西藏自治区拉萨市某中学2023-2024学年高二年级上册期末考试数学试题（解析版）

拉萨那曲第四高级中学2023〜2024学年度第一学期期末考试

局一数学

全卷满分150分，考试时间90分钟.

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的

指定位置.

2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题

区域均无效.

3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作

答；字体工整，笔迹清楚.

4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.

5.本卷主要考查内容：选择性必修第一册第二章、第三章，选择性必修第二册第四章.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1,已知点碓,百）,8（1,。）,则直线幺3的斜率是（）

A.-^3B.—A/S-C.1D.—1

【答案】A

【解析】

【分析】由斜率的计算公式直接求解即可.

【详解】由题意点/（2,、回）,8（1,0）,

所以直线48的斜率是后=区二"=由二9=君.

XA~XB2-1

故选：A.

2.若直线/1：x—y+2=0与直线/2：2x+ay—3=0平行，则实数。的值为（）

A.-2B.-1C.2D.1

【答案】A

【解析】

【分析】解方程lxa_（_l）x2=0即得解.

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【详解】解：由题得lxa—(—l)x2=0,.・.[=-2.

经检验，当。=-2时，满足题意.

故选：A

3.已知点4(—2,1),5(0,-3),则以线段45为直径的圆的方程为(

A.(x-l)2+(y-l)2=5B.(X+1)2+(J+1)2=5

C.(X-1)2+(J-1)2=20D.(x+l)2+(j+l)2=20

【答案】B

【解析】

【分析】

根据点/(-2,1),5(0,-3),且线段4B为直径，可知圆心及直径，半径，进而得到圆的方程.

【详解】圆心坐标为(一1,一1),|AB|=V4+16=2-\/5,r=V5

所以以线段AB为直径的圆的方程为(x+1)2+(V+1)2=5,

故选：B.

【点睛】求圆的方程，主要有两种方法:

(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理.如：①圆心在过切点且与切线垂直的直

线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线.

(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量.一般地，与圆心

和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式.不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三

个独立等式.

才2y2

4.与椭圆一+1有相同焦点，且过点(0,、历)的椭圆方程为()

8T

2222222

AXIxy1

A.-----FB.二+匕=1——+—=1D,土+J

5736242

【答案】C

【解析】

【分析】

2,2

设与椭圆工+y1有相同焦点的椭圆方程为上+上=1,代入点(o,、/5)可求得结果.

8T8+左4+左

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2222

【详解】设与椭圆工+—=1有相同焦点的椭圆方程为工+工=1,

848+k4+左

因为点（0,、/2）在所求椭圆上,

X-+/-=l,解得左=—2,

所以

8+左4+左

22

所以所求椭圆方程为—+^=1.

62

故选：C

【点睛】关键点点睛：利用共焦点的椭圆方程求解是解题关键.

22

5.已知双曲线!?-与=1（。>08>0）的一条渐近线方程是了=瓜，它的一个焦点在抛物线y=48x的准

线上，则双曲线的方程为（）

22222222

A%y1

A.--------=1B.=1C,二-匕=1D.----------=1

3610892710836279

【答案】A

【解析】

【分析】根据双曲线渐近线方程得。和6的关系，根据焦点在抛物线准线上得。的值，结合〃、6、c关系即

可求解.

Y2V2厂

【详解】,・•双曲线=1（〃〉0/〉0）的一条渐近线方程是y=底,

—=V3=>Z?2=3a1，

a

,**y2=48x的准线方程是x——12，，c=12,

2

・・・。2=/+/,・・・144=/+3。20。2=36,b=3x36=108，

22

...双曲线标准方程为：土—匕=1.

36108

故选：A.

6.设a>0,b>0,若;是。和6的等差中项，则4+工的最小值是（）

2ab

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1

A.4D.-

4

【答案】

【解析】

ha

【分析】=2+—+丁，利用基本不等式求解.

+3ab

【详解】依题意，a+b=2x；=l(a>0,b>0),

r11、ba”=4,

则一+丁=xl=14ci-\-b]=2H------1—>2+2.

ababababab

等号成立时，a=b」

2

故选：A

7.设抛物线。:「=2"(夕〉0)的焦点为歹，点〃在C±,\MF\=5,若以敏为直径的圆过点(0,2),

则。的方程为

A.,2=4x或V=8x

B.y2=2x或/=8x

C.y2=或y2=16x

D.y2=2x或y2=16x

【答案】C

【解析】

【详解】•.•抛物线。方程为/=2px(p〉0),...焦点/(§0),

设W(x,y),由抛物线性质|"F|=x+曰=5,可得x=5—

因为圆心是放的中点，所以根据中点坐标公式可得,圆心横坐标为3,

2

由已知圆半径也为据此可知该圆与y轴相切于点(0,2),故圆心纵坐标为2,则M点纵坐标为4,

即M(5-^,4)，代入抛物线方程得02_102+16=0,所以p=2或p=8.

所以抛物线C的方程为/=4x或V=16x.

故答案C.

