2023-2024学年天津九年级人教版数学上学期期末综合检测卷（一）

2023-2024学年九年级人教版数学上学期期末综合检测卷（一）

（考试时间：120分钟试卷满分：100分）

学校:姓名：班级：考号：

一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的）

1.若关于X的一元二次方程0=0有实数根，则。的取值范围是（）

A.a<—9B.a>—9C.a>-9D.a>9

2.若二次函数y=/+2x-上的图像与x轴有两个交点，则上的取值范围是（）

A.k<-1B.k>-1C.k<lD.k>l

3.若关于x的方程(a-2)f-2x+l=0是一元二次方程，则()

A.B.〃w0C.a=2D.a=0

4.下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

D.

5.二次函数>=办2+6'+<:图象如图所示，下列结论：©b2-4ac>0；®2a+b-0；（Dabc>0；④

ox?+6x+c-3=0有两个相等的实数根，其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

6.某超市一月份的营业额为100万元，已知第一季度的总营业额共500万元，如果平均每月增长率为x,则由题

意列方程应为（）

A.100+100（1+无）+100（1+无）2=500B.100（1+无）2=500

C.100+100（1+x）2=500D.100（1+x）=500

7.如图，AB是。。的直径，点C、。是圆上两点，且/。8=26。，则/AOC的度数（）

8.如图，正方形CMBC的边长为鱼，将正方形。1SC绕原点。顺时针旋转45。，则点8的对应点用的坐标为

()

y^k

------------C

A~O

A.(-72,0)B.(-应,0)C.(0,A/2)D.(0,2)

9.在圆内接四边形ABC。中，/BAD、/AOC的角平分线交于点E,过E作直线MN平行于3C,与A3、CD交

于M、N,则总有MN=()

A.BM+DNB.AM+CNC.BM+CND.AM+DN

10.如图，有一些写有号码的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上，从中任意摸出一张，摸到1号卡片

的概率是()

二、填空题（本大题共有8小题，每题3分，共24分）

11.a、夕是关于x的方程尤2-彳+左_1=。的两个实数根，且。2_2口-6=4,则左的值为

12.二次函数》=-炉+法+。的部分图像如图所示，则y>0的解集是.

13.如图，在比ABC中，ZC=90°,ZABC=30°,BC=6,将ABC绕点A逆时针旋转角a（0。<a<180。）得到

△AB'C',并使点C'落在AB边上，则线段班'长为.

14.如图，一段抛物线y=-f+6x（OWx<6）,记为抛物线C-它与x轴交于点O,A;将抛物线G绕点4旋转

180。得抛物线C2,交x轴于另一点4；将抛物线C2绕点4,旋转180。得抛物线C”交x轴于另一点儿……如此进

行下去，得到一条“波浪线”.若点/（2022,㈤在此，波浪线”上，则根的值为.

15.直线与。。相切于点A,AC、CD是。。的两条弦，且C0//AB,若。。的半径为5,CD=8,则弦AC的

长为.

16.ASC中，ZACB=90°,ZB=30°,AC=4,E是AC的中点，MN分别是边AS、BC上的动点，。也是3C

边上的一个动点，以C。为直径作连接ED交。于尸，连接FM,MN,则R0+MN的最小值为

17.如图，AABC三边的中点。，E,歹组成△£)££△£)£/三边的中点M,N,尸组成AA/NP,将△FPM与△EC。

涂成阴影.假设可以随意在AA8C中取点，那么这个点取在阴影部分的概率为.

18.如图，二次函数尸加+6x+c的图象经过点A(1,0),与y轴的交点为C,对称轴为直线x=-l,下列结

论：①也二'>o；②若点尸(一2-七%)和Q(〃+3,女)是该抛物线上的两点，则%>%;③不等式

abc

cf+Zzx+aVO的解集为-g<x<l;④在对称轴上存在一点8,使得AABC是以AC为斜边的直角三角形.其中一

三、解答题(本大题共有6小题，共46分；第19-20每小题6分，第21-22小题每小题7分，第23

小题8分，第24小题10分)

19.解下列方程：

⑴(尤_1)丁9

⑵f+4x=4

(3)x(^-l)-x=0

(4)2--3X=1

20.从甲、乙两个企业随机抽取部分职工，对某个月月收入情况进行调查，并把调查结果分别制成扇形统计图和

条形统计图.

