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文档简介
2024-2025学年山东省德州九中九年级(上)开学数学试卷
一、选择题:本题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求
的。
1.下列二次根式中,与避是同类二次根式的是()
A.A/4B.A/6C.D,A/12
2.如图,在平行四边形4BCD中,AB=5,BC=8,以点。为圆心,任意长为半径画弧,交力。于点P,交
于点Q,分别以P、Q为圆心,大于9PQ为半径画弧交于点M,连接DM并延长,交于点E,连接4E,
恰好有4E1BC,贝ME的长为()
BE
26
A.3B.4C.5D.—
O
3.下列命题,其中是真命题的是()
A.对角线互相垂直的四边形是平行四边形B.有一个角是直角的四边形是矩形
C,对角线互相平分的四边形是菱形D.对角线互相垂直的矩形是正方形
4.如图,在RtZsABC中,AACB=90(>,N力=30。,BC=1,将绕点C逆时针旋转得到△AB'C连接
A'B,若点A,B,2在同一条直线上,贝耐4的长为()
K
A.A/3B.2A/3(13A/3D.3
5.已知a,6是方程/+%-3=。的两个实数根,则a2-b+2023的值是()
A.2023B,2021(12026D,2027
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6.勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠,是用代数思想解决几何
问题最重要的工具,也是数形结合的纽带之一.如图,当秋千静止时,
踏板B离地的垂直高度BE=0.7m,将它往前推3m至C处时(即水平距离
CD^3m),随板离地的垂直高度CF=2.5m,它的绳索始终拉直,则
绳索力C的长是()
A.3.4mB.5mC.4mD.5.5m
7.已知点点Q(3,y2)在一次函数X=(2m-l)x+2的图象上,且月>、2,则小的取值范围是()
11
A.m<-B.m>-C,m>1D.m<1
8.已知两个一次函数%=CIK+b与=bx+a,它们在同一平面直角坐标系中的图象可能是下列选项中的
()
9.已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示,下列关于此函数图象的描述
中,错误的是()
A.对称轴是直线久=1
B.当x<0时,函数y随X的增大而增大
C.图象的顶点坐标是(1,4)
D.图象与x轴的另一个交点是(4,0)
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10.如图,在正方形A8CD中,E为BC上一点,BE=^BC,过点8作BF12E于G,
交CD于F,"为EF的中点,若4B=6.则GH的长为()
A.2
B.非
C.3
D.24
二、填空题:本题共5小题,每小题4分,共20分。
11.若乂、y都是实数,且WT+71-x+y=4,xy的值为
12.坐标平面内的点P(m,-2)与点Q(3,n)关于原点对称,则根+?1=
13.已知关于光的一次函数月=姮久与=k2x+。的图象如图所示,则关于久
的不等式自久>k2x+b>。的解集是
14.甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米,先到终点的人原地休
息.已知甲先出发4分钟,在整个步行过程中,甲、乙两人的距离y(米)与甲出发的时间t(分)之间的关系如
图所示,则乙到达终点时,甲离终点还有米.
15.如图,在平面直角坐标系中,长方形MNPQ的顶点M,N分别在x轴、y轴正半轴上
滑动.顶点P、Q在第一象限,若MN=4,PN=2.在滑动过程中,点P与坐标原点。的
距离的最大值为.
三、解答题:本题共6小题,共60分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
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16.(本小题8分)
计算:
(1)A/48+班―2x-7^2+2y
(2)(28-17+(避+2)(避-5).
17.(本小题10分)
已知关于x的一元二次方程*2+(2m+l)x+m2-2=0.
(1)若该方程有两个实数根,求小的最小整数值;
(2)若该方程的两个实数根为孙,久2,且01-刀2)2+爪2=21,求小的值.
18.(本小题10分)
某校开展了“预防溺水、珍爱生命”的安全知识竞赛.先从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成
绩(百分制)进行整理、描述和分析(竞赛成绩用尤表示,共分成四组,A80<%<85,5.85<%<90,
C.90<%<95,D.95<x<100).
部分信息如下:
七年级10名学生竞赛成绩:81,86,99,95,90,99,100,82,89,99;
八年级10名学生竞赛成绩在C组中的数据:94,94,91.
