易错点02方程与不等式(原卷版+解析)2

易错点02方程与不等式一元一次方程与二元一次方程（组）一元一次方程与二元一次方程（组）的应用一元二次方程及其应用分式方程及应用一元一次不等式与一元一次不等式组一次不等式（组）的应用易错分析易错分析01熟练掌握方程与不等式的相关性质及解法步骤，理解方程的概念，在判断方程定义的方法上需要注意方程成立的条件（2021秋•本溪县期末）下列方程①；②3x＝11；③；④y2﹣4y＝3；⑤x＝0；⑥x+2y＝1，其中是一元一次方程的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】A【思路点拨】答案错诶，根据一元一次方程的定义进行判断即可．【规范解答】解：①x﹣2＝是分式方程，不是一元一次方程；②3x＝11；③＝5x﹣1；⑤x＝0是一元一次方程；④y2﹣4y＝3是一元二次方程；⑥x+2y＝1是二元一次方程．是一元一次方程的有3个，故选：B．【考点解读】本题考查的是一元一次方程的定义，解题的关键是掌握一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．【变式训练01】（2022春•宛城区期末）若（m﹣1）x+1＝0是关于x的一元一次方程，则m的值可以是.（写出一个即可）【变式训练02】（2022秋•信宜市校级期中）请填上适当的m值，使得关于x的方程mx2﹣2＝0是一元二次方程，m的值为．【变式训练03】（2021秋•云岩区校级月考）已知关于x的方程（m+1）x+（m﹣3）x﹣1＝0．（1）当m取何值时，该方程是一元二次方程？（2）当m取何值时，该方程是一元一次方程？易错分析易错分析02运用等式性质时，两边同除以一个数必须要注意不能为0的情况，还要关注解方程与方程组的基本思路，消元降次的主要陷阱在于消除了一个带X公因式时回头检验。（2022秋•天河区校级期末）下列方程的变形中，正确的是（）A．将5x﹣4＝2x+6移项，得5x﹣2x＝6﹣4 B．将4x＝2化系数为1，得 C．将2（x﹣3）＝﹣3（﹣x+6）去括号得，2x﹣6＝﹣3x﹣18 D．将去分母得，3﹣2x+1＝1【答案】A【思路点拨】答案错诶，注意移项要变号【规范解答】解：A、将5x﹣4＝2x+6移项，得5x﹣2x＝6+4，不符合题意；B、将4x＝2化系数为1，得x＝，符合题意；C、将2（x﹣3）＝﹣3（﹣x+6）去括号，得2x﹣6＝3x﹣18，不符合题意；D、将﹣＝1去分母，得3﹣2x﹣2＝6，不符合题意．故选：B．【考点解读】此题主要考查了解一元一次方程的方法，以及等式的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）等式两边加同一个数（或式子），结果仍得等式．（2）等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．【变式训练01】（2022秋•驿城区校级期末）解方程：（1）3（x+2）＝5（x﹣4）；（2）．【变式训练02】（2022秋•茂南区期末）方程2x＝去分母后，正确的是（）A．2x＝2﹣（4x+1） B．12x＝2﹣4x+1 C．2x＝ D．12x＝2﹣4x﹣1【变式训练03】（2022秋•东昌府区校级期末）解方程：；（2）．易错分析易错分析03运用不等式的性质３时，容易忘记改不变号的方向而导致结果出错。注意结合不等号两边的正负性灵活转变不等号的方向。不等式（组）的解得问题要先确定解集，确定解集的方法运用数轴。（2022秋•碑林区校级期末）解不等式组：．【答案】，解不等式①得：x＞﹣3，解不等式②得：x≥，∴原不等式组的解集为：x≥．【思路点拨】答案错误，没有注意运算符号，没有改变符号方向。【规范解答】，解不等式①得：x＞﹣3，解不等式②得：x≤，∴原不等式组的解集为：﹣3＜x≤．【考点解读】解一元一次不等式组，准确熟练地进行计算是解题题的关键．【变式训练01】（2022秋•拱墅区期末）若a＞b，则下列式子中正确的是（）A． B．a﹣3＜b﹣3 C．﹣3a＜﹣3b D．a﹣b＜0【变式训练02】（2022秋•东方期末）计算：；（2）解不等式组：．【变式训练03】（2022秋•碑林区校级期末）关于x的不等式组有解且每一个x的值均不在﹣2≤x≤6的范围中，则a的取值范围是（）A．a＜1 B．a≤1 C．1≤a≤5 D．a≥5易错分析易错分析04一元二次方程中相关字母的取值范围的题目易忽视二次项系数不为0。解这类问题一定要掌握一元二次方程的定义，注意特殊字母的取值范围（2022秋•梁溪区校级期中）已知方程（a﹣2）x|a|+2x＝0是关于x的一元二次方程，则a＝﹣2．【答案】2或-2【思路点拨】答案错误，没有考虑到满足二元一次方程定义，根据一元二次方程的定义求解即可．【规范解答】解：由题意得：|a|＝2，且a﹣2≠0，解得：a＝﹣2，故答案为：﹣2．【考点解读】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．【变式训练01】（2022秋•凤凰县期末）已知：（m﹣1）x|m+1|+6x﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则m＝【变式训练02】（2022秋•襄州区期末）关于x的方程（a﹣1）x2+4x﹣3＝0是一元二次方程，则（）A．a＞1 B．a＝1 C．a≠1 D．a≥0【变式训练03】已知关于x的一元二次方程ax2+2xa﹣4xb﹣5＝0，试写出满足要求的所有a，b的值．易错分析易错分析05关于一元一次不等式组有解、无解的条件易忽视相等的情况。解不等式过程中，容易忽视整数解的正确选择，需要考虑到解题步骤中要满足每个步骤及相关条件（2022•成都模拟）解不等式组：．【答案】，解不等式①得：x≥﹣1，解不等式②得：x＞2.5，∴原不等式组的解集为：x＞2.5．【思路点拨】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．【规范解答】，解不等式①得：x≥﹣1，解不等式②得：x＜2.5，∴原不等式组的解集为：﹣1≤x＜2.5．【考点解读】本题考查了解一元一次不等式组，实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．【变式训练01】（2022秋•平南县期末）解不等式组：，并利用数轴表示不等式组的解集．