苏教版初中数学专项训练：轴对称图形 单元提升卷

第2章轴对称图形单元提升卷

【苏科版】

考试时间：60分钟；满分：100分

姓名：班级：考号：

考卷信息：

本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分

钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容

的具体情况！

一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

（23-24・广西桂林•中考真题）

1.下列图形中，是轴对称图形的是（）

（23-24八年级•广东湛江•期中）

2.如图，三条公路把N,B,C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区

域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在

A.三个角的角平分线的交点B.三条边的垂直平分线的交点

C.三角形三条高的交点D.三角形三条中线的交点

试卷第1页，共8页

（23-24八年级•河南洛阳•期中）

3.如图1是/D〃8C的一张纸条，按图1'图2-图3,把这一纸条先沿£尸折叠并压平,

再沿防折叠并压平，若图2中//EF=115。，则图3中方的度数为（）

（23-24•河北秦皇岛•一模）

4.图1和图2中所有的小正方形都全等，将图1的正方形放在图2中①②③④的某一位

置，使它与原来7个小正方形组成的图形是轴对称图形，并且只有一条对称轴，这个位置是

图1图2

A.①B.②C.③D.④

（23-24八年级•山东临沂•期中）

5.如图，△/BC中，AB=AC,ABAC=140°,4D是8c边上的中线，且2。=2E,则/4DE

C.40°D.70°

（23-24八年级•广东广州•期中）

试卷第2页，共8页

6.如图，在等边三角形△ABC中，E为4B上一点、,过点E的直线交NC于点尸，交延

长线于点。，作EGL/C垂足为G,如AE=CD,AB=a,则G厂的长为（）

A.—aB.—aC.—aD.

332

（23-24八年级,山东烟台,期中）

7.如图，在/4BC中，ZC=90°,乙4=30。分别以4,8两点为圆心，大于g/8为半径

画弧，两弧交于7，N两点，直线交4C于点D,交AB于点E,若CZ>=3,则NC的长

度为（）

A.9B.6C.3D.12

⑵-24八年级•福建莆田•期中）

8.如图，△4BC中，AC=DC=3,NA4c的角平分线AD_L于。，E为NC的中点,

则图中两个阴影部分面积之差的最大值（）

试卷第3页，共8页

（23-24八年级•重庆九龙坡•期中）

9.如图，在△/BC中，//8C=90。，点E为NC的中点，在△/尸。中，ZAFC=90°,连接

BE,BF,EF,若NACB=50°,NECF=24°,则NEFB的度数为（）

C.18°D.20°

（23-24八年级•山东济南•期末）

10.如图，已知等边△/BC,点。、£分别在边48、上，CD、/£交于点R

/AFD=60°,尸G为“FC的角平分线，点”在尸G的延长线上，HG=CD,连接〃4、

HC,①BD=CE；@ZAHC=60°；③尸C=CG；®S^CBD^S^CGH；其中说法正确的是

A.①②④B.①③④C.②③④D.①②③④

二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

（23-24八年级•甘肃天水・期末）

11.如图，点、P关于04、的对称点分别为C、D,连结C。，交04于M,交于N,

若线段CD的长为16厘米，贝UAPAW的周长cm.

（23-24八年级•江苏扬州•期中）

12.室内墙壁上挂一平面镜，明敏在平面镜内看到他背后墙上的时钟如图，则这时的实际时

试卷第4页，共8页

（23-24八年级•广东汕头・单元测试）

13.如图，乙4=36。，乙DBC=36°,zC=72°,则图中等腰三角形有一个.

（23-24八年级•重庆合川•期末）

14.如图，在△ABC中，4D为5c边的中线，E为/。上一点，连接BE并延长交NC于点

F,若NAEF=NFAE,BE=4,EF=L6,则CF的长为.

（23-24八年级•安徽合肥・期末）

15.如图，A/OBOBCD都是等边三角形，E,尸分别是ZAND上两个动点，满足

AE=DF.BF与DE交于点G,连接CG.

(1)/EG8的度数是；

(2)若。G=3,BG=5,则CG=.