甲企业部分职工月收入扇形统计图乙企业部分职工月收入条形统计图

人数

(1)在扇形统计图中，“6千元”所在的扇形的圆心角是；

(2)在乙企业抽取的部分职工中，随机选择一名职工，求该职工月收入超过5千元的概率；

(3)若要比较甲、乙两家企业抽取的职工的平均工资，小明提出自己的看法：虽然不知道甲企业抽取职工的人数，

但是可以根据加权平均数计算甲企业抽取的职工的平均工资，因此可以比较；小明的说法正确吗？若正确，请比

较甲企业抽取的职工的平均工资与乙企业抽取的职工的平均工资的多少；若不正确，请说明理由.

21.如图，在长度均为1的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知A(1,0),B(4,2),C(2,

4).

(1)将AA8C沿着x轴向左平移5个单位后得到△AB'C',请在图中画出平移后AAB'C',则C的对应点C的坐标为

(2)线段可以看成是线段氏4绕着某个定点旋转180。后得到的图形，这个定点的坐标是

22.问题提出

FD

A

(1)如图1,A、B为。。外的两点，请在。。上画出所有使得AC+2C的值最小的C点.

问题探究

(2)如图2,在四边形ABC。中，AB=AO=3,/BCD=NBAD=90。,AC=4,求BC+CD的值；

问题解决

(3)如图3,某城市要修建一块草坪，草坪由三条线段A3、BC、C。和圆弧周成，计划在圆弧AD段用花来布置

成标志性造型，AB和C。段栽种观赏性树木，BC临湖.已知点E为BC上一点，BE=CE=6,长为4万，且

AO上任意一点E满足NBEE=30。，为了降低成本，现计划使得AB+C。最小，求AB+CD的最小值.

23.随着武汉解封，湖北各地的复工复产正有序进行，经济复苏也按下了“重启键”.为助力湖北复苏，4月8日抖

音发起了“湖北重启，抖来助力-抖音援鄂复苏计划”，通过直播或短视频助力推广湖北特色产品•己知当天的直播

活动中热干面和周黑鸭共销售18万份，其中周黑鸭的销量是热干面的3.5倍.

(1)求当天的直播活动中销售了多少万份周黑鸭？

(2)为刺激消费，直播中推出了优惠活动•疫情前，疫情期间售价均为100元一份的周黑鸭(一份里面有一盒锁骨，

两盒鸭脖，一盒鸭掌)，以6折力度售卖.疫情前，疫情期间售价均为60元一份的热干面(一份里面有6包热干

面)，以5折力度售卖.己知疫情前周黑鸭的日销售量比直播当天的销量少勿％,疫情期间的日销售额比疫情前的

日销售额减少了680万元；疫情前热干面的日销量比直播当天热干面的销量少y«%,疫情期间的日销售量比疫情

前的日销售量减少了84%；疫情期间周黑鸭和热干面的总日销售额比直播当天的总销售额少5a%,求。的值.

4

24.如图，抛物线y=-/+云+。与x轴相交于4B两点(点A在点3的左侧)，顶点。(1,4)在直线/：y=-

x+£上，动点尸(m,n)在x轴上方的抛物线上.

(一用闻)

(1)求这条抛物线对应的函数表达式；

⑵过点P作PMLx轴于点M,于点N,当1<m<3时，求PM+PN的最大值；

(3)设直线AP,8P与抛物线的对称轴分别相交于点E,F,请探索以A,F,B,G(G是点E关于x轴的对称点)

为顶点的四边形面积是否随着尸点的运动而发生变化，若不变，求出这个四边形的面积；若变化，说明理由.

2023-2024学年九年级人教版数学上学期期末综合检测卷（二）

答案解析

一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的）

1.若关于x的一元二次方程炉+6工一。=0有实数根，则。的取值范围是（）

A.a<—9B.a>—9C.a>-9D.a>9

【答案】c

【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义得到A=62-4xlx（-a）之0,然后求出不等式的公共部分即可.

【详解】解：根据题意得A=6?-4x1x（—a）20,

解得a>-9.

故选：C.

【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程方2+乐+°=0（°#0）的根与一4℃有如下关系：当A>0

时，方程有两个不相等的实数根；当A=。时，方程有两个相等的实数根；当/<0时，方程无实数根.

2.若二次函数y=/+2x-左的图像与x轴有两个交点，则4的取值范围是（）

A.k<-1B.k>-1C.k<lD.k>l

【答案】B

【分析】根据二次函数与无轴交点个数由^-4ac所决定，然后问题可求解.

【详解】解：由题意得：4+4%>0,

解得：k>—l；

故选B.

【点睛】本题主要考查二次函数与x轴交点个数，熟练掌握二次函数与x轴交点个数是由廿-4改决定的是解题的

关键.

