导数压轴专题突破-第10讲 证明不等式之构造函数（差构造、变形构造、换元构造、递推构造）（含答案及解析）

第10讲证明不等式之构造函数（差构造、变形构造、换元构造、递推构造）【典型例题】例1．已知曲线与曲线在公共点处的切线相同，（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）求证：当时，．例2．已知函数，．（1）求函数的单调区间；（2）若直线是函数图象的切线，求证：当时，．例3．已知．（1）若时，不等式恒成立，求的取值范围；（2）求证：当时，．例4．已知函数．（1）若函数有唯一的极小值点，求实数的取值范围；（2）求证：．例5．已知函数．（1）当时，求在点，处的切线方程；（2）当时，若的极大值点为，求证：．例6．已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，求证：在上恒成立；（3）求证：当时，．【同步练习】1．已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若，求证：．2．已知函数．（1）证明：；（2）数列满足：，．（ⅰ）证明：；（ⅱ）证明：，．3．已知函数．（1）判断的单调性，并说明理由；（2）若数列满足，，求证：对任意，．4．讨论函数的单调性，并证明当时，．5．已知函数，其中．（1）讨论的单调性；（2）若函数，证明：当时，．6．已知函数，已知是函数的极值点．（1）求；（2）设函数．证明：．7．设函数，已知是函数的极值点．（1）讨论函数的单调性；（2）证明：．8．已知函数．（Ⅰ）若函数在，上为增函数，求的取值范围；（Ⅱ）若函数有两个不同的极值点，，证明．9．已知是函数的一个极值点．（1）求的值；（2）证明：．10．已知函数，其中．（Ⅰ）当时，求曲线在点，（1）处切线的方程；（Ⅱ）当时，求函数的单调区间；（Ⅲ）若，证明对任意，，，恒成立．11．已知函数，其中．（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）若函数有两个极值点，，且，求证：．12．已知函数的图象上的动点到原点的距离的平方的最小值为．（1）求的值；（2）设，若函数有两个极值点，且，证明：．（参考公式：13．已知函数，曲线在点，（1）处的切线方程为．（1）求，的值；（2）证明：．14．已知函数，．（1）讨论的单调性；（2）当时，证明：，．第10讲证明不等式之构造函数（差构造、变形构造、换元构造、递推构造）【典型例题】例1．已知曲线与曲线在公共点处的切线相同，（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）求证：当时，．【解析】（Ⅰ）解：，，依题意（1）（1），；（Ⅱ）证明：由，得，令，则，时，，递减；时，，递增．时，（1），即，综上所述，时，．例2．已知函数，．（1）求函数的单调区间；（2）若直线是函数图象的切线，求证：当时，．【解析】（1）解：，当时，，在上单调递增；当时，令，可得，当时，，单调递减，当时，，单调递增．综上可得，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．（2）证明：直线是函数图象的切线，设切点为，，则，即，切点在切线上，，，，解得，当时，等价于，等价于，设，则，，，由，得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，（1），即，．例3．已知．（1）若时，不等式恒成立，求的取值范围；（2）求证：当时，．【解析】解：（1）不等式恒成立，即恒成立，令，则，当时，对任意，，有，得在，上单调递增，，即满足题意；当时，若，则，在上单调递减，，与矛盾，不合题意．综上所述，；证明：（2）令，，在上单调递增，且（1），（2），存在唯一的，使得，当时，，单调递减，当，时，，单调递增，，由，得，，，，上式“”不成立，，即．例4．已知函数．