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
平均数中位数众数方差
年级
七年级b92.5d49
八年级92C10046.8
八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图
(l)a=,b—,c—,d—;
(2)根据以上数据,你认为该校七、八年级中哪个年级学生安全知识竞赛成绩更好?请说明理由;
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(3)若该校七、八年级共2160人参加了此次竞赛活动,估计参加此次竞赛活动获得优秀成绩(x>95)的学生
有多少人.
19.(本小题10分)
为降低空气污染,公交公司决定全部更换节能环保的燃气公交车.计划购买4型和B型两种公交车共10
辆,其中每台的价格,年均载客量如表:
2型B型
价格(万元/辆)ab
年均载客量(万人/年/辆)60100
若购买力型公交车1辆,B型公交车2辆,共需400万元;若购买4型公交车2辆,B型公交车1辆,共需350万
元
(1)求购买每辆a型公交车和每辆B型公交车分别多少万元?
(2)如果该公司购买4型和B型公交车的总费用不超过1200万元,且确保这10辆公交车年均载客总和不少于
680万人次,有哪几种购车方案?请你设计一个方案,使得购车总费用最少.
20.(本小题10分)
如图,矩形AEB。的对角线AB、OE交于点尸,延长4。至IJ点C,使。C=。4延长B。至|点D,使OD=OB,
连接力£>、DC、BC.
(1)求证:四边形4BCD是菱形.
(2)若。E=20,/.BCD=60°,则菱形4BCD的面积为.
21.(本小题12分)
如图1,函数y=2x+3与x轴交于点4与y轴交于点B,点C与点4关于y轴对称.
(1)求直线BC的函数解析式;
(2)设点M是%轴上的一个动点,过点用作丫轴的平行线,交直线48于点P,交直线BC于点Q.
①若PQ的长为4,求点M的坐标;
②如图2,连接8M,在点M的运动过程中是否存在点P,使=若存在,请求出点P坐标;若
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不存在,请说明理由.
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答案和解析
1.【答案】C
【解析】解:40=2,与并不是同类二次根式,不符合题意;
A"与他不是同类二次根式,不符合题意;
C.j|=¥,与也是同类二次根式,符合题意;
D.网=23与的不是同类二次根式,不符合题意.
故选:C.
根据同类二次根式的定义即可求解.
本题考查同类二次根式的概念,同类二次根式是化为最简二次根式后,被开方数相同的二次根式称为同类
二次根式.
2.【答案】B
【解析】解:由作法得DE平分N4DC,
Z-ADE=Z.CDE,
四边形ZBCO为平行四边形,
CD=AB=S,AD“BC,
ADIIBC,
••/ADE=乙CED,
Z.CED=(CDE,
CE=CD=5,
・•.BE=BC-CE=8-5=3f
AE1BC,
・••乙AEB=90°,
AE=^AB2-BE2=75^42=4.
故选:B.
利用基本作图得到〃DE=NCDE,再根据平行四边形的性质得到CD=4B=5,AD//BC,接着证明
CE=CD=S,然后利用勾股定理计算AE.
本题考查了作图-基本作图:熟练掌握5种基本作图(作一条线段等于已知线段;作一个角等于已知角;作
已知线段的垂直平分线;作已知角的角平分线;过一点作已知直线的垂线).也考查了平行四边形的性质.
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3.【答案】D
【解析】解:人对角线互相平分的四边形是平行四边形,所以4选项是假命题,本选项不符合题意;
8、有一个角是直角的平行四边形是矩形,所以B选项是假命题,本选项不符合题意;
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形,所以C选项是假命题,本选项不符合题意;
对角线互相垂直的矩形是正方形,是真命题,本选项符合题意.
故选:D.
根据平行四边形,矩形,菱形,正方形的判定方法一一判断即可.
本题考查正方形的判定,平行四边形的判定,菱形的判定,矩形的判定等知识,解题的关键是熟练掌握特
殊四边形的判定方法,属于中考常考题型.
4.【答案】D
【解析】解:在RtaABC中,4/1=30。,BC=1,
AB=2BC=2,
由旋转知,A'C=AC,
•・•点4,B,力在同一条直线上,
=乙4=30。,
•.•N4BC=90°-NA=60°,
•••/.A'CB=^ABC-^CA'A=30°,
•••^A'CB=^CA'A,
■'A'B=BC=1,
:.AA'=A'B+AB=3,
故选:D.
