导数压轴专题突破-第19讲 零点问题之个数问题、范围问题、分段零点问题、隐零点问题（含答案及解析）

第19讲零点问题之个数问题、范围问题、分段零点问题、隐零点问题【典型例题】例1．已知函数．（1）当时，讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围．例2．已知函数．（1）当时，讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围．例3．已知函数．（1）当时，求的最大值；（2）讨论关于的方程的实根的个数．例4．已知函数（1）当时，求的单调区间；（2）如果，是曲线上的任意一点，若以，为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值；（3）讨论关于的方程的实根的个数情况．例5．已知函数，．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有且仅有3个零点，求的取值范围．（其中常数，是自然对数的底数）例6．设函数，曲线在点，处的切线与轴垂直．（1）求；（2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1．例7．已知函数是自然对数的底数）．（1）求函数的最小值；（2）若函数有且仅有两个不同的零点，求实数的取值范围．例8．已知函数为自然对数的底数）．（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数有且仅有两个零点，求实数的取值范围．【同步练习】1．已知函数，．（1）若曲线在处的切线方程为，且存在实数，，使得直线与曲线相切，求的值；（2）若函数有零点，求实数的取值范围．2．已知函数．（1）当时，证明：在区间上不存在零点；（2）若，试讨论函数的零点个数．3．已知函数，．（1）当为何值时，轴为曲线的切线．（2）设在，单调递增，求的取值范围．（3）用，表示，中的最小值，设函数，，讨论零点的个数．4．已知函数，．当为何值时，轴为曲线的切线；用，表示，中的最小值，设函数，，讨论零点的个数．5．已知函数．（1）当为何值时，轴为曲线的切线，（2）用，表示，中的最大值，设函数，，当时，讨论零点的个数．6．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围．7．已知函数．（Ⅰ）当时，求在处的切线方程；（Ⅱ）如果当时，恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）求证：当时，函数恰有3个零点．8．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若有三个零点，求的取值范围．9．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若有三个零点，求的取值范围．（注10．已知函数，，其中为自然对数的底数．（Ⅰ）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）用，表示，中的较大者，记函数，．若函数在内恰有2个零点，求实数的取值范围．11．已知函数，其中．（1）求函数的单调区间；（2）讨论函数的零点个数．

第19讲零点问题之个数问题、范围问题、分段零点问题、隐零点问题【典型例题】例1．已知函数．（1）当时，讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围．【解析】解：由题意，的定义域为，且．（1）当时，，令，解得．当时，，单调递减，当时，，单调递增．在上单调递减，在上单调递增；（2）当时，恒成立，在上单调递增，不合题意；当时，令，解得，当时，，单调递减，当时，，单调递增．的极小值也是最小值为．又当时，，当时，．要使有两个零点，只要即可，则，可得．综上，若有两个零点，则的取值范围是，．例2．已知函数．（1）当时，讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围．【解析】解：（1）当时，，，，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减．（2），当时，，单调递增，不合题意；当时，，，单调递增，，，单调递减，，令，得，，，所以当时，有两个零点．例3．已知函数．（1）当时，求的最大值；（2）讨论关于的方程的实根的个数．【解析】解：（1）时，，则，令，解得：，令，解得：，故在递增，在，递减，故；（2）由，得，显然是该方程的根，时，方程等价于，令，，则，令，则，时，单调递减，时，（1），，单调递减，时，（1），，单调递增，时，，时，，时，，画出函数的图像，如图示：结合图像得：时，方程有2个实根，时，方程没有实根，综上：时，方程仅有1个实根，时，方程有3个实根．例4．已知函数（1）当时，求的单调区间；（2）如果，是曲线上的任意一点，若以，为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值；（3）讨论关于的方程的实根的个数情况．【解析】解：（1）当时，，定义域为，（1分）则（2分）令，得，由，得，所以的单调递增区间为，单调递减区间为．（4分）（2）由题意，，以，为切点的切线的斜率满足，所以对恒成立．（6分）又当时，，所以的最小值为（8分）（3）由题意，方程化简得，，令，则．当时，，当时，，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减．