（1）若函数有唯一的极小值点，求实数的取值范围；（2）求证：．【解析】解：（1），则，，令，①当时，，易得函数在上单调递减，在上单调递增，此时存在唯一的极小值点，满足题意，②当时，令可得，（舍，易得当时，，即，则函数在上单调递减，③当时，令可得，，若，则不合题意，故，且，即且，设，，，，当时，，即，在上单调递减，当时，，即，在上单调递增，当时，，即，在上单调递减，此时存在唯一的极小值点，满足题意，综上可得，且，（2）令，则，令，易得上单调递增且（1），当时，，从而，单调递减，当时，，从而，单调递增，故（1），即，所以，所以，．例5．已知函数．（1）当时，求在点，处的切线方程；（2）当时，若的极大值点为，求证：．【解析】解：（1）当时，，因为，所以，因为，所以在点，处的切线方程为．证明：（2）的定义域为，，令，△，①当△，即时，，故，所以在上单调递增．此时无极大值．②当△，即当时，的对称轴，因为，，所以函数在区间有两个零点，，不妨设，其中，．所以当时，，，所以在上单调递增；当时，，，所以在，上单调递减；当时，，，所以在，上单调递增．此时函数有唯一的极大值点为，且，又因为，所以，所以，记，则，所以单调递增，，即．例6．已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，求证：在上恒成立；（3）求证：当时，．【解析】（1）解：函数的定义域为，，令，即，△，解得或，若，此时△，在恒成立，所以在单调递增．若，此时△，方程的两根为：，且，，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．若，此时△，方程的两根为：，且，，所以在上单调递增．综上所述：若，在单调递增；若，在，上单调递增，在上单调递减．（2）证明：由（1）可知当时，函数在上单调递增，所以（1），所以在上恒成立．（3）证明：由（2）可知在恒成立，所以在恒成立，下面证，即证2，设，，设，，易知在恒成立，所以在单调递增，所以，所以在单调递增，所以，所以，即当时，．法二：，即，令，则原不等式等价于，，令，则，递减，故，，递减，又，故，原结论成立．【同步练习】1．已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若，求证：．【解析】（1）解：的定义域为，．令，方程的判别式△，（ⅰ）当△，即时，恒成立，即对任意，，所以在上单调递增．（ⅱ）当△，即或．①当时，恒成立，即对任意，，所以在上单调递增．②当时，由，解得，．所以当时，；当时，；当时，，所以在上，，在上，，所以函数在和上单调递增；在上单调递减．综上，当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减．（2）证明：由，得，所以，因为，所以，令，则，，所以，，所以，所以要证，只要证，即证，由（1）可知，当时，所以在上是增函数，所以，当时，（1），即成立，所以成立．2．已知函数．（1）证明：；（2）数列满足：，．（ⅰ）证明：；（ⅱ）证明：，．【解析】证明：（1）由题意知，，，①当时，，所以在区间上单调递减，②当时，令，因为，所以在区间上单调递增，因此，故当时，，所以在区间上单调递增，因此当时，，所以；（2）（ⅰ）由（1）知，在区间上单调递增，，因为，故，所以，因此当时，，又因为，所以，（ⅱ）函数，，则，令，则，所以在区间上单调递增；因此，所以在区间上单调递减，所以，因此，所以对，．3．已知函数．（1）判断的单调性，并说明理由；（2）若数列满足，，求证：对任意，．【解析】（1）解：，令，，在上递增，，，在上单调递增．（2）证明：由，考查函数，则，由于，，故，单调递增，且，故，所以，所以，则要证，只需证，即证：，，，，先证左边：，令证，即证，令，，在上递增，，得证．再证右边：，即证，，令，，在上递增，，也得证．综上：对，，．4．讨论函数的单调性，并证明当时，．【解析】解：，，当时，或，在和上单调递增，证明：时，．5．已知函数，其中．