专题25锐角三角函数的实际应用(原卷版+解析)

专题25锐角三角函数的实际应用（原卷版）第一部分典例剖析类型一与学科间相关的实际应用问题典例1（2022•泰州）小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验．如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜MN，MN与墙面AB所成的角∠MNB＝118°，厂房高AB＝8m，房顶AM与水平地面平行，小强在点M的正下方C处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处D到他的距离CD是多少？（结果精确到0.1m，参考数据：sin34°≈0.56，tan34°≈0.68，tan56°≈1.48）类型二与坡度、坡角相关的实际问题典例2（2021秋•宁德期末）自卸式货车可以实现自动卸货，其原理是通过液压臂的伸缩来改变货厢的倾斜角度，如图1、图2是某款自卸式货车卸货时的截面示意图，其液压臂底座A与车厢转轴O的距离AO＝2.4m，伸缩臂支点B与车厢转轴O的距离BO＝2m，当车厢底座与车架底座的夹角∠AOB＝37°时，求液压臂AB的长．（结果保留根号，参考数据sin37°=35，cos37°=4

类型三与方向角相关的实际问题典例3（2021秋•和平区校级月考）如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处，且乙船从B1处沿北偏东15°方向匀速直线航行．经过20分钟后，甲船由A1处航行到A2处，乙船航行到甲船位置（即A2处）的南偏西60°方向的B2处，此时两船相距102海里，求乙船每小时航行多少海里．典例4（2022•丰润区二模）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为海里；AB＝海里（结果保留根号）．

类型四与不易策略相关的实际问题典例5（2022秋•靖江市期中）如图，为了测量河对岸两点A、B之间的距离，在河岸这边取点C、D．测得CD＝100米，∠ACD＝90°，∠BCD＝45°，∠ADC＝19°17′，∠BDC＝56°19′．设A、B、C、D在同一平面内．（1）求AC的长；（2）求A、B两点之间的距离．（参考数据：tan19°17′≈0.35，tan56°19′≈1.50．）类型五与可调节的滑动悬杆相关的问题典例6（2022•岳阳模拟）某种落地灯如图1所示，立杆AB垂直于地面，其高为120cm，BC为支杆，它可绕点B旋转，其中BC长为30cm，CD为悬杆，滑动悬杆可调节CD的长度，支杆BC与悬杆CD之间的夹角∠BCD为70°．（1）如图2，当A、B、C三点共线且CD＝50cm时，求灯泡悬挂点D距离地面的高度；（2）在图2所示的状态下，将支杆BC绕点B顺时针旋转50°，同时调节CD的长（如图3），此时测得灯泡悬挂点D到地面的距离为160cm，求CD的长．（结果精确到1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）

典例7（2022•盐城）2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，OA＝1m，AB＝5m，BC＝2m，∠ABC＝143°．机械臂端点C到工作台的距离CD＝6m．（1）求A、C两点之间的距离；（2）求OD长．（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，5≈类型六“触礁甄别”类型试题8．（2021春•海门市期中）如图，海中有一小岛P，在以P为圆心、半径为163nmile的圆形海域内有暗礁．一轮船自西向东航行，它在A处时测得小岛P位于北偏东60°的方向上，且A、P之间的距离为32nmile．若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？请通过计算加以说明．如果有危险，轮船自A处开始沿南偏东至多多少度方向航行才能安全通过这一海域？

第二部分专题提优训练1．（2022秋•宽城区校级期末）如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，AD垂直地面，垂足为点D，BC⊥AD，垂足为点C．设∠ABC＝α，下列关系式正确的是（）A．sinα=ABBC B．tanα=ABAC C．2．（2022秋•包头期末）如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影BC长为m，则大树AB的高为）．（请用含m，α的式子表示）3．（2022•湖北）如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物A点处测得乙建筑物D点的俯角α为45°，C点的俯角β为58°，BC为两座建筑物的水平距离．已知乙建筑物的高度CD为6m，则甲建筑物的高度AB为m．（sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，结果保留整数）．