试卷第5页，共8页

（23-24八年级•江苏无锡•期中）

16.如图，直线"N与直线尸。相交于点A,并且互相垂直，点B和点C分别是直线和尸。

上的两个动点，且线段8c长度不变，点。是A关于直线5c的对称点，连接4D,若

三、解答题（共7小题，满分52分）

（23-24八年级•吉林长春•期末）

17.如图，在4x4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1,每个小正方形的顶点叫做格

点.△ABC的顶点都在格点上.

（1）在图1中找到一个格点O,画出△BCD,使△4BC与全等，且以点4B,C,D

为顶点的四边形是轴对称图形；

（2）在图2中找到一个格点E,画出使与△NBC全等，且以点4B,C,E

为顶点的四边形不是轴对称图形.

（23-24八年级,全国・单元测试）

18.如图是4x4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色.现在要从其余13个白色小

方格中选出一个涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形，在下面每个网格中画出

符合要求的图形（画出三种即可）.

试卷第6页，共8页

(23-24八年级•陕西西安・期末)

19.尺规作图，不写作法，保留作图痕迹:

(1)如图1,在ZUBC的边8C上求作一点。，使得邑

(2)如图2,在△4BC的边8C上求作一点使得点E到AB,/C的距离相等.

(23-24八年级•河北廊坊•期中)

20.如图，在△4BC中，AB=AC=2,48=40。，点。在线段2C上运动(点D不与点

B,C重合)，连接N。，作N4£»E=40。，交线段/C于点E.

(1)当N&EM=115。时，NEDC=」,ZAED=J.

(2)若DC=2,试说明A4BD注ADCE.

(3)在点。的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求/瓦M的度数;

若不可以，请说明理由.

(23-24八年级•山东潍坊•期末)

21.已知，△/BC中，//+2ZB=180。.

(2)如图②，。是△4BC外一点，连接40、BD,且48=/〃，作/C4D的平分线交5D于

试卷第7页，共8页

点£,若NA4c=60。，则N/ED=；

(3)如图③，在(2)的条件下，连接CZ＞交NE于点尸，若4F=2,BE=3,求。E的长.

(23-24八年级•吉林松原•期末)

22.如图，△ABC是等腰直角三角形，ZBAC=90°,BC=4,4022c于点。.点P为边

5c上一动点，连接/P,作尸。=N尸，使点。在射线NC上，过点。作8c于点£.

(1)/。的长为二

(2)当点尸在线段上时，求证：LAPD丝APQE；

⑶若AP将&ABC分成面积比为1:3的两部分，求。E的长;

(4)若△PC。的一个内角为15。，直接写出ZAPQ的大小.

(23-24八年级•山西长治•期末)

23.综合与探究

在RtZ\/8C中，ZACB=90°,//=30。，8。是△NBC的角平分线，DE，AB千点、E.

(1)如图1,连接CE,求证：ABCE是等边三角形.

(2)如图2,M为CE上一点、,连接5W,作等边ABMN,连接EN,求证：EN//BC.

(3)如图3,P为线段ND上一点，连接3P,作/8尸。=60。，P。交DE延长线于点。，探究

线段。尸，。。与之间的数量关系，并说明理由.

试卷第8页，共8页

1.B

【分析】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后

与原图重合.此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线

两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.直接利用轴对

称图形的定义得出答案.如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这

个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.

【详解】解：A.不是轴对称图形，不符合题意；

B.是轴对称图形，符合题意；

C.不是轴对称图形，不符合题意；

D.不是轴对称图形，不符合题意.

故选：B.

2.A

【分析】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的

关键.根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可.

【详解】解：根据角平分线的性质，集贸市场应建在三个角的角平分线的交点处.

故选：A.

3.B

【分析】本题考查折叠的性质、平行线的性质.由第一次折叠可知=尸=115。，

ZBFE=ZSFE,由平行线的性质可得/瓦芭户£=180。-N4M=65。，由第二次折叠

可知=尸C=65。-/CFE,^B'FE+ZBFE+ZBFC=180°即可得出答案.