【变式训练02】（2022•蔡甸区模拟）解不等式组请按下列步骤完成解答：（Ⅰ）解不等式①，得；（Ⅱ）解不等式②，得；（Ⅲ）将不等式①和②的解集在数轴上表示出来；（Ⅳ）原不等式组的解集为．【变式训练03】（2022春•淮阴区期末）解不等式（组）：（1）解不等式≥x﹣7，并把解集在数轴上表示出来；（2）解不等式组，并写出它的所有整数解．易错分析易错分析06解分式方程时首要步骤去分母，分数相相当于括号，易忘记根检验，导致运算结果出错。另外注意方程无解时，相关字母可能会出现多个解，容易遗漏（2022春•大英县期末）关于x的分式方程无解，则a的值是．【答案】a的值为1【思路点拨】答案错误，没有考虑到无解的多种情况，分两种情况：当a﹣1＝0时，整式方程无解，当x﹣1＝0时，分式方程有增根，无解，然后分别进行计算即可解答．【规范解答】解：，ax+1＝4+x﹣1，（a﹣1）x＝2，∵分式方程无解，∴分两种情况：当a﹣1＝0时，a＝1；当x﹣1＝0时，x＝1，把x＝1代入（a﹣1）x＝2中，a﹣1＝2，∴a＝3，综上所述：a的值为1或3．【考点解读】本题考查了分式方程的解，解分式方程，分两种情况进行计算是解题的关键．【变式训练01】（2022秋•磁县期末）（一）分解因式：x2（x+4）﹣4x（x+1）；（2）（x2+1）2﹣4x2；x2﹣7x+12．（二）解分式方程：．【变式训练02】（2022秋•绥棱县校级期末）解下列分式方程：（1）；（2）．【变式训练03】（2022•常德）方程+＝的解为．易错分析易错分析07不等式（组）的解得问题要先确定解集，注意包含与不包含，以及对正整数，整数，非负整数等关键词理解要透彻，容易概念混乱。确定解集的方法运用数轴。（2022秋•鄞州区期中）不等式3+x＞3x﹣5的正整数解有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【思路点拨】答案错误，注意两点：4取不到，正整数解不包含0.再按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．【规范解答】解：3+x＞3x﹣5，x﹣3x＞﹣5﹣3，﹣2x＞﹣8，x＜4，∴该不等式的正整数解为：3，2，1，共有3个正整数解，故选：C．【考点解读】本题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键．【变式训练01】（2022春•黑山县期中）解不等式：①2（x﹣1）＜3（x+1）﹣2，并把解集在数轴上表示出来．②解不等式：≥﹣1，并写出其非负整数解．【变式训练02】（2022春•新会区期末）关于x的不等式3x﹣m+2＞0的最小整数解为2，则实数m的取值范围是（）A．5≤m＜8 B．5＜m＜8 C．5≤m≤8 D．5＜m≤8【变式训练03】（2022春•南宁期末）不等式4﹣3x＞2x﹣6的非负整数解有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个易错分析易错分析08掌握科学记数法，精确度概念。熟练掌握概念：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．易错分析易错分析08方程与不等式应用于实际问题时应注意：（1）单位要统一；（2）找等量关系必须准确；（3）列方程组时要避免出现0=0的情况。在一元二次方程中容易忽略多个解（2022•中山市三模）某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书．调查发现，若购买甲种书柜2个、乙种书柜3个，共需资金1020元；若购买甲种书柜3个，乙种书柜4个，共需资金1440元．（1）甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？（2）若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，学校至多能够提供资金3750元，请写出所有购买方案供这个学校选择（两种规格的书柜都必须购买）．【答案】甲种书柜2个，乙种书柜18个【思路点拨】答案错误，没有考虑多解，（1）设甲种书柜单价为x元，乙种书柜的单价为y元，根据：购买甲种书柜2个、乙种书柜3个，共需资金1020元；若购买甲种书柜3个，乙种书柜4个，共需资金1440元列出方程组求解即可；（2）设甲种书柜购买m个，则乙种书柜购买（20﹣m）个．根据：购买的乙种书柜的数量≥甲种书柜数量且所需资金≤3750列出不等式组，解不等式组即可得不等式组的解集，从而确定方案．【规范解答】解：（1）设甲种书柜单价为x元，乙种书柜的单价为y元，由题意得：，解之得：，∴甲种书柜单价为240元，乙种书柜的单价为180元．（2）设甲种书柜购买m个，则乙种书柜购买（20﹣m）个；由题意得：240m+180（20﹣m）≤3750．解之得：m≤2.5∵m取整数，∴m可以取的值为：1，2．即：学校的购买方案有以下两种：方案一：甲种书柜1个，乙种书柜19个，方案二：甲种书柜2个，乙种书柜18个．【考点解读】本题主要考查二元一次方程组、不等式的综合应用能力，根据题意准确抓住相等关系或不等关系是解题的根本和关键．【变式训练01】（2022春•遂川县期末）近几年我县的桃源梯田与红色圩场景点吸引了县内外众多游客，甲、乙两家旅行社为了让更多的游客前往旅游，分别推出了“赏桃源梯田，忆红色圩场”旅游的团体优惠办法．甲旅行社的优惠办法是：买4张全票，其余人按半价优惠；乙旅行社的优惠办法是：一律按原价的优惠．已知这两家旅行社的原价均为每人80元，试说明随着团体人数的变化，哪家旅行社的收费更优惠？【变式训练02】（2022秋•长泰县期中）为响应国家节能减排的号召，各地市先后出台了居民用电“阶梯价格”制度，下表是某市的阶梯电价收费标准（每月）：阶梯用电量（单位：度）电费价格（单位：元/度）一档不超过220度的电量0.50二档220至420度之间的电量0.55三档超过420度的电量0.80（1）小明家七月份共用电470度，求小明家七月份应交多少电费？（2）如果某户居民某月用电a度（220≤a＜420），请用含a的代数式表示该户居民该月应交电费．（3）小明家九月份的电费是165元，求该月用电多少度？【变式训练03】（2022•宁夏）某校购进一批篮球和排球，篮球的单价比排球的单价多30元．已知330元购进的篮球数量和240元购进的排球数量相等．（1）篮球和排球的单价各是多少元？