2025年高考数学一轮复习之概率

2025年高考数学一轮复习之概率

选择题（共10小题）

1.若随机变量tTV（3,W）,且尸（《＞4）=0.2,则尸（2＜《＜3）=（）

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5

2.已知随机事件A,2发生的概率分别为尸（A）=0.5,P（B）=0.4,则下列说法正确的是（）

A.若尸（AB）=0.9,则A,8相互独立

B.若A,B相互独立，则尸（A|B）=0.6

C.若尸（A|B）=0.5,则尸（AB）=0.25

D.若BUA,则P（B|A）=0.8

1

3.如图，一个电路中有A,B,C三个电器元件，每个元件正常工作的概率均为5,这个电路是通路的概

率是（）

r-E―「

4.某大学一宿舍4名同学参加2024年研究生招生考试，其中两人顺利上初试线，还有两人差几分上线,

这两名学生准备从A,B,C,D,E,尸这6所大学中任选三所大学申请调剂，则这两名学生在选择了

相同大学的条件下，恰好选择了两所相同大学的概率为（）

181091

A.—B.—C.-D.一

19191919

5.有甲、乙两台车床加工同一种零件，且甲、乙两台车床的产量分别占总产量的70%,30%,甲、乙两

台车床的正品率分别为94%,92%.现从一批零件中任取一件，则取到正品的概率为（）

A.0.93B.0.934C.0.94D.0.945

6.英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件48存在如下关系：

P（川8）=吗耨若某地区一种疾病的患病率是0.05,现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已

知该试剂的准确率为95%,即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有95%的可能呈现阳性；该试

剂的误报率为0.5%,即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有0.5%的可能会误报阳性.现随机

抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（）

4959951021

A.------B.-------C.—D.—

100010001122

7.长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有和勺学生每天玩手机超过1/2,这些人近视

13

率约为二，其余学生的近视率约为一，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是()

28

1727

A.一B.—C.-D.—

51658

8.某罐中装有大小和质地相同的4个红球和3个绿球，每次不放回地随机摸出1个球.记Ri="第一次

摸球时摸到红球”，Gi="第一次摸球时摸到绿球”，R2="第二次摸球时摸到红球”，G2="第二次摸

球时摸到绿球"，R="两次都摸到红球”，G=”两次都摸到绿球”，则下列说法中正确的是()

A.P(R)=尸(RiAP(R2)B.P(G)=P(Gi)+P(5)

C.P(7?2|R1)=±D.P(G2|G1)+P(G1IG2)=1

9.质数(primenumber)又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，

则这个数为质数，数学上把相差为2的两个素数叫做“享生素数”.如：3和5,5和7……,在1900

年的国际数学大会上，著名数学家希尔伯特提出了23个问题，其中第8个就是大名鼎鼎的挛生素数猜

想：即存在无穷多对挛生素数.我国著名数学家张益唐2013年在《数学年刊》上发表论文《素数间的

有界距离》，破解了困扰数学界长达一个半世纪的难题，证明了挛生素数猜想的弱化形式.那么，如果

我们在不超过30的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件A,这两个数都是素数；事件8：这两

个数不是挛生素数，则尸(B|A)=()

11371341

A.—B.—C.—D.—

15451545

10.有4个外包装相同的盒子，其中2个盒子分别装有1个白球，另外2个盒子分别装有1个黑球，现准

备将每个盒子逐个拆开，则恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中的概率为()

1111

A.—B.-C.一D.一

2346

二.填空题(共5小题)

11.某企业钳工、车工和焊工三个车间分别推荐了1名男员工和1名女员工，供该企业工会从中选出2名

员工参加全国技能比赛.若这6名员工每人被选上的机会相等，则选出的2人恰好是1名男员工和1

名女员工，且他们来自不同车间的概率为.

12.一袋中有大小相同的4个球，其中3个红球和1个黑球.从该袋中随机取2个球，则取到2个红球的

概率是.