【详解】解：由题意作图如下：

ZA'EF=ZAEF=115°,ZBFE=ZBFE,

■：A'D'//B'C,

答案第1页，共23页

NA'EF+NB'FE=18。°,

NBFE=ZB'FE=180°-ZA'EF=65°,

ZBFC=NBFE-ZCFE=65°-NCFE,

.•・纸条沿BP折叠，

NBFC'=NBFC=65°—ZCFE,

•••ZB'FE+ZBFE+/AFC'=180°,

65°+65°+65°-NCFE=180°,

NCFE=15。,

故选B.

4.C

【分析】根据轴对称图形的定义和对称轴的条数两个角度思考判断.

【详解】当放置在①位置时，构成的图形是轴对称图形，且有两条对称轴，

-.A不符合题意；

当放置在②位置时，构成的图形不是轴对称图形，

.■.B不符合题意

当放置在③位置时，构成的图形是轴对称图形，且有一条对称轴，

.•.C符合题意

当放置在④位置时，构成的图形不是轴对称图形，

-.D不符合题意

故选C.

【点睛】本题考查了拼图中的轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义，准确确定对称轴的

条数是解题的关键.

5.A

【分析】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的三线合一、

三角形内角和定理是解题的关键.根据等腰三角形的性质得到NB=NC=20°,/ADB=90。,

根据三角形内角和定理计算即可.

【详解】解：=,ZBAC=140°,

NB=NC=20°,

VAB=AC,4D是2c边上的中线，

ADIBC,

答案第2页，共23页

NADB=90。，

,:BD=BE,

ZBDE=80°,

:.ZADE=10°,

故选：A

6.C

【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形全等的判定与性质，过E作£加||助，先证

明是等边三角形，再证△£^^^△2X7"即可得到答案；

【详解】解：过E作£河||助，

•・•△/3C是等边三角形，AB=af

：,AC=BC=AB=a,AA=AB=AC=60°,

-EM\\BD,

ZAEM=ZB=60°,ZAME=ZC=60°,ZMEF=ZD,

•••/\AEM是等边三角形，

AE=AM=EM,

•・•AE=CD,

:・ME=CD,

在△曰户与尸中，

ZMEF=ZD

v</MFE=ZCFD,

ME=CD

四△DCF(AAS),

；,MF=CF,

vEGVAC,EA=EM,

：.AG=MG,

答案第3页，共23页

.­.GF=-AC=-,

22

故选：C.

7.A

【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键.也考查了

线段垂直平分线的性质.利用基本作图得到垂直平分则根据线段垂直平分线的性

质得到所以/DB/=N/=30。，再计算出NC8D=30。，则利用含30度角的三角

形三边的关系得到8。=6,所以/。=6,然后计算/D+CD即可.

【详解】解：由作法得"N垂直平分

•••DA=DB,

ZDBA=ZA=30°,

ZABC=900-N4=60°,

ZCBD=30°,

在△2。中，BD=1CD=6,

AD=6,

AC=AD+CD=6+3=9.

故选：A.

8.C

【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识，首先证明两个阴影

部分面积之差=$4加0，当。"L/C时，ANC。的面积最大.解题的关键是学会用转化的思

想思考问题.

【详解】解：延长2D交NC于点设/。交8E于点O.

答案第4页，共23页

:"ABD+/BAD=90。，AH+AHAD=90°,

/BAD=AHAD,

/./ABD=ZH,

，AB=AH,

•/ADVBH,

BD=DH,

DC=CA,

ZCDA=ACAD,

vZCAD+ZH=90°,ZCDA+ZCDH=90°,

/.ZCDH=NH,

CD=CH=AC,

vAE=EC,

'"BE='S^BH'S^cDH=WS^ABH'

**S^OBD-^AAOE=S^ADB-S^ABE=/\ADH-^CDH=^/\ACD，

AC=CD=3,

.,.当DC_L/C时，A/CZ）的面积最大，最大面积为gx3x3=4.5.

故选：C.

9.B

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形性质，三角形外角性质.根据直角三角

形性质得到EF=BE=AE=CE=^AC,再结合等腰三角形的性质和三角形外角性质得到

ZAEF,NAEB,进而得到NEFS,即可解题.