3.若关于x的方程（0-2）/-2尤+1=0是一元二次方程，则（）

A.aw2B.。w0C.。=2D.a=0

【答案】A

【分析】根据一元二次方程的定义求解即可.

【详解】解：,••关于尤的方程（4-2卜2-2%+1=0是一元二次方程，

•\a-2r0,

解得：

故选：A.

【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足两个条件：①未知数的最高次数是2；②二次

项系数不为0.

4.下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

【答案】D

【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来

的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重

合，这个图形叫做轴对称图形，进行判断即可.

【详解】解：A.不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；

B.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；

C.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；

D.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键.

5.二次函数；^=分2+法+。图象如图所示，下列结论：@b2-4ac>0；②2。+6=0；®abc>0；④

办2+云+°一3=0有两个相等的实数根，其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】根据二次函数的图象和性质进行判断即可.

【详解】解：根据抛物线的开口朝下可知：a<Q,

b

根据对称轴是1：x=------=1，得至II：2a+b-0,b>0,

2a

与y轴交于正半轴：c>0,

与x轴有两个交点：b2-4ac>0,

顶点坐标：(1,3),依2+6x+c—3=0有两个相等的实数根.

综上：b2-4ac>0,2a+b-0,06c<0,ax?+6x+c-3=0有两个相等的实数根.

正确的是：①②，共2个.

故选：B.

【点睛】本题考查二次函数图像和系数之间的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键，利用数形结合的思

想可以快速的解决此类问题.

6.某超市一月份的营业额为100万元，已知第一季度的总营业额共500万元，如果平均每月增长率为x,则由题

意列方程应为()

A.100+100(1+龙)+100(1+无)2=500B.100(1+x)2=500

C.100+100(1+x)2=500D.100(1+x)=500

【答案】A

【分析】先根据题意求得二月份的营业额、三月份的营业额，再根据等量关系“一月份的营业额+二月份的营业额+

三月份的营业额=500万元”即可列出方程.

【详解】解：•••一月份的营业额为100万元，平均每月增长率为彳，

二月份的营业额为100x(1+x),

三月份的营业额为100x(1+x)x(1+x)=100x(1+x)2,

可列方程为100+100X(1+x)+100x(1+x)2=1000.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用.若设变化前的量为a,变化后的量为b,平均变化率为x,则经过

两次变化后的数量关系为a(l±x)2=b.得到第一季度的营业额的等量关系是解决本题的关键.

7.如图，43是。。的直径，点C、。是圆上两点，且/CZ)8=26。，则NAOC的度数()

A.108°B.154°C.118°D.128°

【答案】D

【分析】先根据圆周角定理得到/2。。=2/。2=52。，然后利用邻补角的定义计算NAOC的度数.

【详解】解：和NCDB都对BC，

NBOC=2NCDB=2x26°=52°,

ZAOC=180°-ZBOC=128°.

故选：D.

【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角

的一半.

8.如图，正方形（MBC的边长为0,将正方形OASC绕原点。顺时针旋转45。，则点8的对应点与的坐标为

()

V八

BC

AO

A.(-也0)B.(-72,0)C.(0,0)D.(0,2)

【答案】D

【分析】连接。3,由正方形ABCD绕原点0顺时针旋转45°,推出与。耳=45。,得到△为等腰直角三角

形，点均在y轴上，利用勾股定理求出OB1即可.

【详解】解：连接。2,

,/正方形ABCD绕原点。顺时针旋转45°,

ZAOAt=45°,ZAOB=45°,

NAQB]=45°,

.•.△4。耳为等腰直角三角形，点耳在y轴上,

NB&O=90°,A耳==3，

0Bx=JA牙+。野=J2+2=2,

...0(0,2),

故选：D.

【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，特殊三角形的性质.关键是根据旋转角证明点后在y轴上.

9.在圆内接四边形ABC。中，ZBAD.NAOC的角平分线交于点E,过E作直线平行于BC,与AB、CD交

于M、N,则总有MN=()

A.BM+DNB.AM+CNC.BM+CND.AM+DN

【答案】D

【分析】在NM上截取NP=N。，连接。尸，AF,由A,B,C,。四点共圆，得出/AOC+NB=180。，由MN」

BC,得出/AMN+/AON=180。，可得到A,D,N,M四点共圆，可得/MvZ)+NMAO=180。再由AE,OE1分别

平分NAM),ZCDA,A,F,E,。四点共圆，由1800--NMN£)=180°-NDEN-NAfND=N

EDN=/ADE=/AFM,可得出AM=MF,即得出MN=MF+NF=MA+NO.