91_q

13.设A,8是一个随机试验中的两个事件，且PQ4)=5，P(B)=^P(4+B)=],则P(B|A)

14.在统计调查中，对一些敏感性问题，要精心设计问卷，设法消除被调查者的顾虑，使他们能够如实回

答问题.否则，被调查者往往会拒绝回答，或不提供真实情况.某中学为了调查本校中学生某不良习惯

A的发生情况，对随机抽出的200名中学生进行了调查.调查中设置了两个问题：

问题1：你的阳历生日日期是否偶数？问题2：你是否有A习惯？

调查者准备了一个不透明袋子，里面装有大小、形状和质量完全一样的5个白球和5个红球.每个被调

查者随机从袋中摸出1个球(摸出的球再放回袋中并搅拌均匀)，摸到白球的学生如实回答第一个问题，

摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什

么都不做.已知调查结束后，盒子里共有55个小石子.据此估计此中学学生中有习惯A的人数的百分

比为.

15.已知随机变量X〜2(2,p),其中0<p<l,随机变量¥的分布列为

Y012

1

P2Q

3^3

表中0<qv|,则。⑴的最大值为____________________.我们可以用M=XLoP(X=k)万券M

3ill—/tJ

_iM—ITI3

来刻画X与Y的相似程度，则当£)(X)=9,且。(丫)取最大值时，———=.

三.解答题(共5小题)

16.为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的经

常性有影响，为此对学生是否经常锻炼的情况进行了抽样调查，从全体学生中随机抽取男女各100名学

生，经统计，抽查数据如下表：

性别锻炼合计

经常不经常

男生8020100

女生6040100

合计14060200

(1)依据小概率值a=0.005的独立性检验，分析性别与体育锤炼的经常性是否有关？

(2)为提高学生体育锻炼的积极性，学校决定在上述经常参加体育锻炼的学生中，按性别分层抽样随

机抽取7名同学组成体育锻炼宣传小组，并从这7名同学中选出3人担任宣传组长，记女生担任宣传组

长的人数为X,求随机变量X的分布列及数学期望.

附：f=(a+b)图篇(其中,〃="b+c+d为样本容量)

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

17.假定射手甲每次射击命中目标的概率为p,其中0<p<l.

(1)当「=电寸，若甲射击N次，命中目标的次数为X.

①求E(X)；

②若尸(X=10)>P(X=k),其中OWZWN,k^lO,求N的值.

(2)射击积分规则如下：单次未命中目标得。分，单次命中目标得1分，若连续命中目标次，

则其中第一次命中目标得1分，后一次命中目标的得分为前一次得分的2倍.记射手甲射击4次的总得

分为匕若对任意p有P(Y=i)=P(r=j)(z<j)成立，求所有满足上述条件的有序实数对(i,j).

18.为促进全面阅读，建设书香校园，鼓励学生参加阅读活动，某校随机抽查了男、女生各200名，统计

他们在暑假期间每天阅读时长，并把每天阅读时长超过1小时的记为“阅读达标”，时长不超过1小时

的记为“阅读不达标”，阅读达标与阅读不达标的人数比为1：1,阅读达标的女生与男生的人数比为3：

2.

(1)完成下面的2X2列联表：

性别阅读达标情况合计

阅读达标阅读不达标

男生

女生

合计

(2)根据上述数据，依据小概率值a=0.001的独立性检验，能否认为“阅读达标情况”与“性别”有

关联？

(3)从阅读达标的学生中按男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取5人进行座谈，再从这5人

中任选2人，记这2人中男生人数为X,求X的分布列和数学期望.