【详解】解：//BC=90。，点£为NC的中点，NAFC=90°,

EF=BE=AE=CE=-AC,

2

•••NECF=24°,

NEFC=NECF=24°,

：.NAEF=ZEFC+ZECF=48°,

•••ZACB=50°,

同理可得//E8=100°,

答案第5页，共23页

180°-NAEF-NAEB

，NEFB=NEBF==16°,

2

故选：B.

10.A

【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积等

知识点.证明=从而得出ABC。空AC4E（ASA）,即可判断①；作CNL/E

交/£的延长线于〃，作CN,小于N,可证明A£CA£AGCN(AAS),得到CE=CG,

EM=GN,4ECM=ZGCN,即可证明A4WC之"CVC(SAS)得到/C=”C,从而得出

A4S是等边三角形，即可判断②；由/CFH=ZAFH=60°,若FC=CG,贝|

ZCGF=60°,从而/FCG=60。，这与N/CB=60。相矛盾，即可判断③；根据④

A£CA£AGCN(AAS),AAMCAHNC(SAS),ABCD'CAE(ASA),即可判断④.

【详解】解：①•••△/2C是等边三角形，

Z5=AACE=60°,BC=AC=AB,

•••ZAFD=ZCAE+ZACD=60°,ZBCD+ZACD=ZACB=60°,

NBCD=NCAE,

在△3cr•和中，

ZB=AACE

，BC=CA,

NBCD=ZCAE

:.ABCD咨ACAE(ASA),

：.BD=CE,故①正确；

②如图，作CM_L/E交/E的延长线于M,作CN_LH?"于N,

ZAFC=120°,

答案第6页，共23页

・••尸G为尸C的角平分线，

Z.CFH=AAFH=60°,

ZCFH=ZCFE=60°,

又•；CM工AE,CN工HF,

：.CM=CN,

•••/CEM=ZACE+ZCAE=60°+/CAE,NCGN=ZAFH+ZCAE=60°+ZCAE,

ZCGN=ZCEM,

在△ECM和△GQV中，

ZCEM=ZCGN

</CME=NCNG=90。,

CM=CN

之△GCN(AAS),

/.CE=CG,EM=GN,ZECM=ZGCN,

，NMCN=NECG=60。,

由①知△Ba)0AC4£(ASA),

AE=CD,

•••HG=CD,

AE=HG,

AE+EM=HG+GN,AM=HN,

在和AHNC中,

AM=HN

<NAMC=HNC=90。,

CM=CN

.•.△/MC丝△创C(SAS),

ZACM=ZHCN,AC=HC,

/ACM-ZECM=ZHCN-ZGCN,即/ACE=ZHCG=60°,

是等边三角形，

：.N4HC=60。,故②正确；

③由②知，ZCFH=ZAFH=60°,

答案第7页，共23页

若/C=CG,则/CG尸=60。，从而NFCG=60。，这与NNCB=60。相矛盾，故③错误；

④丝AGCN(AAS),AAMC知HNC(SAS),

一S.XMC-S城ECM=S.HNC-S、GCN，即S.ACE=S.CGH，

AC4E%BCD,

:,SdBCD=SKGH=SSCE，故④正确,符合题意；

综上所述，正确的有①②④，

故选：A.

11.16

【分析】本题考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键

根据轴对称的性质：对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对

称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相

等.可得尸M=CM,ND=NP,根据三角形周长的定义即可解答.

【详解】•••点尸关于。/、的对称点分别为C、D,连结CD,交。/于

PM=CM,ND=NP,

&PMN的周长=PN+PM+,

PN+PM+MN^CM+PM+NP^CD,

,**CD=16cm,

故答案为：16.

12.3：40.

【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右颠倒，且关于镜面

对称，分析并作答.

【详解】根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的时刻与3：40成轴对称，所以此时实

际时刻为：3：40.

故答案为3：40.

【点睛】本题考查了镜面反射的原理与性质.解决此类题应认真观察，注意技巧.

13.3

【分析】根据等腰三角形的判定，根据已知角利用等量代换即可求解.