【详解】解：如图，在NM上截取N/=ND,连接DRAF

：.ZNFD=Z.NDF,

VA,B,C,。四点共圆,

ZADC+ZB=180°,

•：MN6'BC,

・・・/AMN=NB,

：.ZAMN+ZADN=1SO°,

・・・A,D,N,M四点共圆，

ZWD+ZM4D=180°,

VAE,DE1分别平分NBA。，/CDA,

NEND+2NDFN=NEND+2NDAE=180°,

:・/DFN=/DAE,

：.A,F,E,。四点共圆，

AZDEN=ZDAF9ZAFM=ZADE,

'：ZMND+ZMAD^\S00,

：./MAF+NDAF+/MND=180°

・・・ZMAF=1800-ZDAF-ZMND

二180。-Z.DEN-ZMND

=/EDN=ZADE

=ZAFMf

：.MA=MFf

：.MN=MF+NF=MA+ND.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了四点共圆，解题的关键是正确作出辅助线，利用四点共圆求解.

10.如图，有一些写有号码的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上，从中任意摸出一张，摸到1号卡片

的概率是（）

【答案】B

【分析】根据概率公式直接求解即可.

【详解】解：从中任意摸出一张共有6种等可能结果，其中摸到1号卡片的有2种结果,

21

所以从中任意摸出一张，摸到1号卡片的概率为：=

63

故选：B.

【点睛】本题主要考查了概率的求法，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比.

二、填空题(本大题共有8小题，每题3分，共24分)

11.a、夕是关于x的方程月-彳+左_1=。的两个实数根，且〃_2夕-6=4,则左的值为.

【答案】T

22

【分析】a-2a-/3=a-a-(a+^=4,然后根据方程的解的定义以及一元二次方程根与系数的关系，得到关

于左的一元一次方程，即可解得答案.

【详解】解：是方程£一彳+左一1=0的根

a1—a+k—\=Q'>a+0=\

a.-2a—[3—<x~-a—(a+/?)=—k+1—1=—k=4

：.k=-4

故答案是-4.

【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，掌握相关知识并熟练使用，同时注意解题中需注意

的问题是本题的解题关键.

12.二次函数y=-f+bx+c的部分图像如图所示，则y>0的解集是.

【答案】-l<x<9

【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与无轴的另一个交点坐标为(-1,0),然后写出抛物线在尤轴上方所对应

的自变量的范围即可.

【详解】解：•••抛物线的对称轴为直线x=4,抛物线与x轴的一个交点坐标为(9,0),

抛物线与x轴的另一个交点坐标为(-1,0),

.•.当-l<x<9时，y>0.

故答案为：

【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：抛物线与x轴的交点的横坐标为方程+⑶b,。是常数，

。加)的两个实数解.也考查了二次函数的性质.

13.如图，在吊ABC中，ZC=90°,ZABC=30°,BC=0将一ABC绕点A逆时针旋转角tz(O°<a<180。)得到

△AB'C,并使点C落在AB边上，则线段郎,长为

【答案】2

【分析】根据直角三角形30。角的性质得到A2=2AC,由勾股定理求出A8,利用旋转的性质证得A〃是等边三

角形，即可得至I]82=42=2.

【详解】解：在及ABC中，ZC=90°,ZABC=30°,BC=B

：.ZCAB=60°,AB=2AC,

,：AC2+BC2=AB2,

：.AC2+3=4AC2,

解得AC=1,

：.AB=2,

由旋转得ZBAB'=ZCAB=60°,

：.^BAB'是等边三角形，

BB'=AB=2,

故答案为：2.

【点睛】此题考查了直角三角形30。角的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，熟练掌握各知

识点并应用是解题的关键.

14.如图，一段抛物线丁=-炉+6彳（0三》46）,记为抛物线它与无轴交于点O,A;将抛物线G绕点4旋转

180。得抛物线C2,交X轴于另一点&；将抛物线c2绕点4,旋转180。得抛物线C3,交x轴于另一点&……如此进

行下去，得到一条“波浪线”.若点M（2022,%）在此“波浪线”上，则机的值为.

【答案】0

【分析】根据整个函数图像的特点可知，每隔6x2=12个单位长度，函数值就相等，再根据2022=6+12x168可得

x=2022时的函数值与x=6时的函数值相等，由此即可得答案.