先根据含30。角的直角三角形的性质求出AB=2,再由旋转的性质得出NC44=30,进而判断出
^CA'A=^A'CB,得出&B=BC=1,求和即可得出答案.
此题主要考查了旋转的性质,含30。角的直角三角形的性质,三角形外角的性质,等角对等边,判断出
A'B=BC是解本题的关键.
5.【答案】D
【解析】解:•;a,b是方程久2+x-3=。的两个实数根,
a2=3—a,a+b=—1,
a2—b+2023
=3-a—b+2023
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=一(a+b)+2026
=1+2026
=2027,
故选:D.
将实数根a代入方程得到a?=3-a,再利用根和系数关系得到a+6=-1,最后将代数式变形即可计算答
案.
本题考查了一元二次方程的解的含义、一元二次方程根与系数的关系及代数式求值,熟练掌握相关知识点
是解题关键.
6.【答案】A
【解析】解:由题意可知,CF=2.5m,BE0.7m,
BD—1.8m.
设AC的长为无加,则力B==
所以4D=AB-BD=(x-1.8)m.
在直角△AOC中,AD2+CD2=AC2,即(x—L8)2+32=7,
解得:x=3A,
即绳索AC的长是3.4米.
故选:A.
设2C的长为久,贝!|4B=4C=久爪,故==(久一1.8)TH,在直角△4DC中利用勾股定理即可求解.
本题考查勾股定理的实际应用,找到直角三角形并利用勾股定理构造方程是解题的关键.
7.【答案】4
【解析】解:
"点P(-l,%)、点Q(3)2)在一次函数y=(2m-l)x+2的图象上,
・•・当一1<3时,由题意可知、1>及,
•••y随久的增大而减小,
2m-l<0,解得小<《,
故选:A.
由题目条件可判断出一次函数的增减性,则可得到关于小的不等式,可求得小的取值范围.
本题主要考查一次函数的性质,得出一次函数的增减性是解题的关键.
8.【答案】B
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【解析】解:4、T一次函数yi=ax+b的图象经过一三四象限,
a>0,/?>0;
由一次函数为=6*+a图象可知,b<0,a>0,两结论矛盾,故错误;
3、・•,一次函数%=a久+b的图象经过一三四象限,
■■■a>0,b<0;
由及的图象可知,a>0,6<0,两结论不矛盾,故正确;
C、•••一次函数yi=ax+6的图象经过一二四象限,
a<0,/?>0;
由段的图象可知,a>0,b>0,两结论矛盾,故错误;
一次函数%=ax+b的图象经过一二四象限,
a<0,b>0;
由>2的图象可知,a<0,b=0,两结论相矛盾,故错误.
故选:B.
先由一次函数月=ax+b图象得到字母系数的符号,再与一次函数及=bx+a的图象相比较看是否一致.
此题主要考查了一次函数的图象性质,要掌握它的性质才能灵活解题.一次函数y=+b的图象有四种
情况:
①当k>0,b>0,函数y=fcr+6的图象经过第一、二、三象限;
②当k>0,b<0,函数y=kx+6的图象经过第一、三、四象限;
③当k<0,6>0时,函数y=kx+6的图象经过第一、二、四象限;
④当k<0,6<0时,函数y=kx+6的图象经过第二、三、四象限.
9.【答案】D
【解析】解:抛物线的对称轴为直线x=l,所以月选项的说法正确,不符合题意;
当x<l时,函数y随支的增大而增大,所以8选项的说法正确,不符合题意;
点(-1,0)关于直线久=1的对称点为(3,0),则抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3,0),所以。选项错误,符
合题意;
设抛物线解析式为y=a(x+l)(x—3),把(0,3)代入得ax1x(-3)=3,解得a=-l,
所以抛物线解析式为y=-(X+l)(x-3),即y=-x2+2%+3=-(x-1)2+4,
所以抛物线的顶点坐标为(1,4),所以C选项的说法正确,不符合题意.
故选:D.
利用抛物线的顶点的横坐标为1可对2进行判断;根据二次函数的性质对B进行判断;利用对称性得到抛物
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线与X轴的另一个交点坐标为(3,0),则可对。进行判断;利用交点式求出抛物线解析式,然后配成顶点式后
可对C进行判断.