【详解】•.2C=72。，乙DBC=36。,

••25。=180°-72°-36°-36°=36°=〃

答案第8页，共23页

；.AD=BD,是等腰三角形，

•••根据三角形内角和定理知NADC=180。-72°-36°=72°=zC,

:.BD=BC,△8£>C是等腰三角形，

•."=ZABC=72。，

.MB=AC,A48C是等腰三角形，

故图中共3个等腰三角形，

故答案为：3.

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等角对等边判定定理是解题的关键.

14.2.4

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，延长ND至G,使

DG=AD,连接3G,可证明ABDG之ACZX(SAS),则8G=/C,ZCAD=NG,根据

AF=EF,得NCAD=NAEF,可证出/G=/BEG,即得出/C=8E=4,然后利用线段

的和差即可解决问题.

【详解】解：如图，延长/。至G,使DG=/D,连接BG,

在AA)G和ACD4中,

BD=CD

<ZBDG=ZCDA,

DG=DA

BG=AC,NCAD=NG,

■■ZAEF=ZFAE,

答案第9页，共23页

/CAD=/AEF,

•・•/BEG=ZAEF,

；"CAD=/BEG,

AG=/BEG,

・•.BG=BE=4,

・•.AC=BE=4,

•・•ZAEF=ZFAE,

AF=EF=1.6,

：.CF=AC-AF=4-\.6=2A.

故答案为：2.4.

15.60。##60度8

【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，等边三角形的判定与性

质，正确理解题意是解题的关键.

(1)根据等边三角形的性质得出=乙4=/4。8=60。，进而证

明A4ED学ADFB,得出=然后根据三角形的外角的性质即可得出答案.

(2)延长3G到点“，使G〃=G。，连接先证明△D7/G都是等边三角形，再得出

/HDB=ZGDC,证明△“出物ADGC,得出CG=5G+OG即可得出答案.

【详解】解：(1)都是等边三角形，

/.AB=BD=AD,BC=BD=CD,/A=ZADB=60°,

在AAED和丛DFB中，

AD^BD

<ZA=ZFDB,

AE=DF

:AAED%DFB(SAS),

ZADE=ZFBD,

/.ZEGB=ZGDB+NFBD=ZGDB+NADE=60°；

(2)解：延长BG到点“，使GH=GD,连接。H,

答案第10页，共23页

.•.△D8G是等边三角形，

:.DH=DG/HDG=60°,

•・•△BCD都是等边三角形，

.­.BC=BD=CD,ZBDC=60°,

ZHDG+NBDE=ZBDC+NBDE,故ZHDB=ZGDC,

:.ADHB”ADGC（SAS）,

:.CG=BH=BG+GH=BG+DG=5+3=8,

・•.CG的长为8.

故答案为：60°；8.

16.30°或150°

【分析】分两种情况：当4c>/8时，取8c的中点£,连接。E、AE,当/C</8时，

取8c的中点£,连接DE、AE,根据直角三角形斜边上的中线的性质、等边三角形的判

定得出△/££>是等边三角形，进而依据轴对称的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的

定义及性质以及三角形内角和定理进行计算即可得出答案.

【详解】解：如图，当时，取BC的中点£,连接DE、AE,

.・•点。是A关于直线BC的对称点,

BC垂直平分AD,ZACB=ZDCB,

AE=DE,

AD=-BC,

2

/.AD=AE=DE,

答案第11页，共23页

:AAED是等边三角形,

ZAED=60°,

ZAEB=ZDEB=30°,

AE=CE,

AEAC=/ECA,

・・・ZEAC+ZECA=/AEB=30°,

ZEAC=ZECA=15°,

ZEAC=ZDCB=15°,

ZACD=ZEAC+ZDCB=30°；

当时，取8C的中点E,连接。£、AE,

同理可得，ZEBA=ZEAB=15°f

•・•ABAC=90°,

ZACB=90°-/ABC=75°,

ZACB=ZDCB=75°,

ZACD=ZACB+ZDCB=750+75°=150°,

综上所述，44CZ)的度数是30。或150。，

故答案为：30。或150。.

【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定

与性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质、轴对称的性质等知识点，采用分类

讨论的思想是解此题的关键.

