上海市同济大学一附中2025届高二上数学期末监测试题含解析

上海市同济大学一附中2025届高二上数学期末监测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知抛物线的焦点为F，点P为该抛物线上的动点，若，则当最大时，（）A. B.1C. D.22．已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（）A B.C. D.3．在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为A. B.C. D.4．已知集合，则（）A. B.C. D.5．与向量平行，且经过点的直线方程为（）A. B.C. D.6．命题“对任意，都有”的否定是（）A.对任意，都有 B.存在，使得C.对任意，都有 D.存在，使得7．过点，的直线的斜率等于2，则的值为（）A.0 B.1C.3 D.48．数列，，，，…，是其第（）项A.17 B.18C.19 D.209．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把个面包分给个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（）A. B.C. D.10．在如图所示的茎叶图中，若甲组数据的众数为16，则乙组数据的平均数为（）A.12 B.10C.8 D.611．用这3个数组成没有重复数字的三位数，则事件“这个三位数是偶数”与事件“这个三位数大于342”（）A.是互斥但不对立事件 B.不是互斥事件C.是对立事件 D.是不可能事件12．已知圆，则圆上的点到坐标原点的距离的最小值为（）A.-1 B.C.+1 D.6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若曲线在处的切线平行于x轴，则___________.14．如图，在平行六面体中，设，N是的中点，则向量_________．（用表示）15．直线与圆相交于两点M，N，若满足，则________16．如果方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知圆的圆心在直线，且与直线相切于点.（1）求圆的方程；（2）直线过点且与圆相交，所得弦长为，求直线的方程.18．（12分）已知函数（1）求函数的图象在点处的切线方程；（2）求函数的极值19．（12分）立德中学举行冬令营活动期间，对位参加活动的学生进行了文化和体能测试，满分为150分，其测试成绩都在90分和150分之间，成绩在认定为“一般”，成绩在认定为“良好”，成绩在认定为“优秀”．成绩统计人数如下表：体能文化一般良好优秀一般0良好3优秀2例如，表中体能成绩良好且文化成绩一般的学生有2人（1）若从这位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到文化或体能优秀的学生概率为．求，的值；（2）在（1）的情况下，从体能成绩优秀的学生中，随机抽取2人，求至少有一个人文化的成绩为优秀的概率；（3）若让使参加体能测试的成绩方差最小，写出的值．（直接写出答案）20．（12分）在二项式的展开式中；（1）若，求常数项；（2）若第4项的系数与第7项的系数比为，求：①二项展开式中的各项的二项式系数之和；②二项展开式中各项的系数之和21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的左，右顶点分别为A、B，点F是椭圆的右焦点，，（1）求椭圆C的方程；（2）不过点A的直线l交椭圆C于M、N两点，记直线l、AM、AN的斜率分别为k、、．若，证明直线l过定点，并求出定点的坐标22．（10分）某省电视台为了解该省卫视一档成语类节目的收视情况，抽查东西两部各5个城市，得到观看该节目的人数（单位：千人）如下茎叶图所示：其中一个数字被污损.（1）求东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数的概率.（2）随着节目的播出，极大激发了观众对成语知识的学习积累的热情，从中获益匪浅.现从观看该节目的观众中随机统计了4位观众的周均学习成语知识的时间（单位：小时）与年龄（单位：岁），并制作了对照表（如下表所示）年龄（岁）20304050周均学习成语知识时间（小时）2.5344.5由表中数据，试求线性回归方程，并预测年龄为55岁观众周均学习成语知识时间.参考公式：，.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】根据抛物线的定义，结合换元法、配方法进行求解即可.【详解】因为点P为该抛物线上的动点，所以点P的坐标设为，抛物线的焦点为F，所以，抛物线的准线方程为：，因此，令，，当时，即当时，有最大值，最大值为1，此时.故选：B2、A【解析】分离参数，求函数的导数，根据函数有两个零点可知函数的单调性，即可求解.【详解】由题意得有两个零点令,则且所以，在上为增函数，可得，当，在上单调递减，可得，即要有两个零点有两个零点，实数的取值范围是.故选：A【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解3、C【解析】利用正方体中，，将问题转化为求共面直线与所成角的正切值，在中进行计算即可.【详解】在正方体中，，所以异面直线与所成角为，设正方体边长为，则由为棱的中点，可得，所以，则.故选C.【点睛】求异面直线所成角主要有以下两种方法：（1）几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角；（2）向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.4、D【解析】由集合的关系及交集运算，逐项判断即可得解.【详解】因为集合，，所以，，.故选：D.