参考公式：乂2=(a+乃泮d)g%(b+d)，n^a+b+c+d.

a0.100.050.010.001

Xa2.7063.8416.63510.828

19.2024年甲辰龙年春节来临之际，赤峰市某食品加工企业为了检查春节期间产品质量，抽查了一条自动

包装流水线的生产情况.随机抽取该流水线上的40件产品作为样本并称出它们的质量(单位：克)，质

量的分组区间为(495,505],(505,515],(535,545],由此得到样本的频率分布直方图，如图所

(1)根据频率分布直方图，求质量超过515克的产品数量和样本平均值元；

(2)由样本估计总体,结合频率分布直方图，近似认为该产品的质量指标值彳服从正态分布N(u，1.252),

其中U近似为(1)中的样本平均值元，计算该批产品质量指标值W'519.75的概率；

(3)从该流水线上任取2件产品，设¥为质量超过515克的产品数量，求Y的分布列和数学期望.

附：若£可⑴，。2),则P(厂。＜^M+o)p0.6827,P(n-2o＜^n+2o)^0.9545,P(厂3

o＜只叶3。)心0.9973.

频率

0.025

0.020

0.015

0.005

0490505515525535545质量/克

20.一个车间有3台机床，它们各自独立工作，其中A型机床2台，8型机床1台.A型机床每天发生故

障的概率为0.1,8型机床每天发生故障的概率为02

(1)记X为每天发生故障的机床数，求X的分布列及期望E(x)；

(2)规定：若某一天有2台或2台以上的机床发生故障，则这一天车间停工进行检修.求某一天在车

间停工的条件下，2型机床发生故障的概率.

2025年高考数学一轮复习之概率

参考答案与试题解析

一.选择题(共10小题)

1.若随机变量《TV(3,小)，且尸解＞4)=0.2,则尸(2＜彳＜3)=()

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5

【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.

【专题】整体思想；综合法；概率与统计；数学运算.

【答案】B

【分析】利用正态分布曲线的对称性求解.

【解答】解：因为随机变量孑e(3,。2),且P(《＞4)=0.2,

所以尸(3＜彳＜4)=0.5-P—＞4)=0.3,

所以P(2＜^＜3)=P(3＜^＜4)=0.3.

故选：B.

【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题.

2.已知随机事件A,8发生的概率分别为P(A)=0.5,P(B)=0.4,则下列说法正确的是()

A.若尸(AB)=0.9,则A,B相互独立

B.若A,B相互独立，则尸(A|B)=0.6

C.若P(A|B)=0.5,则尸(AB)=0.25

D.若匹A,则P(B|A)=0.8

【考点】条件概率；相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式.

【专题】整体思想；综合法；概率与统计；数学运算.

【答案】D

【分析】根据相互独立事件的定义判断A,根据条件概率公式判断8、C、D.

【解答】解：对于A：因为尸(AB)WP(A)P(B),所以A与8不独立，故A错误；

对于2：若A,B相互独立，贝lJP(4|8)=g鬻=写等=2(4)=0.5,故B错误；

对于C：因为P(4|B)=号鬻，所以P(AB)=P(B)P(A|B)=0.4X0.5=0.2,故C错误；

对于。：若8UA,则尸(AB)=P(B)=0.4,所以P(B|4)=攀羔=照=0.8,故。正确.

1(A)U.Z)

故选：D.

【点评】本题主要考查了独立事件的定义，考查了条件概率公式，属于基础题.

3.如图，一个电路中有A,B,C三个电器元件，每个元件正常工作的概率均为这个电路是通路的概

率是()

M3-J

【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式.

【专题】方程思想；定义法；概率与统计；数学运算.

【答案】B

【分析】这个电路是通路，则原件A正常工作，且元件8,C至少有一个正常工作，由此能求出这个电

路是通路的概率.

【解答】解：：这个电路是通路，

原件A正常工作，且元件8,C至少有一个正常工作，

这个电路是通路的概率是P=[1-(1-1)(1-1)]=

故选：B.

【点评】本题考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

4.某大学一宿舍4名同学参加2024年研究生招生考试，其中两人顺利上初试线，还有两人差几分上线,

这两名学生准备从A,B,C,D,E,尸这6所大学中任选三所大学申请调剂，则这两名学生在选择了

相同大学的条件下，恰好选择了两所相同大学的概率为()

181091

A.—B.——C.——D.——

19191919

【考点】概率的应用；条件概率；古典概型及其概率计算公式.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；数学运算.