（1）讨论的单调性；（2）若函数，证明：当时，．【解析】（1）解：，．若，，在内单增，在内单减．若，由知，△．当△，即时，，此时在内单增．当△，即时，．此时在，内单增，在内单减．（2）证明：因为，所以就是，即．令，，则，，，．由得，，是的最小值．于是，在时单增，所以，在时单增．故当时，，即．6．已知函数，已知是函数的极值点．（1）求；（2）设函数．证明：．【解析】（1）解：由题意，的定义域为，令，则，，则，因为是函数的极值点，则有，即，所以，当时，，且，因为，则在上单调递减，所以当时，，当时，，所以时，是函数的一个极大值点．综上所述，；（2）证明：由（1）可知，，要证，即需证明，因为当时，，当时，，所以需证明，即，令，则，所以，当时，，当时，，所以为的极小值点，所以，即，故，所以．7．设函数，已知是函数的极值点．（1）讨论函数的单调性；（2）证明：．【解析】解：（1）因为函数，所以，所以，又因为是的极值点，所以，即，解得；所以，．所以，；设，，则，所以在上单调递减，即在上单调递减；又因为，所以时，，单调递增，时，，单调递减．（2）证明：设，则，所以，令，得，解得，所以时，，单调递增；时，，单调递减；所以的最大值为，即．8．已知函数．（Ⅰ）若函数在，上为增函数，求的取值范围；（Ⅱ）若函数有两个不同的极值点，，证明．【解析】解：，，在，上为增函数，在，上恒成立，故，即，（Ⅱ）证明：有两个不同的极值点，，有两个不同的零点，，即，，，同理可得，，，，令，不防设，则，，原不等式等价于证，令，则在上恒成立，故在单调递减，（1），即．9．已知是函数的一个极值点．（1）求的值；（2）证明：．【解析】解：（1），依题意，，则，若，则函数的定义域为，此时不符合题意；，经检验符合题意，实数的值为1；（2）证明：由（1）可知，，，令，，当时，，当时，，则，当时，，则在上单调递减，当时，，则在上单调递增，，即得证．10．已知函数，其中．（Ⅰ）当时，求曲线在点，（1）处切线的方程；（Ⅱ）当时，求函数的单调区间；（Ⅲ）若，证明对任意，，，恒成立．【解析】（Ⅰ）解：当时，，，（1），（1）．切线方程为：，整理得：；（Ⅱ），令，解得：或．①若，，当变化时，，的变化情况如表：00增函数极大值减函数极小值增函数在区间和内是增函数，在内是减函数；②若，，当变化时，，的变化情况如表：00增函数极大值减函数极小值增函数在区间和内是增函数，在，内是减函数；（Ⅲ），在，内是减函数，又，不妨设，则，．于是等价于，即．令，在，内是减函数，故．从而在，内是减函数，对任意，有，即，当，对任意，恒成立．11．已知函数，其中．（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）若函数有两个极值点，，且，求证：．【解析】解：（1）当时，（1），，（1），曲线在点处的切线方程：（2）①当△即时，，的单调递增区间是．．②当△时，即时，令得．的单调递增区间是，和，单调递减区间是，．（3）证明：在，单调递增，且，（1），不等式右侧证毕有两个极值点，，．，令，，在单调递增．．不等式左侧证毕．综上可知：．12．已知函数的图象上的动点到原点的距离的平方的最小值为．（1）求的值；（2）设，若函数有两个极值点，且，证明：．（参考公式：【解析】解：（1）设，在函数的图象上，则，即，所以，（2）证明：易得，且所以且，令，因为其对称轴为直线，由题意知，是方程的两个均大于且不为0的不相等的实根，所以由，得，因为，所以，又为方程的根，所以，，则因为时，，在，上单调递增；当时，，且，故．13．已知函数，曲线在点，（1）处的切线方程为．（1）求，的值；（2）证明：．【解析】解：（1），，则（1），（1），故切线方程是：，故时，，解得：，故，综上：，；（2）证明：要证，，即证，令，则，令，，则，故在递增，（1），，使得，即，故，，故时，递减，，时，递增，故，故在恒成立，故成立．14．已知函数，．（1）讨论的单调性；（2）当时，证明：，．【解析】（1）解：，设，则当时，；当时，，所以在上单调递