【详解】解：由题意得：每隔6x2=12个单位长度，函数值就相等，

,/2022=6+12x168,

/.x=2022时的函数值与x=6时的函数值相等，

即机的值等于尤=6时的纵坐标，

对于函数y=-x2+6x(0VxV6),

当x=6时，y=-62+6x6=0,

则m=Q,

故答案为：0.

【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，正确发现整个函数的图像规律是解题的关键.

15.直线与。。相切于点A,AC、CO是。。的两条弦，且C0//A8,若。。的半径为5,CD=8,则弦AC的

长为.

【答案】4石

【分析】连接。4,作OEJ_C。于E,利用垂径定理得出CE,通过CD〃AB,ABLOB,证明E、O、A三点共

线，再利用勾股定理解R3OEC求出OE,最后利用勾股定理解R3AEC求出AC.

【详解】解：连接04,作。EL8于E,贝IJCE=DE=』CD=4,

2

:直线A3与。。相切于点A,

C.OALAB.

'：CD,AB,OE±CD,

:.E、O、A三点共线.

连接oc,

在RtAOEC中，OC=5,CE=4,

由勾股定理得OE=7OC2-CE2=62-42=3，

.AE=OE+OA=3+5=8,

AC=y]CE2+AE2=A/42+82=4石.

【点睛】本题考查圆的切线的定义、垂径定理和勾股定理，本题中通过垂径定理得出CE,证明E、0、A三点共

线是解题的关键.

16.ABC中，ZACB=90°,ZB=30°,AC=4,E是AC的中点，MN分别是边48、BC上的动点，。也是BC

边上的一个动点，以CD为直径作：O,连接ED交。于凡连接FM,MN,贝URW+肱V的最小值为.

【分析】连接CF由CD是。。的直径可知N"D=90。，从而得出ACEP是直角三角形，再取CE的中点G,可知

FG=-CE=-AC=\,故F点在以G为圆心的单位圆上，作出这个单位圆.将AABC沿向下翻折得到

24

△ABC1,并取N点对称点N1连接显然MN=MN',要求FM+MN的最小值就是求FM+W的最小值.过

点G作GNLLBC于交。G于凡交于根据垂线段最短可知此时PM+MN取最小值，延长线段VG,

A4交于点P，利用含30。角的直角三角形的性质可以求出EW+MN取最小值.

【详解】如图，连接CF,取CE的中点G,连接FG,将将“BC沿向下翻折得到二A3C',并取N点对称点

N',连接则MN=MN',NCBC'=2/ABC=60。.

：CO是。。的直径，

ZCFD=90°,

：.ZCFE=90°,

.♦.△CEP是直角三角形，

FG=-CE.

2

又：AC=4,E是AC的中点，

CE=-AC=2,

2

FG^-CE^l,

2

；.厂点在以G为圆心的单位圆上.

如下图，以G为圆心画出这个单位圆.

为定值，要求尸的最小值可先求GF+FM+MN的最小值，即GF+FM+MN的最小值.

根据垂线段最短可知，GF+FM+MM的最小值是G到BC的距离.

如下图，过点G作GNLLBC于交。G于尸，交于延长线段MG,交于点尸.（将原图剩余线段与

圆补齐）

VZCBCf=60o,

・•・ZP=30°.

XVCG=FG^-CE^1,

2

：.PG=2,PC=6,

在AABC中，ZACB=90°,ZB=30°,AC=4,

BC=473,

:.PB=BC+PC=5y/3.

在△尸BV中，NPN'B=90°,/PBN'=NCBC'=60°,PB=5。

2

：.G尸+FM+MN'的最小值也就是G到BC的距离GN'=PN'-PG=—,

2

9

；.FM+MV的最小值=GN'-GF=-,

9

即FM+MN的最小值是万.

【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，直角三角形的性质，含30。角的直角三角形的性质，垂线段最

短.能推出/在以G为圆心的单位圆上和灵活运用垂线段最短是解题的关键.

17.如图，AABC三边的中点。，E,尸组成△£)£1〃，△£)£产三边的中点N,尸组成AA/NP,将△FPM与△EC。

涂成阴影.假设可以随意在AABC中取点，那么这个点取在阴影部分的概率为.

B

【答案】X2

lo

【分析】由三角形中位线定理易求得设阴影部分的面积与△CA4的面积的比值，再根据几何概率的求法即可得出答

案.

【详解】解：E分别是BC、AC的中点，

是AABC的中位线，

：.ED//AB,且。E=：AB,

：./\CDE^/\CBA,

,S&CDE_(DE)1

^ACBA〔ABJ4

：.SACDE^-SCBA.

4A

同理，SFPM^-SFDE=—SCBA.