【答案】c

【分析】根据题意，设事件A="两名学生在选择了相同大学”，事件8=”恰好选择了两所相同大学”，

由古典概型公式求出尸(A)和P(B),结合条件概率公式计算可得答案.

【解答】解：根据题意，设事件A=”两名学生在选择了相同大学”，事件B="恰好选择了两所相同

大学”，

两名学生分别从A,B,C,D,E,尸这6所大学中任选三所大学，有//=400种选法，

其中没有选择相同大学的选法有/=20种,

则两名学生选择了相同大学的选法有400-20=380种，故尸（A）=端=荒,

若恰好选择了两所相同大学，其情况有北朗=180种，则P"）=摆=葛，

PQ4B)_P(B)_9

故

P(B|A)=P(A)=PG4)=19'

故选：C.

【点评】本题考查条件概率的计算，涉及排列组合的应用，属于基础题.

5.有甲、乙两台车床加工同一种零件，且甲、乙两台车床的产量分别占总产量的70%,30%,甲、乙两

台车床的正品率分别为94%,92%.现从一批零件中任取一件，则取到正品的概率为（）

A.0.93B.0.934C.0.94D.0.945

【考点】全概率公式.

【专题】转化思想；转化法；概率与统计；数学运算.

【答案】B

【分析】结合全概率公式，即可求解.

【解答】解：甲、乙两台车床的产量分别占总产量的70%,30%,甲、乙两台车床的正品率分别为94%,

92%,

则取到正品的概率为：0.7X0.94+0.3X0.92=0.934.

故选：B.

【点评】本题主要考查全概率公式的应用，属于基础题.

6.英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件48存在如下关系：

P（4|B）=吗耨①.若某地区一种疾病的患病率是0.05,现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已

知该试剂的准确率为95%,即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有95%的可能呈现阳性；该试

剂的误报率为0.5%,即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有0.5%的可能会误报阳性.现随机

抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（）

4959951021

A.------B.-------C.—D.—

100010001122

【考点】条件概率.

【专题】方程思想；定义法；概率与统计；数学运算.

【答案】c

【分析】利用条件概率，结合全概率公式与贝叶斯公式即可得解.

【解答】解：依题意，设用该试剂检测呈现阳性为事件8,

被检测者患病为事件A,未患病为事件无

则=0.95,P(A)=0.05,P(B|4)=0.005,P(1)=0.95,

故P⑻=0.95X0.05+0.005X0.95=0.05225,

则所求概率为P(*2)=需="烂=靠翳=春

故选：C.

【点评】本题考查条件概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

7.长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有1的学生每天玩手机超过1/z,这些人近视

13

率约为三，其余学生的近视率约为一，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是()

28

1727

A.—B.——C.-D.一

51658

【考点】古典概型及其概率计算公式.

【专题】计算题；对应思想；分析法；概率与统计；数据分析.

【答案】c

【分析】根据近视情况分为超过球和低于1/7两种可能，利用古典概率模型计算可得.

14

【解答】解：某学校学生中，大约有g的学生每天玩手机超过I/?,则有g的学生每天玩手机低于i〃，

13

超过1/2近视率约为-，低于lh近视率约为一，

28

114342

所以从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是:x-+-x--—

5258105

故选：C.

【点评】本题考查古典概率模型，属于基础题.

8.某罐中装有大小和质地相同的4个红球和3个绿球，每次不放回地随机摸出1个球.记幻="第一次

摸球时摸到红球”，Gi="第一次摸球时摸到绿球”，R2="第二次摸球时摸到红球”，G2="第二次摸

球时摸到绿球"，R="两次都摸到红球”，G="两次都摸到绿球”，则下列说法中正确的是()

A.P(R)=P(RiAP(R2)B.P(G)=P(GI)+P(5)

C.P{R2\R^D.P(G2IG1)+P(G1IG2)=1

【考点】条件概率.

