若b2＝ac，则sinA的值为．．【分析】根据勾股定理和锐角三角函数的定义解答即可．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，∴c2＝a2+b2，∵b2＝ac，∴c2＝a2+ac，等式两边同时除以ac得：＝+1，令＝x，则有＝x+1，∴x2+x﹣1＝0，解得：x1＝，x2＝（舍去），当x＝时，x≠0，∴x＝是原分式方程的解，∴sinA＝＝．故答案为：．16．（2020秋•南安市月考）规定：sin（﹣x）＝﹣sinx，cos（﹣x）＝cosx，sin（x+y）＝sinx•cosy+cosx•siny．据此判断下列等式成立的是②③④（填序号）．①cos（﹣60°）＝﹣；②sin2x＝2sinx•cosx；③sin（x﹣y）＝sinx•cosy﹣cosx•siny；④sin90°＝1．【分析】根据给出的等式，分别对每个结论进行判断即可．【解答】解：cos（﹣60°）＝cos60°＝，因此①不正确；sin2x＝sin（x+x）＝sinx•cosx+cosx•sinx＝2sinx•cosx，因此②正确；sin（x﹣y）＝sinx•cos（﹣y）+cosx•sin（﹣y）＝sinx•cosy﹣cosx•siny，因此③正确；sin90°＝sin（30°+60°）＝sin30°cos60°+cos30°sin60°＝×+×＝+＝1，因此④正确；综上所述，正确的有②③④，故答案为：②③④．三．解答题（共8小题）17．（2022秋•清江浦区月考）求下列等式中的锐角a：（1）；（2）．【分析】（1）根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答；（2）根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答．【解答】解：（1），sin（α﹣10°）＝，∴α﹣10°＝60°，∴α＝70°；（2），4cos（α+20°）＝2，cos（α+20°）＝，∴α+20°＝45°，∴α＝25°．18．（2022•淮安区模拟）计算：（1）2cos30°+4sin30°﹣tan60°；（2）3tan30°+tan45°﹣2sin60°．【分析】（1）将各特殊角的三角函数值代入即可得出答案；（2）将各特殊角的三角函数值代入即可得出答案．【解答】解：（1）原式＝2×+4×﹣＝+2﹣＝2；（2）原式＝3×+1﹣2×＝＝1．19．（2022•淮安区模拟）（1）已知2sin（A+13°）＝1．求锐角A的度数．（2）已知3tanα﹣＝0．求锐角α的度数．【分析】（1）根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答；（2）根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答．【解答】解：（1）∵2sin（A+13°）＝1，∴sin（A+13°）＝，∴A+13°＝30°，∴A＝17°，∴锐角A的度数为17°；（2）∵3tanα﹣＝0，∴tanα＝，∴α＝30°，∴锐角α的度数为30°．20．（2021秋•崇川区校级月考）（1）计算：sin60°•cos230°﹣．（2）在△ABC中，若∠A，∠B满足|cosA﹣|+（sinB﹣）2＝0，求∠C的度数．【分析】（1）先利用特殊角的三角函数值得到原式＝×（）2﹣，然后进行二次根式的混合运算；（2）先根据非负数的性质的cosA﹣＝0，sinB﹣＝0，再利用特殊角的三角函数值得到∠A和∠B的度数，然后根据三角形内角和定理计算出∠C的度数．【解答】解：（1）原式＝×（）2﹣＝×﹣＝﹣；（2）∵|cosA﹣|+（sinB﹣）2＝0，∴cosA﹣＝0，sinB﹣＝0，即cosA＝，sinB＝，∴∠A＝60°，∠B＝45°，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝180°﹣60°﹣45°＝75°．21．（2021秋•姑苏区期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边．（1）已知c＝2，b＝，求∠A；（2）已知c＝12，sinA＝，求b．【分析】（1）根据cosA＝求值，再根据特殊锐角的三角函数值得出答案；（2）根据锐角三角函数的定义求出a的值，再根据勾股定理求出答案即可．【解答】解：（1）∵cosA＝＝＝，∴∠A＝45°；（2）∵sinA＝＝＝，∴a＝6，∴b＝＝6．22．（2016•连云港）如图，在△ABC中，∠C＝150°，AC＝4，tanB＝．（1）求BC的长；（2）利用此图形求tan15°的值（精确到0.1，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.2）【分析】（1）过A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，由含30°的直角三角形性质得AD＝AC＝2，由三角函数求出CD＝2，在Rt△ABD中，由三角函数求出BD＝16，即可得出结果；（2）在BC边上取一点M，使得CM＝AC，连接AM，求出∠AMC＝∠MAC＝15°，tan15°＝tan∠AMD＝即可得出结果．【解答】解：（1）过A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，如图1所示：在Rt△ADC中，AC＝4，∵∠ACB＝150°，∴∠ACD＝30°，∴AD＝AC＝2，CD＝AC•cos30°＝4×＝2，在Rt△ABD中，tanB＝＝＝，∴BD＝16，∴BC＝BD﹣CD＝16﹣2；（2）在BC边上取一点M，使得CM＝AC，连接AM，如图2所示：∵∠ACB＝150°，∴∠AMC＝∠MAC＝15°，tan15°＝tan∠AMD＝＝＝＝2﹣≈0.3．23．（2020•江阴市模拟）如图，将含30°角的直角三角板ABC（∠A＝30°）绕其直角顶点C顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），得到Rt△A′B′C，A′C与AB交于点D，过点D作DE∥A′B′交CB′于点E，连接BE．易知，在旋转过程中，△BDE为直角三角形．设BC＝1，AD＝x，△BDE的面积为S．（1）当α＝30°时，求x的值．（2）求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）以点E为圆心，BE为半径作⊙E，当S＝S△ABC时，判断⊙E与A′C的位置关系，并求相应的tanα值．【分析】（1）根据等腰三角形的判定，∠A＝∠α＝30°，得出x＝1；（2）由直角三角形的性质，AB＝2，AC＝，由旋转性质求得△ADC∽△BCE，根据比例关系式，求出S与x的函数关系式；（3）当S＝时，求得x的值，判断⊙E和DE的长度大小，确定⊙E与A′C的位置关系，再求tanα值．【解答】解：（1）∵∠A＝a＝30°，又∵∠ACB＝90°，∴∠ABC＝∠BCD＝60°．∴AD＝BD＝BC＝1．∴x＝1；（2）∵∠DBE＝90°，∠ABC＝60°，∴∠A＝∠CBE＝30°．∴AC＝BC＝，AB＝2BC＝2．由旋转性质可知：AC＝A′C，BC＝B′C，∠ACD＝∠BCE，∴△ADC∽△BEC，∴＝，∴BE＝x．∵BD＝2﹣x，∴s＝×x（2﹣x）＝﹣x2+x．（0＜x＜2）（3）∵s＝s△ABC∴﹣+＝，∴4x2﹣8x+3＝0，∴，．①当x＝时，BD＝2﹣＝，BE＝×＝．∴DE＝＝．∵DE∥A′B′，∴∠EDC＝∠A′＝∠A＝30°．∴EC＝DE＝＞BE，∴此时⊙E与A′C相离．过D作DF⊥AC于F，则，．∴．∴．（12分）②当时，，．∴，∴，∴此时⊙E与A'C相交．同理可求出．24．（2022•广陵区一模）学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小