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【点睛】本题主要考查了抛物线的定义与简单几何性质，圆的性质和解直角三角形等知识，属于中档题，

本题给出抛物线一条长度为5的焦半径MF,以"F为直径的圆交抛物线于点(0,2),故将圆心的坐标表示出

来，半径求出来之后再代入到抛物线中即可求出P的值，从而求出抛物线的方程，因此正确运用圆的性质

和抛物线的简单几何性质是解题的关键.

8.已知等比数列｛%｝的前〃项和为S“，且S2+a2,星成等差数列，则数列｛4｝的公比为()

A.3B.2C.1D.1

【答案】A

【解析】

【分析】根据等比数列的通项公式用4,q表示出三项，再根据等差中项的应用即可.

【详解】设等比数列的公比为q，公比为q(q/0),

因为E=aA,S2+a2=o；(l+2^),53=ax(l+q+q~)成等差数列，

所以2al(l+2q)=%(2+q+r)，即q2—3q=(),q=3,

故选：A.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列命题中错送的是()

A.若直线的倾斜角为钝角，则其斜率一定为负数B.任何直线都存在斜率和倾斜角

c.直线的一般式方程为/x+qy+c=oD.任何一条直线至少要经过两个象限

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用直线倾斜角、斜率的意义判断AB；利用直线一般式方程的条件判断C；举例说明判断D.

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7T

【详解】对于A,直线的倾斜角1€勺,兀），则其斜率左=tana<0,A正确；

71

对于B,倾斜角为一的直线不存在斜率，B错误；

2

对于C,直线的一般式方程为Zx+8y+C=0,A2+B~^Q，C错误；

对于D,当直线与x轴或了轴重合时，该直线不经过任何象限，D错误.

故选：BCD

10.若方程/+「+4鹏一2y+5加=0表示的曲线为圆，则实数加的值可以为（

A.0B.C.1D.2

【答案】AD

【解析】

【分析】先将方程合理转化，后结合二元二次方程表示圆的条件求解即可.

【详解】方程X?+.V?+4mx-2y+5m=0,即（》+2加）~+（了-1）~=4m2-5m+1,

若方程表示圆，则4--5加+1〉0，解得<一或r>1,

4

结合选项可知AD正确，BC错误.

故选：AD

II.已知双曲线—4/=1,则双曲线的（）

A.焦点坐标为（右,0）,（-石,0）B.离心率为石

C.渐近线方程为x+2y=0和x-2y=0D.虚轴长为1

【答案】CD

【解析】

【分析】将双曲线方程化为标准形式，再由双曲线的简单几何性质逐一判断即可.

【详解】犬-江=ln/.〒=i,

4

所以a=l）=!,c=+62=，

22

A,焦点坐标为（5,0）,（_号,0）,故A错误；

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B,离心率为e=上=更~,故B错误；

a2

C,X2-4J2=0,整理可得渐近线方程为x+2y=0和x—2y=0,故C正确；

D,虚轴长26=1,故D正确.

故选：CD

12.已知抛物线CV=12x,点尸是抛物线C的焦点，点P是抛物线C上的一点，点M（4,3）,则下列说

法正确的是（）

A,抛物线C的准线方程为x=-3

B.若|尸尸|=7,则△加的面积为26一|

C.忸川-|9|的最大值为加

D.APMF的周长的最小值为7+

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据抛物线的标准方程可得准线方程为x=-3,即可判断A,根据抛物线定义得到碍=4,故尸点

可能在第一象限也可能在第三象限，分情况计算三角形面积即可判断B,利用三角形任意两边之差小于第

三边结合三点一线的特殊情况即可得到（|PF|-1PM|）1mx=|F\,计算即可判断C,三角形PMF的周

=\PM\+\MF\+\PF\=\PM\+|PF|+VlO,再结合抛物线定义即可求出1PMi+|尸尸|的最小值，即得

到周长最小值.

【详解】-.-y^nx,：.p=6,.-.F（3,0）,准线方程为x=-3,故A正确；

根据抛物线定义得|尸丹=马+曰=%+3=7,%=4,•.•/（4,3）,

.,.PA//8轴，当》=4时，j=±4A/3，

若尸点在第一象限时，此时尸卜,46），

j3

故尸3，△尸A/F的高为1,故=万乂3）x1=2/"-丁

若点。在第四象限，此时尸（4,-4百），故尸M=4jJ+3，

1N

△尸叱的高为1,故S.F=5*（46+3卜1=2抬+丁故B错误；

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PF\-\PM\<\MF\,...（IPFI-IPM|）max=\MF\=J（4-3），+（3-0）2=而，故c正确;

（连接尸M,并延长交于抛物线于点尸，此时即为|尸尸|-|/%。|最大值的情况,

图对应如下）

过点尸作尸£>_L准线，垂足为点。,

△PA/F的周长=|PA1|+|W|+|P川=『河|+|尸尸|+丽=\PM\+（P£>|+VHT,

若周长最小，则1PMi+|0。|长度和最小，显然当点位于同一条直线上时，|「加|+|〃巴的和最小,

此时1PM+|"F|=|PZ）|=7,

故周长最小值为7+JHJ，故D正确.