（2）现要购买篮球和排球共20个，总费用不超过1800元．篮球最多购买多少个？一、选择题1．（2022九上·洪泽月考）方程2x2+x-4=0的解的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根C．有两个相等的实数根 D．有一个实数根2．（2022九上·通州月考）下列方程有两个相等的实数根的是（）A． B． C． D．3．（2022九上·吴江月考）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（）A． B．2 C． D．14．（2021·建邺模拟）已知双曲线与直线交于，，若，，则（）A．， B．，C．， D．，5．（2020九上·丹徒期中）已知x=m是一元二次方程x2+2x+n-3=0的一个根，则m+n的最大值等于（）A． B．4 C． D．二、填空题6．（2022九上·洪泽月考）如果a是方程的一个实数根，则的值为．7．（2022九上·洪泽月考）商店今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元，从1月份到3月份，设该店销售额平均每月的增长率是x，由题意列出方程是．8．（2022九上·沭阳月考）把方程化成的形式，则的值是．9．（2021九上·海安月考）已知关于x的方程，其中p、q都是实数.若方程有三个不同的实数根、、，且，则q的值为.10．（2020九上·泰兴期末）对于一个函数，当自变量x取n时，函数值y等于4－n，我们称n为这个函数的“二合点”，如果二次函数y＝mx2+x+1有两个相异的二合点x1，x2，且x1＜x2＜1，则m的取值范围是．三、解答题11．（2022·徐州）（1）解方程：；（2）解不等式组：12．（2022九上·洪泽月考）尊老爱幼是中华民族的传统美德，菜商店为老人推出一款特价商品，每件商品的进价为15元，促销前销售单价为25元，平均每天能售出80件；根据市场调查，销售单价每降低0.5元，平均每天可多售出20件．不考虑其他因素的影响，若商店销售这款商品的利润要达到平均每天1280元，销售单价应降低多少元？13．（2022·泗洪模拟）2022年5月8日是“母亲节”，小明买了一束百合和康乃馨组合的鲜花送给妈妈，以表祝福.在买花过程中，爱思考的小明发现一个数学问题：3支康乃馨的价格比2支百合的价格多2元，买2支百合和1支康乃馨共花费14元.如果买一束百合和康乃馨组合的鲜花共11支，且百合不少于2支，那么怎样组合，能使费用支出最少？请你帮助小明解决这个数学问题.14．（2022·淮安）端午节前夕，某超市从厂家分两次购进、两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽子的进价不变.第一次购进品牌粽子100袋和品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进品牌粽子180袋和品牌粽子120袋，总费用为8100元.（1）求、两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；（2）当品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对品牌粽子进行降价销售.经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋.当品牌粽子每袋的销售价降低多少元时，每天售出品牌粽子所获得的利润最大？最大利润是多少元？15．（2022七上·盐都月考）卡塔尔世界杯正在火热进行中，在购买足球赛门票时，设购买门票张数为a（张），现有两种购买方案：方案一：若单位赞助广告费10000元，则该单位购买门票的价格为60元（总费用＝广告赞助费+门票费）．方案二：若购买的门票数不超过100张，每张100元，若所购门票超过100张，则超出部分按八折计算．解答下列问题：（1）方案一中，用含a的代数式来表示总费用为．方案二中，当购买的门票数a不超过100张时，用含x的代数式来表示总费用为.当所购门票数a超过100张时，用含x的代数式来表示总费用为．（2）甲、乙两单位分别采用方案一、方案二购买本次足球赛门票，合计700张，花去的总费用计58000元，求甲、乙两单位各购买门票多少张？易错点02方程与不等式一元一次方程与二元一次方程（组）一元一次方程与二元一次方程（组）的应用一元二次方程及其应用分式方程及应用一元一次不等式与一元一次不等式组一次不等式（组）的应用易错分析易错分析01熟练掌握方程与不等式的相关性质及解法步骤，理解方程的概念，在判断方程定义的方法上需要注意方程成立的条件（2021秋•本溪县期末）下列方程①；②3x＝11；③；④y2﹣4y＝3；⑤x＝0；⑥x+2y＝1，其中是一元一次方程的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】A【思路点拨】答案错诶，根据一元一次方程的定义进行判断即可．【规范解答】解：①x﹣2＝是分式方程，不是一元一次方程；②3x＝11；③＝5x﹣1；⑤x＝0是一元一次方程；④y2﹣4y＝3是一元二次方程；⑥x+2y＝1是二元一次方程．是一元一次方程的有3个，故选：B．【考点解读】本题考查的是一元一次方程的定义，解题的关键是掌握一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．【变式训练01】（2022春•宛城区期末）若（m﹣1）x+1＝0是关于x的一元一次方程，则m的值可以是2.（写出一个即可）【思路点拨】直接利用一元一次方程的定义进而得出m﹣1≠0，即可得出答案．【规范解答】解：∵（m﹣1）x+1＝0是关于x的一元一次方程，∴m﹣1≠0，解得m≠1，∴m的值可以是2．故答案为：2（答案不唯一）．【考点解读】此题主要考查了一元一次方程的定义，正确掌握相关定义是解题关键．【变式训练02】（2022秋•信宜市校级期中）请填上适当的m值，使得关于x的方程mx2﹣2＝0是一元二次方程，m的值为不为0的实数．【思路点拨】根据一元二次方程的概念判断即可．【规范解答】解：因为关于x的方程mx2﹣2＝0是一元二次方程，所以m≠0，即m的值为不为0的实数．故答案为：不为0的实数．【考点解读】本题考查的是一元二次方程的概念，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．