4．（2022•连云港）我市的花果山景区大圣湖畔屹立着一座古塔——阿育王塔，是苏北地区现存最高和最古老的宝塔．小明与小亮要测量阿育王塔的高度，如图所示，小明在点A处测得阿育王塔最高点C的仰角∠CAE＝45°，再沿正对阿育王塔方向前进至B处测得最高点C的仰角∠CBE＝53°，AB＝10m；小亮在点G处竖立标杆FG，小亮的所在位置点D、标杆顶F、最高点C在一条直线上，FG＝1.5m，GD＝2m．（1）求阿育王塔的高度CE；（2）求小亮与阿育王塔之间的距离ED．（注：结果精确到0.01m，参考数据：sin53°≈0.799，cos53°≈0.602，tan53°≈1.327）5．（2021•徐州）如图，斜坡AB的坡角∠BAC＝13°，计划在该坡面上安装两排平行的光伏板．前排光伏板的一端位于点A，过其另一端D安装支架DE，DE所在的直线垂直于水平线AC，垂足为点F，E为DF与AB的交点．已知AD＝100cm，前排光伏板的坡角∠DAC＝28°．（1）求AE的长（结果取整数）；（2）冬至日正午，经过点D的太阳光线与AC所成的角∠DGA＝32°，后排光伏板的前端H在AB上．此时，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响，则EH的最小值为多少（结果取整数）？参考数据：2≈1.41，3≈1.73，锐角A三角函数13°28°32°sinA0.220.470.53cosA0.970.880.85tanA0.230.530.62专题25锐角三角函数的实际应用（解析版）第一部分典例剖析类型一与学科间相关的实际应用问题典例1（2022•泰州）小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验．如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜MN，MN与墙面AB所成的角∠MNB＝118°，厂房高AB＝8m，房顶AM与水平地面平行，小强在点M的正下方C处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处D到他的距离CD是多少？（结果精确到0.1m，参考数据：sin34°≈0.56，tan34°≈0.68，tan56°≈1.48）思路引领：连接MC，过点M作HM⊥NM，根据题意可得∠DMC＝2∠CMH，∠MCD＝∠HMN＝90°，AB＝MC＝8m，AB∥MC，从而利用平行线的性质求出∠CMN＝62°，进而求出∠CMH＝28°，然后在Rt△CMD中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．解：连接MC，过点M作HM⊥NM，由题意得：∠DMC＝2∠CMH，∠MCD＝∠HMN＝90°，AB＝MC＝8m，AB∥MC，∴∠CMN＝180°﹣∠MNB＝180°﹣118°＝62°，∴∠CMH＝∠HMN﹣∠CMN＝28°，∴∠DMC＝2∠CMH＝56°，在Rt△CMD中，CD＝CM•tan56°≈8×1.48≈11.8（米），∴能看到的水平地面上最远处D到他的距离CD约为11.8米．总结提升：本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．类型二与坡度、坡角相关的实际问题典例2（2021秋•宁德期末）自卸式货车可以实现自动卸货，其原理是通过液压臂的伸缩来改变货厢的倾斜角度，如图1、图2是某款自卸式货车卸货时的截面示意图，其液压臂底座A与车厢转轴O的距离AO＝2.4m，伸缩臂支点B与车厢转轴O的距离BO＝2m，当车厢底座与车架底座的夹角∠AOB＝37°时，求液压臂AB的长．（结果保留根号，参考数据sin37°=35，cos37°=4思路引领：过点B作BC⊥OA于C，先在Rt△OBC中求出BC，OC，再求出AC，然后在Rt△ABC中求出AB即可解决问题．解：过点B作BC⊥OA于C，如图．在Rt△OBC中，∠OCB＝90°，∠BOC＝37°，BO＝2，∴BC＝OB•sin∠BOC＝2×3OC＝OB•cos∠BOC＝2×4∴AC＝OA﹣OC＝2.4−8在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∴AB=A故液压臂AB的长为2135总结提升：本题考查了解直角三角形，解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．