（10分）所以在处取得极大值，即最大值，最大值为（1）（11分）所以当时，即时，的图象与轴恰有两个交点，方程有两个实根；（12分）当时，的图象与轴恰有一个交点，方程有一个实根；（13分）当时，的图象与轴无交点，方程无实根．（14分）例5．已知函数，．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有且仅有3个零点，求的取值范围．（其中常数，是自然对数的底数）【解析】解：（1）的定义域为，且，①若，则，当时，，单调递增，时，，单调递减，②若，当时，，当时，，当时，，所以在和上单调递减，在上单调递增，③若，则，所以在上单调递减，④若，当时，，当时，，当时，，所以在和上单调递减，在上单调递增，综上所述：若，在上单调递增，在上单调递减，若，在和上单调递减，在上单调递增，若，在上单调递减，若，在和上单调递减，在上单调递增．（2）令，则，所以依题意可得函数与的图像有3个不同的交点，由（1）知必有或，①当时，在和上单调递减，在上单调递增，所以的极大值为（1），的极大值为（1），的极小值为（a），又（a），所以函数与的图像至多有1个交点，不合题意，②当时，在和上单调递减，在上单调递增，所以的极小值为（1），的极大值为（a），所以必须有成立，因为，所以，所以，所以，下面求不等式的解集，令，则不等式等价于，令函数，则，令，有，函数在区间，上单调递增，在区间上单调递减，又（2），所以，即恒成立，故函数单调递减，又（2），所以当且仅当时，，所以不等式的解集为，即不等式的解集为．所以的取值范围为．例6．设函数，曲线在点，处的切线与轴垂直．（1）求；（2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1．【解析】（1）解：由，得，，即；（2）证明：法一、设为的一个零点，根据题意，，且，则，且，令，，当，，时，，当，时，可知在，，上单调递减，在，上单调递增．又，（1），，，．设为的零点，则必有，即，，得，即．所有零点的绝对值都不大于1．法二、由（1）可得，．，可得当，，时，，当，时，，则在，，上单调递增，在，上单调递减．且，，，（1），若的所有零点中存在一个绝对值大于1的零点，则或（1）．即或．当时，，，，（1），又，由零点存在性定理可知，在上存在唯一一个零点．即在上存在唯一零点，在上不存在零点．此时不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；当时，，，，（1），又，由零点存在性定理可知，在上存在唯一一个零点．即在上存在唯一零点，在上不存在零点．此时不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾．综上，所有零点的绝对值都不大于1．例7．已知函数是自然对数的底数）．（1）求函数的最小值；（2）若函数有且仅有两个不同的零点，求实数的取值范围．【解析】解：（1）函数，令，解得．当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以函数有最小值．（2），（1）．当时，函数是增函数，有唯一的零点，与已知矛盾．当时，，令，则，所以是增函数．又，，故存在，使，即．当时，，即，单调递减；当，时，，即，单调递增，所以函数有最小值且．，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以（1）．当时，存在使，又（1），故有且仅有两个不同的零点；当时，此时，有唯一的零点；当时，存在，使，又（1），故有且仅有两个不同的零点．综上所述，，，．例8．已知函数为自然对数的底数）．（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数有且仅有两个零点，求实数的取值范围．【解析】解：（1），，，，令，得，所以时，，时，，所以的单调递减区间为，单调递增区间为．（2），设，所以，，，易知：，，且单调递增，所以存在，使，即，所以，且当时，，单调递减，当，时，，单调递增，所以，因为当时，，当时，，要想函数有且仅有两个零点，则只需，因为，所以，所以，令，，故单调递减，且（1），要使，则要满足，由单调递增，可知，所以，所以，即实数的取值范围是．【同步练习】1．已知函数，．（1）若曲线在处的切线方程为，且存在实数，，使得直线与曲线相切，求的值；（2）若函数有零点，求实数的取值范围．【解析】解：（1）由，得，，又，曲线在处的切线方程为，则，则，即．由，得，则曲线在点，处的切线方程为，即，从而，，，；（2）由题意知，，函数有零点，即有根．当时，，不符合题意；当时，函数有零点等价于有根．设，则，设，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，（1），仅有一根，且当时，，单调递减，当时，，单调递增，（1）．若函数有零点，则，从而．2．已知函数．（1）当时，证明：在区间上不存在零点；（2）若，试讨论函数的零点个数．【解析】解：（1）时，，故时，有，，从而，故在上单调递减，当，时，有，，，故，在，单调递减，从而在上单调递减，且，，故函数在区间上不存在零点；（2），，故在上单调递减，在上单调递增，故，，故①当时，，，此时，在上仅有1个零点，②当时，，，令（a），（a），（a）在单调递增，从而（a）（1），，从而在上存在1个零点，又，记（a），且（a），故（a）在递减，有（a）（1），即在上也存在1个零点，综上：当时，函数有2个零点，当时，函数只有1个零点．3．已知函数，．（1）当为何值时，轴为曲线的切线．（2）设在，单调递增，求的取值范围．（3）用，表示，中的最小值，设函数，，讨论零点的个数．