【变式训练03】（2021秋•云岩区校级月考）已知关于x的方程（m+1）x+（m﹣3）x﹣1＝0．（1）当m取何值时，该方程是一元二次方程？（2）当m取何值时，该方程是一元一次方程？【思路点拨】根据一元二次方程、一元一次方程的概念判断即可．【规范解答】解：（1）∵关于x的方程（m+1）x+（m﹣3）x﹣1＝0是一元二次方程，∴，解得m＝1，∴m＝1时，原方程是一元二次方程．（2）∵关于x的方程（m+1）x+（m﹣3）x﹣1＝0是一元一次方程，∴m+1＝0，m﹣3≠0或解得m＝﹣1或m＝0，∴m＝﹣1或0时，原方程是一元一次方程．【考点解读】此题主要考查了一元二次方程、一元一次方程的概念，解答此题的关键是要明确：（1）只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（a≠0）．特别要注意a≠0的条件．（2）只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．易错分析易错分析02运用等式性质时，两边同除以一个数必须要注意不能为0的情况，还要关注解方程与方程组的基本思路，消元降次的主要陷阱在于消除了一个带X公因式时回头检验。（2022秋•天河区校级期末）下列方程的变形中，正确的是（）A．将5x﹣4＝2x+6移项，得5x﹣2x＝6﹣4 B．将4x＝2化系数为1，得 C．将2（x﹣3）＝﹣3（﹣x+6）去括号得，2x﹣6＝﹣3x﹣18 D．将去分母得，3﹣2x+1＝1【答案】A【思路点拨】答案错诶，注意移项要变号【规范解答】解：A、将5x﹣4＝2x+6移项，得5x﹣2x＝6+4，不符合题意；B、将4x＝2化系数为1，得x＝，符合题意；C、将2（x﹣3）＝﹣3（﹣x+6）去括号，得2x﹣6＝3x﹣18，不符合题意；D、将﹣＝1去分母，得3﹣2x﹣2＝6，不符合题意．故选：B．【考点解读】此题主要考查了解一元一次方程的方法，以及等式的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）等式两边加同一个数（或式子），结果仍得等式．（2）等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．【变式训练01】（2022秋•驿城区校级期末）解方程：（1）3（x+2）＝5（x﹣4）；（2）．【思路点拨】（1）按照解一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答；（2）按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答．【规范解答】解：（1）3（x+2）＝5（x﹣4），3x+6＝5x﹣20，3x﹣5x＝﹣20﹣6，﹣2x＝﹣26，x＝13；（2），6x﹣3（x﹣1）＝2x﹣6，6x﹣3x+3＝2x﹣6，6x﹣3x﹣2x＝﹣6﹣3，x＝﹣9．【考点解读】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．【变式训练02】（2022秋•茂南区期末）方程2x＝去分母后，正确的是（）A．2x＝2﹣（4x+1） B．12x＝2﹣4x+1 C．2x＝ D．12x＝2﹣4x﹣1【思路点拨】按照解一元一次方程的步骤，进行计算即可解答．【规范解答】解：2x＝，去分母得：12x＝2﹣（4x+1），12x＝2﹣4x﹣1，故选：D．【考点解读】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．【变式训练03】（2022秋•东昌府区校级期末）解方程：（1）；（2）．【思路点拨】（1）按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答；（2）按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．【规范解答】解：（1），x2+x﹣1＝x（x﹣1），解得：x＝，检验：当x＝时，x（x﹣1）≠0，∴x＝是原方程的根；（2），2（x﹣2）+x+2＝4，解得：x＝2，检验：当x＝2时，（x+2）（x﹣2）＝0，∴x＝2是原方程的增根，∴原方程无解．【考点解读】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．易错分析易错分析03运用不等式的性质３时，容易忘记改不变号的方向而导致结果出错。注意结合不等号两边的正负性灵活转变不等号的方向。不等式（组）的解得问题要先确定解集，确定解集的方法运用数轴。（2022秋•碑林区校级期末）解不等式组：．【答案】，解不等式①得：x＞﹣3，解不等式②得：x≥，∴原不等式组的解集为：x≥．【思路点拨】答案错误，没有注意运算符号，没有改变符号方向。【规范解答】，解不等式①得：x＞﹣3，解不等式②得：x≤，∴原不等式组的解集为：﹣3＜x≤．【考点解读】解一元一次不等式组，准确熟练地进行计算是解题题的关键．【变式训练01】（2022秋•拱墅区期末）若a＞b，则下列式子中正确的是（）A． B．a﹣3＜b﹣3 C．﹣3a＜﹣3b D．a﹣b＜0【思路点拨】根据不等式的性质进行判断．【规范解答】解：A、不等式a＞b的两边同时除以2，不等式仍成立，即＞，故本选项不符合题意；B、不等式a＞b的两边同时减去3，不等式仍成立，即a﹣3＞b﹣3，故本选项不符合题意；C、不等式a＞b的两边同时乘﹣3，不等式仍成立，即﹣3a＜﹣3b，故本选项符合题意；D、不等式a＞b的两边同时减去b，不等式仍成立，即a﹣b＞0，故本选项不符合题意．故选：C．【考点解读】本题主要考查了不等式的性质，运用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．【变式训练02】（2022秋•东方期末）计算：（1）；（2）解不等式组：．【思路点拨】（1）先计算平方根，乘方，再计算除法和加减法；（2）分别计算两个不等式，再求两个解得公共部分即可．【规范解答】解：（1）原式＝4×（﹣2）﹣2+9＝﹣8﹣2+9（2）解不等式3x﹣4＜5，得x＜3；解不等式＞1，得x＞1，∴原不等式组的解为：1＜x＜3．【考点解读】本题主要考查运算能力，涉及实数的运算，解一元一次不等式组，掌握相关运算法则是解题基础．【变式训练03】（2022秋•碑林区校级期末）关于x的不等式组有解且每一个x的值均不在﹣2≤x≤6的范围中，则a的取值范围是（）A．