本题考查了抛物线与x轴的交点:把求二次函数y=a%2+6%+。(口,瓦c是常数,a力0)图象与久轴的交点坐标
问题转化为解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标.也考查了二次函数的性质.
10.【答案】B
【解析】解:,;四边形ABCD是正方形,
•••AB=BC=CD=AD,^ABC=乙BCD=/.CDA=/.DAB=90°,
BF1AE,即N4GB=NBGE=90。,
•••4BAG+/.ABG=^ABG+zCBG=90°,
Z-BAE=乙CBF,
•••△ZBE之△BCFQ4sZ),
AE=BF,BE=CF,
•.•四边形48CD是正方形,AB=6,BE=^BC,
AB=BC=CD=AD=6,
=jx6=4,贝lJCE=BC-BE=6-4=2,
在直角△ABE中,AE=yjAB2+BE2=^62+42=2g=CF,
在直角△CEF中,EF=^EC2+CF2=^/22+42=2非,
AE1BFf
・•・乙EGF=90。,
在直角aFFG中,点”是EF的中点,
:.GH=3EF=^X2避=木,
故选:B.
根据正方形的性质可证ayiBE之△BCF,可得BE=CF,根据题意可算出BE,CF,CE,EF的值,再根据
直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可求解.
本题考查了全等三角形的判定和性质,勾股定理,直角三角形斜边中线等于斜边的一半,掌握以上知识的
综合运用是解题的关键.
11.【答案】4
【解析】解:根据题意得,%-1>0>1-%>0,
解得无之1且久工1,
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•,•%=1,
•••y=4,
%y=1x4=4.
故答案为:4.
根据被开方数大于等于o列式求出x的值,再求出y的值,然后计算即可得解.
本题考查了算术平方根有意义的条件,明确被开方数是非负数是解题的关键.
12.【答案】—1
【解析】解:;点P(m,-2)与点Q(3,n)关于原点对称,
•••m=—3,n=2,
所以,m+n=-3+2=-1.
故答案为:-L
根据“关于原点对称的两点,横坐标与纵坐标都互为相反数”求出小、九的值,然后相加计算即可得解.
本题考查了关于原点对称的点的坐标特征,关于原点对称的两点,横坐标与纵坐标都互为相反数.
13.【答案】%>2
【解析】解:关于%的不等式的x>的无+b>0的解集是尤>2.
故答案为x>2.
写出一次函数为=/qx图象在丫2=的刀+b的图象上方所对应的自变量的范围即可.
本题考查了一次函数与一元一次不等式:从函数的角度看,就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于(或小
于)0的自变量x的取值范围;从函数图象的角度看,就是确定直线y=-+b在x轴上(或下)方部分所有的
点的横坐标所构成的集合.
14.【答案】360
【解析】解:设甲的速度为也米/分钟,乙的速度为V2米/分钟,
••・%=华=60米/分钟,
由图象可知:乙追上甲需要12分钟,
12V2=240+12X60,
v2=80米/分钟,
•••此时乙共走了12X80=960米,
乙离终点还有2400—96。=1440米,
•••乙到达终点时需要的时间为:嘿2=18分钟,
oU
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甲离终点还有1440—18x60=360米,
故答案为:360.
设甲的速度为巧米/分钟,乙的速度为以米/分钟,根据图象的信息科求出甲乙两人的速度,以及相遇所需
要的时间,从而可求出答案.
本题考查函数图象的应用,解题的关键是正确理解图象并求出甲乙两人的速度,本题属于中等题型.
15.【答案】2+2#
【解析】解:如图,取MN的中点E,连接OE,PE,OP,
■■AMON=90°,点E是MN的中点,
;.RSM0N中,OE=3MN=NE=EM=2,
又“MNP=9。。,PN=2,NE=2,
Rt△PNE中,PE=yJPN2+NE2="4+4=2展
又•••OPWPE+OE=2+2展
OP的最大值为2+2也,
即点P到原点。距离的最大值是2+2也
故答案为:2+2..
取MN的中点E,连接。E,PE,OP,根据勾股定理和矩形的性质解答即可.
本题考查矩形的性质,关键是根据矩形的性质和勾股定理解答.
16.【答案】解:(1)原式=回—述+2述
=4+A/6;
(2)原式=12+1—4^/3+3—5^/3+2A/3—10
———7避+6.