A4A16A

SAFPM+SACDE=—SACBA.

16

则冬£=9

SACBA16-

故答案是：工

lo

【点睛】本题考查了三角形中位线定理与几何概率的求法，关键是利用中位线定理求出阴影部分面积与整个三角

形面积的比值.

18.如图，二次函数y=o?+6x+c的图象经过点A(1,0),与y轴的交点为C,对称轴为直线x=-l,下列结

论：①丝旦＞0；②若点尸(-2-己%)和°(〃+3,%)是该抛物线上的两点，则%＞%;③不等式

abc

62+法+°＜0的解集为-；＜》＜1;④在对称轴上存在一点8,使得AABC是以AC为斜边的直角三角形.其中一

定正确的是(填序号即可).

【分析】本题只需逐个判断；

①需要先判断A,a,b,c的符号，然后确定4℃一♦是否大于0；

abc

②可以先找到点尸关于抛物线的对称轴对称的点，再利用二次函数增减性比较函数值；

③可以利用对称轴和点A坐标找到a,b,c之间的关系，从而简化不等式cf+^x+qCO,再利用函数图像求出它

的解集；

④假设存在这样的点2,取AC的中点。，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知8£>=；AC,设出

点8利用这个关系式建立方程看是否有解，有解则存在这样的点2,无解则不存在.

【详解】解：①由图可知二次函数）=〃/+法+C的图象与无轴有两个交点，

A=/?2—4ac>0,

**•4ac—b2<0-

又•・,抛物线的开口向下，对称轴在y轴左边，

a<0,b<0.

又•・,抛物线与y轴交点在原点上方，

：.c>0,

abc

.♦•①错误，不符合题意；

②因为对称轴是直线尤=-1,

P（-2-产,%）关于直线％=-1对称的对称点是尸'仔，乂）.

又<a<0,b<0f

・,•当£>-1时，y随着x的增大而减小.

又•二-l<t2"+3,

M>为，

...②正确，符合题意;

③，・•二次函数y=a%2+bx+c的图象经过点A(1,0),对称轴为直线x=T,

—b

a+Z?+c=0,——=-1,

2a

:.b=2a,c=—3a,

又,**ex2+bx+a<Q,

••一3cix^+2ax+Q<0•

又a<0,

••—3%2+2x+1>0,

(3x+l)(x-l)<0,

3x+l>0A,1

，角星得一彳<工<1,

x-l<03

3x+l<0

或x-l>0，无解'

ex2+bx+a<G的解集为一;<x<1,

・••③正确，符合题意;

.二二次函数解析式可化为y=以2+2QX一3〃,

・••点C坐标为(。，-3〃).

又・・,A(1,O),点是AC的中点,

•.•。c/(]展-^-)'AC=4I9-〃-—+1•

假设在对称轴上存在一点B(-l,m),使得△ABC是以AC为斜边的直角三角形,

则有BD=/1_y+(相_年)2,且3Q=；AC,

-二；d9a2+1

整理得：m2+3am+2=Q其中。<0,

*,•当A=9a2—8>0»即aW-2母或a之2拒时，方程疗+3〃机+2=0有解，

33

.・・当—迪<〃<0时，不存在这样的点5,

3

当aW-逑时，存在这样的点艮

3

，④不一定存在这样的点8,不符合题意.

综上所述：一定正确的是：②③.

故答案为：②③.

【点睛】本题考查了二次函数a,b,c,A的符号判定，二次函数的图像与性质，一元二次不等式的解集，直角三

角形存在性问题，掌握转化思想是本题解题的关键.

三、解答题（本大题共有6小题，共46分；第19-20每小题6分，第21-22小题每小题7分，第23

小题8分，第24小题10分）

19.解下列方程：

⑴（尤-1）2=9

⑵尤2+4x=4

(3)x(%-l)-x=0

(4)2f-3x=l

【答案】(1)尤i=4,%=-2

⑵%=2后-2,X2=-2A/2-2

（3）玉=。，马=2

小3+而'

（有再=1—

【分析】（1）利用直接开方法求解;

（2）利用配方法求解；

（3）利用因式分解法求解；

（4）利用公式法求解.

【详解】（1）解：（1）一=9,

x—1=±3,

解得：石=4,x2=-2;

(2)解：f+4x=4,

%?+4-x+4=8,

(X+2)2=8,

x+2=±2^2，

解得：x1-2,\/2—2,x2=—2y/2—2；

(3)解：Ml)一x=°,

x2-x-x=O，

炉—2%=0,

x(x-2)=0,

%=0或%-2=0,

解得：石=。，%=2;

(4)解：2X2-3X=1,

2x?—3尤—1=0,

〃=2,Z?=—3,c=—lf

A=Z?2—4ac=17>0

_-b±ylb2-4ac_3±历_3±V17

x-----------------------------，

2a2x24

„z3+V173-V17

触&得s：x.=----------，x,=----------.