a＜1 B．a≤1 C．1≤a≤5 D．a≥5【思路点拨】先按照解一元一次不等式组的步骤进行计算可得2a﹣4＜x＜a﹣3，然后根据题意可得：2a﹣4≥6或a﹣3≤﹣2，从而可得：a≥5或a≤1，最后再根据不等式组有解集可得a﹣3＞2a﹣4，进行计算即可解答．【规范解答】解：，解不等式①得：x＜a﹣3，解不等式②得：x＞2a﹣4，∴原不等式组的解集为：2a﹣4＜x＜a﹣3，∵不等式组有解且每一个x的值均不在﹣2≤x≤6的范围中，∴2a﹣4≥6或a﹣3≤﹣2，解得：a≥5或a≤1，∵不等式组有解集，∴a﹣3＞2a﹣4，解得：a＜1，综上所述：a的取值范围是a＜1，故选：A．【考点解读】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．易错分析易错分析04一元二次方程中相关字母的取值范围的题目易忽视二次项系数不为0。解这类问题一定要掌握一元二次方程的定义，注意特殊字母的取值范围（2022秋•梁溪区校级期中）已知方程（a﹣2）x|a|+2x＝0是关于x的一元二次方程，则a＝﹣2．【答案】2或-2【思路点拨】答案错误，没有考虑到满足二元一次方程定义，根据一元二次方程的定义求解即可．【规范解答】解：由题意得：|a|＝2，且a﹣2≠0，解得：a＝﹣2，故答案为：﹣2．【考点解读】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．【变式训练01】（2022秋•凤凰县期末）已知：（m﹣1）x|m+1|+6x﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则m＝﹣3．【思路点拨】直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．【规范解答】解：∵（m﹣1）x|m+1|+6x﹣1＝0是关于x的一元二次方程，∴|m+1|＝2，m﹣1≠0，解得：m＝﹣3，故答案为：﹣3．【考点解读】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握次数是解题关键．【变式训练02】（2022秋•襄州区期末）关于x的方程（a﹣1）x2+4x﹣3＝0是一元二次方程，则（）A．a＞1 B．a＝1 C．a≠1 D．a≥0【思路点拨】根据一元二次方程定义可得：a﹣1≠0，再解即可．【规范解答】解：由题意得：a﹣1≠0，解得：a≠1，故选：C．【考点解读】此题主要考查了一元二次方程定义，解题的关键是掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．【变式训练03】已知关于x的一元二次方程ax2+2xa﹣4xb﹣5＝0，试写出满足要求的所有a，b的值．【思路点拨】本题根据一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．【规范解答】解：根据题意知，当时，方程为2x2﹣4x﹣5＝0，当时，方程为﹣3x2+2x﹣5＝0，当时，方程为﹣4x2﹣3＝0，当时，方程为4x2﹣9＝0，当时，方程为x2﹣2x﹣5＝0，当时，方程为x2+2x﹣9＝0．【考点解读】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．易错分析易错分析05关于一元一次不等式组有解、无解的条件易忽视相等的情况。解不等式过程中，容易忽视整数解的正确选择，需要考虑到解题步骤中要满足每个步骤及相关条件（2022•成都模拟）解不等式组：．【答案】，解不等式①得：x≥﹣1，解不等式②得：x＞2.5，∴原不等式组的解集为：x＞2.5．【思路点拨】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．【规范解答】，解不等式①得：x≥﹣1，解不等式②得：x＜2.5，∴原不等式组的解集为：﹣1≤x＜2.5．【考点解读】本题考查了解一元一次不等式组，实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．【变式训练01】（2022秋•平南县期末）解不等式组：，并利用数轴表示不等式组的解集．【思路点拨】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．【规范解答】解：，解不等式①得：x≤2，解不等式②得：x＞﹣2.5，∴原不等式组的解集为：﹣2.5＜x≤2，∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：【考点解读】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．【变式训练02】（2022•蔡甸区模拟）解不等式组请按下列步骤完成解答：（Ⅰ）解不等式①，得x≤1；（Ⅱ）解不等式②，得x＞﹣3；（Ⅲ）将不等式①和②的解集在数轴上表示出来；（Ⅳ）原不等式组的解集为﹣3＜x≤1．【思路点拨】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．【规范解答】解：，（Ⅰ）解不等式①，得x≤1；（Ⅱ）解不等式②，得x＞﹣3；（Ⅲ）将不等式①和②的解集在数轴上表示如图所示：（Ⅳ）原不等式组的解集为﹣3＜x≤1，故答案为：（Ⅰ）x≤1；（Ⅱ）x＞﹣3；（Ⅳ）﹣3＜x≤1．【考点解读】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．【变式训练03】（2022春•淮阴区期末）解不等式（组）：（1）解不等式≥x﹣7，并把解集在数轴上表示出来；（2）解不等式组，并写出它的所有整数解．【思路点拨】（1）按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答；（2）按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．【规范解答】解：（1）≥x﹣7，1﹣3x≥2（x﹣7），1﹣3x≥2x﹣14，﹣3x﹣2x≥﹣14﹣1，﹣5x≥﹣15，x≤3，该不等式的解集在数轴上表示如图所示：（2），解不等式①得：x＜2，解不等式②得：x≥﹣1，∴原不等式组的解集为：﹣1≤x＜2，∴该不等式组的所有整数解为：﹣1，0，1．