类型三与方向角相关的实际问题典例3（2021秋•和平区校级月考）如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处，且乙船从B1处沿北偏东15°方向匀速直线航行．经过20分钟后，甲船由A1处航行到A2处，乙船航行到甲船位置（即A2处）的南偏西60°方向的B2处，此时两船相距102海里，求乙船每小时航行多少海里．思路引领：根据甲船的速度和行驶时间求出A1A2，可得△A1A2B2是等边三角形，作B2H⊥A1B1于H，根据题意求出∠B1A1B2＝45°，∠A1B1B2＝60°，根据正弦的定义求出B1B2，计算即可．解：∵甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，航行20分钟到达A2，∴A1A2＝302×13∵A2B2＝102（海里），∴A1A2＝A2B2，又∠A1A2B2＝60°，∴△A1A2B2是等边三角形；如图，过点B2作B2H⊥A1B1于H，根据题意可知：∠A1B1C＝∠B1A1D＝75°，∠CB1B2＝15°，∴∠A1B1B2＝75°﹣15°＝60°．∵△A1A2B2是等边三角形，∴∠A2A1B2＝60°，A1B2＝A1A2＝102（海里），∴∠B1A1B2＝180°﹣75°﹣60°＝45°．在△B1A1B2中，A1B2＝102（海里），∠B1A1B2＝45°，∠A1B1B2＝60°，∴B2H=22A1B∴B1B2=B则乙船每小时航行：2033÷总结提升：本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题、等边三角形的判定，掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．典例4（2022•丰润区二模）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为海里；AB＝海里（结果保留根号）．思路引领：过点P作PC⊥AB于C，解Rt△APC求出AC、PC，再解Rt△BPC求出PB、BC，进而得到AB．解：过P作PC⊥AB于C，如图所示：由题意得：∠APC＝30°，∠BPC＝45°，PA＝50海里，在Rt△APC中，∵∠ACP＝90°，∠APC＝30°，∴AC=12PA＝25海里，PC=3AC在Rt△PCB中，∵∠BCP＝90°，∠BPC＝45°，∴BC＝PC＝253海里，BP=2PC＝256∴AB＝AC+BC＝（25+253）海里．故答案为：256，（25+253）．总结提升：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．类型四与不易策略相关的实际问题典例5（2022秋•靖江市期中）如图，为了测量河对岸两点A、B之间的距离，在河岸这边取点C、D．测得CD＝100米，∠ACD＝90°，∠BCD＝45°，∠ADC＝19°17′，∠BDC＝56°19′．设A、B、C、D在同一平面内．（1）求AC的长；（2）求A、B两点之间的距离．（参考数据：tan19°17′≈0.35，tan56°19′≈1.50．）思路引领：（1）在Rt△ACD中利用直角三角形的边角间关系直接求出AC；（2）过点B作BE⊥CD，过点A作AF⊥BE，构造矩形ACEF和直角三角形．先说明△BCE是等腰直角三角形，再利用等腰三角形的性质得到CE、BE间关系，在Rt△BED中，利用直角三角形的边角间关系求出BE、DE，再利用线段的和差关系求出BF，最后在Rt△ABF中利用勾股定理求出AB．解：（1）在Rt△ACD中，∵∠ADC＝19°17'，CD＝100米，tan∠ADC=AC∴AC＝tan19°17'×CD≈0.35×100＝35（米）．答：AC的长约是35米；（2）如图，过点B作BE⊥CD，垂足为点E，过点A作AF⊥BE，垂足为点F．∵∠ACD＝90°，∴四边形ACEF是矩形．∴EF＝AC＝35米，AF＝CE．∵∠BCD＝45°，BE⊥CD，∴△BCE是等腰直角三角形．设CE＝x米，则AF＝BE＝x米，ED＝（100﹣x）米，在Rt△BED中，∵tan∠BDC=BEED，∠∴tan56°19'=BEED，即∴x＝60，∴AF＝BE＝60米，∴BF＝BE﹣EF＝60﹣35＝25（米）．在Rt△ABF中，AB=A答：A、B两点之间的距离约是65米．总结提升：本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角间关系、等腰三角形的性质和判定、矩形的性质和判定及勾股定理是解决本题的关键．