424

【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握直接开方法、配方法、因式分解法、公式法等解一元二次方程的方

法是解题的关键.

20.从甲、乙两个企业随机抽取部分职工，对某个月月收入情况进行调查，并把调查结果分别制成扇形统计图和

条形统计图.

甲企业部分职工月收入扇形统计图乙企业部分职工月收入条形统计图

(1)在扇形统计图中，“6千元”所在的扇形的圆心角是

(2)在乙企业抽取的部分职工中，随机选择一名职工，求该职工月收入超过5千元的概率;

(3)若要比较甲、乙两家企业抽取的职工的平均工资，小明提出自己的看法：虽然不知道甲企业抽取职工的人数,

但是可以根据加权平均数计算甲企业抽取的职工的平均工资，因此可以比较；小明的说法正确吗？若正确，请比

较甲企业抽取的职工的平均工资与乙企业抽取的职工的平均工资的多少；若不正确，请说明理由.

【答案】(1)144°；

3

⑵历；

(3)正确，甲企业的平均工资与乙企业的平均工资相等.

【分析】(1)用360。乘以“6千元”所占的的百分比即可;

(2)利用概率公式计算即可；

(3)分别根据加权平均数和算术平均数的计算方法求出甲企业和乙企业的平均工资，然后可作出判断.

【详解】(1)解：360°x(1-10%-10%-20%-20%)=144°,

故答案为：144。；

(2)由条形图可得：乙企业共抽取10人，其中月收入超过5千元的有3人，

3

该职工月收入超过5千元的概率为：—；

(3)小明的说法正确，

设甲企业的调查人数为如

；“6千元”所占的百分比为：1-10%-10%-20%-20%=40%,

.•.甲企业的平均工资为：—x(20%»ix5+10%//JX4+10%mx8+20%mx7+40%wx6)=6(千元)，

m

一人“.丁.人、r5x4+2x5+2x9+1x12,,十一、

乙企业的平均工资为：------一一---------=6(千兀)，

5+2+2+1

二.甲企业的平均工资与乙企业的平均工资相等.

【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，概率公式，求加权平均数和算术平均数，读懂统计

图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统

计图直接反映部分占总体的百分比大小.

21.如图，在长度均为1的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知A(1,0),B(4,2),C(2,

4).

⑴将AABC沿着x轴向左平移5个单位后得到△AB'C,请在图中画出平移后△AB'C',则C的对应点C'的坐标为

(2)线段AE可以看成是线段瓦1绕着某个定点旋转180。后得到的图形，这个定点的坐标是.

【答案】(1)图见解析，C(-3,4)

⑵(0,1)

【分析】(1)将点A,B,C都向左平移5个单位得出点A,B',C'顺次连接得出△AB'C',再由网格线得出点C

的坐标；

(2)连接43,3N相交于点。，即可判断出点。是旋转中心，由网格线即可得出点。的坐标；

【详解】(1)解：•••将AABC沿着x轴向左平移5个单位后得到△A'3'C',且C(2,4),

C'的对应点。的坐标为(-3,4),

故答案为(-3,4).

(2)解：•..线段A3,可以看成是线段1M绕着某个定点旋转180。后得到的图形,

.•.点4与点2是对应点，点8'与点A是对应点,

连接A'3,3'A相交于点。(定点),

由图形知，D(0,1),

即旋转中心为点。(0,1),

故答案为(0,1).

【点睛】此题主要考查了平移,旋转的性质，熟练掌握平移和旋转的性质是解本题的关键.

22.问题提出

B

图2图3

(D如图1,A、8为。。外的两点，请在。。上画出所有使得AC+BC的值最小的C点.

问题探究

(2)如图2,在四边形A8CQ中，AB=AD=3,ZBCD=ZBAD=90°,AC=4,求BC+C。的值；

问题解决

(3)如图3,某城市要修建一块草坪，草坪由三条线段AB、BC、C。和圆弧周成，计划在圆弧段用花来布置

成标志性造型，和C。段栽种观赏性树木，2C临湖.已知点E为上一点，BE=CE=6,长为4%,且

AO上任意一点R满足48/£=30。，为了降低成本，现计划使得AB+C。最小，求4B+CD的最小值.