【考点解读】本题考查了解一元一次不等式组，解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，一元一次不等式组的整数解，准确熟练地进行计算是解题的关键．易错分析易错分析06解分式方程时首要步骤去分母，分数相相当于括号，易忘记根检验，导致运算结果出错。另外注意方程无解时，相关字母可能会出现多个解，容易遗漏（2022春•大英县期末）关于x的分式方程无解，则a的值是．【答案】a的值为1【思路点拨】答案错误，没有考虑到无解的多种情况，分两种情况：当a﹣1＝0时，整式方程无解，当x﹣1＝0时，分式方程有增根，无解，然后分别进行计算即可解答．【规范解答】解：，ax+1＝4+x﹣1，（a﹣1）x＝2，∵分式方程无解，∴分两种情况：当a﹣1＝0时，a＝1；当x﹣1＝0时，x＝1，把x＝1代入（a﹣1）x＝2中，a﹣1＝2，∴a＝3，综上所述：a的值为1或3．【考点解读】本题考查了分式方程的解，解分式方程，分两种情况进行计算是解题的关键．【变式训练01】（2022秋•磁县期末）（一）分解因式：（1）x2（x+4）﹣4x（x+1）；（2）（x2+1）2﹣4x2；（3）x2﹣7x+12．（二）解分式方程：．【思路点拨】（一）（1）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答；（2）先利用平方差公式，再利用完全平方差公式继续分解即可解答；（3）利用因式分解﹣十字相乘法，进行分解即可解答；（二）按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．【规范解答】解：（一）（1）x2（x+4）﹣4x（x+1）＝x[x（x+4）﹣4（x+1）]＝x（x2+4x﹣4x﹣4）＝x（x2﹣4）＝x（x+2）（x﹣2）；（2）（x2+1）2﹣4x2＝（x2+1）2﹣（2x）2＝（x2+1+2x）（x2+1﹣2x）＝（x+1）2（x﹣1）2；（3）x2﹣7x+12＝x2+（﹣3﹣4）x+（﹣3）×（﹣4）＝（x﹣3）（x﹣4）；（二）．方程两边都乘（x+1）（x﹣1）得：（x+1）（x+1）﹣4＝（x+1）（x﹣1），解得：x＝1，检验：当x＝1时，（x+1）（x﹣1）＝0，∴x＝1是原方程的增根，∴原分式方程无解．【考点解读】本题考查了解分式方程，提公因式法与公式法的综合运用，因式分解﹣十字相乘法，准确熟练地进行计算是解题的关键．【变式训练02】（2022秋•绥棱县校级期末）解下列分式方程：（1）；（2）．【思路点拨】（1）按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答；（2）按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．【规范解答】解：（1），1﹣2＝x﹣1，解得：x＝0，检验：当x＝0时，x﹣1≠0，∴x＝0是原方程的根；（2），2x﹣1﹣3＝4，解得：x＝4，检验：当x＝4时，3（2x﹣1）≠0，∴x＝4是原方程的根．【考点解读】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．【变式训练03】（2022•常德）方程+＝的解为x＝4．【思路点拨】方程两边同乘2x（x﹣2），得到整式方程，解整式方程求出x的值，检验后得到答案．【规范解答】解：方程两边同乘2x（x﹣2），得4x﹣8+2＝5x﹣10，解得：x＝4，检验：当x＝4时，2x（x﹣2）＝16≠0，∴x＝4是原方程的解，∴原方程的解为x＝4．【考点解读】本题考查的是分式方程的解法，解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论，注意解分式方程时，一定要检验．易错分析易错分析07不等式（组）的解得问题要先确定解集，注意包含与不包含，以及对正整数，整数，非负整数等关键词理解要透彻，容易概念混乱。确定解集的方法运用数轴。（2022秋•鄞州区期中）不等式3+x＞3x﹣5的正整数解有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【思路点拨】答案错误，注意两点：4取不到，正整数解不包含0.再按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．【规范解答】解：3+x＞3x﹣5，x﹣3x＞﹣5﹣3，﹣2x＞﹣8，x＜4，∴该不等式的正整数解为：3，2，1，共有3个正整数解，故选：C．【考点解读】本题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键．【变式训练01】（2022春•黑山县期中）解不等式：①2（x﹣1）＜3（x+1）﹣2，并把解集在数轴上表示出来．②解不等式：≥﹣1，并写出其非负整数解．【思路点拨】①按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答；②按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．【规范解答】解：①2（x﹣1）＜3（x+1）﹣2，2x﹣2＜3x+3﹣2，2x﹣3x＜3﹣2+2，﹣x＜3，x＞﹣3，该不等式的解集在数轴上表示如图所示：②≥﹣1，4（2x﹣1）≥3（3x+2）﹣12，8x﹣4≥9x+6﹣12，8x﹣9x≥6﹣12+4，﹣x≥﹣2，x≤2，∴该不等式的非负整数解2，1，0．【考点解读】本题考查了解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．【变式训练02】（2022春•新会区期末）关于x的不等式3x﹣m+2＞0的最小整数解为2，则实数m的取值范围是（）A．5≤m＜8 B．5＜m＜8 C．5≤m≤8 D．5＜m≤8【思路点拨】解出不等式，然后根据不等式的最小整数解为2，即可列出关于m的不等式，从而求出m的取值范围．【规范解答】解：3x﹣m+2＞0，3x＞m﹣2，，∵不等式的最小整数解为2，∴，解得：5≤m＜8，故选：A．【考点解读】本题考查的是含参数的一元一次不等式，掌握根据不等式的最小整数解求参数的取值范围是解决此题的关键．【变式训练03】（2022春•南宁期末）不等式4﹣3x＞2x﹣6的非负整数解有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【思路点拨】按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．