【解析】解：（1）．设曲线与轴相切于点，，则，，，解得，，因此当时，轴为曲线的切线；（2），导数为，由题意可得在，恒成立，即有的最小值，由的导数为在递增，即有最小值为4，则，解得；（3）当时，，函数，，故在时无零点．当时，若，则（1），（1），（1）（1），故是函数的一个零点；若，则（1），（1），（1）（1），故不是函数的零点；当时，，因此只考虑在内的零点个数即可．①当或时，在内无零点，因此在区间内单调，而，（1），当时，函数在区间内有一个零点，当时，函数在区间内没有零点．②当时，函数在内单调递减，在，内单调递增，故当时，取得最小值．若，即，则在内无零点．若，即，则在内有唯一零点．若，即，由，（1），当时，在内有两个零点．当时，在内有一个零点．综上可得：当或时，有一个零点；当或时，有两个零点；当时，函数有三个零点．4．已知函数，．当为何值时，轴为曲线的切线；用，表示，中的最小值，设函数，，讨论零点的个数．【解析】解：．设曲线与轴相切于点，，则，，，解得，．因此当时，轴为曲线的切线；当时，，函数，，故在时无零点．当时，若，则（1），（1），（1）（1），故是函数的一个零点；若，则（1），（1），（1）（1），故不是函数的零点；当时，，因此只考虑在内的零点个数即可．①当或时，在内无零点，因此在区间内单调，而，（1），当时，函数在区间内有一个零点，当时，函数在区间内没有零点．②当时，函数在内单调递减，在内单调递增，故当时，取得最小值．若，即，则在内无零点．若，即，则在内有唯一零点．若，即，由，（1），当时，在内有两个零点．当时，在内有一个零点．综上可得：时，函数有一个零点．当时，有一个零点；当或时，有两个零点；当时，函数有三个零点．5．已知函数．（1）当为何值时，轴为曲线的切线，（2）用，表示，中的最大值，设函数，，当时，讨论零点的个数．【解析】解：（1）设曲线与轴相切于点，，则，即，，当时，轴为曲线的切线．（2）令，，则，，，由，得，当时，，为增函数；当，时，为减函数，，，①当，即时，有一个零点；②当，即时，有两个零点；③当，即时，有三个零点；④当，即时，有两个零点；⑤当，即时，有一个零点，综上，或时，有一个零点；当或时，有两个零点；当，有三个零点．6．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围．【解析】解：（1）由，求导，，当时，，在上单调递减，当时，，令，解得：，当，解得：，当，解得：，时，单调递减，，单调递增；综上可知：当时，在单调减函数，当时，在是减函数，在，是增函数；（2）①若时，由（1）可知：最多有一个零点，当时，，当时，，，当时，，当，，且远远大于和，当，，函数有两个零点，的最小值小于0即可，由在是减函数，在，是增函数，，，即，设，则，，求导，由（1），，解得：，的取值范围．方法二：（1）由，求导，，当时，，在上单调递减，当时，，令，解得：，当，解得：，当，解得：，时，单调递减，单调递增；综上可知：当时，在单调减函数，当时，在是减函数，在是增函数；（2）①若时，由（1）可知：最多有一个零点，②当时，由（1）可知：当时，取得最小值，，当，时，，故只有一个零点，当时，由，即，故没有零点，当时，，，由，故在有一个零点，假设存在正整数，满足，则，由，因此在有一个零点．的取值范围．7．已知函数．（Ⅰ）当时，求在处的切线方程；（Ⅱ）如果当时，恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）求证：当时，函数恰有3个零点．【解析】解：（Ⅰ）当时，，则，切线斜率，又，所求切线方程为；（Ⅱ）依题意，在上恒成立，设，则，①当时，，则，在上单调递增，故满足题意；②当时，设，因为二次函数的开口向上，，所以存在，使得，且当时，，，单调递减，故此时，不满足题意；综上，实数的取值范围为，；（Ⅲ）证明：函数的定义域为，当时，函数的零点个数等价于的零点个数，由（Ⅱ）可知，设，由二次函数在时，，，可知存在，，使得，在，，单调递增，在，，单调递减，又，故，，又当时，，故在，存在一个零点；当时，，故在存在一个零点；又，故当时，函数恰有3个零点．8．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若有三个零点，求的取值范围．【解析】解：（1）．，时，，在递增，时，令，解得：或，令，解得：，在递增，在，递减，在，递增，综上，时，在递增，时，在递增，在，递减，在，递增；（2）由（1）得：，，，若有三个零点，只需，解得：，故．9．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若有三个零点，求的取值范围．（注【解析】解：（1）由题意可知的定义域为，，对于，△．①当△，即时，在上单调递增；②当△，即或时，令，即，解得，令，则或；令，则；所以在上单调递增，在，上单调递减，在，上单调递增．综上，当时，在上单调递增；当或时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．（2）当时，等价于，设，，则，当时，，故单调递增，且当时，；当时，，此时无论取何值，函数与的图象都有且只有1个交点，此时方程有且只有1个解，函数有且只有1个零点；当时，，故单调递减；当时，，故单调递增，所以为的极小值，且当时，；当时，．若，则函数与的图象有且只有两个交点，此时方程有且只有2个解，函数有且只有2个零点．综上，当时，有三个零点．10．已知函数，，其中为自然对数的底数．（Ⅰ）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）用，表示，中的较大者，记函数，．若函数在内恰有2个零点