类型五与可调节的滑动悬杆相关的问题典例6（2022•岳阳模拟）某种落地灯如图1所示，立杆AB垂直于地面，其高为120cm，BC为支杆，它可绕点B旋转，其中BC长为30cm，CD为悬杆，滑动悬杆可调节CD的长度，支杆BC与悬杆CD之间的夹角∠BCD为70°．（1）如图2，当A、B、C三点共线且CD＝50cm时，求灯泡悬挂点D距离地面的高度；（2）在图2所示的状态下，将支杆BC绕点B顺时针旋转50°，同时调节CD的长（如图3），此时测得灯泡悬挂点D到地面的距离为160cm，求CD的长．（结果精确到1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）思路引领：（1）过点D作DE⊥AC于点E，在Rt△CDE中，∠cos70°=CECD=（2）过点D向地面作垂线，垂足为F，过点C作CG⊥DF于点G，延长AB交CG于点H，在Rt△BCH中，cos50°=BHBC=BH30≈0.64，解得BH＝19.2，则FG＝AH＝AB+BH＝139.2（cm），DG＝DF﹣FG＝20.8（cm），在Rt△CDG中，∠解：（1）过点D作DE⊥AC于点E．在Rt△CDE中，∠BCD＝70°，CD＝50cm，cos70°=CE解得CE＝17，∴灯泡悬挂点D距离地面的高度为120+30﹣17＝133（cm）．（2）过点D向地面作垂线，垂足为F，过点C作CG⊥DF于点G，延长AB交CG于点H．在Rt△BCH中，∠CBH＝50°，BC＝30cm，cos50°=BH解得BH＝19.2，∴FG＝AH＝AB+BH＝120+19.2＝139.2（cm），∴DG＝DF﹣FG＝160﹣139.2＝20.8（cm），在Rt△CDG中，∠DCG＝70°﹣（90°﹣50°）＝30°，sin30°=DG解得CD＝41.6≈42，∴CD的长为42cm．总结提升：本题考查解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．典例7（2022•盐城）2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，OA＝1m，AB＝5m，BC＝2m，∠ABC＝143°．机械臂端点C到工作台的距离CD＝6m．（1）求A、C两点之间的距离；（2）求OD长．（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，5≈思路引领：（1）过点A作AE⊥CB，垂足为E，在Rt△ABE中，由AB＝5m，∠ABE＝37°，可求AE和BE，即可得出AC的长；（2）过点A作AF⊥CD，垂足为F，在Rt△ACF中，由勾股定理可求出AF，即OD的长．解：（1）如图，过点A作AE⊥CB，垂足为E，在Rt△ABE中，AB＝5m，∠ABE＝37°，∵sin∠ABE=AEAB，cos∠ABE∴AE5=0.60，∴AE＝3m，BE＝4m，∴CE＝6m，在Rt△ACE中，由勾股定理AC=32+62（2）过点A作AF⊥CD，垂足为F，∴FD＝AO＝1m，∴CF＝5m，在Rt△ACF中，由勾股定理AF=45−25=25∴OD＝25≈4.5m总结提升：本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理等知识；正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．类型六“触礁甄别”类型试题8．（2021春•海门市期中）如图，海中有一小岛P，在以P为圆心、半径为163nmile的圆形海域内有暗礁．一轮船自西向东航行，它在A处时测得小岛P位于北偏东60°的方向上，且A、P之间的距离为32nmile．若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？请通过计算加以说明．如果有危险，轮船自A处开始沿南偏东至多多少度方向航行才能安全通过这一海域？思路引领：过P作PB⊥AM于B，则PC的长是A沿AM方向距离P点的最短距离，求出PC长和163比较即可，第二问设出航行方向，利用特殊角的三角函数值确定答案．解：过P作PB⊥AM于B，在Rt△APB中，∵∠PAB＝30°，∴PB=12AP∵16＜163，故轮船有触礁危险．为了安全，应改变航行方向，并且保证点P到航线的距离不小于暗礁的半径163海里，即这个距离至少为163海里，设安全航向为AC，作PD⊥AC于点D，由题意得，AP＝32海里，PD＝163海里，∵sin∠PAC=PD∴在Rt△PAD中，∠PAC＝60°，∴∠BAC＝∠PAC﹣∠PAB＝60°﹣30°＝30°．答：若轮船继续向正东方向航行，轮船有触礁危险．轮船自A处开始沿南偏东至多60°度方向航行才能安全通过这一海域．总结提升：本题考查了解直角三角形﹣方向角问题，掌握的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．