【规范解答】解：4﹣3x＞2x﹣6，﹣3x﹣2x＞﹣6﹣4，﹣5x＞﹣10，x＜2，∴不等式的非负整数解为：1，0，∴不等式的非负整数解有2个，故选：B．【考点解读】本题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键．易错分析易错分析08掌握科学记数法，精确度概念。熟练掌握概念：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．易错分析易错分析08方程与不等式应用于实际问题时应注意：（1）单位要统一；（2）找等量关系必须准确；（3）列方程组时要避免出现0=0的情况。在一元二次方程中容易忽略多个解（2022•中山市三模）某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书．调查发现，若购买甲种书柜2个、乙种书柜3个，共需资金1020元；若购买甲种书柜3个，乙种书柜4个，共需资金1440元．（1）甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？（2）若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，学校至多能够提供资金3750元，请写出所有购买方案供这个学校选择（两种规格的书柜都必须购买）．【答案】甲种书柜2个，乙种书柜18个【思路点拨】答案错误，没有考虑多解，（1）设甲种书柜单价为x元，乙种书柜的单价为y元，根据：购买甲种书柜2个、乙种书柜3个，共需资金1020元；若购买甲种书柜3个，乙种书柜4个，共需资金1440元列出方程组求解即可；（2）设甲种书柜购买m个，则乙种书柜购买（20﹣m）个．根据：购买的乙种书柜的数量≥甲种书柜数量且所需资金≤3750列出不等式组，解不等式组即可得不等式组的解集，从而确定方案．【规范解答】解：（1）设甲种书柜单价为x元，乙种书柜的单价为y元，由题意得：，解之得：，∴甲种书柜单价为240元，乙种书柜的单价为180元．（2）设甲种书柜购买m个，则乙种书柜购买（20﹣m）个；由题意得：240m+180（20﹣m）≤3750．解之得：m≤2.5∵m取整数，∴m可以取的值为：1，2．即：学校的购买方案有以下两种：方案一：甲种书柜1个，乙种书柜19个，方案二：甲种书柜2个，乙种书柜18个．【考点解读】本题主要考查二元一次方程组、不等式的综合应用能力，根据题意准确抓住相等关系或不等关系是解题的根本和关键．【变式训练01】（2022春•遂川县期末）近几年我县的桃源梯田与红色圩场景点吸引了县内外众多游客，甲、乙两家旅行社为了让更多的游客前往旅游，分别推出了“赏桃源梯田，忆红色圩场”旅游的团体优惠办法．甲旅行社的优惠办法是：买4张全票，其余人按半价优惠；乙旅行社的优惠办法是：一律按原价的优惠．已知这两家旅行社的原价均为每人80元，试说明随着团体人数的变化，哪家旅行社的收费更优惠？【思路点拨】设团体人数为x，根据甲、乙两个旅行社的优惠办法，分别列出式子，再进行比较即可．【规范解答】解：设团体人数为x，则甲旅行社的费用是80×4+80×0.5（x﹣4）＝（40x+160）元，乙旅行社的费用是80×x＝60x元，令40x+160＝60x，得x＝8，令40x+160＜60x，得x＞8，令40x+160＞60x，得x＜8，∴当团体人数为8时，两家旅行社的收费一样；当团体人数少于8时，乙旅行社收费更优惠；当团体人数多于8时，甲旅行社收费更优惠．【考点解读】本题主要考查一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用等，题目相对比较简单，根据题意得出甲、乙两个旅行社的费用是解题关键．【变式训练02】（2022秋•长泰县期中）为响应国家节能减排的号召，各地市先后出台了居民用电“阶梯价格”制度，下表是某市的阶梯电价收费标准（每月）：阶梯用电量（单位：度）电费价格（单位：元/度）一档不超过220度的电量0.50二档220至420度之间的电量0.55三档超过420度的电量0.80（1）小明家七月份共用电470度，求小明家七月份应交多少电费？（2）如果某户居民某月用电a度（220≤a＜420），请用含a的代数式表示该户居民该月应交电费．（3）小明家九月份的电费是165元，求该月用电多少度？【思路点拨】（1）根据阶梯收费可求出小明家七月份电费；（2）根据阶梯收费可得出结论；（3）先判断九月份的电费在的范围，再求解即可．【规范解答】解：（1）根据题意可知，小明家七月份的电费为：220×0.5+（420﹣200）×0.55+（470﹣420）×0.8＝110+110+40＝260（元），∴小明家七月份应交260元电费；（2）根据题意可得，220×0.5+（a﹣220）×0.55＝0.55a﹣11．∴该户居民该月应交电费（0.55a﹣11）元；（3）当用电220度时，应交电费220×0.5＝110（元），当用电420度时，应交电费220×0.5+（420﹣200）×0.55＝110+110＝220（元），设小刚家八月份的用电量x千瓦时，∵110＜165＜220，∴220＜x＜420，∴0.55x﹣11＝165，解得x＝320．∴该月用电320度．【考点解读】本题考查解一元一次方程的应用，掌握一元一次方程的解法，根据题意列式或列方程是解题关键．【变式训练03】（2022•宁夏）某校购进一批篮球和排球，篮球的单价比排球的单价多30元．已知330元购进的篮球数量和240元购进的排球数量相等．（1）篮球和排球的单价各是多少元？（2）现要购买篮球和排球共20个，总费用不超过1800元．篮球最多购买多少个？【思路点拨】（1）设排球的单价为x元，则篮球的单价为（x+30）元，由题意：330元购进的篮球数量和240元购进的排球数量相等．列出分式方程，解方程即可；（2）设购买排球y个，则购买篮球（20﹣y）个，由题意：购买篮球和排球的总费用不【规范解答】解：（1）设排球的单价为x元，则篮球的单价为（x+30）元，根据题意得：＝，解得：x＝80，经检验，x＝80是原分式方程的解，且符合题意，∴x+30＝110．∴篮球的单价为110元，排球的单价为80元．（2）设购买篮球y个，则购买排球（20﹣y）个，依题意得：110y+80（20﹣y）≤1800，解得y≤6，即y的最大值为6，∴最多购买6个篮球．