17.(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题考查了作图一轴对称变换，全等三角形的判定，熟练掌握轴对称图形的性质、

答案第12页，共23页

全等三角形的判定是解答本题的关键.

(1)结合轴对称图形的性质以及全等三角形的判定画出图形即可;

(2)根据全等三角形的判定画出图形即可.

【详解】(1)解：如图1,△BCD即为所求(答案不唯一)，

(2)解：如图2,ZUCE即为所求,

AE

图2

18.见解析

【分析】根据轴对称的性质设计出图案即可.

【详解】解：如图所示.

【点睛】本题考查的是利用轴对称设计图案，熟知轴对称的性质是解答此题的关键.

19.(1)见解析图;

(2)见解析图.

【分析】(1)作线段8c的垂直平分线，垂足为。即为所求；

(2)作/£平分，氏4C,4E交3C于点E,点E即为所求;

答案第13页，共23页

本题考查尺规作图一垂直平分线和角平分线的作法，解题的关键是熟练掌握知识点的应

用.

【详解】(1)解：如图1中,

.••点。即为所求;

(2)如图2,

.••点£即为所求.

20.(1)25；65

(2)详见解析

(3)可以，当/瓦%的度数为110。或80。时，的形状是等腰三角形

【分析】(1)根据三角形内角和定理得到/以。=25。，根据等腰三角形的性质得到

==40。，根据二角形内角和定理计算，得到答案；

(2)当。C=2时，利用ZDEC+/EDC=140。，/ADB+NEDC=140°,得到

NADB=NDEC,根据N5=DC=2,证明；

(3)分DA=DE、AE=AD、E4=E。三种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和

定理计算.

【详解】(1)解：VAB=AC,

ZC=ZB=40°,

---ZADE=40°,ABDA=115°,

NEDC=180°-ZADB-ZADE=25°,

ZAED=ZEDC+ZC=250+40°=65°,

答案第14页，共23页

故答案为：25；65；

(2)解:;AB=2,DC=2,

：.ZADE=40°,NBDA=115°,

AB=DC.

■：ZC=40°

NEDC=180°-ZADB-ZADE=25°,

ZDEC+ZEDC=140°.

.ZAED=ZEDC+ZC=250+40°=65°.

ZADE=40°,

ZADB+ZEDC=140°,

ZADB=NDEC.

在△NAD和△DCE中，

ZADB=NDEC

<ZB=ZC,

AB=DC

八®)之△QCE(AAS)；

(3)解：MDE的形状可以是等腰三角形.

①当。/=DE时，NDAE=NDEA=70°,

:./BDA=ZDAE+/C=70。+40。=110。，

②当■时，ZAED=ZADE=40°,

.•.△NB0也△DCE(AAS).

:.ADAE=\^°,

此时，点。与点B重合，不符合题意.

③当胡=E。时，^DAE=ZADE=40°,

ABDA=ADAE+ZC=400+40°=80°.

综上所述，当Z5ZM的度数为110°或80。时，的形状是等腰三角形.

【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和

定理，三角形外角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思

想是解题的关键.

21.⑴见解析

答案第15页，共23页

(2)60°

⑶10

【分析】(1)已知条件结合三角形内角和定理证明=即可；

(2)先说明△N8C为等边三角形，即NA4C=N4BC=NC=60。，设ZABD=x,则

ZZ>=ZABD=x,然后根据四边形的内角和用x表示出/C4D,进而表示出/及4。，最后

根据三角形内角和即可解答；

(3)如图：作根据题意说明儿刃=儿必，进而说明/E1CD,根据44ED=60。,

得到尸=30。，ZEAM=30°,利用直角三角形30。的特征，设=则ML>=y+3,

然后根据线段的和差列方程解答即可.