第二部分专题提优训练1．（2022秋•宽城区校级期末）如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，AD垂直地面，垂足为点D，BC⊥AD，垂足为点C．设∠ABC＝α，下列关系式正确的是（）A．sinα=ABBC B．tanα=ABAC C．思路引领：由锐角三角函数的定义即可得出结论．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝α，∴sinα＝sin∠ABC=ACAB，tanα＝tan∠ABC=ACBC，cosα故选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意，故选：C．总结提升：本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键．2．（2022秋•包头期末）如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影BC长为m，则大树AB的高为）．（请用含m，α的式子表示）思路引领：过点C作水平地面的平行线，交AB的延长线于D，根据正弦的定义求出BD，根据余弦的定义求出CD，根据等腰直角三角形的性质求出AD，计算即可．解：过点C作水平地面的平行线，交AB的延长线于D，则∠BCD＝α，在Rt△BCD中，BC＝m，∠BCD＝α，则BD＝BC•sin∠BCD＝m•sinα，CD＝BC•cos∠BCD＝m•cosα，在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，则AD＝CD＝m•cosα，∴AB＝AD﹣BD＝mcosα﹣msinα＝m（cosα﹣sinα），故答案为：m（cosα﹣sinα）．总结提升：本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．3．（2022•湖北）如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物A点处测得乙建筑物D点的俯角α为45°，C点的俯角β为58°，BC为两座建筑物的水平距离．已知乙建筑物的高度CD为6m，则甲建筑物的高度AB为m．（sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，结果保留整数）．思路引领：过点D作DE⊥AB于点E，则BE＝CD＝6m，∠ADE＝45°，∠ACB＝58°，在Rt△ADE中，∠ADE＝45°，设AE＝xm，则DE＝xm，BC＝xm，AB＝AE+BE＝（6+x）m，在Rt△ABC中，tan∠ACB＝tan58°=ABBC=解：过点D作DE⊥AB于点E，如图．则BE＝CD＝6m，∠ADE＝45°，∠ACB＝58°，在Rt△ADE中，∠ADE＝45°，设AE＝xm，则DE＝xm，∴BC＝xm，AB＝AE+BE＝（6+x）m，在Rt△ABC中，tan∠ACB＝tan58°=AB解得x＝10，∴AB＝16m．故答案为：16．总结提升：本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．4．（2022•连云港）我市的花果山景区大圣湖畔屹立着一座古塔——阿育王塔，是苏北地区现存最高和最古老的宝塔．小明与小亮要测量阿育王塔的高度，如图所示，小明在点A处测得阿育王塔最高点C的仰角∠CAE＝45°，再沿正对阿育王塔方向前进至B处测得最高点C的仰角∠CBE＝53°，AB＝10m；小亮在点G处竖立标杆FG，小亮的所在位置点D、标杆顶F、最高点C在一条直线上，FG＝1.5m，GD＝2m．（1）求阿育王塔的高度CE；（2）求小亮与阿育王塔之间的距离ED．（注：结果精确到0.01m，参考数据：sin53°≈0.799，cos53°≈0.602，tan53°≈1.327）思路引领：（1）由∠CAE＝45°，AB＝10m，可得BE＝AE﹣10＝CE﹣10，在Rt△CEB中，可得tan∠CBE＝tan53°=CEBE=CECE−10（2）由△FGD∽△CED，可得1.540.58=2ED，可解得小亮与阿育王塔之间的距离解：（1）在Rt△CAE中，∵∠CAE＝45°，∴CE＝AE，∵AB＝10m，∴BE＝AE﹣10＝CE﹣10，在Rt△CEB中，tan∠CBE＝tan53°=CE∴1.327≈CE解得CE≈40.58（m）；答：阿育王塔的高度CE约为40.58m；（2）由题意知：∠CED＝90°＝∠FGD，∠FDG＝∠CDE，∴△FGD∽△CED，∴FGCE=GD解得ED≈54.11（m），答：小亮与阿育王塔之间的距离ED约是54.11m．总结提升：本题考查解直角三角