【考点解读】此题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次不等式．一、选择题1．（2022九上·洪泽月考）方程2x2+x-4=0的解的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根C．有两个相等的实数根 D．有一个实数根【答案】A【规范解答】解：根据题意得△=12-4×2×（-4）=1+32=33，所以方程有两个不相等的实数根.故答案为：A.【思路点拨】利用一元二次方程根的判别式，得出当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根.确定a，b，c的值，代入公式判断出△的符号即可得出结论.2．（2022九上·通州月考）下列方程有两个相等的实数根的是（）A． B． C． D．【答案】C【规范解答】解：A、，方程没有实数根；B、，方程有两个不相等的实数根；C、，方程有两个相等的实数根；D、，∴方程没有实数根．故答案为：C．

【思路点拨】各选项中的一元二次方程都是一般形式，再分别求出各选项中方程的b2-4ac，根据b2-4ac的值的情况，可得到有两个相等的实数根的选项.3．（2022九上·吴江月考）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（）A． B．2 C． D．1【答案】D【规范解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，∴，解得：．故答案为：D.【思路点拨】由方程有两个相等的实数根可得△=b2-4ac=0，代入求解可得m的值.4．（2021·建邺模拟）已知双曲线与直线交于，，若，，则（）A．， B．，C．， D．，【答案】C【规范解答】解：由题意得方程的两根分别为，，∴+=，=，∵∴，∴，∴k、异号，∵，∴=，∵，∴＞0，∵，∴＞0，∴，∴，.故答案为：C.【思路点拨】由题意可得方程kx2+bx-2021=0的两根分别为x1，x2，根据根与系数的关系可确定出k、b异号，表示出y1、y2，根据y1+y2>0可得x1x2=0，据此可判断出k、b的正负.5．（2020九上·丹徒期中）已知x=m是一元二次方程x2+2x+n-3=0的一个根，则m+n的最大值等于（）A． B．4 C． D．【答案】A【规范解答】解：由题意得：此方程的根的判别式，解得，是一元二次方程的一个根，，即，对于任意实数m，均成立，令，整理得：，由二次函数的性质可知，当时，y取得最大值，最大值为，即的最大值等于，故答案为：A.【思路点拨】由x=m是方程的根和一元二次方程根的判别式可得m，n的范围和，根据二次函数的性质可得最大值.二、填空题6．（2022九上·洪泽月考）如果a是方程的一个实数根，则的值为．【答案】2023【规范解答】解：把代入得到，则．又∵，把代入得，故答案为：2023.【思路点拨】根据方程解的概念，将x=a代入方程中可得a2-2a=2，待求式可变形为2(a2-2a)+2019，据此计算.7．（2022九上·洪泽月考）商店今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元，从1月份到3月份，设该店销售额平均每月的增长率是x，由题意列出方程是．【答案】【规范解答】解：设该店销售额平均每月的增长率是x，根据题意得，．故答案为：．【思路点拨】由题意可得：2月份的销售额是2(1+x)万元，3月份的销售额是2(1+x)2万元，然后根据3月份的销售额是4.5万元就可列出方程.8．（2022九上·沭阳月考）把方程化成的形式，则的值是．【答案】5【规范解答】解：方程整理得：，配方得：，即，，，则．故答案为：5.【思路点拨】首先将常数项移至右边，然后给两边同时加上1，再对左边的式子利用完全平方公式分解即可化为(x+m)2=n的形式，得到m、n的值，再根据有理数的加法法则进行计算.9．（2021九上·海安月考）已知关于x的方程，其中p、q都是实数.若方程有三个不同的实数根、、，且，则q的值为.【答案】3【规范解答】解：依题意，设方程有三个不同的实数根、、，则与的图象有三个不同的交点，，对称轴为则与的图象有三个不同的交点，则经过的顶点设，则即设是的两根，则即，解得.故答案为：3.【思路点拨】设y1=x2+2px-3p2+5，y2=±q，根据方程有三个不同的实数根可得y=-q经过y1的顶点，设x3=-p，据此可得q与p的关系，根据根与系数的关系可得x1+x2=-2p，x1x2=10-7p2，x3=-p，然后结合可得p2=2，根据判别式求出p的范围，进而可得q的值.10．（2020九上·泰兴期末）对于一个函数，当自变量x取n时，函数值y等于4－n，我们称n为这个函数的“二合点”，如果二次函数y＝mx2+x+1有两个相异的二合点x1，x2，且x1＜x2＜1，则m的取值范围是．【答案】﹣＜m＜0或m＞1【规范解答】根据题意得：整理得:∵有两个相异的二合点∴得:①当m>0时，根据x1＜x2＜1，由求根公式得:解得:m>l，m<0(舍去)②当m<0时，根据x1＜x2＜1,由求根公式得:.解得:m<0，m>1(舍去)综上所述:﹣＜m＜0或m＞1故答案是：﹣＜m＜0或m＞1【思路点拨】题目中，有两个相异的二合点，根据一元二次方程的判别式△=，得到，再分别讨论当m＞0时，m＜0时，用求根公式表示出方程两根，利用x1＜x2＜1求出m的范围.三、解答题11．（2022·徐州）（1）解方程：；（2）解不等式组：【答案】（1）解：，，∴，；（2）解：，解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式组的解集为：【思路点拨】（1）对原方程进行配方可得(x-1)2=2，然后利用直接开平方法进行计算；

（2）分别求出两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，取其公共部分可得不等式组的解集.12．（2022九上·洪泽月考）尊老爱幼是中华民族的传统美德，菜商店为老人推出一款特价商品，每件商品的进价为15元，促销前销售单价为25元，平均每天能售出80件；根据市场调查，销售单价每降低0.5元，平均每天可多售出20件．不考虑其他因素的影响，若商店销售这款商品的利润要达到平均每天1280元，销售单价应降