【专题】整体思想；综合法；概率与统计；数学运算.

【答案】c

【分析】由独立事件的定义可判断A,由古典概型的概率公式可判断8,由条件概率公式可判断CD

【解答】解：对于A,因为R=RICR2,RI,R2不相互独立，所以P(R)中P(Ri)P(R2),故A错

1天；

■33

对于2,因为P(GQ=村P0)=P(R"2)+P(G]G2)=7P(G)=PIGG)=所以P(G)

WP(Gi)+P(G2),故2错误；

对于C,P(/?|7?)=^^=4=1

21故C正确;

对于DP(G21G])=畏竽='=称,7

则。92£1)+「停1£2)=呈故

。错误.

故选：C.

【点评】本题主要考查了独立事件的定义，考查了条件概率公式的应用，属于中档题.

9.质数(primenumber)又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，

则这个数为质数，数学上把相差为2的两个素数叫做“享生素数”.如：3和5,5和7……，在1900

年的国际数学大会上，著名数学家希尔伯特提出了23个问题，其中第8个就是大名鼎鼎的李生素数猜

想：即存在无穷多对挛生素数.我国著名数学家张益唐2013年在《数学年刊》上发表论文《素数间的

有界距离》，破解了困扰数学界长达一个半世纪的难题，证明了挛生素数猜想的弱化形式.那么，如果

我们在不超过30的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件A,这两个数都是素数；事件3：这两

个数不是挛生素数，则P(B|A)=()

11371341

A.—B.—C.—D.—

15451545

【考点】条件概率.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；数学运算.

【答案】D

【分析】根据题意，由古典概型公式求出尸(A)和尸(AB),再根据条件概率的计算方法求得正确答案.

【解答】解：根据题意，不超过30的自然数有30个，其中素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,

29共10个，

挛生素数有3和5,5和7,11和13,17和19,共4组.

所以PQ4)=/=蔡P(砌=汐=墨，

P(AB)::夜一4187一41

所以

P(B|4)=P(A)一急一435*9—45,

故选：D.

【点评】本题考查条件概率的计算，涉及古典概型的计算，属于基础题.

10.有4个外包装相同的盒子，其中2个盒子分别装有1个白球，另外2个盒子分别装有1个黑球，现准

备将每个盒子逐个拆开，则恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中的概率为（）

1111

A.-B.-C.—D.—

2346

【考点】古典概型及其概率计算公式.

【专题】整体思想；综合法；概率与统计；数学运算.

【答案】B

【分析】先将4个盒子进行全排，若恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中，则前两个盒子

都是白球或都是黑球，分别计算出排列数，即可得到答案.

【解答】解：将4个盒子按顺序拆开有用=24种方法，

若恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中，

则前两个盒子都是白球或都是黑球，有掰掰+胫掰=8种情况，

则恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中的概率为P=^=1.

故选：B.

【点评】本题主要考查了排列组合知识，考查了古典概型的概率公式，属于基础题.

填空题（共5小题）

11.某企业钳工、车工和焊工三个车间分别推荐了1名男员工和1名女员工，供该企业工会从中选出2名

员工参加全国技能比赛.若这6名员工每人被选上的机会相等，则选出的2人恰好是1名男员工和1

名女员工，且他们来自不同车间的概率为|.

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率.

【专题】转化思想；定义法；概率与统计；数学运算.

【答案】

【分析】先列出从6名员工中选出2名员工的基本事件总数，再列出来自不同车间的一名男员工和一名

女员工数量，二者比值即为结果.