【答案】（1）见解析

⑵4点

（3）677

【分析】（1）利用两点之间线段最短求解；

（2）利用AAS证明=推出=AN=AM,进而得出BC+CD=CAf+CV,再证四边形

ANCM是正方形，结合AC=4,利用勾股定理求出正方形ANCM的边长，即可求解；

（3）如图（见解析）作辅助线，找出点尸所在圆的圆心，证明AAOB三AGOD,推出。G=AB,进而得出

AB+CD=GD+CD,从而将A2与CZ）转化为一个三角形的两个边，依靠三角形的三边关系进行求解.

【详解】（1）解：如图所示，连接AB,AB与。。的交点G和为所求c点;

(2)

解：如图，作AMLCD于点作ANJ_3C交BC的延长线于点N,

则ZAMC=ZANC=90°,

又：ZBCD=90°,

二四边形A7VCM是矩形，

ZNAM=90°=ABAD,AN=CM,

：.ZNAM-ZBAM=ABAD-ZBAM,

即N2vAB=

在NNAB和AM4D中，

/NAB=/MAD

</ANB=/AMD,

AB=AD

ANAB三AAf4D(AAS),

:.NB=MD,AN=AM,

：.BC+CD=BC+CM+MD=BC+CM+BN=CM+CN,

:四边形A7VCM是矩形，AN=AM,

...四边形ANCM是正方形，

：.CM=AN=CN=AM,

AC2=AN2+CN2=2CN2,

即42=2CN2,

CN=2A/2，

；•BC+CD=CM+CN=2y/2+2y/2=4y/2;

(3)

解：：点厂在运动的过程中，满足ZBEE=30。，

/.点/可看作是在以BE为弦的圆上运动，ZBFE为弦BE所对的圆周角，

.•.弦BE所对的圆心角为：30°x2=60°,

以BE为边向上作等边三角形BEO,可得点。为动点/所在圆的圆心，圆。的半径为6.

连接。4,0D,延长E0与圆0交于点G,连接GD

长为41，半径。4=6，

：.ZAOD=----------360。=120。，

2x6•乃

又由等边三角形的性质知ZBOE=60°,

：.ZAOB+ZDOE=360°-ZAOD-ZBOE=360°-120°-60°=180°,

又:ZGOD+ZDOE=1SO0,

・•・ZAOB=ZGOD,

XVOA=OB=OG=OD,

：.AAOB三NGOD,

DG=AB,

AB+CD=GD+CD,

.•.当G,D,C三点共线时，GD+CD取最小值，AB+CD取最小值，最小值为GC.

连接GB,如下图所示:

此时，G点与。点重合，A点与B点重合，

：GE是直径，

/./GBE=90。,

在RtAGBE中，GE=2OE=12,BE=6,

•*-GB=SIGE2-BE2=V122-62=6A/3，

RtAGBC中，GC=y/GB2+BC2=+122=6—，

/.AB+CD的最小值为6将.

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，圆周角定理的应用，等边三角形的性质，勾

股定理解直角三角形等知识点，综合性很强，属于压轴题，第三问难度很大，将AB+CD转化为GD+CD,得出

AB+CD的最小值为GC是解题的关键.

23.随着武汉解封，湖北各地的复工复产正有序进行，经济复苏也按下了“重启键”.为助力湖北复苏，4月8日抖

音发起了“湖北重启，抖来助力-抖音援鄂复苏计划”，通过直播或短视频助力推广湖北特色产品•已知当天的直播

活动中热干面和周黑鸭共销售18万份，其中周黑鸭的销量是热干面的3.5倍.

（1）求当天的直播活动中销售了多少万份周黑鸭？

⑵为刺激消费，直播中推出了优惠活动•疫情前，疫情期间售价均为100元一份的周黑鸭（一份里面有一盒锁骨，

两盒鸭脖，一盒鸭掌），以6折力度售卖.疫情前，疫情期间售价均为60元一份的热干面（一份里面有6包热干

面），以5折力度售卖.己知疫情前周黑鸭的日销售量比直播当天的销量少2a%,疫情期间的日销售额比疫情前的

日销售额减少了680万元；疫情前热干面的日销量比直播当天热干面的销量少£“％，疫情期间的日销售量比疫情

前的日销售量减少了8〃％；疫情期间周黑鸭和热干面的总日销售额比直播当天的总销售额少5a%,求”的值.

【答案】(1)当天的直播活动中销售了14万份周黑鸭

(2)。的值为三45

4

【分析】(1)设当天的直播活动中销售