故选：ACD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.直线x+Gy—2=0的倾斜角为.

【答案】150°

【解析】

【分析】由直线方程求出直线的斜率，即得倾斜角的正切值，从而求出倾斜角.

【详解】设直线x+V3y-2=0的倾斜角为a,

由x+5/^y-2=°，得：y=一^~x+2”,

"33

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故直线的斜率k=tana

3

,.-0°<a<180°,

.•.a=150°.

【点睛】本题考查了直线的倾斜角与斜率的问题，是基础题.

14.在等差数列｛%｝中，+。6+。10=120,则-

【答案】40

【解析】

【分析】根据等差数列的性质，有电+。6+。10=3%=120,然后求解即可.

【详解】由题意有川+。6+。10=3%=120,得4=40.

故答案为：40.

15.过点（3,4）且与圆C：（x-2『+/=1相切的直线方程为.

【答案】x=3或15x—8歹—13=0

【解析】

【分析】求出圆。的圆心、半径，再按直线斜率存在与否分类求解即得.

【详解】依题意，圆C表示以C（2,0）为圆心，半径厂=1的圆，

当切线的斜率不存在时，过（3,4）的直线》=3与圆。相切；

3）,则公华』,

当切线的斜率存在时，设切线方程为歹-4

解得左="，此时切线方程为15x—8〉—13=0,

8

所以所求切线方程为x=3或15x—8y—13=0.

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故答案为：x=3或15x—8y—13=0

16.等比数列｛%｝的公比qwl,且电，4，为成等差数列，则光，的值是

【答案】-2

【解析】

&+见4+21

【分析】根据出，。3,％成等差数列，由2%=%+%，求得公比4,然后由一~/=(上、=一求

AId'IIAI

解.

【详解】在等比数列｛%｝中，因为在，。3，%成等差数列，

所以2a§=%+%，即2%q2=aAq+aA,

即2寸—q—1=0,

因为qw0,

解得4=一5或q=i(舍去),

生+%_/+%_1__

所以9'

故答案为：-2

四、解答题：本题共4小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

17.已知直线/：y=ax+2—。过定点p.

(1)求点尸的坐标；

(2)若直线/在x轴和了轴上的截距相等，求。的值.

【答案】(1)P(l,2)

(2)。=-1或2

【解析】

【分析】(1)利用直线求定点的方法直接列方程求解即可.

(2)首先得出aw0,然后根据截距相等列方程求解即可.

【小问1详解】

直线/:y=ax+2-a,a(x-l)+2-y=0,

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x-l=0x=1

则《

2—y=()n〔歹=2

定点P（l,2）.

【小问2详解】

由直线/在x轴和y轴上的截距相等，显然。不为o（否则直线/在坐标轴上的截距不相等，与题意矛盾）,

令x=0,可得歹=2-。,

令歹=0,可得X二----，

a

a—2

由直线/在x轴和〉轴上的截距相等，有2-a=——,解得。=-1或2,

a

故Q=-1或2.

18.求适合下列条件的椭圆的标准方程：

（1）焦点在X轴上，中心为坐标原点，经过点（0,-73）.

（2底、

（2）以点片（—1,0）,乙（1,0）为焦点，经过点尸2,卷.

2222

【答案】（1）土+匕=1；（2）土+匕=1.

4354

【解析】

【分析】

22

（1）设椭圆的标准方程为=+二=1（。〉6〉0），代入所过的点后求出可得所求的椭圆方程.

a-b~

（2）根据椭圆的定义可求2加，再求出〃后可求椭圆的标准方程.

22

【详解】解：（1）设椭圆的标准方程为.+4=1（。＞方＞0）,

ab

19_

1a=2

由题意有＜，可得《

b=5

b—A/3

22

故椭圆C的标准方程为土+匕=1.

43

（2）设椭圆的标准方程为三+4=1（加〉〃＞0）,焦距为2co.

mn

第11页/共14页

22

故椭圆的标准方程为上+上=1.

54

【点睛】方法点睛：椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等，注意根据问

题的特征选择合适的方法来处理.

19.已知等差数列｛an｝的前项和为S”，&=60，E。=245.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

71、

(2)记4=-----,求数列也f｝的前〃项和北.

anan+l

【答案】（1）4=5n—3；⑵T=------

n10〃+4

【解析】

【分析】

(1)设数列｛%｝的公差为d,根据题中条件列出方程求解，得出首项和公差，即可求出通项公式;

(2)由(1)的结果，利用裂项相消的方法，即可求出结果.

【详解】(1)设数列｛%｝的公差为d,

—5a}+10d=60q=2

由题意有《二'八」解得《

Si。=lOq+45d=245d=5

所以。〃=2+5（n—1）=5n—3,

故数列｛4｝的通项公式为％=5n-3；

b1.11]

（2）由"一（5〃-3