【详解】(1)证明：在△N3C中有44+/3+/C=180。，

•••//+24=180。，

ZA+ZB+ZCZA+2ZB,

ZB=ZC,

.-.AB=AC；

(2)•••ABAC=60°,AB=AD,

:.AABC是等边三角形，

ABAC=/ABC=ZC=60°,

15ZABD=x,则/。=//8O=x,

在四边形ACBD中有：ZC+ZDBC+ZD+ZDAC=360°,

60o+60°+x+x+ZDAC=360°,

:.ZDAC=240°-2x,

•••NCAD的平分线交BD于点,E,

ZEAD=-ZDAC=120°-x,

2

vND+ZAED+ZEAD=180°,即x+NAED+1200-x=180°,

ZAED=60°,

故答案为：60°；

(3)如图，作

答案第16页，共23页

D

•;AB=AD,

图3

:.MD=MB,

•・•AC=AD,4E平分/C4D,

AEVCD,

ZDFE=90°,

由(2)得NZKD=60。，

ZEDF=90°-NAED=30。，

:.EF=-DE,

2

•・,AM1BD,

ZAME=90°,

/MAE=90°-ZAED=30°,

:.AE=2ME,

设板”

•・,BE=3,

.•.MD=MB=y-^-3,AE=2y,DE=2EF=MD+ME=2y+39

・…2>+3

..nr=--------,

2

•・•AF=2,

AE^EF+AF=^^-+2,

2

2y+3cc

..---------F2=2y,

2

解得：2y=7,

―2j+3=10.

【点睛】本题主要考查了三角形内角和、四边形内角和、等边三角形的判定与性质、等腰三

角形的性质，含30。的直角三角形的性质等知识点，灵活应用相关知识点成为解答本题的关

键.

答案第17页，共23页

22.(1)2

(2)详见解析

(3)。£的长为1或3

(4)44尸。的度数为60。或120。或150。.

【分析】(1)由等腰直角三角形的性质，得到5O=CD,再由直角三角形斜边上中线性质,

得到答案.

(2)通过证明=NQED=NPDA=90°,由此得到A/P。多APQE(AAS).

(3)分两种情况：点P在线段上时；点P在线段CD上时，分别求出。E的长，由此得

到答案.

(4)分两种情况：点P在线段AD上时，ZQPC=15°,证明△4P0为等边三角形，

乙小0=60。；点尸在线段。上时，/。咋=15。或々。。=15。，分别求出//尸0的大小,

由此得到答案.

【详解】(1)解：.・.△ABC是等腰直角三角形，NBAC=90°,AD1BC,

ZPDA=90°,BD=CD,

AD=—BC=2,

2

故答案为：2.

(2)证明：・•,ZUBC是等腰直角三角形，ABAC=90°,

AB=AC,

Z5=ZC=45°,

•••AD1BC,

ADAC=-ABAC=45°=ZC,

2

•••PA=PQ,

ZPAQ=ZPQA,

•••ZPAQ=ZPAD+ZDAC=/PAD+45°,

NPQA=ZC+ZQPE=45°+ZQPE,

/PAD=ZQPE,

•••QELBC,

NQED=/PDA=90°,

答案第18页，共23页

,AAPD注△PQE(AAS).

(3)解：分两种情况：

①如图1,点尸在线段5。上时,

图1

「•BP:PC=1:3,

•・•BP+PC=BC=4,

*'-BP=1,PC=3,

由(1)可知，BD=CD=-BC=2,AAPD义APQE,

2

PD=BD-BP=\,AD=PE=2,

DE=PE—PD=2—T=\；

②如图2,点尸在线段CD上时，

「•BP:PC=3:\,

•・•BP+PC=BC=4,

ABP=3,PC=1,

同(1)得：BD=CD=-BC=2,AAPD义APQE,

2

PD=CD—PC=1,AD=PE=2,

DE=PE+PD=2+1=3；

综上所述，的长为1或3；

答案第19页，共23页

（4）分两种情况：

①点尸在线段5。上时，如图1,

/.ZQEC=90°,

・・•ZQCE=ZACB=45°,

Z^2C=90°-45°=45°,

/.APQC>45°,

只有/。尸。=15。，

/.AAQP=ZACP+ZQPC=45。+15。=60。，

AP=PQ,

二.△，尸。为等边三角形，

/.AAPQ=60°；

②点尸在线段CD上时，如图2,

,N0尸。=15。或ZPQC=15。,

当N0尸。=15。时，

由（2）可知，AAPDdPQE,

ZPAD=ZQPE=