【解答】解：设3名男员工分别为A,B,C,3名女员工分别为X,匕Z,其情况如下表：

钳工车工焊工

男员工ABC

女员工XYZ

则从6人中选出2人的基本事件有

(A,B),(A,C),(A,X),(A,X),(A,Z),(B,C),(B,X),(B,Y)(B,Z),(C,X),(C,F),

(C,Z),(X,Y),(.X,Z),(Y,Z),共15个，

其中满足条件的基本事件有(A,Y),(A,Z),(B,X),(B,Z),(C,X),(C,Y),共6个，

所以选出的2人恰好是1名男员工和1名女员工，且他们来自不同车间的概率P=2=|，

2

故答案为：

【点评】本题考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

12.一袋中有大小相同的4个球，其中3个红球和1个黑球.从该袋中随机取2个球，则取到2个红球的

1

概率是­•

【考点】古典概型及其概率计算公式.

【专题】整体思想；综合法；概率与统计；数学运算.

【答案】

【分析】根据古典概型求解即可.

【解答】解：由题意，所求概率

故答案为：

【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题.

21_c1

13.设A,B是一个随机试验中的两个事件，且PQ4)=可P(8)=2,P(a+8)=+贝！.

【考点】条件概率.

【专题】整体思想；综合法；概率与统计；数学运算.

【答案】见试题解答内容

【分析】由P(A+F)=P(A)+P(万)-P(A耳)求出P(AB),再利用条件概率公式求解.

【解答】解:因为P(2+后)=P(4)+P⑧-P(而)=|+1-(P(4)-P(AB))=|+1-PG4B))=

升1PQ4B)5/,

所以PQ4B)=全

所以P(B|4)=?需

1

故答案为：--

【点评】本题主要考查了条件概率公式，属于基础题.

14.在统计调查中，对一些敏感性问题，要精心设计问卷，设法消除被调查者的顾虑，使他们能够如实回

答问题.否则，被调查者往往会拒绝回答，或不提供真实情况.某中学为了调查本校中学生某不良习惯

A的发生情况，对随机抽出的200名中学生进行了调查.调查中设置了两个问题：

问题1：你的阳历生日日期是否偶数？问题2：你是否有A习惯？

调查者准备了一个不透明袋子，里面装有大小、形状和质量完全一样的5个白球和5个红球.每个被调

查者随机从袋中摸出1个球(摸出的球再放回袋中并搅拌均匀)，摸到白球的学生如实回答第一个问题，

摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什

么都不做.已知调查结束后，盒子里共有55个小石子.据此估计此中学学生中有习惯A的人数的百分

比为5%.

【考点】古典概型及其概率计算公式.

【专题】方程思想；定义法；概率与统计；数学运算.

【答案】见试题解答内容

【分析】被调查者回答第一个问题的概率为2=,=去其阳历生日日期是偶数的概率也是5,由此得

到随机抽出的200名学生中，回答两个问题的人数估计各有100人，200人中抽取到白球并回答第一个

问题为“是”的学生估计有50人，抽到红球并回答第二个问题为“是”的人数估计为5人，由此能估

计此中学学生有A习惯人数的百分比.

【解答】解：根据题意，由等可能事件概率得：

被调查者回答第一个问题的概率为P=^=1,

其阳历生日日期是偶数的概率是今

•••对随机抽出的200名中学生进行了调查，

其中回答两个问题的人数估计各有200x1=100人，

•••200人中抽取到白球并回答第一个问题为“是”的学生估计有200x*x*=50人，

抽到红球并回答第二个问题为“是”的人数估计为55-50=5人,

I.此中学学生有A习惯人数的百分比为三=5%.

100

故答案为：5%.

【点评】本题考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

15.已知随机变量X〜3(2,p),其中0<pVl,随机变量y的分布列为

Y012

1

P2q

3

表中0<4<,则。⑴的最大值为:.我们可以用Af=£念op(x=k)"需骂来刻画X与y

J3"(t—KJ

、,1M—ln32

的相似程度，则当D(X)=2，且D(y)取最大值时，———=.

2ln2------2—

【考点】离散型随机变量的均值(数学期望)；离散型随机变量及其分布列.

【专题】对应思想；综合法；概率与统计；数学运算.

23

【答案】

32

8

【分析】根据题意，求得()颓》()+-+|,结合二次函数的性质，求得

Ey=4+2qy=—4q23D(y)

取得最大值点再由二项分布方差，求得p=今进而得到“="3-如2即可求解.