【解析】(1)根据二次根式的混合运算法则即可求解;
(2)计算完全平方公式、多项式乘多项式即可求解;
本题考查了二次根式的混合运算,熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键.
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17.【答案】解:⑴根据题意得/=(2m+1)2—4(病—2)>0,
Q
解得m
所以m的最小整数值为-2;
(2)根据题意得%1+牝=~(2m+1),%1%2=租2-2,
(Xi—%2)2+m2=21,
22
•••(久1+X2)—4X1X2+m=21,
(2m+I)2—4(m2—2)+m2=21,
整理得加2+4m-12=0,解得租1=2,m2=-6,
、9
m>-7,
q
m的值为2.
【解析】(1)利用判别式的意义得至必=(2巾+1)2—4g2—2)20,然后解不等式得到m的范围,再在此范
围内找出最小整数值即可;
22
(2)利用根与系数的关系得到*1+X2=-(2m+1),%1%2=m-2,再利用(打一冷产+m=21得到
(2m+l)2-4(m2-2)+m2=21,接着解关于zn的方程,然后利用(1)中机的范围确定加的值.
本题考查了根与系数的关系:若如冷是一元二次方程ax?++c=0(a力0)的两根时,%i+x2=-
也考查了根的判别式.
18.【答案】40929499
【解析】解:(l)a=(1-20%-10%-回)x100=40,
,81+86+99+95+90+99+100+82+89+99八、
b=-----------------------------5-----------------------------=92(分),
••・八年级10名学生的竞赛成绩的中位数是第5和第6个数据的平均数,
4、8两组共有10x(10%+20%)=3(人),
94+94cd/八、
C=---=94(分);
在七年级10名学生的竞赛成绩中99出现的次数最多,
."=99;
故答案为:a=40,b=92,c=94,d=99.
(2)八年级学生成绩更好,理由如下:八年级学生成绩的中位数、众数都比七年级的高,而方差比七年级
的小,成绩比七年级稳定;
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4+4
(3)2160xZ5^=864(A),
答:估计参加此次竞赛活动获得优秀成绩(x>95)的学生约有864人.
(1)根据平均数、中位数和众数的定义即可得到结论;
(2)根据八年级的中位数和众数均高于七年级,于是得到八年级学生掌握防溺水安全知识较好;
(3)利用样本估计总体思想求解可得.
本题考查读扇形统计图的能力和利用统计图获取信息的能力;利用统计图获取信息时,必须认真观察、分
析、研究统计图,才能作出正确的判断和解决问题.
19.【答案】解:(1)根据题意,得:{葭武:婢,
解得:肄郎
答:购买每辆力型公交车100万元,购买每辆B型公交车150万元;
(2)设购买4型公交车无辆,则购买8型公交车(10-比)辆,
根据聊音得f100x+150(10—W<1200
侬造硬思付:(60久+100(10-%)>680,
解得:6<x<8,
设购车的总费用为加,
则W=100%+150(10-%)=-50%+1500,
•••w随X的增大而减小,
.••当工=8时,W取得最小值,最小值为1100万元.
【解析】(1)根据“购买4型公交车1辆,B型公交车2辆,共需400万元;若购买4型公交车2辆,B型公交车
1辆,共需350万元”列方程组求解可得;
(2)设购买2型公交车x辆,则购买B型公交车(10-久)辆,根据“总费用不超过1200万元、年均载客总和不
少于680万人次”求得x的范围,设购车的总费用为勿,列出勿关于久的函数解析式,利用一次函数的性质
求解可得.
本题主要考查二元一次方程组、一元一次不等式组及一次函数的应用,解题的关键是根据题意确定相等关
系或不等式关系以列出方程组和不等式组是解题的关键.
20.【答案】200避
【解析】(1)证明:--CO=AO,DO=BO,
•••四边形4BCD是平行四边形,
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•••四边形ZEB。是矩形,
■.AAOB=90°,
BDLAC,
四边形ZBCD是菱形;
(2)解:•••四边形4“。是矩形,
.-.AB=BC=OE=20,
四边形A8CD是菱形,4BCD=60°,
••.NBC。=30°,AAOB=90°,
OB=|BC=1x20=10,
在Rt^BOC中,由勾股定理得:0C=回2_032=功202-102=如4,
•••BD=20B=2X10=20,AC=20C=2X100=20
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