【点睛】本题考查了集合关系的判断及集合的交集运算，考查了运算求解能力，属于基础题.5、A【解析】利用点斜式求得直线方程.【详解】依题意可知，所求直线的斜率为，所以所求直线方程为，即.故选：A6、B【解析】根据全称命题的否定是特称命题形式，可判断正确答案.【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意，都有”的否定是“存在，使得”故选：B.7、A【解析】利用斜率公式即求.【详解】由题可得，∴.故选：A8、D【解析】根据题意，分析归纳可得该数列可以写成，，，……，，可得该数列的通项公式，分析可得答案.【详解】解：根据题意，数列，，，，…，，可写成，，，……，，对于，即，为该数列的第20项；故选：D.【点睛】此题考查了由数列的项归纳出数列的通项公式，考查归纳能力，属于基础题.9、A【解析】设5人分到的面包数量从小到大记为，设公差为，可得，，求出，根据等差数列的通项公式，得到关于关系式，即可求出结论.【详解】设5人分到的面包数量从小到大记为，设公差为，依题意可得，，，，解得，.故选:A.【点睛】本题以数学文化为背景，考查等差数列的前项和、通项公式基本量的计算，等差数列的性质应用是解题的关键，属于中档题.10、A【解析】根据众数的概念，求得的值，再根据平均数的计算公式，即可求解.【详解】由题意，甲组数据的众数为16，得，所以乙组数据的平均数为故选：A.11、B【解析】根据题意列举出所有可能性，进而根据各类事件的定义求得答案.【详解】由题意，将2,3,4组成一个没有重复数字的三位数的情况有：{234,243,324,342,423,432}，其中偶数有{234,324,342,432}，大于342的有{423,432}.所以两个事件不是互斥事件，也不是对立事件.故选：B.12、A【解析】先求出圆心和半径，求出圆心到坐标原点的距离，从而求出圆上的点到坐标原点的距离的最小值.【详解】变形为，故圆心为，半径为1，故圆心到原点的距离为，故圆上的点到坐标原点的距离最小值为.故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】求出导函数得到函数在时的导数，由导数值为0求得a的值【详解】由，得，则，∵曲线在点处的切线平行于x轴，∴，即.故答案为：14、【解析】根据向量的加减法运算法则及数乘运算求解即可.【详解】由向量的减法及加法运算可得，，故答案为：15、【解析】由点到直线的距离公式，结合已知可得圆心到直线的距离，再由圆的弦长公式可得,然后可解.【详解】因为，所以，所以，圆心到直线的距离因为，所以，所以故答案为：16、【解析】化简椭圆的方程为标准形式，列出不等式，即可求解.【详解】由题意，方程可化为，因为方程表示焦点在轴上的椭圆，可得，解得，实数的取值范围是.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）或【解析】（1）分析可知圆心在直线上，联立两直线方程，可得出圆心的坐标，计算出圆的半径，即可得出圆的方程；（2）利用勾股定理求出圆心到直线的距离，然后对直线的斜率是否存在进行分类讨论，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式求出参数，即可得出直线的方程.【小问1详解】解：过点且与直线垂直的直线的方程为，由题意可知，圆心即为直线与直线的交点，联立，解得，故圆的半径为，因此，圆的方程为.【小问2详解】解：由勾股定理可知，圆心到直线的距离为.当直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离为，满足条件；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，由题意可得，解得，此时，直线的方程为，即.综上所述，直线的方程为或.18、（1）（2）极大值为12，极小值-15【解析】（1）利用导数的几何意义求解即可.（2）利用导数求解极值即可.【小问1详解】，，切点为，故切线方程为，即；【小问2详解】令，得或列表：-12+0-0+单调递增12单调递减-15单调递增函数的极大值为，函数的极小值为.19、（1），；（2）；（3）.【解析】（1）由题设可得求参数a，结合表格数据及已知总学生人数求参数b.（2）应用列举法求古典概型的概率.（3）应用表格数据及方差公式可得且，即可确定成绩方差最小对应的值.【小问1详解】设事件：从位学生中随机抽取一位，抽到文化或体能优秀的学生由题意知，体能或文化优秀的学生共有人，则，解得所以；【小问2详解】体能成绩为优秀的学生共有5人，在这5人中，文化成绩一般的人记为；文化成绩良好的人记为；文化成绩优秀的人记为从文化成绩优秀的学生中，随机抽取2人的样本空间，设事件：至少有一个人文化的成绩为优秀，，所以，体能成绩优秀的学生中，随机抽取2人，至少有一个人文化成绩为优秀的概率是；【小问3详解】由题设知：体能测试成绩，{一般，良好，优秀}人数分别为{5，，}，对应平均分为{100,120,140}，所以体能测试平均成绩，所以，而所以当时最小.20、（1）60（2）①1024；②1【解析】（1）根据二项式定理求解（2）根据二项式定理与条件求解，二项式系数之和为，系数和可赋值【小问1详解】若，则，（，…，9）令∴∴常数项为.【小问2详解】，（，…，），解得①②令，得系数和为21、（1）；（2）证明见解析，(－5,0).【解析】(1)写出A、B、F的坐标，求出向量坐标，根据向量的关系即可列出方程组，求得a、b、c和椭圆的标准方程；(2)设直线l的方程为y＝kx＋m，，．联立直线l与椭圆方程，根据韦达定理得到根与系数的关系，求出，根据即可求得k和m的关系，即可证明直线过定点并求出该定点.【小问1详解】由题意，知A(－a，0)，B(a，0)，F(c，0)∵，∴解得从而b2＝a2－c2＝3∴椭圆C的方程；【小问2详解】设直线l的方程为y＝kx＋m，，∵直线l不过点A，因此－2k＋m≠0由得时，，，∴由，可得3k＝m－2k，即m＝5k，故l的方程为y＝kx＋5k，恒过定点(－5,0)