1

【解答】解：由题意，可得E(y)=@+2q,

则0(y)=(§+2q)(~-2g)+(1-@-2q)X@+(2-可-2q)Xq

-—4g2+

—_4(q-专)2+东

2i2

因为OVqV呈所以当q=［时，D(Y)取得最大值？

又由X〜3(2,p),可得。(X)=2p(1-p)=热解得p=}

111

所以尸(X=0)=a，p(x=l)p(X=2)=j

又因为M=2K=oP(X=fc)Inp^y-j^9

^fr以M=［仇］+］仇7+4"4=2LIT4+7)11"g二仇3一1仇2,

M-"33

所以

ln22

23

故答案为：-;-

32

【点评】本题考查了离散型随机变量的期望和方差，属于中档题.

三.解答题(共5小题)

16.为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的经

常性有影响，为此对学生是否经常锻炼的情况进行了抽样调查，从全体学生中随机抽取男女各100名学

生，经统计，抽查数据如下表：

性别锻炼合计

经常不经常

男生8020100

女生6040100

合计14060200

(1)依据小概率值a=0.005的独立性检验，分析性别与体育锤炼的经常性是否有关？

(2)为提高学生体育锻炼的积极性，学校决定在上述经常参加体育锻炼的学生中，按性别分层抽样随

机抽取7名同学组成体育锻炼宣传小组，并从这7名同学中选出3人担任宣传组长，记女生担任宣传组

长的人数为X,求随机变量X的分布列及数学期望.

附：%)=(a+b)图篇(其中,为样本容量)

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

【考点】离散型随机变量的均值(数学期望).

【专题】计算题；对应思想；综合法；概率与统计；数学运算.

【答案】(1)认为性别与锻炼的经常性有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005；

(2)分布列见解答，E(X)=/

【分析】(1)根据列联表中的数据计算x2,与临界值比较即可得结论；

(2)随机变量X所有可能的取值分别为0,1,2,3,由古典概型概率公式求出对应的概率，可得分布

列及数学期望.

【解答】解：(1)零假设为Ho：性别与锻炼的经常性无关联，

2

根据列联表中的数据，经计算得到f=2。潞潞部窑°x9.524>7.879=%o,oo5-

根据小概率值a=0.005的独立性检验，我们推断Ho不成立，

即认为性别与锻炼的经常性有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005；

(2)根据分层抽样可知，随机抽取的7名同学中男生4人，女生3人,

随机变量X所有可能的取值分别为0,1,2,3,

根据古典概型的知识，可得P(X=0)=等=余，P(x=l)=等=%,

C75?c7

P(X=2)=等埸P(X=3)=等型

c7c7

所以X的分布列为：

X0123

P418121

35353535

A1O-121Q

所以E(X)=0x+1x+2x+3x=y«

【点评】本题主要考查独立性检验，离散型随机变量分布列及数学期望，考查运算求解能力，属于中档

题.

17.假定射手甲每次射击命中目标的概率为p,其中

(1)当p=|时，若甲射击N次，命中目标的次数为X.

①求E(X)；

②若尸(X=10)>P(X=k),其中OWAWN,k^lO,求N的值.

(2)射击积分规则如下：单次未命中目标得。分，单次命中目标得1分，若连续命中目标Mi》2)次，

则其中第一次命中目标得1分，后一次命中目标的得分为前一次得分的2倍.记射手甲射击4次的总得

分为匕若对任意P有尸(y=O=P(y=j)(z<j)成立，求所有满足上述条件的有序实数对(i,j).

【考点】离散型随机变量的均值(数学期望).

【专题】对应思想；综合法；概率与统计；数学运算.

2N

【答案】(1)①三；②15；

(2)(2,3),(4,7).

【分析】(1)①根据二项分布求解即可；②先求出P(X=k)=林@)气上N-k,再根据

P(X=k)2P(X=k+l),求解即可;

.尸(X=